Решение №17680: ОДЗ: \( x> 0 \) Перепишем уравнение в виде \( 3^{\log _{3}x+2\log _{3}x+3\log _{3}x+...+8\log _{3}x}=27x^{30} \Leftrightarrow \left ( 3^{\log _{3}x} \right )^{\left ( 1+2+3+...+8 \right )}=27x^{30} \Leftrightarrow x^{1+2+3+...+8}=27x^{30} \Leftrightarrow x^{6}=27 \), откуда \( x=\sqrt[6]{27}=\sqrt{3} \)

Ответ: \( \sqrt{3} )\

Решение №17681: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} x> 0, & & & \\ x\neq \frac{1}{9}, & & & \\ x\neq \pm \frac{1}{3} & & & \end{matrix}\right. \) Перейдем к основанию 9. Имеем \( \frac{5\log _{9}x}{\log _{9}\frac{x}{9}}+\frac{\log _{9}x^{3}}{\log _{9}\frac{9}{x}}+\frac{8\log _{9}x^{2}}{\log _{9}9x^{2}}=2 \Leftrightarrow \frac{5\log _{9}x}{\log _{9}x-1}+\frac{3\log _{9}x}{1-\log _{9}x}+\frac{16\log _{9}x}{1+2\log _{9}x}=2 \Leftrightarrow 8\log _{9}^{2}x-6\log _{9}x+1=0 \) Решая это уравнение как квадратное относительно \( \log _{9}x \), получим \( \left ( \log _{9}x \right )_{1}=\frac{1}{4} \), или \( \left ( \log _{9}x \right )_{2}=\frac{1}{2} \), откуда \( x_{1}=\sqrt{3}, x_{2}=3 \)

Ответ: \( \sqrt{3}; 3 )\

Решение №17682: Имеем \( \frac{2^{x^{2}}}{2}+4*2^{x^{2}}=\frac{3^{x^{2}}}{3}+3^{x^{2}}, \frac{9}{2}*2^{x^{2}}=\frac{4}{3}*3^{x^{2}}, \left ( \frac{2}{3} \right )^{x^{2}}=\left ( \frac{2}{3} \right )^{3} \) Тогда \( x^{2}=3 \), откуда \( x_{1}=- \sqrt{3} , x_{1}=\sqrt{3} \)

Ответ: \( -\sqrt{3};\sqrt{3} )\

Решение №17683: ОДЗ: \( 0< x\neq 1 \) Из условия имеем \( \frac{x^{2\lg ^{2}x}}{x^{3}*x^{3\lg x}}=\frac{1}{100} \Leftrightarrow x^{2\lg ^{2}x-3\lg x-3}=10^{-2} \) логарифмируя обе части этого уравнения по основанию 10, получим \( \lg x^{2\lg ^{2}x-3\lg x-3}=\lg 10^{-2} \Leftrightarrow \left ( 2\lg ^{2}x-3\lg x-3 \right \)lg x=-2 \Leftrightarrow 2\lg ^{2}x-3\lg ^{2}x-3\lg x+2=0 \Leftrightarrow 2\left ( \lg ^{3}x+1 \right )-3\lg x\left ( \lg x+1 \right )=0 \Leftrightarrow 2\left ( \lg x+1 \right \)left ( \lg ^{2}x-\lg x+1 \right )-3\lg x\left ( \lg x+1 \right )=0 \Leftrightarrow \left ( \lg x+1 \right \)left ( 2\lg ^{2}x-5\lg x+2 \right )=0 \Leftrightarrow \lg x+1=0 , 2\lg ^{2}x-5\lg x+2=0 \) Из первого уравнения имеем \( \lg x=-1, x_{1}=\frac{1}{10} \), а из второго \( \lg x=\frac{1}{2}, x_{2}=\sqrt{10} \), или \( \lg x=2, x_{3}=100 \)

Ответ: \( 0,1; \sqrt{10}; 100)\

Решение №17684: Имеем \( 3*4^{2x}+2*9^{2x}-5*4^{x}*9^{x}=0 \Rightarrow 3*\left ( \frac{4}{9} \right )^{2x}-5*\left ( \frac{4}{9} \right )^{x}+2=0 \Rightarrow \left ( \frac{4}{9} \right )^{x}=\frac{2}{3} \), или \( \left ( \frac{4}{9} \right )^{x}=1 \), откуда \( x_{1}=\frac{1}{2}, x_{2}=0\)

Ответ: \( 0; \frac{1}{2} )\

Решение №17685: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} 2-x> 0 & & \\ 2-\sqrt{x}> 0 & & \end{matrix}\right.0\leq x< 2 \) Из условия имеем \( \log _{2}\frac{2-x}{2-\sqrt{x}}=\log _{2}\frac{\sqrt{2-x}}{\sqrt{2}} \Leftrightarrow \frac{2-x}{2-\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{2-x}}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow \frac{2-x}{2-\sqrt{x}}-\frac{\sqrt{2-x}}{\sqrt{2}}=0\Leftrightarrow \sqrt{2-x}\left ( \frac{\sqrt{2-x}}{2-\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{2}} \right )=0 \), откуда \( \frac{\sqrt{2-x}}{2-\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{2}}=0, \sqrt{4-2x}=2-\sqrt{x}, 4-2x=4-4\sqrt{x}+x, 3x-4\sqrt{x}=0, \sqrt{x}\left ( 3\sqrt{x}-4 \right )=0 \) Таким образом, \( x_{1}=0, x_{2}=\frac{16}{9} \)

