№13759

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Предел последовательности, Теоремы о пределах,

Задача в следующих классах: 9 класс 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Докажите, что \(\left \{ x_{n} \right \}\) сходится, и найдите \(\lim_{n \to \propto} x_{n} : x_{1}=\sqrt{a}, x_{n+1}=\sqrt{a+x_{n}}\), где \(a> 0\)

Ответ

NaN

Решение № 13757:

Выясним сначала, чему может быть равен предел последовательности \(\left \{ x_{n} \right \}\). Пусть \(\lim_{n \to \propto} x_{n}=B, тогда B=\sqrt{B+a}, B^{2}-B-a=0 B=\frac{1+\sqrt{1+4a}}{2} (B> 0)\), так как \(\forall n\in N x_{n}> 0)\). Докажем по индукции, что \(\forall n\in N x_{n}< x_{n+1}< B\). База индукции очевидна. Индукционный переход. Докажем, что \(x_{k}< x_{k+1}< B\), если \(x_{k-1}< x_{k}< B\). Действительно, \(x_{k-1}< x_{k}< B\Leftrightarrow x_{k-1}< \sqrt{a+x_{k-1}}< B\), но в силу монотонности корня и того, что \(x_{k-1}< x_{k}\), выполняется \(\sqrt{a+x_{k-1}}< \sqrt{a+x_{k}=x_{k+1}}< B (так как x_{k}< B \sqrt{a+x_{k}}< \sqrt{a+B}=B)\). Мы доказали, что последовательность \(\left \{ x_{n} \right \}\\) возрастает и ограничена снизу и имеет предел, равный \(\frac{1+\sqrt{1+4a}}{2} \)