№13640

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Предел последовательности,

Задача в следующих классах: 9 класс 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Пратусевич М.Я.,Столбов К.М., Головин А.Н., Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учебн. Для общеобразовательных учреждений: профильный уровень.М.Просвещение, 2009. 415 с.: ил. ISBN 978-5-09-016552-5

Условие

Определите, является ли последовательность ограниченной сверху, ограниченной снизу, ограниченной: \(x^{n}=\frac{2n^{2}-1}{n+1} \)

Ответ

NaN

Решение № 13638:

\( x^{n}=\frac{2n^{2}-1}{n+1}=2n-2+\frac{1}{n+1}\). Покажем, что последовательность \(\left \{ x_{n} \right \} \)не ограничена сверху, т.е.\( \forall M> 0 \exists n_{0}\in N: \forall n\geqslant n_{0} 2n-2+\frac{1}{n+1}> M\). Действительно, возьмем произвольное \(M> 0\). Тогда неравенство \(2n-2> M\) влечет за собой \(x_{n}> M\). Значит, в качестве \(n_{0}\) можно взять \(n_{0}=\left [ \frac{M+2}{2} \right ] \forall n\in N x_{n}> 0\), откуда следует, что последовательность ограничена снизу.