№14102

Экзамены с этой задачей: Преобразования числовых тригонометрических выражений

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, Формулы сложения и их следствия, Формулы сложения,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Вычислите \(cos18^{0}cos63^{0}+sin18^{0}sin63^{0}\)

Ответ

0.5

Решение № 14100:

Конечно, давайте решим задачу пошагово: ```html <ol> <li>Используем формулу косинуса суммы углов: $\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$</li> <li>Подставляем $A = 63^\circ$ и $B = 18^\circ$: $\cos(63^\circ - 18^\circ) = \cos 63^\circ \cos 18^\circ + \sin 63^\circ \sin 18^\circ$</li> <li>Упрощаем выражение: $\cos 45^\circ = \cos 63^\circ \cos 18^\circ + \sin 63^\circ \sin 18^\circ$</li> <li>Зная, что $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем: $\frac{\sqrt{2}}{2} = \cos 63^\circ \cos 18^\circ + \sin 63^\circ \sin 18^\circ$</li> <li>Таким образом, искомое выражение равно: $\cos 18^\circ \cos 63^\circ + \sin 18^\circ \sin 63^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$</li> </ol> <p><strong>Ответ:</strong> $\frac{\sqrt{2}}{2}$</p> ``` Таким образом, решение задачи выглядит следующим образом: 1. Используем формулу косинуса суммы углов: \[ \cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B \] 2. Подставляем \( A = 63^\circ \) и \( B = 18^\circ \): \[ \cos(63^\circ - 18^\circ) = \cos 63^\circ \cos 18^\circ + \sin 63^\circ \sin 18^\circ \] 3. Упрощаем выражение: \[ \cos 45^\circ = \cos 63^\circ \cos 18^\circ + \sin 63^\circ \sin 18^\circ \] 4. Зная, что \(\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\), получаем: \[ \frac{\sqrt{2}}{2} = \cos 63^\circ \cos 18^\circ + \sin 63^\circ \sin 18^\circ \] 5. Таким образом, искомое выражение равно: \[ \cos 18^\circ \cos 63^\circ + \sin 18^\circ \sin 63^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Ответ: \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)