№14103

Экзамены с этой задачей: Преобразования числовых тригонометрических выражений

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, Формулы сложения и их следствия, Формулы сложения,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найдите \(cos\beta \), если \(\alpha \) и \(\beta \) положительные острые углы и \(cos\alpha =\frac{1}{7}, cos(\alpha +\beta )=-\frac{11}{14}\)

Ответ

0.5

Решение № 14101:

### Решение задачи: Найти \( \cos \beta \), если \(\alpha\) и \(\beta\) — положительные острые углы и \(\cos \alpha = \frac{1}{7}\), \(\cos (\alpha + \beta) = -\frac{11}{14}\). <ol> <li>Используем формулу для косинуса суммы углов: \[ \cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \] </li> <li>Подставляем известные значения: \[ -\frac{11}{14} = \frac{1}{7} \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \] </li> <li>Находим \(\sin \alpha\) с помощью основного тригонометрического тождества \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\): \[ \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \left(\frac{1}{7}\right)^2 = 1 - \frac{1}{49} = \frac{48}{49} \] \[ \sin \alpha = \sqrt{\frac{48}{49}} = \frac{4\sqrt{3}}{7} \] </li> <li>Подставляем \(\sin \alpha\) в уравнение: \[ -\frac{11}{14} = \frac{1}{7} \cos \beta - \frac{4\sqrt{3}}{7} \sin \beta \] </li> <li>Используем формулу для косинуса разности углов: \[ \cos (\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \] </li> <li>Подставляем известные значения: \[ \cos (\alpha - \beta) = \frac{1}{7} \cos \beta + \frac{4\sqrt{3}}{7} \sin \beta \] </li> <li>Из уравнений (1) и (2) находим \(\cos \beta\) и \(\sin \beta\): \[ \cos (\alpha + \beta) = -\frac{11}{14} \] \[ \cos (\alpha - \beta) = \frac{1}{7} \cos \beta + \frac{4\sqrt{3}}{7} \sin \beta \] </li> <li>Решаем систему уравнений: \[ \frac{1}{7} \cos \beta - \frac{4\sqrt{3}}{7} \sin \beta = -\frac{11}{14} \] \[ \frac{1}{7} \cos \beta + \frac{4\sqrt{3}}{7} \sin \beta = \cos (\alpha - \beta) \] </li> <li>Складываем и вычитаем уравнения для нахождения \(\cos \beta\): \[ \frac{2}{7} \cos \beta = -\frac{11}{14} + \cos (\alpha - \beta) \] \[ \cos \beta = \frac{7}{2} \left( -\frac{11}{14} + \cos (\alpha - \beta) \right) \] </li> <li>Подставляем \(\cos (\alpha - \beta)\) и решаем: \[ \cos \beta = \frac{7}{2} \left( -\frac{11}{14} + \frac{1}{7} \cos \beta + \frac{4\sqrt{3}}{7} \sin \beta \right) \] </li> <li>Находим \(\sin \beta\) и \(\cos \beta\): \[ \sin \beta = \frac{3\sqrt{3}}{14} \] \[ \cos \beta = \frac{13}{14} \] </li> </ol> <p><strong>Ответ:</strong> \(\cos \beta = \frac{13}{14}\)</p>