№14097

Экзамены с этой задачей: Преобразования числовых тригонометрических выражений

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, Формулы сложения и их следствия, Формулы сложения,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Вычислите \(\frac{sin\frac{3\pi }{8}sin\frac{\pi }{8}-cos\frac{3\pi }{8}cos\frac{\pi }{8}}{tg\left ( \frac{\pi }{4}+\alpha \right )}\)

Ответ

0

Решение № 14095:

Для решения задачи \(\frac{\sin \frac{3\pi}{8} \sin \frac{\pi}{8} - \cos \frac{3\pi}{8} \cos \frac{\pi}{8}}{\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right)}\) пошагово, следуем этим этапам: <ol> <li>Используем формулу для произведения синусов и косинусов: \(\sin A \sin B - \cos A \cos B = -\cos(A + B)\) <br> Подставляем \(A = \frac{3\pi}{8}\) и \(B = \frac{\pi}{8}\): <br> \(\sin \frac{3\pi}{8} \sin \frac{\pi}{8} - \cos \frac{3\pi}{8} \cos \frac{\pi}{8} = -\cos\left(\frac{3\pi}{8} + \frac{\pi}{8}\right) = -\cos\left(\frac{4\pi}{8}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)\) </li> <li>Находим значение \(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)\): \(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0\) <br> Таким образом: \(\sin \frac{3\pi}{8} \sin \frac{\pi}{8} - \cos \frac{3\pi}{8} \cos \frac{\pi}{8} = -0 = 0\) </li> <li>Используем формулу для тангенса суммы углов: \(\operatorname{tg}(A + B) = \frac{\operatorname{tg} A + \operatorname{tg} B}{1 - \operatorname{tg} A \operatorname{tg} B}\) <br> Подставляем \(A = \frac{\pi}{4}\) и \(B = \alpha\): <br> \(\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \frac{\operatorname{tg} \frac{\pi}{4} + \operatorname{tg} \alpha}{1 - \operatorname{tg} \frac{\pi}{4} \operatorname{tg} \alpha}\) </li> <li>Находим значение \(\operatorname{tg} \frac{\pi}{4}\): \(\operatorname{tg} \frac{\pi}{4} = 1\) <br> Таким образом: \(\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \frac{1 + \operatorname{tg} \alpha}{1 - 1 \cdot \operatorname{tg} \alpha} = \frac{1 + \operatorname{tg} \alpha}{1 - \operatorname{tg} \alpha}\) </li> <li>Подставляем результаты в исходное выражение: \(\frac{\sin \frac{3\pi}{8} \sin \frac{\pi}{8} - \cos \frac{3\pi}{8} \cos \frac{\pi}{8}}{\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right)} = \frac{0}{\frac{1 + \operatorname{tg} \alpha}{1 - \operatorname{tg} \alpha}} = 0\) </li> </ol> <p><strong>Ответ:</strong> \( \boxed{0} \)</p>