Решение №15782: \( \frac{\log _{a}b+\log _{a}\left (b^{1/2\log _{b}a^{2}} \right )}{\log _{a}b-\log _{ab}b}*\frac{\log _{ab}b*\log _{a}b}{b^{2\log _{b}\log _{a}b}-1}=\frac{\log _{a}b+\log _{a}a}{\log _{a}b-\frac{\log _{a}b}{1+\log _{a}b}}*\frac{\frac{\log _{a}b}{1+\log _{a}b}*\log _{a}b}{\log _{a}^{2}b-1}=\frac{\left ( 1+\log _{a}b \right )^{2}}{\log _{a}^{2}b}*\frac{\log _{a}^{2}b}{\left ( 1+\log _{a}b \right \)left ( \log _{a}b-1 \right \)left ( \log _{a}b+1 \right )}=\frac{1}{\log _{a}b-1} \)

Ответ: \( \frac{1}{\log _{a}b-1} )\

Решение №15783: ОДЗ: \( x> 0 \) Перейдем к основанию 5. Имеем \( \log _{5}x+\frac{1}{2}\log _{5}x=-\frac{1}{2}\log _{5}3 \Leftrightarrow 2\log _{5}x+\log _{5}x=\log _{5}\frac{1}{3} \Leftrightarrow \log _{5}x^{3}=\log _{5}\frac{1}{3} \) Отсюда имеем \( x^{3}=\frac{1}{3}, x=\frac{1}{\sqrt[3]{3}} \)

Ответ: \( \frac{1}{\sqrt[3]{3}} )\

Решение №15784: ОДЗ: \( 0< x\neq 1 \) Перейдем к основанию 2. Имеем \( \frac{1}{\log _{2}x}-\frac{1}{2}\log _{2}x+\frac{7}{6}=0 \Leftrightarrow 3\log _{2}^{2}x-7\log _{2}x-6=0 \) Решая это уравнение как квадратное относительно \( \log _{2}x \), найдем \( \left ( \log _{2}x \right )_{1}=-\frac{2}{3} \), или \( \left ( \log _{2}x \right )_{2}=3 \), откуда \( x_{1}=\frac{1}{\sqrt[3]{4}}, x_{2}=8 \)

Ответ: \( \frac{1}{\sqrt[3]{4}}; 8 )\

Решение №15785: ОДЗ: \( 0< x\neq 1 \) Записывая уравнение в виде \( \lg x^{1-\frac{2}{3}\lg x}=\lg \frac{1}{\sqrt[3]{100}} \) и логарифмируя обе части по основанию 10, получаем \( \left ( 1-\frac{2}{3}\lg x \right \)lg x =-\frac{1}{3}\lg 100, 2\lg ^{2}x-\lg x -2=0 \) Решая это уравнение как квадратное относительно \( \lg х \), находим \( \left ( \lg x \right )_{1}=-\frac{1}{2} \) или \( \left ( \lg x \right )_{2}=2 \), откуда \( x_{1}=10^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{10}}, x_{2}=10^{2}=100 \)

Ответ: \( \frac{1}{\sqrt{10}}; 100 )\

Решение №15786: ОДЗ: \( 0< x\neq 1 \) Логарифмируя обе части уравнения по основанию 10, получаем \( \lg x^{lg^{3} x-5\lg x}=\lg 0.0001\Rightarrow \left ( \lg ^{3}x-5\lg x \right \)lg x=-4, \lg ^{4}x-5\lg ^{2}x+4 =0 \) .Отсюда \( \left ( \lg x \right )_{1}=-1, \left ( \lg x \right )_{2}=1, \left ( \lg x \right )_{3}=-2, \left ( \lg x \right )_{4}=2 \) . Тогда \( x_{1}=\frac{1}{10}, x_{2}=10, x_{3}=\frac{ 1}{ 100}, x_{ 4} = 100 \) .

Ответ: \( \frac{1}{10}, \frac{1}{100}, 10, 100 )\

Решение №15787: ОДЗ: \( 0< x\neq 1 \) Логарифмируя обе части уравнения по основанию 10, получим \( \lg x^{2\lg ^{2}x}=\lg 10x^{3} \Leftrightarrow 2\lg x^{3}=1+3\lg x \Leftrightarrow 2\lg x^{3}-3\lg x-1=0 \Leftrightarrow 2\lg x^{3}+2-3\lg x-3=0 \Leftrightarrow 2\left ( \lg x+1 \right \)left ( \lg ^{2}x-\lg x+1 \right )-3\left ( \lg x+1 \right )=0 \Leftrightarrow \left ( \lg x+1 \right \)left ( 2\lg ^{2}x-2\lg x-1 \right )=0 \), откуда \( \left ( \lg x \right )_{1}=-1, \left ( \lg x \right )_{2}=\frac{1-\sqrt{3}}{2}, \left ( \lg x \right )_{3}=\frac{1+\sqrt{3}}{2} \) Получили \( x_{1}=\frac{1}{10}, x_{2}=10^{\frac{1-\sqrt{3}}{2}}, x_{3}=10^{\frac{1+\sqrt{3}}{2}} \)

Ответ: \( \frac{1}{10}, 10^{\frac{1-\sqrt{3}}{2}}, 10^{\frac{1+\sqrt{3}}{2}} )\

Решение №15788: ОДЗ: \( \log _{4x+1}7+\log _{9x}7=0 \left\{\begin{matrix} 0< 4x+1\neq 1 & & \\ 0< 9x\neq 1 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow 0< x\neq \frac{1}{9} \) Перейдем к основанию 7. Имеем \( \frac{1}{\log _{7}\left ( 4x+1 \right )}+\frac{1}{\log _{7}9x}=0\Rightarrow \log _{7}9x=-\log _{7}\left ( 4x+1 \right \)Leftrightarrow 9x=\frac{1}{4x+1}\Leftrightarrow 36x^{2}+9x-1=0 \), откуда \( x_{1}=\frac{1}{12}, x_{2}=-\frac{1}{3}; x_{2}=-\frac{1}{3} \) не подходит по ОДЗ.