Ответ: \( 0; \frac{16}{9} )\

Решение №17686: \left\{\begin{matrix} 0< x\neq \frac{1}{2} & & \\ x\neq 1 & & \end{matrix}\right. \frac{\log _{2}16}{\log _{2}x^{2}}+\frac{\log _{2}6 }{\log _{2}2x}=3 \Leftrightarrow \frac{4}{2\log _{2}x}+\frac{6}{1+\log _{2}x}-3=0 \Leftrightarrow 3\log _{2}^{2}x-5\log _{2}x-2=0 , \log _{2}x\neq 0 , \log _{2}x\neq -1 , \log _{2}x , \log _{2}x=-\frac{1}{3}, x_{1}=\frac{1}{\sqrt[3]{2}}=0.5\sqrt[3]{4}; \log _{2}x=2, x_{2}=4.

Ответ: \( 05\sqrt[3]{4}; 4 )\

Решение №17687: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} x> 0, & \\ x\neq \frac{1}{4} & \\ x\neq \frac{1}{16} & \\ x\neq 2 & \end{matrix}\right. \) Перейдем к основанию 2: \( \frac{20\log _{2}\sqrt{x}}{\log _{2}4x}+\frac{7\log _{2}x^{3}}{\log _{2}16x}-\frac{3\log _{2}x^{3}}{\log _{2}\frac{x}{2}}=0 \Leftrightarrow \frac{10\log _{2}x}{2+\log _{2}x}+\frac{21\log _{2}x}{4+\log _{2}x}-\frac{6\log _{2}x}{\log _{2}x-1}=0 \Leftrightarrow 5\log _{2}^{3}x+3\log _{2}^{2}x-26\log _{2}x=0 \Leftrightarrow \log _{2}x\left ( 5\log _{2}^{2}x+3\log _{2}x-26 \right )=0 \Leftrightarrow \log _{2}x\left ( \log _{2}x+\frac{13}{5} \right \)left ( \log _{2}x-2 \right )=0 \), откуда \( \left ( \log _{2}x \right )_{1}=0 , \left ( \log _{2}x \right )_{2}=-\frac{13}{5}, \left ( \log _{2}x \right )_{3}=2 \) Итак \( x_{1}=1, x_{2}=2^{-\frac{13}{5}}=\frac{1}{4\sqrt[5]{8}}, x_{3}=4 \)

Ответ: \( 1; \frac{1}{4\sqrt[5]{8}}; 4 )\

Решение №17688: ОДЗ: \( x\neq \frac{1}{2} \) Перепишем уравнение в виде \( 2^{3x}-5*2^{2x}+2^{x}+10=0 \), Пусть \( 2^{x}=y \) Тогда уравнение принимает вид \( y^{3}-5y^{2}+y+10=0 \) Разделим левую часть уравнения на \( y-2 . y^{3}-5y^{2}+y+10 y-2 - y^{3}-2y^{2} y^{2}-3y-5 -3y^{2}+y - -3y^{2}+6y -5y+10 - -5y+10 0 \) Уравнение можно представить в виде \( \left ( y-2 \right \)left ( y^{2}-3y-5 \right )=0 \), откуда \( y_{1}=2, y_{2,3}=\frac{3\pm \sqrt{29}}{2} \) Получили: \( 2^{x}=2 \Rightarrow x_{1}=1; 2^{x}=\frac{3-\sqrt{29}}{2}< 0 \) (нет решений); \( 2^{x}=\frac{3+\sqrt{29}}{2} \Rightarrow x_{3}=\log_{2}\frac{3+\sqrt{29}}{2}=\log_{2}\left ( 3+\sqrt{29} \right )-1 \)

Ответ: \( 1; \log_{2}\left ( 3+\sqrt{29} \right )-1 )\

Решение №17689: ОДЗ: \( x+2> 0, x> -2 \) Перепишем уравнение в виде \( \lg \left ( x+2 \right \)left ( x^{2}-2x+4 \right )-0.5\lg \left ( x+2 \right )^{2}=\lg 7\Leftrightarrow \lg \left ( x+2 \right \)left ( x^{2}-2x+4 \right )-\lg \left ( x+2 \right )=\lg 7\Leftrightarrow \lg \frac{\left ( x+2 \right \)left ( x^{2}-2x+4 \right )}{x+2}=\lg 7\Leftrightarrowx^{2}-2x+4=7, x^{2}-2x-3=0 \), откуда \( x_{1}=-1, x_{2}=3 \)

Ответ: \( -1; 3 )\

Решение №17690: ОДЗ: \( x> 0 \) Логарифмируя, имеем \( \left ( \lg 100+\lg x \right )^{2}+\left ( \lg 10+\lg x \right )^{2}=14-\lg x, 2\lg x+7\lg x-9=0 \) Решая это уравнение как квадратное относительно \( \lg x \), получаем \( \left ( \lg x \right )_{1}=-\frac{9}{2} \), или \( \left ( \lg x \right )_{2}=1 \), откуда \( x_{1}=10^{-\frac{9}{2}}, x_{2}=10 \)

