Решение №15660: \(S_{6}^{*} = b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+...+b_{6}^{2}=b_{1}^{2}(1+q^{2}+q^{4}+q^{6}+q^{8}+q^{10})=\frac{b_{1}^{2}(q^{12}-1)}{q^{2}-1}\) \(S_{6}^{*} = \frac{5(46656-1)}{5}=46655\)

Ответ: NaN

Решение №15661: \(S_{6}^{*} = b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+...+b_{6}^{2}=b_{1}^{2}(1+q^{2}+q^{4}+q^{6}+q^{8}+q^{10})=\frac{b_{1}^{2}(q^{12}-1)}{q^{2}-1}\) \(S_{6}^{*} = \frac{12(\frac{1}{64}-1)}{\frac{1}{3}-1}=\frac{729*728}{2*729}=364\)

Ответ: NaN

Решение №15662: \(S_{6}^{*} = b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+...+b_{6}^{2}=b_{1}^{2}(1+q^{2}+q^{4}+q^{6}+q^{8}+q^{10})=\frac{b_{1}^{2}(q^{12}-1)}{q^{2}-1}\) \(S_{6}^{*} = \frac{5(46656-1)}{5}=\frac{24*63}{64}=\frac{189}{8}\)

Ответ: NaN

Решение №15663: Дана прогрессия \(b\), \(b_{2}\),..., \(b_{2n}\). Тогда \(\frac{b_{2}+b_{4}+...+b_{2n}}{b_{1}+b_{3}+...+b_{2n-1}}= \frac{q(b_{1}+...b_{2n-1})}{b_{1}+...+b_{2n-1}}=q\)

Ответ: NaN

Решение №15664: \(b_{k}\) - число бактерий после \(20*k\) - минут \(b_{1} = 1\), \(b_{2} = 2\), \(b_{3}=4\)...,\(b_{k} = 2^{k-1}\), Тогда в сутках 20*3*24 - минут, то есть \(20*k\), где \(k = 72\) и \(S_{k} = \frac{b_{1}(q^{k}-1)}{q-1} = \frac{1*(2^{72}-1)}{q-1} = 2^{72}-1\)

Ответ: NaN

Решение №15665: \(b_{k}\) - количество денег, отданных богачом в k-й день(копеек). Тогда \(b_{1} = 1\), \(b_{2} = 2\), \(b_{3}=4\)...,\(b_{30} = 2^{29}\), Тогда богач отдал \(S_{30} = \frac{b_{1}(q^{30}-1)}{q-1} = \frac{1*(2^{30}-1)}{2-1} = 2^{30}-1\) копеек \(\approx 1070000000\) коп. \(\approx 10\) млн.руб. А получил богач \(S=30*100000=3000000=3\) млн. руб. Так что богач проиграл

Ответ: NaN

Решение №15666: \(b_{1}\),\(b_{2}\),\(b_{3}\) - геометрическая прогрессия. \(b_{1}=9\), \(b_{1}\), \(b_{2}\), \(b_{3}\)-16- арифмитическая прогрессия. Тогда \(b_{1}*b_{3} = b_{2}^{2}\), то есть \(9b_{3} = b_{2}^{2}\) и \(\frac{b_{1}+b_{9}-16}{2} = b_{2}\), то есть \(b_{2} = \frac{b_{3}-7}{2}\). Так что \(9b_{3} = (\frac{b_{3}-7}{2})^{2}\), \(36b_{3} = b_{3}^{2}-14b_{3}+49\) \(b_{3}^{2}-50b_{3}+49=0\), \(b_{3} = 1\) или \(b_{3} = 49\). Тогда \(b_{2} = -3\) или \(b_{2} = 21\)

Ответ: NaN

Решение №15667: \(b_{1}\),\(b_{2}\),\(b_{3}\) - геометрическая прогрессия. \(b_{1}+b_{2}+b_{3}=91\), \(b_{1}+25\), \(b_{2}+27\), \(b_{3}+1\)- арифмитическая прогрессия. Тогда \(b_{1}+25+b_{3}+1 = 2(b_{2}+27\), причем \(b_{1}+25> b_{2}+27> b_{3}+1\) Тогда \(3b_{2}+28=91\), \(b_{2}=21\) Так что \(b_{1}+b_{3}=70\) и \(b_{1}b_{3}=b_{2}^{2}=441\), так что \(b_{1} = 7\), \(b_{3} = 63\) или \(b_{2} = 7\), \(b_{1} =63\). Так как \(b_{1}+25> b_{3}+1\), то \(b_{1}=63\), а \(b_{3} = 7\). Тогда \(q=b_{2}:b_{1} = \frac{1}{3}\), и \(b_{7}=b_{1}*q^{6} = 63*\frac{1}{3^{6}} = \frac{7}{81}\)