Ответ: \( \frac{1}{12} )\

Решение №15789: ОДЗ: \( x> 0 \) Имеем \( \log _{2}^{2}4x+\log _{2}\frac{x^{2}}{8}-8=0, \left ( \log _{2}4+\log _{2}x \right )^{2}+\log _{2}x^{2}-\log _{2}8-8=0, \log _{2}^{2}x+6\log _{2}x-7= 0 \) Решая это уравнение как квадратное относительно \( \log _{ 2} x \), найдем \( \left (\log _{ 2} x \right )_{1}= -7 \), откуда \( x_{1}=2^{-7}=\frac{1}{128} \), или \( \left ( \log _{2}x \right )_{2}=1 \), откуда \( x_{2}=2 \)

Ответ: \( \frac{1}{128}; 2 )\

Решение №15790: ОДЗ: \( x> 0 \) Перейдем к основанию 4. Имеем \( 5*5^{\log _{4}x}+\frac{1}{5*5^{\log _{4}x}}-\frac{26}{5}=0\Leftrightarrow 25*\left ( 5^{\log _{4}x} \right )^{2}-26*5^{\log _{4}x}+1=0 \Rightarrow \left ( 5^{\log _{4}x} \right )_{1}=5^{-2}, \left ( 5^{\log _{4}x} \right )_{2}=5^{\circ} \), откуда \( \left ( \log _{4}x \right )_{1}=-2 \left ( \log _{4}x \right )_{2}=0 \) Следовательно, \( x_{1}=\frac{1}{16}, x_{2}=1 \)

Ответ: \( \frac{1}{16}; 1 )\

Решение №15791: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} x\neq > 0 & & \\ 27-3^{1/3}> 0 & & \end{matrix}\right. \lg 3^{1+\frac{1}{2x}}+\lg 2=\lg \left ( 27-3^{\frac{1}{x}} \right ) * \lg \left ( 2*3^{1+\frac{1}{2x}} \right )=\lg \left ( 27-3^{\frac{1}{x}} \right ), 2*3^{1+\frac{1}{2x}}=27-3^{\frac{1}{x}} , 3^{\frac{1}{x}}+6*3^{ \frac{1}{ 2x}} -27 =0 \) Это уравнение, квадратное относительно \( 3^{\frac{1}{2x}} \) ; найдем \( 3^{\frac{1}{2x}}=-9 \), которое не подходит, и \( 3^{ \frac{1}{2x}}= 3 \), откуда \( x=\frac{1}{2} \)

Ответ: \( \frac{1}{2} )\

Решение №15792: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} x+1.5> 0 & & \\ x> 0 & & \end{matrix}\right. \lg \left ( x+1.5 \right )+\lg x=0\Rightarrow \lg \left ( x+1,5 \right )x=0\Rightarrow x^{2}+1.5x-1=0 \), откуда \( x_{1}=\frac{1}{2}, x_{2}=-2; x_{2} =-2 \) не подходит по ОДЗ.

Ответ: \( \frac{1}{2} )\

Решение №15793: Из условия имеем \( 3*4^{x}+\frac{1}{3}*81*9^{x}=6*4*4^{x}-\frac{1}{2}*9*9^{x}\Rightarrow 3*9^{x}=2*4^{x}\Rightarrow \left ( \frac{9}{4} \right )^{x}=\frac{2}{3}, \left ( \frac{3}{2} \right )^{2x}=\left ( \frac{3}{2} \right )^{-1} \), откуда \( x=-\frac{1}{2} \)

Ответ: \( -\frac{1}{2} )\

Решение №15794: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} -x> 0, & & \\ x^{2}> 0 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow x< 0 \) Так как по ОДЗ \( x< 0 \), то имеем \( 4\log _{4}^{2}\left ( -x \right )+4\log _{4}\left ( -x \right )+1=0 \Leftrightarrow \left ( 2\log _{4}\left ( -x \right )+1 \right )^{2}=0 \Leftrightarrow 2\log _{4}\left ( -x \right )=-1, \log _{4}\left ( -x \right )=-\frac{1}{2} \) Отсюда \( -x=4^{-1/2}=\frac{1}{2}, x=-\frac{1}{2}\)

Ответ: \( -\frac{1}{2} )\

Решение №15795: ОДЗ: \( x> 0 \) Из условия \( \left\{\begin{matrix} 2^{2x+2y}=2^{y-x} & & \\ 2^{\log _{2}x^{4}}=y^{4}-5 & & \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} 2x+2y=y-x & & \\ x^{4}=y^{4}-5 & & \end{matrix}\right. \Rightarrow y=-3x \) Из второго уравнения \( x^{4}=\left ( -3x \right )^{4}-5, x^{4}=\frac{1}{16} \), откуда, учитывая ОДЗ, получаем \( x=\frac{1}{2}, y=-\frac{3}{2} \)

Ответ: \( \frac{1}{2}; -\frac{3}{2} )\

Решение №15796: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} \log _{x}\sqrt{5x}\geq 0, & & & \\ -\log _{x}5\geq 0, & & & \\ 0< x\neq 1 & & & \end{matrix}\right. \) или \( 0< x\leq \frac{1}{5} \) Возведя обе части уравнения в квадрат, имеем \( \log _{x}\sqrt{5x}=\log _{x}^{2}5\Leftrightarrow 2\log _{x}^{2}5-\log _{x}5-1=0\Rightarrow \left ( \log _{x}5 \right )_{1}=-\frac{1}{2}, x_{1}=\frac{1}{25} \) или \( \left ( \log _{x}5 \right )=1, x_{2}=5 ; x_{2}=5 \) не подходит по ОДЗ.