Ответ: \( 10^{-\frac{9}{2}}; 10 )\

Решение №17691: ОДЗ: \( 0< x\neq 1 \) Логарифмируя обе части уравнения по основанию 10, имеем \( \lg x^{\frac{\lg x+5}{3}}=\lg 10^{5+\lg x}, \frac{\lg x+5}{3}\lg x=\left ( 5+\lg x \right \)lg 10, \lg ^{2}x+2\lg x-15=0 \) Решая это уравнение как квадратное относительно \( \lg x \), получаем \( \left (\lg x \right )_{1}=-5 \), или \( \left (\lg x \right )_{2}=3 \), откуда \( x_{1}=10^{-5}, x_{2}=1000 \)

Ответ: \( 10^{-5}; 10^{3} )\

Решение №17692: ОДЗ: \( x< 0 \) Учитывая, что \( x< 0 \) имеем \( 4\lg \left ( -x \right )-\lg ^{2}\left ( -x \right )-4=0\Leftrightarrow \lg ^{2}\left ( -x \right )-4\lg \left ( -x \right )+4=0, \left ( \lg \left ( -x \right )-2 \right )^{2}=0 \), откуда \( \lg \left ( -x \right )=2, x=-100 \)

Ответ: \( -100 )\

Решение №17693: \(\left ( \left ( \log _{b}^{4}a+\log _{a}^{4}b+2 \right )^{1/2}+2 \right )^{1/2}-\log _{b}a-\log _{a}b=\left ( \left ( \log _{b}^{4}a+\frac{1}{\log _{b}^{4}a}+2 \right )^{1/2}+2 \right )^{1/2}-\log _{b}a-\frac{1}{\log _{b}a}=\sqrt{\sqrt{\frac{\log _{b}^{8}a+2\log _{b}^{4}a+1}{\log _{b}^{4}a}}+2}-\frac{\log _{b}^{2}a+1}{\log _{b}a}=\sqrt{\sqrt{\left ( \frac{\log _{b}^{4}a+1}{\log _{b}^{2}a} \right )^{2}}+2}-\frac{\log _{b}^{2}a+1}{\log _{b}a}=\sqrt{\frac{\log _{b}^{4}a+1}{\log _{b}^{2}a}+2}-\frac{\log _{b}^{2}a+1}{\log _{b}a}=\sqrt{\frac{\log _{b}^{4}a+2\log _{b}^{2}a+1}{\log _{b}^{2}a}}-\frac{\log _{b}^{2}a+1}{\log _{b}^a}=\sqrt{\left ( \frac{\log _{b}^{2}a+1}{\log _{b}^a} \right )^{2}}-\frac{\log _{b}^{2}a+1}{\log _{b}a}=\frac{\log _{b}^{2}a+1}{\left | \log _{b}a \right |}-\frac{\log _{b}^{2}a+1}{\log _{b}a} \) Таким образом, получаем два случая: \( \left\{\begin{matrix} \log _{b}a< 0\) или \( \left\{\begin{matrix} 0< b< 1, & & \\ a> 1 & & \end{matrix}\right. \cup \left\{\begin{matrix} b> 1, & & \\ 0< a< 1; & & \end{matrix}\right. & & \\ -\frac{\log _{b}^{2}a+1}{\log _{b}a}-\frac{\log _{b}^{2}a+1}{\log _{b}a}=\frac{-2\left ( \log _{b}^{2}a+1 \right )}{\log _{b}a}=-2\left ( \log _{b}a+\log _{a}b \right ); & & \end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix} \log _{b}a> 0\) или \( \left\{\begin{matrix} 0< b< 1, & & \\ 0< a< 1 & & \end{matrix}\right. \cup \left\{\begin{matrix} b> 1, & & \\ a> 1; & & \end{matrix}\right. & & \\ \frac{\log _{b}^{2}a+1}{\log _{b}a}-\frac{\log _{b}^{2}a+1}{\log _{b}a}=0 & & \end{matrix}\right. \)

Ответ: \( -2\left ( \log _{b}a+\log _{a}b \right ) )\, если \( \left\{\begin{matrix} a> 1, & & \\ 0< b< 1 & & \end{matrix}\right )\ или \( \left\{\begin{matrix} 0< a< 1, & & \\ b> 1 & & \end{matrix}\right )\ и 0, если \( \left\{\begin{matrix} 0< a< 1, & & \\ 0< b< 1 & & \end{matrix}\right )\, или \( \left\{\begin{matrix} a> 1, & & \\ b> 1 & & \end{matrix}\right )\