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 1,5,25

Решение №15669: \(b_{2} = b_{1}(1+q)\), \(b_{3} = b_{2}(1-q)\), \(b_{3}=0,99b_{1}\ \(b_{3} = b_{2}(1-q)=b_{1}(1+q)(1-q) = 0,88b_{1}\Rightarrow 1-q^{2} = 0,99\Rightarrow q=0,1\) На 10 %

Ответ: 10

Решение №15670: \(b_{4} = b_{1}(1+q)^{3}\), \(b_{4} = (1+0,728)b_{1}\), \(b_{4} = b_{1}(1+q)^{3}=b_{1}(1+0,728) \Rightarrow (1+q)^{3} =1,728\Rightarrow 1+q=1,2\Rightarrow q = 0,2\) На 20 %

Ответ: NaN

Решение №15707: Преобразуем уравнение: \( 27+9*2^{4x}-2^{6x}-27*2^{2x}=8*2^{3x} \Leftrightarrow 2^{6x}-9*2^{4x}+8*2^{3x}+27*2^{2x}-27=0 \Leftrightarrow 2^{6x}-2^{4x}-8*2^{4x}+8*2^{3x}+27*2^{x}-27=0 \Leftrightarrow 2^{4x}\left ( 2^{2x}-1 \right )-8*2^{3x}\left ( 2^{x}-1 \right )+27\left ( 2^{x}-1 \right )=0 \Leftrightarrow 2^{4x}\left ( 2^{x}-1 \right \)left ( 2^{x}+1 \right )-8*2^{3x}\left ( 2^{x}-1 \right )+27\left ( 2^{x}-1 \right )=0 \Leftrightarrow \left ( 2^{x}-1 \right \)left ( 2^{5x}+2^{4x}-8*2^{3x}+27 \right )=0 \), откуда \( 2^{x}=1, x_{1}=0 \) Уравнение \( 2^{5x}+2^{4x}-8*2^{3x}+27=0 \) решений не имеет.

Ответ: 0

Решение №15708: ОДЗ: \( x^{3}+2x+1> 0 \) Из условия \( 16*5^{2x-1}-2^{x-1}-0.048=0 \), или \( \lg \left ( x^{3}+2x+1 \right ) \) Перепишем первое уравнение в виде \( \frac{16}{5}*5^{2x}-\frac{2}{5}*5^{x}-0.048=0 \Leftrightarrow 16*5^{2x}-2*5^{x}-0.24=0 \) Решая это уравнение как квадратное относительно \( 5^{x} \), получим \( 5^{x}=-\frac{3}{40} \) (нет решений), или \( 5^{x}=5^{-1} \Leftrightarrow x_{1}=-1 \) (не подходит по ОДЗ). Из второго уравнения имеем \( x^{3}+2x+1=1 \Leftrightarrow x^{3}+2x=0 \Leftrightarrow x\left ( x^{2}+2 \right )=0, x_{3}=0, x^{2}+2\neq 0 \)

Ответ: 0

Решение №15709: ОДЗ: \( x> 0 \) Из условия имеем \( 4*2^{2\lg x}-2^{\lg x}*3^{\lg x}-18*3^{2\lg x}=0 \) Разделив его на \( 3^{2\lg x} \), получим \( 4*\left ( \frac{2}{3} \right )^{2\lg x}-\left ( \frac{2}{3} \right )^{\lg x}-18=0 \Rightarrow \left ( \frac{2}{3} \right )^{\lg x}=-2 \) (нет решений), или \( \left ( \frac{2}{3} \right )^{\lg x}=\left ( \frac{2}{3} \right )^{-2} \Rightarrow \lg x=-2 \) Тогда \( x=10^{-2}=0.01 \)

Ответ: 0.01

Решение №15715: Имеем \( 5*5^{x^{3}}-5\frac{5}{5^{x^{3}}}-24=0 \Leftrightarrow 5*\left ( 5^{x^{3}} \right )^{2}-24*5^{x^{3}}-5=0 \) Решая это уравнение как квадратное относительно \( 5^{x^{3}} \), получим \( 5^{x^{3}}=-\frac{1}{5} \) (нет решений) \( 5^{x^{3}}=5 \Rightarrow x^{3}=1, x=1 \)

Ответ: 1

Решение №15716: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} 0< x+1\neq 1, & & \\ 0< x-0.5\neq 1 & & \end{matrix}\right. 0.5< x\neq 1.5 \) Умножив обе части уравнения на \( \log _{x+1}\left ( x-0.5 \right \)neq 0 \), получим \( \log _{x+1}^{2}\left ( x-0.5 \right )=1 \Rightarrow \log _{x+1}\left ( x-0.5 \right )=-1 \Rightarrow x-0.5=\frac{1}{x+1}, 2x^{2}+x-3=0, x_{1}=-\frac{3}{2} \) (не подходит по ОДЗ), \( x_{2}=1 \); или \( \log _{x+1}\left ( x-0.5 \right )=1, x-0.5=x+1\), нет решений.

