Решение №15840: Середины хорд, которые окружности высекают на прямой, совпадают.

Ответ: NaN

Решение №15841: Пусть диаметр \(АВ\) проходит через середину \(М\) хорды \(CD\). Предположите, что хорда \(CD\) не является диаметром. Тогда центр \(О\) окружности не лежит на хорде \(СD\), в частности, точки \(О\) и \(М\) различны (рис. 127). Точки \(О\) и \(М\) лежат на диаметре \(АВ\) и равноудалены от точек \(С\) и \(D\), поэтому прямая \(АВ\) — серединный перпендикуляр к хорде \(CD\).

Ответ: NaN

Решение №15842: Предположите, что общая середина \(М\) хорд \(АВ\) и \(CD\) не совпадает с центром О окружности. Тогда обе прямые \(АВ\) и \(CD\) перпендикулярны прямой \(ОМ\).

Ответ: NaN

Решение №15843: ОДЗ: \( 0< x\neq 1 \) Перепишем уравнение в виде \( \left ( 3^{\log _{3}} \right )^{\log _{3}}+x^{\log _{3}}=162\Leftrightarrow x^{\log _{3}}+x^{\log _{3}}=162\Leftrightarrow x^{\log _{3}}=81\Leftrightarrow \log _{3}^{2}x=4 \) Тогда \( \left ( \log _{3}x \right )_{1}=-2 \), или \( \left ( \log _{3}x \right )_{2}=2 \), откуда \( x_{1}=\frac{1}{9}, x_{2}=9 \)

Ответ: \( \frac{1}{9}; 9 )\

Решение №15844: ОДЗ: \( x> 0 \) Перейдем к основанию 3. Тогда \( \left | 2\log _{3}x-2 \right |-\left | \log _{3}x-2 \right |=2 \) Раскрывая модули получим три случая: \( \left\{\begin{matrix} \log _{3}x< 1, & & \\ -2\log _{3}x+2+\log _{3}x-2=2 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \log _{3}x< 1, & & \\ \log _{3}x=-2 & & \end{matrix}\right. \Rightarrow x_{1}=3^{-2}=\frac{1}{9}; \left\{\begin{matrix} 1\leq \log _{3}x< 2, & & \\ 2\log _{3}x-2+\log _{3}x+2=2 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 1\leq \log _{3}x< 2, & & \\ \log _{3}x=2 & & \end{matrix}\right. \log _{3}x=2 \), не подходит так как \( \log _{3}x< 2 . \left\{\begin{matrix} \log _{3}x\geq 2, & & \\ 2\log _{3}x-2-\log _{3}x+2=2 & & \end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix} \log _{3}x\geq 2, & & \\ \log _{3}x=2 & & \end{matrix}\right. \Rightarrow x_{2}=3^{2}=9 \)

Ответ: \( \frac{1}{9}; 9 )\

Решение №15845: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} 0< a\neq 1, & & \\ 0< x\neq 1. & & \end{matrix}\right. \) Перейдем к основанию \( a \)Получаем \( \frac{3\log_{a}x-2}{\log_{a}^{2}x}=2\log_{a}x-3 \Leftrightarrow 2\log_{a}^{3}x-3\log_{a}^{2}x-3\log_{a}x+2=0 \), т.к. \( \log_{a}x\neq 0 \) Далее имеем \( 2\left ( \log_{a}^{3}x \right )-3\log_{a}x\left ( \log_{a}x+1 \right )=0 \Leftrightarrow 2\left ( \log_{a}x+1 \right \)left ( \log_{a}^{2}x-\log_{a}x+1 \right )-3\log_{a}x\left ( \log_{a}x+1 \right )=0 \Leftrightarrow \left ( \log_{a}x+1 \right \)left ( 2\log_{a}^{2}x-5\log_{a}x+2 \right )=0 \), откуда \( \log_{a}x+1=0 \), или \( 2\log_{a}^{2}x-5\log_{a}x+2=0 \) Из первого уравнения \( \log_{a}x=-1, x_{1}=\frac{1}{a} \) Из второго уравнения \( \log_{a}x=\frac{1}{2} \), или \( \log_{a}x=2 \), откуда \( x_{2}=\sqrt{a}, x_{3}=a^{2} \)

Ответ: \( \frac{1}{a}; \sqrt{a}; a^{2} )\

Решение №15848: ОДЗ: \( 0< x\neq 1 \) Из условия имеем \( \log _{2}3+\log _{2}x=x^{\frac{\log _{3}4}{\log _{3}x}} \Leftrightarrow \log _{2}3+\log _{2}x=x^{\log _{x}4} \Rightarrow \log _{2}3+\log _{2}x=4, \log _{2}3x=4 \), откуда \( 3x=16, x=\frac{16}{3} \)

