№13682

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Предел последовательности, Определение предела последовательности,

Задача в следующих классах: 9 класс 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Пратусевич М.Я.,Столбов К.М., Головин А.Н., Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учебн. Для общеобразовательных учреждений: профильный уровень.М.Просвещение, 2009. 415 с.: ил. ISBN 978-5-09-016552-5

Условие

Пусть последовательность \(\left \{ a_{n} \right \}\) положительных чисел такова, что последовательность \(\left \{ n^{2}*a_{n}*a_{n+1} \right \}\) сходитcя. Какие из последовательностей обязательно сходятся (если необязательно сходятся, приведите примеры, если обязательно сходятся, приведите доказательство) \(\left \{ n*a_{n} \right \} \)

Ответ

Необязательно сходится

Решение № 13680:

Пусть \(a_{n}=\frac{1}{n}\), тогда последовательность \(\left \{ a_{n} \right \}\) сходится, а если \(a_{n}=\left\{\begin{matrix}1, n=2k-1 \\ \frac{1}{n^{2}}, n=2k \end{matrix}\right.\), то последовательность \(\left \{ a_{n} \right \}\) расходится.