Ответ: 1

Решение №15717: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} 0< x+1\neq 1, & & \\ x\neq 0 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow -1< x\neq 0 \) Перейдем к основанию 5. Имеем \( \frac{5}{\log_{5}\left ( x+1 \right )}*\left ( -3 \right \)log_{5}\left ( x+1 \right )=\frac{x-4}{x}, -3x=\frac{x-4}{x} \), при \( \log_{5}\left ( x+1 \right \)neq 0 \) Отсюда \( 3x^{2}+x-4=0, x_{1}=-\frac{4}{3}, x_{2}=1; x_{1}=-\frac{4}{3} \) не подходит по ОДЗ.

Ответ: 1

Решение №15718: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} x^{3}+3x^{2}+2x-1> 0, & & & \\ 0< x^{3}+2x^{2}-3x+5\neq 1 & & & \\ 0< x\neq \frac{1}{2} & & & \end{matrix}\right. \) По формуле замены основания имеем \( \log _{x^{3}+2x^{2}-3x+5}\left ( x^{3}+3x^{2}+2x-1 \right )=\log _{2x}2x \Leftrightarrow \log _{x^{3}+2x^{2}-3x+5}\left ( x^{3}+3x^{2}+2x-1 \right )=1 \Leftrightarrow x^{3}+3x^{2}+2x-1=x^{3}+2x^{2}-3x+5 \Leftrightarrow x^{2}+5x-6=0 \Rightarrow x_{1}=1, x_{2}=-6; x_{2}=-6 \) не подходит по ОДЗ.

Ответ: 1

Решение №15724: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} x> 1, & & \\ 0< a\neq 1 & & \end{matrix}\right. \) Из условия имеем \( \log _{a}x+\log _{a}\left ( x-1 \right )=\log _{a}2 \Rightarrow \log _{a}x\left ( x-1 \right )=\log _{a}2 \), откуда \( x^{2}-x-2=0 \Rightarrow x_{1}=2, x_{2}=-1; x_{2}=-1 \) не подходит по ОДЗ.

Ответ: 2

Решение №15725: ОДЗ: \( 0< x\neq 1 \) Перейдем к основанию 3, тогда \( \frac{3x^{2}}{\log _{3}x}*\frac{\log _{3}x}{2}=x+4 \Leftrightarrow 3x^{2}-2x-8=0 \), откуда \( x_{1}=2, x_{2}=-\frac{4}{3}; x_{2}=-\frac{4}{3} \) не подходит по ОДЗ.

Ответ: 2

Решение №15726: ОДЗ: \( x> 1 \) Из условия имеем \( \left ( \frac{3}{5} \right )^{\log_{3}x+1}*\left ( \frac{3}{5} \right )^{\log_{3}x-1}=\frac{3}{5}\Leftrightarrow \left ( \frac{3}{5} \right )^{\log_{3}\left ( x+1 \right )+\log_{3}\left ( x-1 \right )}=\frac{3}{5} \Rightarrow \log_{3}\left ( x+1 \right )+\log_{3}\left ( x-1 \right )=1 \Rightarrow \log_{3}\left ( x^{2}-1 \right )=1, x^{2}-1=3, x^{2}=4 \) Отсюда \( x_{1}=-2, x_{2}=2; x_{1}=-2 \) не подходит по ОДЗ.

Ответ: 2

Решение №15727: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} 0< 5x+3\neq 1, & & \\ 0< 3x+7\neq 1 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow x> -\frac{3}{5}, x\neq -\frac{2}{5} \) Умножив уравнение на \( \log_{3x+7}\left ( 5x+3 \right \)neq 0 \), получим \( \log_{3x+7}^{2}\left ( 5x+3 \right )-2\log_{3x+7}\left ( 5x+3 \right )+1=0 \Leftrightarrow \left ( \log_{3x+7}\left ( 5x+3 \right )-1 \right )^{2}=0 \Leftrightarrow \log_{3x+7}\left ( 5x+3 \right )=1 \Leftrightarrow 5x+3=3x+7, x=2 \)

Ответ: 2

Решение №15728: ОДЗ: \( x> 0 \) Из условия имеем \( \frac{1}{3}\log _{2}x+\sqrt[3]{\log _{2}x}=\frac{4}{3}\Leftrightarrow \log _{2}x+3\sqrt[3]{\log _{2}x}-4=0 \) Пусть \( \sqrt[3]{\log _{2}x}=y \) Относительно \( y \) уравнение принимает вид \( y^{3}-3y-4=0 \Leftrightarrow \left ( y^{3}-1 \right )+\left ( 3y-3 \right )=0 \Leftrightarrow \left ( y-1 \right \)left ( y^{2}+y+1 \right )+3\left ( y-1 \right )=0 \Leftrightarrow \left ( y-1 \right \)left ( y^{2}+y+4 \right )=0 \), откуда \( y-1=0 \), так как \( y^{2}+y+4> 0 \) Тогда \( y=1, \sqrt[3]{\log _{2}x}=1, \log _{2}x=1, x=2\)

