№13701

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Предел последовательности, Свойства бесконечно малых последовательностей, Бесконечно большие последовательности, Определение предела последовательности, Теоремы о пределах,

Задача в следующих классах: 9 класс 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Пратусевич М.Я.,Столбов К.М., Головин А.Н., Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учебн. Для общеобразовательных учреждений: профильный уровень.М.Просвещение, 2009. 415 с.: ил. ISBN 978-5-09-016552-5

Условие

Пусть \(\lim_{n \to \propto} x_{n}=A, A\neq 0, \lim_{n \to \propto} y_{n}=\propto \left ( или +\propto ,-\propto \right )\). Докажите, что \(\lim_{n \to \propto} x_{n}y_{n}=\propto \)(соответственно \(+\propto , -\propto A> 0 \)и \(-\propto , +\propto\) при\( A< 0) \)

Ответ

NaN

Решение № 13699:

Если \(\lim_{n \to \propto} x_{n}=A\), то, начиная с некоторого номера, \(x_{n}> \frac{A}{2}> 0\).Возьмем E> 0. Тогда \(\exists k_{1}\in N: \forall n\geqslant k_{1}x_{n}> \frac{A}{2} \exists k_{2}\in N:\forall n\geqslant k_{2}\left | y_{n} \right |\). Выберем \(k*=max \left \{ k_{1}; k_{2} \right \}\), тогда \(\forall n\geqslant k*\left | x_{n}y_{n} \right |=\left | x_{n} \right |\left | y_{n} \right |> \frac{A}{2}\frac{2E}{A}=E\). В силу произвольного выбора E получим, что \(\lim_{n \to \propto} x_{n}y_{n}=\propto \)