Решение №17694: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} x^{2}> 0, & & & \\ -x> 0, & & & \\ \log_{2}\left ( -x \right )> 0 & & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow x< -1 \) Так как по ОДЗ \( x< 0 \), то имеем \( \frac{2}{\sqrt{3}\log_{2}\left ( -x \right )}=\frac{1}{\sqrt{\log_{2}\left ( -x \right )}} \Rightarrow \frac{4}{3\log_{2}^{2}\left ( -x \right )}=\frac{1}{\log_{2}\left ( -x \right )} \Leftrightarrow 3\log_{2}^{2}\left ( -x \right )-4\log_{2}\left ( -x \right )=0 \Leftrightarrow \log_{2}\left ( -x \right \)left ( 3\log_{2}\left ( -x \right )-4 \right )=0 \Leftrightarrow \log_{2}\left ( -x \right )=\frac{4}{3} \), так как \( \log_{2}\left ( -x \right \)neq 0 \) Отсюда \( -x=2^{4/3}, x=-2^{4/3} \)

Ответ: \( -2^{4/3} )\

Решение №17695: Перепишем уравнение в виде \( 3*4^{x-2}-a*4^{x-2}=a-27 \Leftrightarrow \left ( 3-a \right )*4^{x-2}=a-27 \Rightarrow 4^{x-2}=\frac{a-27}{3-a} .\frac{a-27}{3-a}> 0 \) Логарифмируя обе части этого уравнения по основанию 4, получим \( \log _{4}4^{x-2}=\log _{4}\frac{a-27}{3-a} \Leftrightarrow x-2=\log _{4}\frac{a-27}{3-a}, x=2+\log _{4}\frac{a-27}{3-a} \), где \( \frac{a-27}{3-a}> 0 \) Решая полученное неравенство методом интервалов, имеем. Таким образом \( a\epsilon \left ( 3; 27 \right ) \)

Ответ: \( 2+\log _{4}\frac{a-27}{3-a} )\, где \( a\epsilon \left ( 3; 27 \right ) )\

Решение №17696: \( \left ( 6\left ( \log _{b}a*\log _{a^{2}}b+1 \right )+\log _{b}a^{-6}+\log _{a}^{2}b \right )^{1/2}-\log _{a}b=\left ( 6\left ( \frac{1}{2}+1 \right )-6\log _{a}b+\log _{a}^{2}b \right )^{1/2}-\log _{a}b=\sqrt{9-6\log _{a}b+\log _{a}^{2}b}-\log _{a}b=\sqrt{\left ( 3-\log _{a}b \right )^{2}}-\log _{a}b=\left | 3-\log _{a}b \right |-\log _{a}b \) Раскрывая модуль, получим два случая: \( \left | 3-\log _{a}b \right |-\log _{a}b=\left\{\begin{matrix} 3-\log _{a}b\leq 0, & & \\ -3+\log _{a}b-\log _{a}b=-3; & & \end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix} b\geq a^{3}, & & \\ \left | 3-\log _{a}b \right |-\log _{a}b=-3; & & \end{matrix}\right. \left | 3-\log _{a}b \right |-\log _{a}b=\left\{\begin{matrix} 3-\log _{a}b> 0, & & \\ 3-\log _{a}b-\log _{a}b=3-2\log _{a}b; & & \end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix} 0< b< a^{3} & & \\ \left | 3-\log _{a}b \right |-\log _{a}b=3-2\log _{a}b. & & \end{matrix}\right. \)

Ответ: \( -3 )\, если \( b\geq a^{3} )\, и \( 3-2\log _{a}b )\, если \( 0< b< a^{3}, b\neq 1 )\

Решение №17697: ОДЗ: \( x\neq 0 \) Перепишем уравнение в виде \( 2^{\frac{6}{x}}-2^{3+\frac{3}{x}}+12=0, \left ( 2^{\frac{3}{x}} \right )^{2}-8*2^{\frac{3}{x}}+12=0 \) Решая это уравнение как квадратное относительно \( 2^{\frac{3}{x}} \), получаем \( \left (2^{\frac{3}{x}} \right )_{1}=2 \), откуда \( \left ( \frac{3}{x} \right )_{1}=1, x_{1}=3 \), или \( \left (2^{\frac{3}{x}} \right )_{2}=6 \), откуда \( \left ( \log _{2}2^{\frac{3}{x}} \right )_{2}=\log _{2}6, \left ( \frac{3}{x} \right )_{2}=\log _{2}6, x_{2}=\frac{3}{\log _{2}6}=3\log _{6}2=\log _{6}8 \)

Ответ: \( 3; \log _{6}8 )\

Решение №17698: ОДЗ: \( 0< x\neq 1 \) Логарифмируя обе части уравнения по основанию 3, имеем \( \log _{3}27x^{\log _{27}x}=\log _{3}x^{10/3}, 3+\frac{1}{3}\log _{2}^{3}x=\frac{10}{3}\log _{3}x, \log _{2}^{3}x-10\log _{3}x+9=0 \) Решая это уравнение как квадратное относительно \( \log _{3}x \), получаем \( \left ( \log _{3}x \right )_{1}=1 \), или \( \left ( \log _{3}x \right )_{2}=9 \), откуда \( x_{1}=3, x_{2}=3^{9} \)