Ответ: \( \frac{1}{25} )\

Решение №15797: ОДЗ: \( 0< x\neq 1 \) Перейдем к основанию 5. Из условия получаем \( \sqrt{\log _{5}^{2}x+\frac{1}{\log _{x}^{2}5}+2}=2.5 \Leftrightarrow \sqrt{\frac{\log _{5}^{4}x+2\log _{5}^{2}x+1}{\log _{5}^{2}x}}=2.5 \Leftrightarrow \sqrt{\left ( \frac{\log _{5}^{2}x+1}{\log _{5}x} \right )^{2}}=2.5 \Leftrightarrow \frac{\log _{5}^{2}x+1}{\left | \log _{5}x \right |}=2.5 \) Получаем 2 случая: \( \left\{\begin{matrix} \log _{5}x< 0, & & \\ \log _{5}^{2}x+2.5\log _{5}x+1=0 & & \end{matrix}\right. \Rightarrow \left ( \log _{5}x \right )_{1}=\frac{1}{2}< 0, \left ( \log _{5}x \right )_{2}=-2< 0 \), откуда \( x_{1}=\frac{1}{\sqrt{5}} , x_{2}=\frac{1}{25} . \left\{\begin{matrix} \log _{5}x> 0, & & \\ \log _{5}^{2}x-2.5\log _{5}x+1=0 & & \end{matrix}\right. \Rightarrow \left ( \log _{5}x \right )_{3}=\frac{1}{2}> 0 , \left ( \log _{5}x \right )_{4}=2> 0 \), откуда \( x_{3}=\sqrt{5} , x_{4}=25 \)

Ответ: \( \frac{1}{25} ;\frac{1}{\sqrt{5}} ; \sqrt{5} ; 25 )\

Решение №15798: ОДЗ: \( 0< x\neq 1 \) Перейдем к основанию 27. Имеем \( \frac{2}{\log _{x}27}-3\log _{27}x-1=0\Rightarrow 3\log _{27}^{2}x+\log _{27}x-2=0 \) Решая это уравнение как квадратное относительно \( \log _{27}x \), получаем \( \left (\log _{27}x \right )_{1}=-1 \), откуда \( x_{1}=\frac{1}{27} \), или \( \left (\log _{27}x \right )_{2}=\frac{2}{3} \), откуда \( x_{2}=27^{\frac{2}{3}}=9 \)

Ответ: \( \frac{1}{27} ; 9 )\

Решение №15799: ОДЗ: \( \begin{bmatrix} x\geq 3, & & \\ 0< x< 1. & & \end{bmatrix} \) Перейдем к основанию 3. Получаем \( 2\log_{3}x*\sqrt{2-\frac{2}{\log_{3}x}}+4=0 \Leftrightarrow \log_{3}x*\sqrt{\frac{2\log_{3}x-2}{\log_{3}x}}=-2 \Rightarrow \left\{\begin{matrix} \log_{3}^{2}x-\log_{3}x-2=0 & & \\ \log_{3}x< 0 & & \end{matrix}\right. \) Решая это уравнение как квадратное относительно \( \log_{3}x \), имеем \( \left ( \log_{3}x \right )_{1}=-1 \), или \( \left ( \log_{3}x \right )_{2}=2; \left ( \log_{3}x \right )_{2}=2 \) - постороннее решение. Отсюда \( x=3^{-1}=\frac{1}{3} \)

Ответ: \( \frac{1}{3} )\

Решение №15800: ОДЗ: \( 2^{1.5x-2.5}+2^{1.5x-0.5}-0.01*5^{3x+1}> 0 \) По определнию логарифма получаем \( 2^{1.5x-2.5}+2^{1.5x-0.5}-0.01*5^{3x+1}=5^{3x-1} \Leftrightarrow \frac{2^{1.5x}}{2^{2.5}}+\frac{2^{1.5x}}{2^{0.5}}-0.05*5^{3x}=\frac{5^{3x}}{5} \Leftrightarrow \frac{2^{1.5x}}{2^{2.5}}+\frac{2^{1.5x}}{2^{0.5}}=\frac{5^{3x}}{5}+\frac{5^{3x}}{20} \Leftrightarrow \frac{2^{1.5x}}{2^{2.5}}=\frac{5^{3x}}{2^{2}*5} \Leftrightarrow 2^{1.5x-0.5}=5^{3x-1} \Rightarrow \left\{\begin{matrix} 1.5x-0.5=0, & & \\ 3x-1=0, & & \end{matrix}\right. \), откуда \( x=\frac{1}{3} \)

Ответ: \( \frac{1}{3} )\

Решение №15801: Очевидно, что \( x\neq 3 \), следовательно, \( \left | x-3 \right |> 0 \) Логарифмируя обе части уравнения по основанию 10, имеем \( \left ( 3x^{2}-10x+3 \right \)lg \left | x-3 \right |=0 \), откуда \( 3x^{2}-10x+3=0 \), или \( \lg \left | x-3 \right |=0 \) Корнями квадратного уравнения \( 3x^{2}-10x+3=0 \), будут \( x_{1}=\frac{1}{3} \), и \( x_{2}=3 \) Из уравнения \( \lg \left | x-3 \right |=0 \), найдем \( \left | x-3 \right |=1 \Rightarrow x-3=-1 \), или \( x-3=1 \) Тогда \( x_{3}=2, x_{4}=4; x_{2}=3 \) не подходит по ОДЗ логарифма.