Ответ: 2

Решение №15734: ОДЗ: \( 4^{3x}+3x-9> 0 \) Перепишем уравнение в виде \( \log _{12}\left ( 4^{3x}+3x-9 \right )+\log _{12}27^{x}=3x \Rightarrow \log _{12}27^{x}\left ( 4^{3x}+3x-9 \right )=3x \), откуда \( 27^{x}\left ( 4^{3x}+3x-9 \right )=12^{3x} \Leftrightarrow 4^{3x}+3x-9=4^{3x}, 3x-9=0, x=3 \)

Ответ: 3

Решение №15735: ОДЗ: \( x\geq 2 \) Перепишем уравнение в виде \( 49*7^{2\sqrt{x-2}}-344*7^{\sqrt{x-2}}+7=0 \), Решая его как квадратное относительно \( 7^{\sqrt{x-2}} \), получим \( \left ( 7^{\sqrt{x-2}} \right )_{1}=7^{-2} \), или \( \left ( 7^{\sqrt{x-2}} \right )_{2}=7 \), откуда \( \left ( \sqrt{x-2} \right )_{1}=-2 \), (нет решений), или \( \left ( \sqrt{x-2} \right )_{2}=1, x_{2}=3 \)

Ответ: 3

Решение №15736: Перепишем уравнение в виде \( 5^{x}*8^{x-1}=500 \Leftrightarrow \frac{5^{x}*8}{8^{1/x}}=500 \Leftrightarrow \frac{5^{x}*2}{8^{1/x}}=125 \Leftrightarrow 5^{x-3}=2^{3/x-1} \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x-3=0, & & \\ \frac{3}{x}-1=0, & & \end{matrix}\right. \), откуда \( x=3 \)

Ответ: 3

Решение №15737: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} 2x^{3}+2x^{2}-3x+1 & & \\ -1< x\neq 0 & & \end{matrix}\right. \) Имеем \( 2x^{3}+2x^{2}-3x+1=\left ( 1+x \right )^{3}\Leftrightarrow 2x^{3}+2x^{2}-3x+1=1+3x+3x^{2}+x^{3} \Leftrightarrow x^{3}+x^{2}-6x=0 \Leftrightarrow x\left ( x^{2}-x-6 \right )=0 \), откуда \( x_{1}=0, x_{2}=-2, x_{3}=3; x_{1}=0, x_{2}=-2 не подходят по ОДЗ.

Ответ: 3

Решение №15739: В правой части - сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии \( S \), где \( b_{1}=6.5; q=\frac{3.25}{6.5}=0.5 \Rightarrow S=\frac{b_{1}}{1-q}=\frac{6.5}{1-0.5}=13 \) Перепишем уравнение в виде \( \frac{2^{x}}{2}+\frac{2^{x}}{16}\frac{2^{x}}{4}=13 \Leftrightarrow \frac{13}{16}*2^{x}=13 , 2^{x}=16 \), откуда \( x=4 \)

Ответ: 4

Решение №15740: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} x> 0, & & & & \\ x\neq \frac{1}{16} & & & & \\ x\neq \frac{1}{16} & & & & \\ x\neq 1 & & & & \end{matrix}\right. Переходим к основанию 2. Имеем \( \frac{\frac{\log _{2}2}{\log _{2}4\sqrt{x}}}{\frac{\log _{2}2}{\log _{2}2x}}+\frac{\log _{2}2}{\log _{2}2x}*\frac{\log _{2}2x}{\log _{2}\frac{1}{2}}=0 \Leftrightarrow \frac{1+\log _{2}x}{2+\frac{1}{2}\log _{2}2}-1=0 \), откуда \( \log _{2}x=2 , x=4 \)

Ответ: 4

Решение №15746: ОДЗ: \( x> 0 \) Перепишем уравнение в виде \( 2^{2\log _{5}x}-2*2^{\log _{5}x}+\frac{2^{\log _{5}x}}{2}-1=0\Leftrightarrow 2*2^{2\log _{5}x}-3*2^{\log _{5}x}-2=0 \) Решая это уравнение как квадратное относительно \( 2^{\log _{5}x} \), найдем \( 2^{\log _{5}x}=-\frac{1}{2} \) (не подходит) или \( 2^{\log _{5}x}=2 \), откуда \( \log _{5}x=1, x=5 \)

Ответ: 5