Ответ: \( 3; 3^{9} )\

Решение №17699: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} x-2> 0 & & \\ x-4\neq 0 & & \end{matrix}\right.2< x\neq 4 \) Из условия \( 2\log _{3}\left ( x-2 \right )+2\log _{3}\left | x-4 \right |=0 или \( \log _{3}\left ( x-2 \right )+\log _{3}\left | x-4 \right |=0 \) Имеем: \( \left\{\begin{matrix} 2< x< 4 & & \\ \log _{3}\left ( x-2 \right )+\log _{3}\left ( 4-x \right )=0 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2< x< 4 & & \\ \log _{3}\left ( x-2 \right \)left ( 4-x \right )=0 & &\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2< x< 4 & & \\ x^{2}-6x+9=0 & & \end{matrix}\right. \), откуда \( x_{1}=3 \); \left\{\begin{matrix} x> 4 & & \\ \log _{3}\left ( x-2 \right \)left ( x-2 \right )=0 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x> 4 & & \\ \log _{3}\left ( x-2 \right \)left ( 4-x \right )=0 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x> 4 & & \\ x^{2}-6x+7=0 & & \end{matrix}\right. \), откуда \( x_{2}=3+\sqrt{2} \)

Ответ: \( 3; 3+\sqrt{2} )\

Решение №17700: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} 5-x> 0 & \\ 3-x> 0 & \end{matrix}\right. x< 3 \) Имеем \( \lg \left ( 5-x \right )+\lg \left ( 3-x \right )=1 , \lg \left ( 5-x \right \)lg \left ( 3-x \right )=1 \), откуда \( \left ( 5-x \right )+\lg \left ( 3-x \right )=10 , x^{2}-8x+5=0 \) Тогда \( x_{1}= 4- \sqrt{11} , x_{2}= 4 + \sqrt{11} , x_{2}= 4+ \sqrt{11} \) не подходит по ОДЗ.

Ответ: \( 4- \sqrt{11} )\

Решение №17701: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} 4-x> 0 & & \\ 6-x> 0 & & \end{matrix}\right.x< 4 \) Перепишем уравнение в виде \( \lg \left ( 4-x \right )+\lg \left ( 6-x \right )=1, \lg \left ( 4-x \right \)left ( 6-x \right )=1 \), откуда \( \left ( 4-x \right \)left ( 6-x \right )=10, x^{2}+10x-14=0 \) Следовательно, \( x_{1}=5-\sqrt{11}, x_{2}=5+\sqrt{11}; x_{2}=5+\sqrt{11} не подходит по ОДЗ.

Ответ: \( 5-\sqrt{11} )\

Решение №17702: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} -x> 0, & & \\ x^{2}> 0, & & \end{matrix}\right.x< 0 \) Из условия имеем \( \sqrt{2\log _{8}\left ( -x \right )}-\log _{8}\left ( -x \right )=0 \sqrt{\log _{8}\left ( -x \right )}\left ( \sqrt{2}-\sqrt{\log _{8}\left ( -x \right )} \right )=0 \) Тогда \( \log _{8}\left ( -x \right )=0 \), откуда \( x_{1}=-1 \), или \( \sqrt{2}-\sqrt{\log _{8}\left ( -x \right )}=0 \), откуда \( \sqrt{2}=\sqrt{\log _{8}\left ( -x \right )}, 2=\log _{8}\left ( -x \right ), x_{2}=-64 \)

Ответ: \( -64; -1 )\

Решение №17703: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} 0< a\neq 1 & & \\ 2a-x\geq 0 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 0< a\neq 1 & & \\ x\leq 2a & & \end{matrix}\right. \) Из условия имеем \( \frac{\log _{a}\frac{\sqrt{2a-x}}{a}}{\log _{a}\sqrt{a}}-\frac{\log _{a}x}{\log _{a}\frac{1}{a}}=0 \Leftrightarrow \log _{a}\left ( 2a-x \right )+\log _{a}x=2 \Leftrightarrow \log _{a}x\left ( 2a-x \right )=2 \), откуда \( x^{2}-2ax+a^{2}, \left ( x-a \right )^{2}=0 \Leftrightarrow x=a \)

Ответ: \( a )\, где \( 0< a\neq 1 )\

Решение №17704: \( \lg 56 =\lg \left ( 7*8 \right )=\lg 7+\lg 8=\lg 7+3\lg 2=\frac{\log _{2}7}{\log _{2}10}+3\lg 2=\log _{2}7*\lg 2+3\lg 2=ab+3a=a\left ( b+3 \right ) \)

Ответ: \( a\left ( b+3 \right ) )\

Решение №17705: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} x> 0, & & \\ 0< a\neq 1 & & \end{matrix}\right. \) Перейдем к основанию \( a \) Имеем \( \log _{a}x+2\log _{a}x+\frac{3}{2}\log _{a}x=27 \Leftrightarrow \log _{a}x=6 \), откуда \( x=a^{6}\)

Ответ: \( a^{6} )\, где \( 0< a\neq 1 )\

Решение №17706: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} x> 0, & & \\ 0< a\neq 1 & & \end{matrix}\right. \) Перейдем к основанию \( a \) Имеем \( \log _{a}x+\frac{1}{2}\log _{a}x+\frac{1}{3}\log _{a}x=11 \Leftrightarrow \log _{a}x=6 \), откуда \( x=a^{6} \)