Ответ: \( \frac{1}{3}; 2; 4 )\

Решение №15802: ОДЗ: \( x> 0 \) Перепишем уравнение в виде \( \left ( \frac{5}{2} \right )^{\log_{3}x}+\left ( \frac{2}{5} \right )^{\log_{3}x}-2.9=0 \) Умножив уравнение на \( \left ( \frac{5}{2} \right )^{\log_{3}x} \), получим \( \left ( \frac{5}{2} \right )^{2\log_{3}x}-2.9*\left ( \frac{5}{2} \right )^{\log_{3}x}+1=0 \) Решив это уравнение как квадратное относительно \( \left ( \frac{5}{2} \right )^{\log_{3}x} \), найдем \( \left ( \left ( \frac{5}{2} \right )^{\log_{3}x} \right )_{1}=\left ( \frac{5}{2} \right )^{-1} \), откуда \( \log_{3}x=-1, x_{1}=\frac{1}{3} \), или \left ( \left ( \frac{5}{2} \right )^{\log_{3}x} \right )_{2}=\frac{5}{2} \), откуда \( x_{2}=3\)

Ответ: \( \frac{1}{3}; 3)\

Решение №15803: ОДЗ: \( 0< x\neq 1 \) Перейдем к основанию 3. Имеем \( \frac{1}{\log _{3}x}+\log _{3}x=\frac{2}{\log _{3}x}+\frac{1}{2}\log _{3}x+\frac{1}{2} \Leftrightarrow \log _{3}^{2}x-\log _{3}x-2=0 \Rightarrow \left ( \log _{3}x \right )_{1}=-1 \), или \( \left ( \log _{3}x \right )_{2}=2 \), откуда \( x_{1}=\frac{1}{3}, x_{2}=9 \)

Ответ: \( \frac{1}{3}; 9 )\

Решение №15804: Перепишем уравнение в виде \( \left | x-2 \right |^{10x^{2}-3x-1}=\left | x-2 \right |^{\circ} \) Тогда получим два случая: \( \left | x-2 \right |=1 \), откуда \( x-2=-1 \), или \( x-2=1 , x_{1}=1 ,x_{2}=3; \left\{\begin{matrix} 0< x\left | x-2 \right |\neq 1 & & \\ 10x^{2}-3x-=0 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\neq 2 & & \\ x\neq 1, x\neq 3 & & \\ x_{3}=-\frac{1}{5}, x_{4}=\frac{1}{2} & & \end{matrix}\right. \.

Ответ: \( -\frac{1}{5} ; \frac{1}{2}; 1; 3 )\

Решение №15805: ОДЗ: \( x\neq 0 \) Перепишем уравнение в виде \( 2^{\frac{x}{2}}*2^{\frac{x}{3}}*2^{-\frac{1}{2x}}=2^{2}*2^{\frac{1}{3}}, 2^{\frac{x}{2}+\frac{x}{3}-\frac{1}{2x}}=2^{2+\frac{1}{3}} \), откуда \( \frac{x}{2}+\frac{x}{3}-\frac{1}{2x}=\frac{7}{3}, 5x^{2}-14x-3=0 \) Тогда \( x_{1}=-\frac{1}{5}, x_{2}= 3 \)

Ответ: \( -\frac{1}{5}, 3 )\

Решение №15806: ОДЗ: \( 0< x\neq 1 \) Перейдем к основанию 5. Тогда получаем \( \frac{\log _{5}125x}{\log _{5}x}*\frac{\log _{5}^{2}x}{\log _{5}^{2}25}=1 \Leftrightarrow \log _{5}^{2}x+3\log _{5}x-4=0 \) Решая это уравнение как квадратное относительно \( \log _{5}x \), имеем \( \left ( \log _{5}x \right )_{1}=1 \), или \( \left ( \log _{5}x \right )_{2}=-4 \), откуда \( x_{1}=5, x_{2}=\frac{1}{625} \)

Ответ: \( \frac{1}{625}; 5 )\

Решение №15807: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} 3\log _{2}^{4}x-\log _{2}^{2}x-9\geq 0, & & \\ 0< x\neq 1. & & \end{matrix}\right. \) Возведем обе части уравнения в квадрат. Тогда \( \frac{3\log _{2}^{4}x-\log _{2}^{2}x-9}{\log _{2}^{2}x}=25 \Leftrightarrow 3\log _{2}^{4}x-26\log _{2}^{2}x-9=0 \) Решая это уравнение как биквадратное относительно \( \log _{2}x \), найдем \( \left ( \log _{2}x \right )_{1}=-3 \), и \( \left ( \log _{2}x \right )_{2}=3 \), откуда \( x_{1}=\frac{1}{8} , x_{2}=8 \)

Ответ: \( \frac{1}{8}; 8 )\

Решение №15808: ОДЗ: \( 0< x\neq 1 \) Имеем \( \frac{\log _{3}9x^{2}}{\log _{3}x}*\log _{2}^{3}x=4 , \left ( \log _{3}9+\log _{3}x^{2} \right \)log _{3}x=4 , \log _{3}^{2}x+\log _{3}x-2=0 \) Решая это уравнение как квадратное относительно \( \log _{3}x \), найдем \( \left ( \log _{3} x \right )_{1}= -2 \), откуда \( x_{1}= \frac{ 1}{ 9} , \left (\log _{3}x \right )_{2}=1 \), откуда \( x_{ 2 }= 3 \)

Ответ: \( \frac{1}{9} ; 3 )\

Решение №15809: ОДЗ: \( x> 0 \) Имеем \( \log _{3}x*\frac{1}{2}\log _{3}x*\frac{1}{3}\log _{3}x*\frac{1}{4}\log _{3}x=\frac{2}{3} , \log _{4}^{3}x=16 \), откуда \( \left ( \log _{3}x \right )_{1}=-2 \) или \( \left ( \log _{3}x \right )_{2}=2 \) Отсюда \( x_{1}=\frac{1}{9}. x_{2}=9 \)

Ответ: \( \frac{1}{9}; 9 )\

Решение №15810: Отметим на окружности три точки \(А\), \(В\) и \(С\). Центр окружности это точка пересечения серединных перпендикуляров к отрезкам \(АВ\) и \(ВС\).

Ответ: NaN

Решение №15811: Сначала через данную точку \(А\) проведите диаметр окружности, а затем через точку \(А\) проведите прямую, перпендикулярную этому диаметру.

