Задачи

Фильтрация

Показать фильтрацию

По классам:

По предметам:

По подготовке:

По классам:

По авторам:

Найдите (угадайте), к какому числу сходится поледовательность, и докажите, что это число действительно предел последовательности по определению: \( \frac{1}{2}; 1; \frac{1}{4}; \frac{1}{3}; \frac{1}{8}; \frac{1}{5}; \frac{1}{16}; \frac{1}{7}; ....;\)

Решение №3499: 0

Ответ: 0

Найдите (угадайте), к какому числу сходится поледовательность, и докажите, что это число действительно предел последовательности по определению: \( x_{n}=\left [ \frac{7n+5}{n^{2}+1} \right ] \)

Решение №3502: 0. Действительно, так как при n> 8 выполнено \(0< \frac{7n+5}{n^{2}+1}< 1\), то при n> 8 будет выполняться \(x_{n}=0.\)

Ответ: 0

Верно ли, что \(\lim_{n \to \propto} x_{n}=+\propto\), если все члены последовательноти \(\left \{ x_{n} \right \}\) - натуральные числа?

Решение №3509: Например поледовательность с общим членом \(x_{n}=1. \)

Ответ: Нет

Приведите примеры таких бесконечно малых последовательностей \(\left \{ x_{n} \right \} \) и бесконечно больших последовательностей \(\left \{ y_{n} \right \}\), что \(\lim_{n \to \propto} \left ( x_{n}*y_{n} \right )=B\), где B - конечное число\)

Решение №3513: \( x_{n}=\frac{1}{2n+1}; y_{n}=n. \)

Ответ: NaN

Приведите примеры таких бесконечно малых последовательностей \(\left \{ x_{n} \right \} \)и бесконечно больших последовательностей \(\left \{ y_{n} \right \}\), что \(\lim_{n \to \propto} \left ( x_{n}*y_{n} \right )\) не существует.

Решение №3515: \( x_{n}=\frac{\left ( -1 \right )^{n}}{n}; y_{n}=n. \)

Ответ: NaN

Приведите примеры таких бесконечно больших последовательностей \(\left \{ x_{n} \right \} и \left \{ y_{n} \right \}\), что \(\lim_{n \to \propto} \frac{x_{n}}{y_{n}}=1\)

Решение №3517: \( x_{n}=n-1; y_{n}=n+1\)

Ответ: NaN

Приведите примеры таких бесконечно больших последовательностей \left \{ x_{n} \right \} и \left \{ y_{n} \right \}\), что \(\lim_{ n \to \propto} \frac{x_{n}}{y_{n}}\) не существует.

Решение №3519: \( x_{n}=\left ( -1 \right )^{n}; y_{n}=n \)

Ответ: NaN

Пусть \( \lim_{n \to \propto} x_{n}=\propto\). Верно ли, что \(\lim_{n \to \propto} y_{n}=\propto, \lim_{n \to \propto} \left ( x_{n}+y_{n} \right )=\propto\)

Решение №3529: Нет, например \(x_{n}=\left ( -1 \right )^{n}n y_{n}=\left ( -1 \right )^{n+1}n. Тогда \lim_{n \to \propto} \left ( x_{n}+y_{n} \right )=0 \)

Ответ: NaN

Приведите примеры таких бесконечно малых последовательностей \(\left \{ x_{n} \right \} и \left \{ y_{n} \right \}\), что \(\lim_{ n \to \propto} \frac{x_{n}}{y_{n}}\) не существует.

Решение №3534: \(x_{n}=\frac{\left ( -1 \right )^{n}}{n}, y_{n}=\frac{1}{n} \)

Ответ: NaN

Пусть \(\lim n \to \propto x_{n}y_{n}=0\). Следует ли отсюда, что: хотя бы один из пределов \(\lim_{n \to \propto} x_{n} или \lim_{n \to \propto} y_{n} \)

Решение №3536: Нет, например \(x_{n}=\left\{\begin{matrix}n, n=2k \\ \frac{1}{n^{2}}, n=2k-1 \end{matrix}\right. y_{n}=\left\{\begin{matrix}\frac{1}{n^{2}}, n=2k \\ n, n=2k-1 \end{matrix}\right.\) Тогда \(x_{n}y_{n}=\frac{1}{n}\)

Ответ: NaN

Докажите, что из существования предела частного двух последовательностей \(\lim_{n \to \propto} \left ( \frac{x_{n}}{y_{n}} \right ) \) не следует существования хотя бы одного из пределов \(\lim_{n \to \propto} x_{n} \)или\( \lim_{n \to \propto} y_{n}\)

Решение №3537: \( x_{n}=\left ( -1 \right )^{n}, y_{n}=\left ( -1 \right )^{n}n\)

Ответ: NaN

Докажите, что из существования пределов\( \lim_{n \to \propto} \left ( \frac{x_{n}}{y_{n}} \right )\) и \(\lim_{n \to \propto} y_{n} \)следует существование \(\lim_{n \to \propto} x_{n}\)

Решение №3539: \( \lim_{n \to \propto} \frac{x_{n}}{y_{n}}*\lim n \to \propto y_{n}=\lim_{n \to \propto} \frac{x_{n}*y_{n}}{y_{n}}=\lim_{n \to \propto} x_{n} \)

Ответ: NaN

Приведите примеры расходящихся последовательностей \(\left \{ x_{n} \right \} \)и \(\left \{ y_{n} \right \}\), для которых сходится последовательность \(\left \{ x_{n}+y_{n} \right \} \)

Решение №3540: \( x_{n}=n+1, y_{n}=-n \)