Ответ: \( a^{6} , 0< a\neq 1 )\

Решение №17707: \( \left ( b^{\frac{\log _{100}a}{\lg a}}*a^{\frac{\log _{100}b}{\lg b}} \right )^{2\log _{ab}\left ( a+b \right )}=\left ( b^{\frac{1}{2}\frac{\lg a}{\lg b}}*a^{\frac{1}{2}\frac{\lg b}{\lg b}} \right )^{2\log _{ab}\left ( a+b \right )}=\left ( \left ( ab \right )^{\frac{1}{2}} \right )^{2\log _{ab}\left ( a+b \right )}=\left ( ab \right )^{\log _{ab}\left ( a+b \right )}=a+b \)

Ответ: \( a+b )\

Решение №17708: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} 0< m\neq 1 & & & \\ 0< x\neq 1 & & & \\ x< 2m & & & \end{matrix}\right. \) Перейдем к основанию \( m \), тогда \( \frac{1}{\log _{m}x}*\frac{\log _{m}\frac{m}{\sqrt{2m-x}}}{\log _{m}m}=1 \Leftrightarrow \log _{m}x+\log _{m}\left ( 2m-x \right )=2 \Rightarrow \log _{m}x\left ( 2m-x \right )=2 \) Тогда \( x^{2}-2mx+m^{2}=0, \left ( x-m \right )^{2}=0 \), откуда \( x=m \)

Ответ: \( m )\, где \( 0< m\neq 1 )\

Решение №17709: ОДЗ: \( x\neq 0 \) Разделив обе части уравнения на \( 25^{\frac{1}{x}} \), имеем \( 2^{\frac{2}{x}}-4.25\left ( 2^{ \frac{ 1}{ x}} \right ) + 1 = 0 \), откуда, решая уравнение как квадратное относительно \( 2^{\frac{1}{x}} \), получим \( \left (2^{\frac{1}{x}} \right )_{1}=\frac{1}{4} \), откуда \( \left ({\frac{1}{x}} \right )_{1}=-2, x_{1}=-\frac{1}{2} \), или \( \left (2^{\frac{1}{x}} \right )_{1}=4 \), откуда \( \left ({\frac{1}{x}} \right )_{2}=2, x_{2}=\frac{1}{2} \)

Ответ: \( x_{1}=-\frac{1}{2}; x_{2}=\frac{1}{2} )\

Решение №17710: ОДЗ: \( 0< x\neq 1 . \left ( x^{1+\frac{1}{2\log _{4}x}}+8^{\frac{1}{3\log _{x^{2}}2}}+1 \right )^{1/2}=\left ( x*x^{\frac{1}{\log _{2}x}}+2^{\frac{1}{\log _{x^{2}}2}}+1 \right )^{\frac{1}{2}}=\left ( x*x^{\log _{2}x}+2^{\log _{2}x^{2}}+1 \right )^{\frac{1}{2}}=\left ( 2x+x^{2}+1 \right )^{\frac{1}{2}}=\sqrt{\left ( x+1 \right )^{2}}=\left | x+1 \right |=x+1 \) ( с учетом ОДЗ: 0< x\neq 1) \)

Ответ: \( x+1 )\, где \( 0< x\neq 1 )\

Решение №17711: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} 0< a\neq 1, & & & \\ x\neq 2a, & & & \\ 0< x\neq 1 & & & \end{matrix}\right. \) Перейдем к основанию \( a \) Имеем \( \frac{\log _{a}a}{\log _{a}\sqrt{x}}*\frac{\log _{a}\frac{a^{2}}{2a-x}}{\log _{a}a^{2}}=1 \Leftrightarrow \log _{a}\left ( 2a-x \right )+\log _{a}x=2 \Leftrightarrow \log _{a}x\left ( 2a-x \right )=2, x\left ( 2a-x \right )=a^{2}, x^{2}-2ax+a^{2}=0, \left ( x-a \right )^{2}=0 \), откуда \( x=a \)

Ответ: \( x=a )\, где \( 0< a\neq 1 )\

Решение №17712: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} y> 0, & \\ y+5> 0 & \\ 0< a\neq 1 & \end{matrix}\right.\left\{\begin{matrix} y> 0 & \\ 0< a\neq 1 & \end{matrix}\right. \) Имеем \( log_{a}\left ( y\left ( y+5 \right )*0.02 \right )=0 ,0.02y^{2}+0.1y=1 , 0.02y^{2}+0.1y-1=0 \), откуда \( y_{1}=5; y_{2}=-10 \) не подходит по ОДЗ.

Ответ: \( y=5 0< a\neq 1)\

Решение №17713: Продолжим сторону \(АС\) треугольника \(АВС\) на отрезок \(CD\), равный стороне \(ВС\) (рис. 51, б). В треугольнике \(ABD\) известны стороны \(АВ\) и \(АD = АС + СВ\) и угол А между ними, поэтому его можно построить. Серединный перпендикуляр к стороне \(BD\) пересекает сторону \(AD\) в искомой точке \(С\).