Ответ: NaN

Решение №15812: Сначала постройте угол с вершиной \(А\), равный данному углу \(А\). Затем на од- ной из его сторон отложите отрезок \(АВ\), равный данной стороне, и постройте окружность с центром \(В\), радиус которой равен данной стороне \(ВС\). Точки, в которых эта окружность пересекает другую сторону угла, искомые вершины \(С\). Задача может иметь два решения (как на рисунке ), одно решение или не иметь решений.

Ответ: NaN

Решение №15813: Проведите через данную точку прямую, перпендикулярную биссектрисе угла.

Ответ: NaN

Решение №15814: Проведите сначала диаметр\( АВ\) окружности с центром \(О\), а затем через точку \(О\) проведите прямую, перпендикулярную прямой \(АВ\). Эта прямая пересекает окружность в точках \(С\) и \(D\) (рис. 135). Точки \(А\), \(С\), \(В\) и \(D\) — вершины искомого квадрата.

Ответ: NaN

Решение №15815: Проведите сначала диаметр \(АВ\) окружности с центром \(О\), а затем проведите окружность с центром \(А\) и радиусом \(АО\). Эта окружность пересекает данную окружность в точках \(Р\) и \(Q\) (рис. 136). Треугольник \(BPQ\) искомый.

Ответ: NaN

Решение №15816: Отложите на продолжении стороны \(АС\) за точку \(А\) отрезок \(АD\) равный стороне \(АВ\) (см.рис.). Тогда \(\angle CBD = \angle B + \frac{\angle A}{2}=90^{\circ}-\frac{\angle C - \angle B}{2}\). В треугольнике \(CBD\) известны стороны \(ВС\) и \(CD\) и угол \(СBD\). Такой треугольник можно построить. Затем проведите серединный перпендикуляр к отрезку \(BD\) и найдите вершину \(А\).

Ответ: NaN

Решение №15817: Отложите на продолжении катета \(ВС\) за точку \(В\) отрезок \(ВD\) равный гипотенузе \(АВ\) (рис. 138). Прямоугольный треугольник \(АDС\) можно построить по двум катетам. Вершину В можно построить как точку пересечения стороны \(CD\) и серединного перпендикуляра к стороне \(AD\).

Ответ: NaN

Решение №15818: Рассмотрите прямоугольный треугольник \(АВС\) и отложите на продолжении катета \(ВС\) за точку \(С\0 отрезок \(СD\), равный катету \(АС\) (рис. 139, а). В треугольнике \(ABD\) нам известен угол D (он равен \(45^{\circ}\) ) и стороны \(BD\) и \(АВ\). Этот треугольник можно построить следующим образом. Постройте угол с вершиной \(D\), равный \(45^{\circ}\) , отложите на одной его стороне отрезок \(DB\), равный данной сумме катетов, и найдите точки \(А_{1}\) и \(A_{2}\) пересечения другой стороны и окружности с центром В, радиус которой равен гипотенузе (рис. ниже). Из точек \(А_{1}\) и \(А_{2}\) проведите перпендикуляры \(А_{1} С_{1}\) и \(А_{2}С_{2}\) к прямой \(ВD\) Треугольники \(А_{1}ВС_{1}\) и \(А_{2}ВС_{2}\) искомые.

Ответ: NaN

Решение №15820: Отметьте на стороне \(АС\) треугольника \(АВС\) точку \(D\) так, что \(CD = СВ\), т. е. \(AD = АС — ВС\) (рис. 141). Тогда \(\angle DBC = 90^{\circ}-\frac{\angle C}{2}=\frac{\angle A +\angle B}{2}\) и \(\angle ABD = 180^{\circ} - \frac{\angle A +\angle B}{2}\) В треугольнике \(ABD\) известны сторона \(AD\) и прилегающие к ней углы, поэтому его можно построить. Затем вершину \(С\) можно построить как точку пересечения луча \(AD\) и серединного перпендикуляра к отрезку \(ВD\).

Ответ: NaN

Решение №15821: Рассмотрите треугольник \(АВС\) и удвойте его медиану \(ВМ\), построив точку \(B_{1}\). Стороны треугольника \(АВВ_{1}\) известны, поэтому его можно построить. Затем постройте медиану \(АМ\) этого треугольника и удвойте её. В результате получена вершина \(С\).

Ответ: NaN

Решение №15822: Рассмотрите треугольник \(АВС\) и удвойте его медиану \(ВМ\), построив точку \(B_{1}\). Сторона \(ВВ_{1}\) треугольника \(АВВ_{1}\) и прилежащие к ней углы известны, поэтому этот треугольник можно построить. Затем постройте его медиану \(АМ\) и удвойте её. В результате получена вершина \(С\).

Ответ: NaN

Решение №15823: Сначала постройте прямоугольный треугольник \(СМН\) по гипотенузе \(СМ\) и катету \(СН\), а затем на прямой \(МН\) отложите отрезки \(МА\) и \(МВ\), равные половине стороны \(АВ\) (рис. ниже).

Ответ: NaN

Решение №15824: Сначала постройте прямоугольный треугольник \(ADН\) по гипотенузе \(АD\) и катету \(АН\). Затем от луча \(АD\) отложите по разные стороны от него два угла, равные половине угла \(А\) (рис. ниже).

Ответ: NaN

Решение №15825: Сначала постройте прямоугольный треугольник \(АВН\) по гипотенузе \(АВ\) и катету \(АН\). Затем постройте прямоугольный треугольник, равный треугольнику \(АМН\), по гипотенузе \(АМ\) и катету \(АН\). От построенной ранее точки Н на прямой \(ВН\) отложите два отрезка \(НМ_{1}\) и \(НМ_{2}\), равные катету \(МН\) (рис. ниже). Затем постройте два отрезка \(ВС_{1}\) и \(ВС_{2}\) так, чтобы точки \(М_{1}\) и \(М_{2}\) были их серединами.

Ответ: NaN

Решение №15826: Постройте прямоугольные треугольники \(АВН\) и \(АСН\) по гипотенузе и катету; эти треугольники могут лежать либо по одну сторону от прямой \(АН\), либо по разные стороны.