Ответ: NaN

Известно, что \(\forall n\in N x_{n}\neq 1\) и \(\lim_{n \to \propto} x_{n}=1\). Найдите \(\lim_{n \to \propto} y_{n}\), если: \(y_{n}=\frac{x_{n}-1}{x_{n}^{2}-1}\)

Решение №3548: \(\frac{1}{3}; -1\)

Ответ: NaN

Найдите \(\lim n_{\to \propto} x_{n}\), если \(x_{n}=\frac{3+0.5^{n}}{0.3^{n}+5}\)

Решение №3552: \( \lim_{n \to \propto} \frac{3^{n}}{5+3^{n+1}}=\lim_{n \to \propto} \frac{1}{5\left ( \frac{1}{3} \right )^{n}+3}=\frac{1}{3} \)

Ответ: \frac{1}{3}

Найдите\( \lim_{n \to \propto} x_{n}\), если \(x_{n}=\sqrt[3]{n^{3}+2n^{2}}-n\)

Решение №3568: \( \lim_{n \to \propto} \left ( \sqrt[3]{n^{3}+2n^{2}-n} \right )=\lim_{ n \to \propto} \frac{n^{3}+2n^{2}-n^{3}}{\sqrt[3]{\left ( n^{3}+2n^{2} \right )^{2}}+\sqrt[3]{n^{6}+2n^{5}}+n^{2}}=\lim_{n \to \propto} \frac{2n^{2}}{n^{2}\left ( \sqrt[3]{\left ( 1+\frac{2}{n} \right )^{2}}+\sqrt[3]{1+\frac{2}{n}}+1 \right )}=\frac{2}{3} \)

Ответ: \frac{2}{3}

Найдите \(\lim_{n \to \propto} x_{n}\), воспользовавшись свойствами пределов, связанными с неравенствами и арифметическими действиями с пределами. \(x_{n}=\sqrt[n]{2^{n}-n^{2}} \)

Решение №3575: При n> 7 верно неравенство (доказываемое по индукции)\(2^{n-1}\leqslant 2^{n}-n^{2}< 2^{n}-n^{2}< 2^{n}\Leftrightarrow \sqrt[n]{2^{n-1}}\leqslant \sqrt[n]{2^{n}-n^{2}}< \sqrt[n]{2^{n}}, \lim_{n \to \propto} \sqrt[n]{2^{n-1}}=\lim_{n \to \propto}\sqrt[n]{2^{n}}=2. \)

Ответ: 2

Докажите, что \(\left \{ x_{n} \right \}\) сходится, и найдите \(\lim_{n \to \propto} x_{n} : x_{1}=\sqrt[k]{5}, x_{n+1}=\sqrt[k]{5x_{n}}, где k\in N\)

Решение №3584: Найдем искомый предел из уравнения \(A^{k}=5A\) ( так как \(x_{n+1}^{k}=5x_{n}\)). Откуда A=0 или \(A=\sqrt[k-1]{5}\). Так как последовательность \(\left \{ x_{n} \right \} \) возрастает и \(x_{1}=\sqrt[k]{5}> 1,то A=\sqrt[k-1]{5}\). Докажем возрастание и ограниченность последовательности \(\left \{ x_{n} \right \}\) по индукции. Так как \(x_{n+1}< x_{n}\) по индукционному предположению , \(то x_{n}=\sqrt[k]{5x_{n-1}}< \sqrt[k]{5x_{n}}=x_{n+1}\). Кроме того, \(x_{n+1}=\sqrt[k]{5x_{n}}< \sqrt[k]{5A}=A. \)

Ответ: NaN

Пусть последовательность задана в виде\( \forall n\in N x_{n+1}=f\left ( x_{n} \right )\), причем f - возрастающая функция. Докажите, что если \(x_{1}\leqslant x_{2}, то \left \{ x_{n} \right \} \)- возрастающая последовательность.

Решение №3589: \( x_{1}\leqslant x_{2}=f\left ( x_{1} \right ) \leqslant f\left ( x_{2} \right )=x_{3}\leqslant ...\leqslant x_{n}=f\left ( x_{n-1} \right )\leqslant f\left ( x_{n} \right )=x_{n+1} \) в силу возрастания функции f. Тогда последовательность \(\left \{ x_{n} \right \} \)- возрастающая (не строго).

Ответ: NaN

Дана последовательность \(\left \{ a_{n} \right \}\). Рассмотри последовательности \(x_{n}=a_{2n}, y_{n}=a_{2n-1}, z_{n}=a_{2n+4}, u_{n}=a_{3n} \) Верно ли утверждение, что последовательность \(\left \{ z_{n} \right \}\) сходится, то и последовательность\( \left \{ x_{n} \right \}\) сходится?

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: Да

Вычислить: \(\frac{(13,75+9\frac{1}{6})\cdot 1,2}{(10,3-8\frac{1}{2})\cdot \frac{5}{9}}+\frac{(6,8-3\frac{3}{5})\cdot 5\frac{5}{6}}{(3\frac{2}{3}-3\frac{1}{6})\cdot 56}-27\frac{1}{6}\)

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 1

Вычислить: \(\frac{(\frac{1}{6}+0,1+\frac{1}{15}):(\frac{1}{6}+0,1-\frac{1}{15})\cdot 2,52}{(0,5-\frac{1}{3}+0,25-\frac{1}{5}):(0,25-\frac{1}{6})\cdot \frac{7}{13}}\)

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 3

Вычислить: \(\left ( \frac{3\frac{1}{3}+2,5}{2,5-1\frac{1}{3}}\cdot \frac{4,6-2\frac{1}{3}}{4,6+2\frac{1}{3}}\cdot 5,2 \right ):\left ( \frac{0,05}{\frac{1}{7}-0,125}+5,7 \right )\)

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 1