№14091

Экзамены с этой задачей: Преобразования числовых тригонометрических выражений

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, Формулы сложения и их следствия, Формулы сложения,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Вычислите \(cos\left ( \frac{7\pi }{8}+\alpha \right )cos\left ( \frac{2\pi }{5}+\alpha \right )+sin\left ( \frac{7\pi }{8}+\alpha \right )sin\left ( \frac{2\pi }{5}+\alpha \right )\)

Ответ

-1

Решение № 14089:

Конечно, давайте решим задачу пошагово: <ol> <li>Используем формулу для скалярного произведения синусов и косинусов: \[ \cos(A) \cos(B) + \sin(A) \sin(B) = \cos(A - B) \] </li> <li>Подставим \(A = \frac{7\pi}{8} + \alpha\) и \(B = \frac{2\pi}{5} + \alpha\): \[ \cos\left(\frac{7\pi}{8} + \alpha\right) \cos\left(\frac{2\pi}{5} + \alpha\right) + \sin\left(\frac{7\pi}{8} + \alpha\right) \sin\left(\frac{2\pi}{5} + \alpha\right) \] </li> <li>Используем формулу для разности углов: \[ \cos\left(\left(\frac{7\pi}{8} + \alpha\right) - \left(\frac{2\pi}{5} + \alpha\right)\right) = \cos\left(\frac{7\pi}{8} - \frac{2\pi}{5}\right) \] </li> <li>Вычисляем разность углов: \[ \frac{7\pi}{8} - \frac{2\pi}{5} = \frac{35\pi}{40} - \frac{16\pi}{40} = \frac{19\pi}{40} \] </li> <li>Таким образом, выражение упрощается до: \[ \cos\left(\frac{19\pi}{40}\right) \] </li> </ol> <p><strong>Ответ:</strong> \(\cos\left(\frac{19\pi}{40}\right)\)</p>