№13705
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Предел последовательности, Свойства бесконечно малых последовательностей, Бесконечно большие последовательности, Определение предела последовательности, Теоремы о пределах,
Задача в следующих классах: 9 класс 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Пратусевич М.Я.,Столбов К.М., Головин А.Н., Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учебн. Для общеобразовательных учреждений: профильный уровень.М.Просвещение, 2009. 415 с.: ил. ISBN 978-5-09-016552-5
Условие
Существует ли бесконечно малая последовательность \(\left \{ x_{n} \right \}\), удовлетворяющая условию: \(\forall n\in N 0 < x_{n}< x_{2_{n}}\)
Ответ
Нет
Решение № 13703:
По условию \(\forall n\in N\) выполнено \(x_{2_{n}}> x_{n}> 0\). Последовательно применяя это неравенство, получаем \(x_{2^{n}}> x_{1}> 0\), т. е. все члены последовательности с номерами, являющимися степенями двойки, будут больше \(x_{1}\). Таким образом, вне окрестности \(\left ( -x_{1}; x_{1} \right )\) окажется бесконечное множество членов последовательности.