№14092

Экзамены с этой задачей: Преобразования числовых тригонометрических выражений

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, Формулы сложения и их следствия, Формулы сложения,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Вычислите \(-sin\left ( \frac{5\pi }{6}+3\alpha \right )cos\left ( \frac{\pi }{3}+3\alpha \right )+sin\left ( \frac{\pi }{3}+3\alpha \right )cos\left ( \frac{5\pi }{6}+3\alpha \right )\)

Ответ

-1

Решение № 14090:

Для решения задачи \(-sin\left ( \frac{5\pi }{6}+3\alpha \right )cos\left ( \frac{\pi }{3}+3\alpha \right )+sin\left ( \frac{\pi }{3}+3\alpha \right )cos\left ( \frac{5\pi }{6}+3\alpha \right )\) воспользуемся тригонометрическими тождествами. <ol> <li>Используем тождество для синуса разности углов: \(\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B\)</li> <li>Применяем это тождество к нашей задаче: \[ -\sin\left( \frac{5\pi}{6} + 3\alpha \right) \cos\left( \frac{\pi}{3} + 3\alpha \right) + \sin\left( \frac{\pi}{3} + 3\alpha \right) \cos\left( \frac{5\pi}{6} + 3\alpha \right) = \sin \left( \left( \frac{\pi}{3} + 3\alpha \right) - \left( \frac{5\pi}{6} + 3\alpha \right) \right) \]</li> <li>Упрощаем выражение внутри синуса: \[ \left( \frac{\pi}{3} + 3\alpha \right) - \left( \frac{5\pi}{6} + 3\alpha \right) = \frac{\pi}{3} - \frac{5\pi}{6} \]</li> <li>Вычисляем разность углов: \[ \frac{\pi}{3} - \frac{5\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} - \frac{5\pi}{6} = -\frac{3\pi}{6} = -\frac{\pi}{2} \]</li> <li>Подставляем результат обратно в синус: \[ \sin \left( -\frac{\pi}{2} \right) \]</li> <li>Используем значение синуса для специального угла: \[ \sin \left( -\frac{\pi}{2} \right) = -1 \]</li> </ol> <p><strong>Ответ:</strong> \(-1\)</p>