№13418

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Техника дифференцирования, Производные тригонометрических функций,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти производные\(f(x)=ctg2x\)

Ответ

\(f^{'}(x)=-\frac{2}{sin^{2}2x}\)

Решение № 13416:

Для нахождения производной функции \( f(x) = \operatorname{ctg}(2x) \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Вспомнить, что \( \operatorname{ctg}(u) = \frac{\cos(u)}{\sin(u)} \). В данном случае \( u = 2x \). </li> <li> Применить правило дифференцирования композиции функций (правило цепочки): \[ f(x) = \operatorname{ctg}(2x) = \frac{\cos(2x)}{\sin(2x)} \] </li> <li> Найти производную \( \operatorname{ctg}(u) \) относительно \( u \): \[ \frac{d}{du} \left( \operatorname{ctg}(u) \right) = -\frac{1}{\sin^2(u)} \] </li> <li> Применить правило цепочки для нахождения производной \( \operatorname{ctg}(2x) \) относительно \( x \): \[ \frac{d}{dx} \left( \operatorname{ctg}(2x) \right) = \frac{d}{du} \left( \operatorname{ctg}(u) \right) \cdot \frac{du}{dx} \] </li> <li> Подставить \( u = 2x \) и \( \frac{du}{dx} = 2 \): \[ \frac{d}{dx} \left( \operatorname{ctg}(2x) \right) = -\frac{1}{\sin^2(2x)} \cdot 2 \] </li> <li> Упростить выражение: \[ \frac{d}{dx} \left( \operatorname{ctg}(2x) \right) = -\frac{2}{\sin^2(2x)} \] </li> </ol> Ответ: <br> Производная функции \( f(x) = \operatorname{ctg}(2x) \): \[ f'(x) = -\frac{2}{\sin^2(2x)} \]