Задачи

Фильтрация

Показать фильтрацию

По классам:

По предметам:

По подготовке:

По классам:

По авторам:

Найдите (угадайте), к какому числу сходится поледовательность, и докажите, что это число действительно предел последовательности по определению: \(\frac{1}{2};\frac{2}{3}; \frac{3}{4}; \frac{2}{3}; \frac{3}{4}; \frac{4}{5}; \frac{3}{4}; \frac{4}{5}; \frac{5}{6}; ... ;\)

Решение №13674: 1

Ответ: 1

Найдите (угадайте), к какому числу сходится поледовательность, и докажите, что это число действительно предел последовательности по определению: \( x_{n}=sign\left ( n^{2}-5n-7 \right ) \)

Решение №13675: 1. При n> 6 выполнено неравенство \(n^{2}-5n-7> 0\), откуда при n> 6 будет выполняться \(x_{n}=1\)

Ответ: 1

Постройте отрицание утверждения: последовательность \(\left \{ x_{n} \right \} сходится.\)

Решение №13677: Сходимость последовательности \(\left \{ x_{n} \right \} \)означает существование какого-либо ее предела. Значит, отрицание утврждения "последовательность \(\left \{ x_{n} \right \}\) "сходится" выглядит так: \(\forall a\exists \varepsilon > 0:\forall N_{\varepsilon }\in N \exists n\geqslant N_{\varepsilon }:\left | x_{n}-a \right |\geqslant \varepsilon \)

Ответ: NaN

Докажите, что если последовательность \(\)\left \{ x_{n} \right \} сходится к числу A и последовательность \(\left \{ y_{n} \right \}\) получена перестановкой членов последовательности \(\left \{ x_{n} \right \}\), то и последовательность \(\left \{ y_{n} \right \}\) сходится к числу A.

Решение №13679: Ясно, что для любой окрестности числа A вне этой окрестности находится конечное число членов последовательности или их нет вовсе. Значит, и конечно число членов последовательности \(\left \{ y_{n_{k}} \right \}\), полученных перестановкой членов последовательности \(\left \{ x_{n} \right \} \)

Ответ: NaN

Пусть последовательность \(\left \{ a_{n} \right \}\) положительных чисел такова, что последовательность \(\left \{ n^{2}*a_{n}*a_{n+1} \right \}\) сходитcя. Какие из последовательностей обязательно сходятся (если необязательно сходятся, приведите примеры, если обязательно сходятся, приведите доказательство) \(\left \{ n*a_{n} \right \} \)

Решение №13680: Пусть \(a_{n}=\frac{1}{n}\), тогда последовательность \(\left \{ a_{n} \right \}\) сходится, а если \(a_{n}=\left\{\begin{matrix}1, n=2k-1 \\ \frac{1}{n^{2}}, n=2k \end{matrix}\right.\), то последовательность \(\left \{ a_{n} \right \}\) расходится.

Ответ: Необязательно сходится

Верно ли, что \(\lim n_{\to \propto} x_{n}=+\propto\), если последовательность \(\left \{ x_{n} \right \}\) содержит все натуральные числа?

Решение №13682: Например, \(x_{n}=\left\{\begin{matrix}0, n=2k, \\ \frac{n+1}{2}, n=2k-1. \end{matrix}\right. \)

Ответ: Нет

Верно ли, что \(\lim_{n \to \propto} x_{n}=+\propto\), если все члены последовательности \(\left \{ x_{n} \right \}\) - различные натуральные числа?

Решение №13684: Рассмотрим произвольное число Е > 0. Существует лишь конечное число натуральных чисел, меньших Е, а значит, лишь конечное число членов ,\(x_{n^{1}} x_{n^{2}},....x_{n^{k}}\) последовательности, меньших Е (каждое натуральное число может встретиться в последовательности не более одного раза). Это означает, что, начиная с некоторого номера (большего n_{k}), все члены последовательности будут больше Е. Следовательно, по определению \(\lim_{n \to \propto }x_{n}=+\propto. \)

Ответ: Да

Докажите, что, для того чтобы последовательность \(\left \{ x_{n} \right \}\) была бесконечно большой, необходимо и достаточно, чтобы последовательность \(\left \{ \left | x_{n} \right | \right \}\) была бесконечно малой.

