№14098

Экзамены с этой задачей: Преобразования числовых тригонометрических выражений

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, Формулы сложения и их следствия, Формулы сложения,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Вычислите \(sin\left ( \frac{\pi }{12}+2\alpha \right )sin\left ( \frac{5\pi }{12}-2\alpha \right )-cos\left ( \frac{\pi }{12}+2\alpha \right )cos\left ( \frac{5\pi }{12}-2\alpha \right )\)

Ответ

0

Решение № 14096:

Для решения задачи \( \sin\left( \frac{\pi}{12} + 2\alpha \right) \sin\left( \frac{5\pi}{12} - 2\alpha \right) - \cos\left( \frac{\pi}{12} + 2\alpha \right) \cos\left( \frac{5\pi}{12} - 2\alpha \right) \) воспользуемся тригонометрическими тождествами. <ol> <li>Используем формулу произведения синусов: \[ \sin A \sin B = \frac{1}{2} [\cos (A - B) - \cos (A + B)] \] где \( A = \frac{\pi}{12} + 2\alpha \) и \( B = \frac{5\pi}{12} - 2\alpha \). </li> <li>Используем формулу произведения косинусов: \[ \cos A \cos B = \frac{1}{2} [\cos (A + B) + \cos (A - B)] \] где \( A = \frac{\pi}{12} + 2\alpha \) и \( B = \frac{5\pi}{12} - 2\alpha \). </li> <li>Подставляем эти формулы в исходное выражение: \[ \sin\left( \frac{\pi}{12} + 2\alpha \right) \sin\left( \frac{5\pi}{12} - 2\alpha \right) - \cos\left( \frac{\pi}{12} + 2\alpha \right) \cos\left( \frac{5\pi}{12} - 2\alpha \right) \] \[ = \frac{1}{2} [\cos (\frac{\pi}{12} + 2\alpha - (\frac{5\pi}{12} - 2\alpha)) - \cos (\frac{\pi}{12} + 2\alpha + \frac{5\pi}{12} - 2\alpha)] \] \[ - \frac{1}{2} [\cos (\frac{\pi}{12} + 2\alpha + \frac{5\pi}{12} - 2\alpha) + \cos (\frac{\pi}{12} + 2\alpha - (\frac{5\pi}{12} - 2\alpha))] \] </li> <li>Упрощаем аргументы косинусов: \[ = \frac{1}{2} [\cos (-\frac{\pi}{3}) - \cos (\frac{\pi}{2})] - \frac{1}{2} [\cos (\frac{\pi}{2}) + \cos (-\frac{\pi}{3})] \] </li> <li>Используем свойства косинуса: \[ \cos (-\frac{\pi}{3}) = \cos (\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} \] \[ \cos (\frac{\pi}{2}) = 0 \] </li> <li>Подставляем значения косинусов: \[ = \frac{1}{2} [\frac{1}{2} - 0] - \frac{1}{2} [0 + \frac{1}{2}] \] \[ = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \] \[ = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = 0 \] </li> </ol> <p><strong>Ответ:</strong> 0</p>