Решение №16725: Запишите данное равенство в виде \((y+2+x)(y+2-x)=-4\) и воспользуйтесь тем, что \((y+2+x)\) и \(y+2-x\) либо оба четны, либо оба нечетны

Ответ: (2, -2), (-2, -2)

Решение №16726: Запишите данное равенство в виде \((x+1+y)(x+1-y)=7\)

Ответ: (3, ±3), (-5, ±3)

Решение №16727: Умножьте данное выражение в виде на \(3-1\) и воспользуйтесь тем, что \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\)

Ответ: нет ответа

Решение №16728: Воспользуйтесь тем, что \(2^{20}-1=(2^{10}-1)(2^{10}+1)\) и \(2^{10}+1=1025\)

Ответ: нет ответа

Решение №16729: Из формулы квадрата разности следует, что \(a^2+-ab+b^2=(a-b)^2+11ab\). Поэтому число \((a-b)^2\) делится на \(11\). Число \(11\) простое, поэтому число \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) тоже делится на \(11\)

Ответ: нет ответа

Решение №16730: Из равенств $(n-3)(n+3)=n^2-9=2^m-2$ следует, что числа \(n+3\) и \(n-3\) четные. Поэтому число \(2^m-2\) делится на \(4\). Но при \(m>1\) это число не делится на \(4\)

Ответ: m=1, n=3

Решение №16731: Воспользуйтесь тем, что $2=(x^4+1)-(x^4-1)=(x^4+1)-(x+1)(x-1)(x^2-1)$

Ответ: c=1/2 и P(x)=-1/2(x³ -x² -x+1)

Решение №16732: Произведение чисел \(n-1, n, n+1\) и \(n+2\) равно $(n^2+n)(n^2+n-2)=(N+1)(N-1)$, где \(N=n^2+n-1\)

Ответ: нет ответа

Решение №16733: Сначала докажите, что \(n-1)^3+n^3+(n+1)^3=3n(n^2+2)\)). Затем воспользуйтесь задачей \(4.33\)

Ответ: нет ответа

Решение №16734: нет указаний

Ответ: 9b(a² -ab+b²)

Решение №16735: Сначала воспользовавшись задачей \(6.14\), докажите, что $(x^3+y^3)^3-(x^3-2y^3)^3=9y^3(x^6-x^3y^3+y^6). Затем докажите, что $x^3-(x\frac{x^3-2y^3}{x^3+y^3})^3=\frac{9x^3y^3(x^6-x^3y^3+y^6)}{(x^3+y^3)^3}= y^3-(y\frac{y^3-2x^3}{x^3+y^3})^3

Ответ: нет ответа

Решение №16736: Разность \(Р(а)-Р(b)\) представляет собой сумму выражений вида \(m(a^k-b^k)\) с целыми коэффициентами \( m\). Число \(a^k-b^k\) делится на \(a-b\)

Ответ: нет ответа

Решение №16737: Воспользуйтесь задачей \(6.16\) и тем, что \(Р(14)-Р(6)=9-5=4\) не делится на \(14-6=8\)

Ответ: нет ответа

Решение №16738: Число \(7^{2n}-4^{2n}=(7^2)^n-(4^2)^n\) делится на \(7^2-4^2=33\) для любого \( n\)

Ответ: нет ответа

Решение №16739: Воспользуйтесь равенством $11^{10}-1=(11-1)(11^9+11^8+\ldots+11+1)$; во второй скобке стоит сумма десяти чисел, оканчивающихся на \(1\)

Ответ: нет ответа

Решение №16740: Воспользуйтесь тем, что \(2^{1000}-1=(2^{20})^{50}-1\) и \(20^{20}-1\) делится на \(25\) согласно задаче \(6.8\)

Ответ: нет ответа

Решение №16741: Число \(10^{6n+r}-10^r=10^r(10^{6n}-1)\) делится на $10^6-1=999999=7\cdot142857$

Ответ: нет ответа

Решение №16742: Запишем исходное число\( а\) в виде \(А=10a+b\) и переставим последнюю цифру \(b\) в начало. В результате получим число \(B=10^{6n-1}b+a\). Число \(10B-A=(10^{6n}-1)^b делится на \(10^6-1=999\cdot1001=999\cdot143\cdot7\), поэтому оно делится на \(7\). Следовательно, число \(b\) тоже делится на \(7\)