Решение №13685: Пусть \(\left \{ x_{n} \right \}\) - бесконечно малая последовательность. Тогда \(\forall \varepsilon > 0 \exists N_{\varepsilon }\in N: \forall n\geqslant N_{\varepsilon }\left | x_{n} \right |< \varepsilon \), но \(\left | x_{n} \right |< \varepsilon \Leftrightarrow \left \| x_{n} \right \|< \varepsilon \), что и доказывает требуемое

Ответ: NaN

Приведите примеры таких бесконечно малых последовательностей \(\left \{ x_{n} \right \}\) и бесконечно больших последовательностей \(\left \{ y_{n} \right \}\), что \(\lim_{n \to \propto} \left ( x_{n}*y_{n} \right )=0 \)

Решение №13686: \( x_{n}=\frac{1}{n^{2}}; y_{n}=n. \)

Ответ: NaN

Приведите примеры таких бесконечно малых последовательностей\( \left \{ x_{n} \right \}\) и бесконечно больших последовательностей \(\left \{ y_{n} \right \}\), что \(\lim_{n \to \propto} \left ( x_{n}*y_{n} \right )=+\propto \)

Решение №13688: \( x_{n}=\frac{1}{n}; y_{n}=n^{2} \)

Ответ: NaN

Приведите примеры таких бесконечно больших последовательностей \(\left \{ x_{n} \right \} и \left \{ y_{n} \right \}\), что \(\lim_{n \to \propto} \frac{x_{n}}{y_{n}}=0\)

Решение №13690: \( x_{n}=n; y_{n}=n^{3}\)

Ответ: NaN

Приведите примеры таких бесконечно больших последовательностей \(\left \{ x_{n} \right \} и \left \{ y_{n} \right \}\), что \(\lim_{n \to \propto} \frac{x_{n}}{y_{n}}=+\propto \)

Решение №13692: \( x_{n}=n^{3}; y_{n}=n \)

Ответ: NaN

Приведите примеры таких бесконечно больших последовательностей \(\left \{ x_{n} \right \} и \left \{ y_{n} \right \}\), что \(\lim_{n \to \propto} \left ( x_{n}+y_{n} \right )=0\)

Решение №13694: \( x_{n}=\sqrt{n^{2}+1}; y_{n}=-n. \)

Ответ: NaN

Докажите, что сумма двух бесконечно больших последовательностей одного знака есть бесконечно большая последовательность.

Решение №13697: Пусть \(\lim_{n \to \propto} x_{n}=\lim_{n \to \propto} y_{n}=+\propto.\) По определению это означает, что\(\forall \varepsilon > 0 \exists K_{1}\in N: \forall n\geqslant K_{1}x_{n}> \frac{\varepsilon }{2} \forall \varepsilon > 0 \exists K_{2}\in N: \forall n\geqslant K_{2} y_{n}> \frac{\varepsilon }{2}\). Выберем \(K=max \left \{ K_{1}; K_{2} \right \}\), тогда \(\forall \varepsilon > 0 \exists K\in N: \forall n\geqslant K x_{n}+y_{n}> \varepsilon \), что и доказывает утверждение.

Ответ: NaN

Докажите, что произведение двух бесконечно больших последовательностей есть бесконечно большая последовательность (рассмотрите различные сочетания знаков бесконечностей).

Решение №13698: Рассмотрим, например, случай, когда \(\lim_{n \to \propto} y_{n}=-\propto \lim_{n \to \propto} x_{n}=+\propto\). Тогда \(\forall \varepsilon > 0 \exists K_{2}\in N: \forall n\geqslant K_{2} y_{n} < -\varepsilon < -\sqrt{\varepsilon }(-y_{n}> \sqrt{\varepsilon }) \forall \varepsilon > 1 \exists K_{1}\in N:\forall n\geqslant K_{1} x_{n}> \varepsilon > \sqrt{\varepsilon }\). Выберем \(K=max \left \{ K_{1}; K_{2} \right \}\), тогда \(\forall \varepsilon > 1 \exists K\in N: \forall n\geqslant K -x_{n}y_{n}> \varepsilon \),а значит, \(x_{n}y_{n}< -\varepsilon\). Таким образом, последовательность \(\left \{ x_{n}y_{n} \right \}\) бесконечно большая.