Ответ: NaN

Решение №15827: Постройте окружность, диаметром которой служит отрезок с концами в данных точках. Возьмите одну из точек пересечения построенной окружности с данной окружностью и проведите из неё лучи через в данные точки до пересечения с данной окружностью (рис. ниже). Второй прямоугольный треугольник изображён штриховой линией.

Ответ: NaN

Решение №15828: Точки \(А_{1}\) и \(В_{1}\) лежат на окружности диаметром \(АВ\). Центр этой окружности можно построить как точку пересечения прямой \(I\) и серединного перпендикуляра к отрезку \(А_{1}В_{1}\) . Затем можно построить саму эту окружность и найти точки \(А\) и \(В\). Точка С строится как точка пересечения прямых \(АВ_{1}\) и \(ВА_{1}\) .

Ответ: NaN

Решение №15829: Предположите, что прямоугольник \(ABCD\) построен. Опустите из точки \(Р\) перпендикуляр \(PR\) на прямую \(ВС\). Прямоугольный треугольник \(PQR\) можно построить по гипотенузе \(PQ\) и катету \(PR = АВ = а\). Построив точку R, строим прямые \(ВС\) и \(AD\) и опускаем на них перпендикуляры из точек \(М\) и \(N\).

Ответ: NaN

Решение №15830: Если поместить вершину угольника на окружности, то его стороны пересекут окружность в двух точках, являющихся концами одного диаметра. Построив два диаметра, можно построить точку их пересечения, т. е. центр окружности.

Ответ: NaN

Решение №15831: Проведите через точки \(А\) и \(В\) прямые \(АР\) и \(BQ\), перпендикулярные прямой \(АВ\), а затем проведите произвольный перпендикуляр к прямой \(АР\). В результате получен прямоугольник. Постройте точку пересечения его диагоналей и опустите из неё перпендикуляр на прямую \(АВ\).

Ответ: NaN

Решение №15832: Проведите через точку \(В\) прямую \(l\), перпендикулярную прямой \(АВ\). Затем через точку \(А\) проведите произвольно две перпендикулярные прямые; они пересекают прямую \(I\) в точках \(М\) и \(N\). Достройте прямоугольный треугольник \(МАN\) до прямоугольника \(MANR\). Основание перпендикуляра, опущенного из точки \(R\) на прямую \(АВ\), является искомой точкой \(С\).

Ответ: NaN

Решение №15833: Опустите из точки \(А\) перпендикуляр \(АР\) на прямую \(ОВ\) и постройте отрезок \(АС\), серединой которого является точка \(Р\). Тогда угол \(АОС\) искомый.

Ответ: NaN

Решение №15834: Постройте точку \(В_{1}\) так, чтобы точка \(О\) была серединой отрезка \(ВВ_{1}\) . Расположите чертёжный угольник так, чтобы его стороны проходили через точки \(В\) и \(В_{1}\) а его вершина лежала на луче \(ОА\). Пусть \(А\) — вершина расположенного таким образом прямого угла. Тогда угол \(А _{1}В_{1}В\) искомый.

Ответ: NaN

Решение №15835: Предположим, что три точки \(А\), \(В\), \(С\) окружности с центром \(О\) лежат на прямой \(l\). Тогда точка \(О\) лежит на серединном перпендикуляре к отрезку \(АВ\) и на серединном перпендикуляре к отрезку \(ВС\). Середины отрезков \(АВ\) и \(ВС\) не совпадают, поэтому из точки \(О\) можно провести два перпендикуляра к прямой \(l\). Это противоречит тому, что из данной точки можно провести только один перпендикуляр к данной прямой, поэтому предположение неверно.

Ответ: NaN

Решение №15836: Рассмотрим окружность, диаметром которой служит диагональ \(АС\) прямоугольника \(АВСD\) . Углы \(АВС\) и \(АDС\) прямые, поэтому точки \(В\) и \(D\) лежат на этой окружности.

Ответ: NaN

Решение №15837: Середины \(М\) и \(N\) сторон \(АС\) и \(ВС\) равностороннего треугольника \(АВС\) являются основаниями высот, проведённых из вершин \(В\) и \(А\). Поэтому углы \(АМВ\) и \(ANB\) прямые, а значит, точки \(М\) и \(N\) лежат на окружности, построенной на отрезке \(АВ\) как на диаметре.

Ответ: NaN

Решение №15838: Точка \(O_{1}\) равноудалена от точек \(А\) и \(В\), поэтому она лежит на серединном перпендикуляре к отрезку \(АВ\). Точка \(O_{2}\) тоже лежит на серединном перпендикуляре к отрезку \(АВ\).

Ответ: NaN

Решение №15839: Предположите, что окружности с центрами \(О_{1}\) и \(O_{2} пересекаются в трёх точках \(А\), \(В\) и \(С\). Эти точки не могут лежать на одной прямой, поскольку прямая не может пересекать окружность в трёх точках. Прямые \(АВ\) и \(АС\) перпендикулярны прямой \(O_{1}O{2}\). Эти прямые не совпадают, поэтому из точки \(А\) проведены два перпендикуляра к одной прямой.

Ответ: NaN

Решение №15840: Середины хорд, которые окружности высекают на прямой, совпадают.

Ответ: NaN

Решение №15841: Пусть диаметр \(АВ\) проходит через середину \(М\) хорды \(CD\). Предположите, что хорда \(CD\) не является диаметром. Тогда центр \(О\) окружности не лежит на хорде \(СD\), в частности, точки \(О\) и \(М\) различны (рис. 127). Точки \(О\) и \(М\) лежат на диаметре \(АВ\) и равноудалены от точек \(С\) и \(D\), поэтому прямая \(АВ\) — серединный перпендикуляр к хорде \(CD\).

Ответ: NaN

Решение №15842: Предположите, что общая середина \(М\) хорд \(АВ\) и \(CD\) не совпадает с центром О окружности. Тогда обе прямые \(АВ\) и \(CD\) перпендикулярны прямой \(ОМ\).

