№11197

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Арифметика, Дробные числа, Текстовые задачи, Текстовые арифметические задачи с использованием дробей, Задачи на среднюю скорость,

Задача в следующих классах: 5 класс 6 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Метрострой нанял двух кротов для рытья туннеля. Один из них копает быстрее другого, а едят они одинаково. Что выгоднее (в смысле затрат продуктов): копать с двух сторон до встречи или копать каждому половину туннеля?

Ответ

копать с двух сторон до встречи

Решение № 11195:

Для решения задачи о том, что выгоднее в смысле затрат продуктов: копать с двух сторон до встречи или копать каждому половину туннеля, выполним следующие шаги: <ol> <li>Обозначим длину туннеля как \(L\).</li> <li>Пусть \(v_1\) — скорость копания первого крота, а \(v_2\) — скорость копания второго крота. Без ограничения общности считаем, что \(v_1 > v_2\).</li> <li>Обозначим \(t_1\) и \(t_2\) как время, затраченное первым и вторым кротом соответственно на копание своих частей туннеля.</li> <li>Пусть \(c\) — количество еды, потребляемой каждым кротом за единицу времени.</li> </ol> <h3>Сценарий 1: Копать с двух сторон до встречи</h3> <ol> <li>Пусть кроты встречаются в точке \(M\), которая делит туннель на две части длиной \(x\) и \(L - x\).</li> <li>Время, затраченное первым кротом на копание части туннеля длиной \(x\), равно \(t_1 = \frac{x}{v_1}\).</li> <li>Время, затраченное вторым кротом на копание части туннеля длиной \(L - x\), равно \(t_2 = \frac{L - x}{v_2}\).</li> <li>Поскольку кроты встречаются в точке \(M\), время \(t_1\) и \(t_2\) должно быть одинаковым, то есть: \[ \frac{x}{v_1} = \frac{L - x}{v_2} \] </li> <li>Решим это уравнение для \(x\): \[ x = \frac{L v_1}{v_1 + v_2} \] </li> <li>Теперь найдем общее время \(t\), затраченное на копание туннеля: \[ t = \frac{x}{v_1} = \frac{\frac{L v_1}{v_1 + v_2}}{v_1} = \frac{L}{v_1 + v_2} \] </li> <li>Общее количество еды, потребленной обоими кротами, равно: \[ \text{Общее количество еды} = 2ct = 2c \cdot \frac{L}{v_1 + v_2} \] </li> </ol> <h3>Сценарий 2: Копать каждому половину туннеля</h3> <ol> <li>Первый крот копает половину туннеля длиной \(\frac{L}{2}\) со скоростью \(v_1\), затрачивая время \(t_1 = \frac{\frac{L}{2}}{v_1} = \frac{L}{2v_1}\).</li> <li>Второй крот копает половину туннеля длиной \(\frac{L}{2}\) со скоростью \(v_2\), затрачивая время \(t_2 = \frac{\frac{L}{2}}{v_2} = \frac{L}{2v_2}\).</li> <li>Общее количество еды, потребленной обоими кротами, равно: \[ \text{Общее количество еды} = c \left( \frac{L}{2v_1} + \frac{L}{2v_2} \right) = c \cdot \frac{L}{2} \left( \frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2} \right) \] </li> </ol> <h3>Сравнение двух сценариев</h3> <ol> <li>Для первого сценария количество еды равно: \[ 2c \cdot \frac{L}{v_1 + v_2} \] </li> <li>Для второго сценария количество еды равно: \[ c \cdot \frac{L}{2} \left( \frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2} \right) \] </li> <li>Сравним эти два выражения: \[ 2c \cdot \frac{L}{v_1 + v_2} \quad \text{и} \quad c \cdot \frac{L}{2} \left( \frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2} \right) \] </li> <li>Для сравнения удобно привести выражения к общему знаменателю: \[ 2c \cdot \frac{L}{v_1 + v_2} \quad \text{и} \quad c \cdot \frac{L}{2} \left( \frac{v_1 + v_2}{v_1 v_2} \right) \] </li> <li>Теперь сравним: \[ 2c \cdot \frac{L}{v_1 + v_2} \quad \text{и} \quad c \cdot \frac{L (v_1 + v_2)}{2 v_1 v_2} \] </li> <li>Поскольку \(v_1 > v_2\), ясно, что: \[ \frac{2}{v_1 + v_2} < \frac{v_1 + v_2}{2 v_1 v_2} \] </li> <li>Следовательно, первый сценарий (копать с двух сторон до встречи) требует меньше еды.</li> </ol> Таким образом, выгоднее копать с двух сторон до встречи. Ответ: Копать с двух сторон до встречи.