№13699

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Предел последовательности, Свойства бесконечно малых последовательностей, Бесконечно большие последовательности, Определение предела последовательности, Теоремы о пределах,

Задача в следующих классах: 9 класс 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Пратусевич М.Я.,Столбов К.М., Головин А.Н., Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учебн. Для общеобразовательных учреждений: профильный уровень.М.Просвещение, 2009. 415 с.: ил. ISBN 978-5-09-016552-5

Условие

Докажите, что сумма двух бесконечно больших последовательностей одного знака есть бесконечно большая последовательность.

Ответ

NaN

Решение № 13697:

Пусть \(\lim_{n \to \propto} x_{n}=\lim_{n \to \propto} y_{n}=+\propto.\) По определению это означает, что\(\forall \varepsilon > 0 \exists K_{1}\in N: \forall n\geqslant K_{1}x_{n}> \frac{\varepsilon }{2} \forall \varepsilon > 0 \exists K_{2}\in N: \forall n\geqslant K_{2} y_{n}> \frac{\varepsilon }{2}\). Выберем \(K=max \left \{ K_{1}; K_{2} \right \}\), тогда \(\forall \varepsilon > 0 \exists K\in N: \forall n\geqslant K x_{n}+y_{n}> \varepsilon \), что и доказывает утверждение.