Ответ: NaN

Пусть \(\lim_{n \to \propto} x_{n}=A, A\neq 0, \lim_{n \to \propto} y_{n}=\propto \left ( или +\propto ,-\propto \right )\). Докажите, что \(\lim_{n \to \propto} x_{n}y_{n}=\propto \)(соответственно \(+\propto , -\propto A> 0 \)и \(-\propto , +\propto\) при\( A< 0) \)

Решение №13699: Если \(\lim_{n \to \propto} x_{n}=A\), то, начиная с некоторого номера, \(x_{n}> \frac{A}{2}> 0\).Возьмем E> 0. Тогда \(\exists k_{1}\in N: \forall n\geqslant k_{1}x_{n}> \frac{A}{2} \exists k_{2}\in N:\forall n\geqslant k_{2}\left | y_{n} \right |\). Выберем \(k*=max \left \{ k_{1}; k_{2} \right \}\), тогда \(\forall n\geqslant k*\left | x_{n}y_{n} \right |=\left | x_{n} \right |\left | y_{n} \right |> \frac{A}{2}\frac{2E}{A}=E\). В силу произвольного выбора E получим, что \(\lim_{n \to \propto} x_{n}y_{n}=\propto \)

Ответ: NaN

Пусть \( \lim_{n \to \propto} x_{n}=\propto\). Верно ли, что \(\left \{ y_{n} \right \} \lim_{n \to \propto} x_{n}y_{n}=\propto \)

Решение №13700: \Нет, например \(y_{n}=\frac{1}{n^{2}} x_{n}=n\)

Ответ: NaN

Существует ли бесконечно малая последовательность \(\left \{ x_{n} \right \}\), удовлетворяющая условию: \(\forall n\in N 0 < x_{n}< x_{2_{n}}\)

Решение №13703: По условию \(\forall n\in N\) выполнено \(x_{2_{n}}> x_{n}> 0\). Последовательно применяя это неравенство, получаем \(x_{2^{n}}> x_{1}> 0\), т. е. все члены последовательности с номерами, являющимися степенями двойки, будут больше \(x_{1}\). Таким образом, вне окрестности \(\left ( -x_{1}; x_{1} \right )\) окажется бесконечное множество членов последовательности.

Ответ: Нет

Приведите примеры таких бесконечно малых последовательностей \(\left \{ x_{n} \right \} \)и \(\left \{ y_{n} \right \}\), что \(\lim_{n \to \propto} \frac{x_{n}}{y_{n}}=0 \)

Решение №13704: \( x_{n}=\frac{1}{n^{2}}, y_{n}=n. \)

Ответ: NaN

Приведите примеры таких бесконечно малых последовательностей \(\left \{ x_{n} \right \} и \left \{ y_{n} \right \}\), что \(\lim_{ n \to \propto} \frac{x_{n}}{y_{n}}=+\propto \)

Решение №13706: \( x_{n}=\frac{1}{2}, y_{n}=\frac{1}{n^{2}} \)

Ответ: NaN

Пусть \(\lim_{n \to \propto} x_{n}y_{n}=0\). Следует ли отсюда, что: \(\lim_{n \to \propto} x_{n}=\lim_{n \to \propto} y_{n}=0 \)

Решение №13708: Нет, например \(x_{n}=\frac{1}{n^{2}}, y_{n}=\frac{1}{n} \)

Ответ: NaN

Докажите, что из существования пределов \(\lim_{n \to \propto} \left ( \frac{x_{n}}{y_{n}} \right )\) и \(\lim_{n \to \propto }x_{n}\) не следует существования\( \lim_{n \to \propto} y_{n}\). Какое условие нужно добавить , чтобы существовал \(\lim_{n \to \propto} y_{n} \)

Решение №13711: \( x_{n}=\frac{1}{n^{2}}; y_{n}=n \lim_{n \to \propto} \frac{x_{n}}{y_{n}}\neq 0 \)- условия для сходимости \(\left \{ y_{n} \right \}\)

Ответ: NaN

Приведите примеры расходящихся последовательностей \(\left \{ x_{n} \right \} и \left \{ y_{n} \right \}\), для которых сходится последовательность \(\left \{ x_{n}y_{n} \right \} \)