Ответ: нет ответа

Решение №16743: Пусть \(2^{2n}-2=mn\), где число \( m\) целое. Тогда $2^{2^n-1}-2=2(2^{mn}-1)$, число \(2^{mn}-1\) делится на \(2^n-1\)

Ответ: нет ответа

Решение №16744: Воспользуйтесь тем, что $\frac{n^{n-1}-1}{n-1}=n^{n-2}+n^{n-3}+\ldots+n+1$ и каждое из \(n-1\) чисел \(1, n, \ldots, n^{n-3}, n^{n-2}$ при делении на \(n-1\) дает остаток \(1\)

Ответ: нет ответа

Решение №16745: При нечетном \( n\) выполняются равенства \(x+y)(x^{n-1}+(-1)x^{n-2}y+\ldots+(-1)^{k-1}x^{n-k}y^{k-1}+\ldots+(-1)^{n-1}y^{n-1}=x^n+(-x^{n-1}y+x^{n-1}y)+(x^{n-2}y^2-x^{n-2}y^2)+\ldots+(xy^{n-1}-xy^{n-1})+y^n=x^n+y^n

Ответ: x^(n-2)y-x^(n-2)y+x^(n-3)y² -…-xy^(n-2)+y^(n-1)

Решение №16746: Воспользуйтесь тем, что \(a^n+b^n\) делится на \(a+b\) при нечетном \( n\)

Ответ: нет ответа

Решение №16747: В разложении \(21^{10}-1=(21^5-1)(21^5+1)\) число \(21^5+1\) делится на \(21+1=22\), а число $21^5-1=(21-1)(21^4+21^3+21^2+21+1)\) делится на \(100\), поскольку второй множитель - сумма пяти чисел, оканчивающихся на \(1\)

Ответ: нет ответа

Решение №16748: Воспользуйтесь равенством $2^9+2^{99}+2^9(2^{90}+1)=2^9(1024^9+1)$. Первый множитель делится на \(4\), второй делится на \(1024+1=1025\), поэтому второй множитель делится на \(25\)

Ответ: нет ответа

Решение №16749: \(\frac{x^{4n}+x^{4n+4}+\ldots+x^8+x^4+1}{x^{2n}+x^{2n+2}+\ldots+x^4+x^2+1}=\frac{x^{4n+4}-1}{x^4-1}:\frac{x^{2n+2}-1}{x^2-1}=\frac{x^{2n+2}+1}{x^2+1}=\frac{(x^2)^{n+1}+1}{x^2+1}\). Если число \(n+1\) нечетно, то \(y^{n+1}+1\) делится на \(y+1\). А если \(n+1=2m\), то при делении \((x^2)^{n+1}+1=x^{4m}+1\) на \(x^2+1\) в остатке получается \(2\), так как \(x^{4m}-1\) делится на $x^4-1=(x^2-1)(x^2+1)$ и потому делится на \(x^2+1\)

Ответ: нет ответа

Решение №16750: Произведение многочленов $1+x+x^2+\ldots+x^{99}+x^{100}=\frac{x^{101}-1}{x-1}$ и $1-x+x^2-x^3+\ldots-x^{99}+x^{100}=\frac{X^{101}+1}{x+1}$ равно \(\frac{x^{202}-1}{x^2-1}

Ответ: 1+х² +х⁴+…+х^198+х^200

Решение №16751: Воспользуйтесь тем, что \(k^n+(n-k)^n\) делится на \(k+(n-k)=n\) при нечетном \( n\)

Ответ: нет ответа

Решение №16752: В разложении $3^{2^n}-1=(3-1)(3+1)(3^2+1)(3^4+1)\ldots(3^{2^{n-1}}+1)\) все множители, кроме второго, делятся на \(2\) и не делятся на \(4\). В самом деле, согласно примеру \(4\) на с. \(20\) при делении на \(4\) квадрат нечетного числа дает в остатке \(1\)

Ответ: нет ответа

Решение №16753: нет указаний

Ответ: (x-y)^2+(x+y)^2

Решение №16754: нет указаний

Ответ: (xu-yʋ)²+(xʋ+yu)²