Ответ: NaN

Решение №17714: Сначала построим окружность, диаметром которой служит данная гипотенуза \(АВ\), а затем построим окружность с центром \(А\), радиус которой равен данному катету. Точки \(С_{1}\) и \(С_{2}\), в которых пересекаются построенные окружности (см. рис. ниже, б), являются вершинами искомых треугольников \(АВС_{1}\) и \(АВС_{2}\)

Ответ: NaN

Решение №17715: Пусть прямая \(ВН\) пересекает прямую \(АD\) в точке \(F\) (см. рис. ниже). Прямоугольные треугольники \(АВЕ\) и \(ВСР\) равны по катету и острому углу. Поэтому \(AF = ВР = BQ\). Следовательно, \(CDFQ\) прямоугольник. Все вершины этого прямоугольника лежат на окружности с диаметром \(FС\); на этой же окружности лежит точка \(Н\). Отрезок \(DQ \)также является диаметром этой окружности, поэтому угол \(DHQ\) прямой.

Ответ: NaN

Решение №17716: Пусть точка \(О\) — середина отрезка \(АС\). Тогда \(AC\perp BO\) и \(AC\perp OD\).

Ответ: NaN

Решение №17717: Треугольники \(OAD\) и \(ОВС\) равны по двум сторонам \((ОА = ОВ и OD = ОВ + BD =ОА + АС = ОС)\) и углу между ними. Треугольники \(ЕАС\) и \(EBD\) равны по стороне \((АС = BD)\) и прилежащим к ней углам (углы \(С\) и \(D\) являются равными углами треугольников \(ОАD\) и \(ОВС\), а углы \(А\) и \(В\) являются смежными с равными углами этих треугольников). Треугольники \(ОЕС\) и \(OED\) равны по трём сторонам (сторона \(ОЕ\) у них общая, равенство сторон \(ОС\) и \(OD\) следует непосредственно из условия, равенство сторон \(ЕС\) и \(ED\) следует из равенства треугольников \(ЕАС\) и \(EBD\)). Из равенства треугольников \(ОЕС\) и \(OED\) следует равенство углов \(СОЕ\) и \(DOE\).

Ответ: NaN

Решение №17718: Докажите сначала, что треугольники \(ОВА\) и \(ОВС\) равны по стороне и прилежащим к ней углам.

Ответ: NaN

Решение №17719: Пусть \(F\) и \(G\) — точки пересечения отрезка \(СЕ\) с отрезками \(DB\) и \(DA\) (см. рис. ниже). Сначала докажите, что \(\Delta ACG = \Delta BEF\) (по стороне и прилежащим к ней углам), а затем докажите, что \(DF = DG\).

Ответ: NaN

Решение №17720: Проведите высоты \(АN_{1}\) и \(СМ_{1}\) и отметьте точку \(М\) на отрезке \(ВМ_{1}\) и точку \(N\) на отрезке \(CN_{1}\) так, что \(ММ_{1} = NN_{1}\) (см. рис. ниже).

Ответ: Да.

Решение №17721: Треугольники \(АВF\) и \(ЕВF\) равны по стороне \(ВF\) и прилежащим к ней углам, поскольку \(\angle AFB = 180^{\circ} - \angle ADF = \angle BFE\).

Ответ: NaN

Решение №17722: Точка \(О\) равноудалена от прямых \(DB\) и \(ВС\) и от прямых \(ЕС\) и \(СВ\), поэтому она равноудалена от прямых \(АВ\) и \(АС\). Луч \(ВО\) и точка \(С\) лежат по одну сторону от прямой \(АВ\), поэтому точки \(О\) и \(С\) лежат по одну сторону от прямой \(АВ\). Аналогично точки \(О\) и \(В\) лежат по одну сторону от прямой \(АС\). Следовательно, точка \(О\) лежит внутри угла \(ВАС\).

Ответ: NaN

Решение №17723: Пусть \(\angle MKB = \alpha\) и \(\angle KMB = \beta\). Тогда \(\alpha +\beta =120^{\circ}\) , поэтому \(\angle AKN = 180^{\circ}-60^{\circ}-\beta =\alpha\) и \(\angle CMN = \beta\) (рис. 117). Биссектрисы \(КВ\) и \(МВ\) внешних углов треугольника \(КМN\) пересекаются в точке \(В\), поэтому биссектриса угла \(KNM\) проходит через точку \(В\).

Ответ: NaN

Решение №17724: Пусть \(О\) — точка пересечения прямой \(ВМ\) и биссектрисы угла \(А\) (рис. 120). Тогда \(\angle ACM = 10^{\circ}= \angle OCM\) и \(\angle COM = 60^{\circ} = \angle AOM\), поэтому \(М\) — точка пересечения биссектрис треугольника \(АСО\). Следовательно, \(\angle MAO = 20^{\circ}\) .

Ответ: 60

Решение №17725: Пусть \(О\) точка пересечения прямых \(ВN\) и \(СМ\) (см. рис. ниже). Углы \(В\) и \(С\) треугольника \(ВСО\) равны \(50^{\circ}\) и \(40^{\circ}\) , поэтому \(NB\perp CM\). Отметьте на отрезке \(СО\) точку \({M}'\) так, что \(О{M}'\) = \)ОМ\). К треугольнику \(NBC\) и точке \({M}'\) получите, что \(\angle {M}'NB=60^{\circ}\) . Поэтому \(\angle NMC = \angle N{M}'O=30^{\circ}\).

