№14090

Экзамены с этой задачей: Преобразования числовых тригонометрических выражений

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, Формулы сложения и их следствия, Формулы сложения,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Вычислите \(cos\frac{8\pi }{7}cos\frac{\pi }{7}+sin\frac{8\pi }{7}sin\frac{\pi }{7}\)

Ответ

-1

Решение № 14088:

Чтобы вычислить выражение \( \cos\frac{8\pi}{7} \cos\frac{\pi}{7} + \sin\frac{8\pi}{7} \sin\frac{\pi}{7} \), воспользуемся формулой для косинуса разности двух углов. <ol> <li>Используем формулу для косинуса разности двух углов: \[ \cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B \] В нашем случае \( A = \frac{8\pi}{7} \) и \( B = \frac{\pi}{7} \). </li> <li>Подставляем значения углов в формулу: \[ \cos\left(\frac{8\pi}{7} - \frac{\pi}{7}\right) = \cos\left(\frac{8\pi}{7}\right) \cos\left(\frac{\pi}{7}\right) + \sin\left(\frac{8\pi}{7}\right) \sin\left(\frac{\pi}{7}\right) \] </li> <li>Вычисляем разность углов: \[ \frac{8\pi}{7} - \frac{\pi}{7} = \frac{8\pi - \pi}{7} = \frac{7\pi}{7} = \pi \] </li> <li>Находим значение косинуса от \(\pi\): \[ \cos(\pi) = -1 \] </li> <li>Таким образом, выражение принимает значение: \[ \cos\left(\frac{8\pi}{7} - \frac{\pi}{7}\right) = -1 \] </li> </ol> <p><strong>Ответ:</strong> \(-1\)</p>