Ответ: NaN

Решение №15843: ОДЗ: \( 0< x\neq 1 \) Перепишем уравнение в виде \( \left ( 3^{\log _{3}} \right )^{\log _{3}}+x^{\log _{3}}=162\Leftrightarrow x^{\log _{3}}+x^{\log _{3}}=162\Leftrightarrow x^{\log _{3}}=81\Leftrightarrow \log _{3}^{2}x=4 \) Тогда \( \left ( \log _{3}x \right )_{1}=-2 \), или \( \left ( \log _{3}x \right )_{2}=2 \), откуда \( x_{1}=\frac{1}{9}, x_{2}=9 \)

Ответ: \( \frac{1}{9}; 9 )\

Решение №15844: ОДЗ: \( x> 0 \) Перейдем к основанию 3. Тогда \( \left | 2\log _{3}x-2 \right |-\left | \log _{3}x-2 \right |=2 \) Раскрывая модули получим три случая: \( \left\{\begin{matrix} \log _{3}x< 1, & & \\ -2\log _{3}x+2+\log _{3}x-2=2 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \log _{3}x< 1, & & \\ \log _{3}x=-2 & & \end{matrix}\right. \Rightarrow x_{1}=3^{-2}=\frac{1}{9}; \left\{\begin{matrix} 1\leq \log _{3}x< 2, & & \\ 2\log _{3}x-2+\log _{3}x+2=2 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 1\leq \log _{3}x< 2, & & \\ \log _{3}x=2 & & \end{matrix}\right. \log _{3}x=2 \), не подходит так как \( \log _{3}x< 2 . \left\{\begin{matrix} \log _{3}x\geq 2, & & \\ 2\log _{3}x-2-\log _{3}x+2=2 & & \end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix} \log _{3}x\geq 2, & & \\ \log _{3}x=2 & & \end{matrix}\right. \Rightarrow x_{2}=3^{2}=9 \)

Ответ: \( \frac{1}{9}; 9 )\

Решение №15845: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} 0< a\neq 1, & & \\ 0< x\neq 1. & & \end{matrix}\right. \) Перейдем к основанию \( a \)Получаем \( \frac{3\log_{a}x-2}{\log_{a}^{2}x}=2\log_{a}x-3 \Leftrightarrow 2\log_{a}^{3}x-3\log_{a}^{2}x-3\log_{a}x+2=0 \), т.к. \( \log_{a}x\neq 0 \) Далее имеем \( 2\left ( \log_{a}^{3}x \right )-3\log_{a}x\left ( \log_{a}x+1 \right )=0 \Leftrightarrow 2\left ( \log_{a}x+1 \right \)left ( \log_{a}^{2}x-\log_{a}x+1 \right )-3\log_{a}x\left ( \log_{a}x+1 \right )=0 \Leftrightarrow \left ( \log_{a}x+1 \right \)left ( 2\log_{a}^{2}x-5\log_{a}x+2 \right )=0 \), откуда \( \log_{a}x+1=0 \), или \( 2\log_{a}^{2}x-5\log_{a}x+2=0 \) Из первого уравнения \( \log_{a}x=-1, x_{1}=\frac{1}{a} \) Из второго уравнения \( \log_{a}x=\frac{1}{2} \), или \( \log_{a}x=2 \), откуда \( x_{2}=\sqrt{a}, x_{3}=a^{2} \)

Ответ: \( \frac{1}{a}; \sqrt{a}; a^{2} )\

Решение №15846: \( \log _{\sqrt{3}}\sqrt[6]{a}=\frac{1}{6}*2\log _{3}a=\frac{1}{3\log _{a}3}= \frac{1}{\log _{a}27} = \frac{1}{b} \)

Ответ: \( \frac{1}{b} )\

Решение №15847: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} x-y> 0 & & & \\ x+y> 0 & & & \\ 0< xy\neq 1 & & & \end{matrix}\right. \) Имеем \( \left\{\begin{matrix} x-y=xy & & \\ x+y=1 & & \end{matrix}\right. \Rightarrow y=1-x, x-\left ( 1-x \right )-x\left ( 1-x \right )=0, x^{2}+x-1=0 \), откуда \( x_{1}=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}, x_{2}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}, y_{1}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}, y_{2}=\frac{3-\sqrt{5}}{2} \) Тогда с учетом ОДЗ имеем \( x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}, y=\frac{3-\sqrt{5}}{2} \)

Ответ: \( \frac{-1+\sqrt{5}}{2}; \frac{3-\sqrt{5}}{2} )\

Решение №15848: ОДЗ: \( 0< x\neq 1 \) Из условия имеем \( \log _{2}3+\log _{2}x=x^{\frac{\log _{3}4}{\log _{3}x}} \Leftrightarrow \log _{2}3+\log _{2}x=x^{\log _{x}4} \Rightarrow \log _{2}3+\log _{2}x=4, \log _{2}3x=4 \), откуда \( 3x=16, x=\frac{16}{3} \)

Ответ: \( \frac{16}{3} )\

Решение №15849: ОДЗ: \( x-4> 0, x> 4 \) Решая это уравнение как биквадратное относительно \( \log _{2}\left ( x-4 \right ) \), имеем \( \left ( \log _{2}\left ( x-4 \right ) \right )_{1}=-2; \left ( \log _{2}\left ( x-4 \right ) \right )_{2}=2; \left ( \log _{2}\left ( x-4 \right ) \right )_{3}=-3; \left ( \log _{2}\left ( x-4 \right ) \right )_{4}=3 \), откуда \( x_{1}=\frac{17}{4}, x_{2}=8, x_{3}=\frac{33}{8}, x_{4}=12 \)