Решение №13714: \( x_{n}=\left ( \left ( -1 \right )^{n} +1\right ) \)

Ответ: NaN

Покажите, что из существования предела суммы двух последовательностей\( \lim_{n \to \propto} \left ( x_{n}+y_{n} \right )\) не ледует существования хотя бы одного из пределов \(\lim_{n \to \propto} x_{n} \)или \(\lim_{n \to \propto} y_{n}\) (приведите соответствующие примеры) \)

Решение №13715: Например, \(\lim_{n \to \propto} \left ( \frac{2n^{2}+n}{3n-1} +\frac{6n^{3}+1}{1-9n^{2}}\right )=\frac{5}{9}\), но последовательности \(\left \{ x_{n} \right \} и \left \{ y_{n} \right \}\) для которых \(x_{n}=\frac{2n^{2}+n}{3n-1}\) и \(y_{n}=\frac{6n^{3}+1}{1-9n^{2}}\), расходятся.

Ответ: NaN

Докажите, что из одновременного существования \( \lim_{n \to \propto} \left ( x_{n}+y_{n} \right )\) и \(\lim_{n \to \propto} x_{n}\) следует существование предела\( \lim_{n \to \propto} y_{n}.\)

Решение №13716: \( \lim_{n \to \propto} \left ( x_{n}+y_{n} \right )-\lim_{n \to \propto} x_{n}=\lim_{n \to \propto} \left ( x_{n}+y_{n}-x_{n} \right )=\lim_{n \to \propto} y_{n} \)

Ответ: NaN

Последовательность \( \left \{ x_{n} \right \}\) сходится , а последовательность \(\left \{ y_{n} \right \}\) расходится. Докажите, что при \(b\neq 0\) последовательность \(\left \{ ax_{n}+bx_{n} \right \}\) расходится.

Решение №13717: Пусть существует \(\lim_{n \to \propto} \left ( ax_{n}+bx_{n} \right ) \), тогда так как \(\exists \lim_{n \to \propto} x_{n}, \exists \lim_{n \to \propto} ax_{n}\). Рассмотрим \(\lim_{n \to \propto} \left ( ax_{n}+bx_{n} \right ) - \lim_{n \to \propto} \left ( ax_{n} \right )=\lim_{n \to \propto} by_{n}=b\lim n \to \propto y_{n}\), следовательно, последовательность \(\left \{ y_{n} \right \} \)сходится, что противоречит условию.

Ответ: NaN

Пусть \(\left \{ x_{n} \right \} и \left \{ y_{n} \right \}\) - бесконечно большие последовательности одного знака. Докажите, что тогда \(\left \{ x_{n}+y_{n} \right \} \)- бесконечно большаая последовательность того же знака. \)

Решение №13719: а) -1; б)\( \frac{1}{2}; в) 0; г) -\frac{1}{2}\)

Ответ: NaN

Известно, что \(\forall n\in N x_{n}\neq 1\) и \(\lim_{n \to \propto} x_{n}=1\). Найдите \(\lim_{n \to \propto} y_{n}\), если: \(y_{n}=\frac{2x_{n}-1}{x_{n}-2} \)

Решение №13720: 5 ;\(\frac{3}{5}\)

Ответ: NaN

Известно, что \(\forall n\in N x_{n}\neq 1\) и \(\lim_{n \to \propto} x_{n}=1\). Найдите \( \lim_{n \to \propto} y_{n}\), если: \(y_{n}=\frac{x_{n}^{2}-3x_{n}+2}{x_{n}^{2}-1}\)

Решение №13724: 1;

Ответ: NaN

Найдите \(\lim_{n \to \propto} x_{n}\), если \(x_{n}=\frac{9+\frac{n}{n+1}}{2+\frac{1}{n}} \)

Решение №13725: \( \frac{\left ( -1 \right )^{n}+\frac{1}{n}}{\frac{1}{n^{2}}-\left ( -1 \right )^{n}}=\frac{1+\frac{\left ( -1 \right )^{n}}{n}}{\frac{\left ( -1 \right )^{n}}{n^{2}}-1} \)

Ответ: -1