№1035

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Арифметика, Дробные числа, Текстовые задачи, Текстовые арифметические задачи с использованием дробей, Задачи на среднюю скорость,

Задача в следующих классах: 5 класс 6 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Путешественник вышел из гостиницы в 3 часа дня и возвратился в 9 часов вечера по тому же маршруту. Известно, что по ровным участкам он шёл со скоростью 4 км/ч, в гору − 3 км/ч, под гору − 6 км/ч. Найдите расстояние, которое прошёл путешественник, если известно, что он нигде не останавливался.

Ответ

24

Решение № 1035:

Для решения задачи о путешественнике, который вышел из гостиницы в 3 часа дня и вернулся в 9 часов вечера, выполним следующие шаги: <ol> <li>Определим общее время путешествия: \[ \text{Время путешествия} = 9 \text{ часов вечера} - 3 \text{ часа дня} = 6 \text{ часов} \] </li> <li>Запишем скорости путешественника на разных участках: \[ v_1 = 4 \text{ км/ч} \quad \text{(по ровным участкам)} \] \[ v_2 = 3 \text{ км/ч} \quad \text{(в гору)} \] \[ v_3 = 6 \text{ км/ч} \quad \text{(под гору)} \] </li> <li>Обозначим расстояния, которые прошел путешественник: \[ d_1 = \text{расстояние по ровным участкам} \] \[ d_2 = \text{расстояние в гору} \] \[ d_3 = \text{расстояние под гору} \] </li> <li>Запишем уравнения времени для каждого участка: \[ t_1 = \frac{d_1}{v_1} = \frac{d_1}{4} \] \[ t_2 = \frac{d_2}{v_2} = \frac{d_2}{3} \] \[ t_3 = \frac{d_3}{v_3} = \frac{d_3}{6} \] </li> <li>Сумма времен на всех участках равна общему времени путешествия: \[ t_1 + t_2 + t_3 = 6 \text{ часов} \] </li> <li>Подставим выражения для времен: \[ \frac{d_1}{4} + \frac{d_2}{3} + \frac{d_3}{6} = 6 \] </li> <li>Учитывая, что путешественник прошел каждый участок дважды (туда и обратно), запишем уравнение для суммы расстояний: \[ d_1 + d_2 + d_3 = d \] </li> <li>Учитывая, что расстояния в гору и под гору равны, запишем: \[ d_2 = d_3 \] </li> <li>Подставим \(d_2 = d_3\) в уравнение суммы расстояний: \[ d_1 + 2d_2 = d \] </li> <li>Подставим \(d_2 = d_3\) в уравнение времени: \[ \frac{d_1}{4} + \frac{d_2}{3} + \frac{d_2}{6} = 6 \] </li> <li>Найдем общее значение для \(\frac{d_2}{3} + \frac{d_2}{6}\): \[ \frac{d_2}{3} + \frac{d_2}{6} = \frac{2d_2}{6} + \frac{d_2}{6} = \frac{3d_2}{6} = \frac{d_2}{2} \] </li> <li>Подставим это значение в уравнение времени: \[ \frac{d_1}{4} + \frac{d_2}{2} = 6 \] </li> <li>Умножим все уравнение на 4, чтобы избавиться от знаменателей: \[ d_1 + 2d_2 = 24 \] </li> <li>Таким образом, суммарное расстояние \(d\), которое прошел путешественник, равно: \[ d = 24 \text{ км} \] </li> </ol> Ответ: 24 км