№14096

Экзамены с этой задачей: Преобразования числовых тригонометрических выражений

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, Формулы сложения и их следствия, Формулы сложения,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Упростите \(sinleft ( \frac{\pi }{6}+\alpha \right )-cos\alpha -cos\left (\alpha -\frac{2\pi }{3} \right )\)

Ответ

0

Решение № 14094:

<ol> <li>Рассмотрим выражение \(\sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) - \cos\alpha - \cos\left(\alpha - \frac{2\pi}{3}\right)\).</li> <li>Используем формулу суммы углов для синуса: \(\sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) = \sin\frac{\pi}{6}\cos\alpha + \cos\frac{\pi}{6}\sin\alpha\).</li> <li>Подставляем значения \(\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}\) и \(\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}\): \(\sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) = \frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha\).</li> <li>Используем формулу разности углов для косинуса: \(\cos\left(\alpha - \frac{2\pi}{3}\right) = \cos\alpha\cos\frac{2\pi}{3} + \sin\alpha\sin\frac{2\pi}{3}\).</li> <li>Подставляем значения \(\cos\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}\) и \(\sin\frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}\): \(\cos\left(\alpha - \frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha\).</li> <li>Подставляем выражения в исходное выражение: \(\sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) - \cos\alpha - \cos\left(\alpha - \frac{2\pi}{3}\right) = \left(\frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha\right) - \cos\alpha - \left(-\frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha\right)\).</li> <li>Упрощаем выражение: \(\left(\frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha\right) - \cos\alpha - \left(-\frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha\right) = \frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha - \cos\alpha + \frac{1}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha\).</li> <li>Складываем подобные члены: \(\frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha - \cos\alpha + \frac{1}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha = \frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{1}{2}\cos\alpha - \cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha = 0\).</li> </ol> <p><strong>Ответ:</strong> \(0\)</p>