Ответ: \( \frac{16}{3} )\

Решение №15850: \( \log _{30}8=\frac{\log _{2}8}{\log _{2}30}=\frac{3}{\log _{2}\left ( 2*5*3 \right )}=\frac{3}{1+\log _{2}5+\log _{2}3} . \lg _{5}=\frac{\log _{2}5}{\log _{2}10}=\frac{\log _{2}5}{\log _{2}\left ( 2*5 \right )}=\frac{\log _{2}5}{1+\log _{2}5}=a; \log _{2}5=\frac{a}{1-a}. \lg _{3}=\frac{\log _{2}5}{\log _{2}10}=\frac{\log _{2}3}{\log _{2}\left ( 2*5 \right )}=\frac{\log _{2}3}{1+\log _{2}5}=\frac{\log _{2}3}{1+\frac{1}{1-a}}=\frac{\left (1-a \right \)log _{2}3}{1}=b; \log _{2}3=\frac{b}{1-a} \) Таким образом, \( \log _{30}8=\frac{3}{1+\frac{a}{1-a}+\frac{b}{1-a}}=\frac{3\left ( 1-a \right )}{1+b} \)

Ответ: \( \frac{3\left ( 1-a \right )}{1+b} )\

Решение №15851: ОДЗ: \( 3-4x^{2}> 0 \Leftrightarrow -\frac{\sqrt{3}}{2}< x< \frac{\sqrt{3}}{2} \) Из условия \( 5^{\log _{5}\left ( 3-4x^{2} \right )}+1.5x\log _{2^{-3}}2^{2}=0 \Leftrightarrow 3-4x^{2}-x=0 \Leftrightarrow 4x^{2}+x-3=0 \), откуда \( x_{1}=-1, x_{2}=\frac{3}{4}; x_{1}=-1 \) не подходит по ОДЗ.

Ответ: \( \frac{3}{4} )

Решение №15852: ОДЗ: \( x^{2}-4\geq 0\Leftrightarrow x\epsilon \left ( -\infty ; -2 \right ]\cup \left [ 2; \infty \right ) \) Запишем уравнение в виде \( 2^{x+\sqrt{x^{2}-4}}-\frac{5}{2}*2^{\frac{x+\sqrt{x^{2}-4}}{2}}-6=0 \) Решая его как квадратное относительно \( 2^{\frac{x+\sqrt{x^{2}-4}}{2}} \), имеем \( 2^{\frac{x+\sqrt{x^{2}-4}}{2}}=-\frac{3}{2} \) (нет решений), или \( 2^{\frac{x+\sqrt{x^{2}-4}}{2}}=2^{2} \Rightarrow \frac{x+\sqrt{x^{2}-4}}{2}=2, \sqrt{x^{2}-4}=4-x \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^{2}-4=16-8x+x^{2}, & & \\ 4-x\geq 0, & & \end{matrix}\right. \), откуда \( x=\frac{5}{2} \)

Ответ: \( \frac{5}{2} )\

Решение №15858: \( \log _{2}2x^{2}+\log _{2}x*x^{\log _{x}\left ( \log _{2}x+1 \right )}+\frac{1}{2}\log _{4}^{2}x^{4}+2^{-3\log _{1/2}\log _{2}x}=\log _{2}2+\log _{2}x^{2}+\log _{2}x*\left ( \log _{2}x+1 \right )+2\log _{2}^{2}x+2^{\log _{2}\log _{2}^{3}x}=1+2\log _{2}x+\log _{2}^{2}x+\log _{2}x+2\log _{2}^{2}x+\log _{2}^{3}x=\log _{2}^{3}x+3\log _{2}^{2}x+3\log _{2}x+1=\left ( \log _{2}x+1 \right )^{3} \)

Ответ: \( \left ( \log _{2}x+1 \right )^{3} )\

Решение №15859: ОДЗ: \( 0< \sin x< 1 \) Так как \( 1-\cos 2x=2\sin ^{2}x \), то имеем \( 3\log _{2}^{2}\sin x+\log _{2}2\sin ^{2}x-2=0 \Leftrightarrow 3\log _{2}^{2}\sin x+2\log _{2}\sin x-1=0 \) Решая это уравнение как квадратное относительно \( \log _{2}\sin x \), получим \( \log _{2}\sin x=\frac{1}{3} \), или \( \log _{2}\sin x=-1 \), откуда \( \sin x=\sqrt[3]{2} \) (нет решений), или \( \sin x=\sqrt[1]{2} \) Тогда \( x=\left ( -1 \right )^{n}\frac{\pi }{6}+\pi n, n\epsilon Z \)

Ответ: \( \left ( -1 \right )^{n}\frac{\pi }{6}+\pi n )\, \( n\epsilon Z )\

Решение №15873: ОДЗ: \( x-4y> 0 \) Из условия \( \left\{\begin{matrix} 8^{\log _{9}\left ( x-4y \right )}=8^{\circ} & & \\ \left ( 2^{x-2y} \right )-7*2^{x-2y}-8=0 . & & \end{matrix}\right. \) Из первого уравнения системы имеем \( \log _{9}\left ( x-4y \right )=0 \), откуда \( x-4y=1 \) Решая второе уравнение системы как квадратное относительно \( 2^{x-2y} \), получаем \( 2^{x-2y}=-1,\varnothing ; 2^{x-2y}=2^{3} \), откуда \( x-2y=3 \) Исходная система принимает вид \( \left\{\begin{matrix} x-4y=1, & & \\ x-2y=3 & & \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=5, & & \\ y=1. & & \end{matrix}\right. \)

