№13669

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Предел последовательности, Определение предела последовательности,

Задача в следующих классах: 9 класс 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Докажите, используя определение предела. \(\lim_{n \to \propto} \frac{n}{2n+1}=\frac{1}{2} \)

Ответ

NaN

Решение № 13667:

\( \lim n \to \frac{n}{2n+1}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0 \exists N_{\varepsilon }\in N: \forall n\geqslant N_{\varepsilon }\left | \frac{n}{2n+1}-\frac{1}{2} \right |< \varepsilon\) . Рассмотрим неравенство \(\left | \frac{n}{2n+1} -\frac{1}{2}\right |< \varepsilon \Leftrightarrow \frac{1}{4n+2}< \varepsilon \Leftrightarrow n> \frac{1}{4\varepsilon }-\frac{1}{2}\), т.е. в качестве \(N_{\varepsilon }\) можно взять \( N_{\varepsilon }=\left [ \frac{1}{4\varepsilon }-\frac{1}{2} \right ]+1. \)