Ответ: 30

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: нет

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: да

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \(t=\frac{l+s}{v}=2\) мин; нельзя.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: В такси – путь, в самолете – перемещение.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 5;1

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 500;700

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \(A\left( 20,20 \right)\); \(B \left( -10, 10 \right)\); \(C \left( 30, -10 \right)\); \(D \left( -10, -10 \right)\). \(AB=AC=31,6\) м; \(AD=42,4\) м; \(DC=40\) м.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: В системе \(XOY\): \(A \left( 10, 10 \right)\); \(B \left( 30, 20 \right)\); \(C \left( 10, -20 \right)\). \(AB \approx 22,4\) м; \(AC=30\) м. В системе \(X’O’Y’\): \(A \left( -10, 0 \right)\); \(B \left( 10, 10 \right)\); \(C \left( -10, -30 \right)\). \(AB \approx 22,4\) м.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 1-я точка: начальное положение (-1, 2); конечное (-3, 1); 2-я точка: начальное положение (1, 2); конечное (3, 3); 3-я точка: начальное положение (-2, -1); конечное (-2, -3); 4-я точка: начальное положение (2, -1); конечное (3, -3).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \( \Delta s _{1x}=-2\) м; \( \Delta s _{1y}=-1\) м; \( \Delta s _{2x}= 2\) м; \( \Delta s _{2y}= 1\) м; \( \Delta s _{3x}= 0\) м; \( \Delta s _{3y}=-2\) м; \( \Delta s _{4x}=1\) м; \( \Delta s _{4y}=-2\) м.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \(\Delta s _{1} \approx 2,24\) м; \(\Delta s _{2} \approx 2,24\) м; \(\Delta s _{3} \approx 2\) м; \(\Delta s _{4} \approx 2,24\) м.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \(\Delta t =2\) с; \(\Delta s _{x}=5\) м; \(\Delta s _{y}=-5\) м; \(\Delta s \approx 7\) м.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \(\Delta s_{x}=2\) м; \(\Delta s_{y}=2\) м; \(\Delta s\approx 2,8\) м; \(l=4\) м.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: Встреча возможна в точке пространства \(x=2\) м, \(y=1,5\) м при условии, что они будут в ней одновременно, т.е. в один и тот же момент времени.

Решение №17750: \(v_{2}=20\) км/ч

Ответ: 20

Решение №17751: \(u=\frac{v_{1}-v_{2}}{2}=2\) км/ч

Ответ: 2

Решение №17752: \({u}'=18\) м/с

Ответ: 18

Решение №17753: \(t=\frac{L_{1}+L_{2}}{v_{2}-v_{1}}=27\) с

Ответ: 27

Решение №17754: \(t=\frac{L}{v_{1}+v_{2}}=5\) с

Ответ: 5

Решение №17755: ?\(v_{чел}=v_{1}+v_{2}-v_{3}=-2,5\) м/с 3.6

Ответ: 2.5

Решение №17756: \(v_{2}=v_{1}+\frac{L}{t}=20\)м\с\(=72\) км/ч

Ответ: 72

Решение №17757: \(v_{отн}=v_{1}\frac{t_{2}-t_{1}}{t_{2}}=15\) км/ч\(=4,17\) м/с 3.8

Ответ: 4.17

Решение №17758: \(v=u\frac{t_{0}+\Delta t}{\Delta t}=260\) м/с

Ответ: 260

Решение №17759: \(v=u\frac{t_{0}-\Delta t}{\Delta t}=220\) м/с

Ответ: 220.0

Решение №17760: \(\Delta t=t_{0}\frac{u^{2}}{v^{2}-u^{2}}=0,04\) ч\(=2,42\) мин\(=145,2\) с

Ответ: 145

Решение №17761: \(S_{1}=L\frac{v_{1}}{v_{2}-v_{1}}=10\) км

Ответ: 10

Решение №17762: \(S=\frac{2ut_{1}t_{2}}{t_{1}-t_{2}}=48\) км; \(v=u\frac{t_{1}+t_{2}}{t_{1}-t_{2}}=14\) км/ч

Ответ: 14.0

Решение №17763: \(S=\frac{2vt_{1}t_{2}}{t_{1}+t_{2}}=45\) км; \(u=v\frac{t_{1}-t_{2}}{t_{1}+t_{2}}=3\) км/ч

Ответ: 45;3

Решение №17764: \(t_{3}=\frac{t_{1}t_{2}}{2t_{1}+t_{2}}=2,5\) ч

Ответ: 2.5

Решение №17765: \(t_{3}=\frac{t_{1}t_{2}}{t_{1}-t_{2}}=40\) с

Ответ: 40.0

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Решение №17767: \(u=vctg\alpha=25,9\) км/ч

Ответ: 25.98

Решение №17768: \(t=\frac{S}{\sqrt{v^{2}-u^{2}}}=1,685\) ч\(=6067\) с

Ответ: 6067

Решение №17769: \(t=\frac{S}{\sqrt{v^{2}-u^{2}}}=5,19\) ч

Ответ: 5.19