Ответ: \( \left ( 5; 1 \right ) )\

Решение №15879: Проведите из центра \(О\) окружности перпендикуляр \(ОМ\) к хорде. Тогда точка \(М\) — середина хорды, а расстояние от центра окружности до хорды равно \(ОМ\). Точка \(С\) пересечения хорды и диаметра делит хорду на отрезки длиной 5 и 11, поэтому \(СМ = З\) (рис. ниже). Треугольник \(СОМ\) равнобедренный прямоугольный, поэтому \(ОМ = СМ = З\).

Ответ: NaN

Решение №15880: Проведите из центра \(О\) окружности перпендикуляр \(ОМ\) к хорде. Тогда точка \(М\) — середина хорды, а расстояние от центра окружности до хорды равно \(ОМ\). Точка \(С\) пересечения хорды и диаметра делит диаметр на отрезки длиной 5 и 13, поэтому \(СО = 4\) (рис. ниже). Катет \(ОМ\) прямоугольного треугольника \(СОМ\) лежит против угла \(30^{\circ}\) , поэтому \(ОМ = \frac{1}{2} CO=2\)

Ответ: NaN

Решение №15881: Пусть \(М\) и \(N\) — середины хорд \(АВ\) и \(CD\), \(О\) — центр окружности, \(ОМ = ОN\) . Тогда прямоугольные треугольники \(АОМ\) и \(CON\) равны по гипотенузе и катету (рис. ниже).

Ответ: NaN

Решение №15882: Пусть \(М\) и \(N\) — середины хорд \(АВ\) и \(CD\), \(О\) — центр окружности. Тогда прямоугольные треугольники \(АОМ\) и \(CON\) равны по гипотенузе и катету (рис. 131), поэтому прямоугольные треугольники \(РОМ\) и \(PON\) тоже равны по гипотенузе и катету.

Ответ: NaN

Решение №15883: Центр окружности, точка пересечения хорд и середины хорд являются вершинами прямоугольника.

Ответ: NaN

Решение №15884: Расстояние от середины хорды до точки пересечения хорд равно 2, поэтому центр окружности, точка пересечения хорд и середины хорд являются вершинами квадрата, сторона которого равна 2.

Ответ: NaN

Решение №15885: Пусть стороны \(АВ\) и \(ВС\) треугольника \(АВС\) равны и точка \(М\) — середина основания \(АС\). Тогда \(\angle AMB = 90^{\circ}\) , поэтому точка \(М\) лежит на окружности с диаметром \(АВ\).

Ответ: NaN

Решение №15886: Пусть окружность с диаметром \(АВ\) проходит через середину \(М\) стороны \(АС\). Тогда \(ВМ\) — высота треугольника и его медиана. Треугольник, в котором медиана является высотой, равнобедренный.

Ответ: NaN

Решение №15887: Пусть окружность с диаметром \(АС\) пересекает стороны \(АВ\) и \(ВС\) в точках \(D\) и \(Е\), причём \(АD = СЕ\). Тогда прямоугольные треугольники \(АСЕ\) и \(CAD\) равны по гипотенузе и катету, поэтому \(\angle A = \angle C\).

Ответ: NaN

Решение №15888: Прямоугольные треугольники \(ADM\) и \(AND\) равны по гипотенузе и острому углу.

Ответ: NaN

Решение №15889: Все диаметры окружности равны, поэтому хорду \(АВ\) можно сравнить с диаметром \(АС\). Если хорда \(АВ\) отлична от диаметра, то диаметр \(АС\) — гипотенуза прямоугольного треугольника, а хорда \(АВ\) — его катет.

Ответ: NaN

Решение №15890: Отрезок \(СК\) перпендикулярен гипотенузе \(АВ\).

Ответ: NaN

Решение №15891: Пусть окружность, построенная на катете \(АС\) прямоугольного треугольника \(АВС\) как на диаметре, проходит через середину \(М\) гипотенузы \(АВ\). Тогда угол \(АМС\) прямой, поэтому медиана \(СМ\) совпадает с высотой. Следовательно, треугольник \(АВС\) равнобедренный .

Ответ: NaN

Решение №15892: Точка \(D\) основание высоты, проведённой из вершины \(А\).

Ответ: NaN

Решение №15893: Точки \(А_{1}\) и \(В_{1}\) лежат на окружности, диаметром которой служит отрезок \(АВ\).

Ответ: NaN

Решение №15894: Проведите из середины гипотенузы перпендикуляры к катетам (рис. ниже). Они разбивают прямоугольный треугольник на прямоугольник и два равных прямоугольных треугольника. Каждую из этих трёх фигур можно накрыть кругом диаметром \(\frac{c}{2}\).

Ответ: NaN

Решение №15895: Непересекающиеся хорды разбивают круг на З части, а пересекающиеся на 4.

Ответ: NaN