Ответ: \( \frac{17}{4}, \frac{33}{8}, 8, 12 )\

Решение №15850: \( \log _{30}8=\frac{\log _{2}8}{\log _{2}30}=\frac{3}{\log _{2}\left ( 2*5*3 \right )}=\frac{3}{1+\log _{2}5+\log _{2}3} . \lg _{5}=\frac{\log _{2}5}{\log _{2}10}=\frac{\log _{2}5}{\log _{2}\left ( 2*5 \right )}=\frac{\log _{2}5}{1+\log _{2}5}=a; \log _{2}5=\frac{a}{1-a}. \lg _{3}=\frac{\log _{2}5}{\log _{2}10}=\frac{\log _{2}3}{\log _{2}\left ( 2*5 \right )}=\frac{\log _{2}3}{1+\log _{2}5}=\frac{\log _{2}3}{1+\frac{1}{1-a}}=\frac{\left (1-a \right \)log _{2}3}{1}=b; \log _{2}3=\frac{b}{1-a} \) Таким образом, \( \log _{30}8=\frac{3}{1+\frac{a}{1-a}+\frac{b}{1-a}}=\frac{3\left ( 1-a \right )}{1+b} \)

Ответ: \( \frac{3\left ( 1-a \right )}{1+b} )\

Решение №15851: ОДЗ: \( 3-4x^{2}> 0 \Leftrightarrow -\frac{\sqrt{3}}{2}< x< \frac{\sqrt{3}}{2} \) Из условия \( 5^{\log _{5}\left ( 3-4x^{2} \right )}+1.5x\log _{2^{-3}}2^{2}=0 \Leftrightarrow 3-4x^{2}-x=0 \Leftrightarrow 4x^{2}+x-3=0 \), откуда \( x_{1}=-1, x_{2}=\frac{3}{4}; x_{1}=-1 \) не подходит по ОДЗ.

Ответ: \( \frac{3}{4} )

Решение №15852: ОДЗ: \( x^{2}-4\geq 0\Leftrightarrow x\epsilon \left ( -\infty ; -2 \right ]\cup \left [ 2; \infty \right ) \) Запишем уравнение в виде \( 2^{x+\sqrt{x^{2}-4}}-\frac{5}{2}*2^{\frac{x+\sqrt{x^{2}-4}}{2}}-6=0 \) Решая его как квадратное относительно \( 2^{\frac{x+\sqrt{x^{2}-4}}{2}} \), имеем \( 2^{\frac{x+\sqrt{x^{2}-4}}{2}}=-\frac{3}{2} \) (нет решений), или \( 2^{\frac{x+\sqrt{x^{2}-4}}{2}}=2^{2} \Rightarrow \frac{x+\sqrt{x^{2}-4}}{2}=2, \sqrt{x^{2}-4}=4-x \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^{2}-4=16-8x+x^{2}, & & \\ 4-x\geq 0, & & \end{matrix}\right. \), откуда \( x=\frac{5}{2} \)

Ответ: \( \frac{5}{2} )\

Решение №15853: Имеем \( \left ( \frac{3}{5} \right )^{x}\left ( \frac{25}{9} \right )^{-2x^{2}+24}=\left ( \frac{3}{5} \right )^{-2x^{2}+x+24}=\left ( \frac{3}{5} \right )^{9}, -2x^{2}+x+24=9, 2x^{2}-x-15= 0 \), откуда \( x_{1}=-\frac{5}{2}, x_{2}=3 \)

Ответ: \( -\frac{5}{2}, 3 )\

Решение №15854: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} x\neq 1 & & \\ x\neq \frac{7}{3} & & \end{matrix}\right.\) Перепишем уравнение в виде \( 2^{\frac{3x-9}{3x-7}}*2^{-\frac{3x-1}{3x-3}}=2^{0}, 2^{\frac{3x-9}{3x-7}-\frac{3x-1}{3x-3}}=2^{0} \), откуда \( \frac{3x-9}{3x-7}-\frac{3x-1}{3x-3}=0\Rightarrow x=\frac{5}{3} \)

Ответ: \( \frac{5}{3} )\

Решение №15855: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} 1-x> 0, & & \\ 1-x\neq 1, 0\neq x< 1 & & \end{matrix}\right \) Из условия \( \log _{1-x}\frac{3}{2}=0.5\Leftrightarrow \frac{3}{2}=\sqrt{1-x}\Rightarrow \frac{9}{4}=1-x \), откуда \( x=-\frac{5}{4} \)

Ответ: \( -\frac{5}{4} )\

Решение №15856: ОДЗ: \( 0< x\neq 1 \) Из условия \( 5^{\frac{1}{x-\sqrt{x}}}*5^{-\frac{1}{\sqrt{x}}}=5^{\frac{2}{3}}, 5^{\frac{1}{x-\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{x}}}=5^{ \frac{ 2}{ 3}} \) Отсюда \( \frac{1}{x-\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{2}{3}, 2\left ( \sqrt{x} \right )^{2}+\sqrt{x}-6=0 \) Решив это уравнение как квадратное относительно \( \sqrt{x} \), Найдем \( \sqrt{x}=-2, \varnothing \); или \( \sqrt{ x}= \frac{ 3}{ 2} \), откуда \( x= \frac{9}{ 4} \)

Ответ: \( \frac{9}{4} )\

Решение №15857: ОДЗ: \( 0< x\neq 1 \) Логарифмируя второе уравнение системы по основанию 4, имеем \( \log _{4}x^{y}, \log _{4}4^{6}. y\log _{4}x=6 \) Отсюда \( \left\{\begin{matrix} y=1+\log _{4}x, & & \\ y\log _{4}x=6 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left ( 1+\log _{4}x \right \)log _{4}x=6, \log _{4}^{2}x+\log _{4}x-6=0 \), откуда, решая это уравнение как квадратное относительно \( \log _{4}x \), найдем \( \left ( \log _{4}x \right )_{1}=-3, \left ( \log _{4}x \right )_{2}=2, x_{1}=\frac{1}{64}, x_{2}=16 \) Тогда \( y_{1}=-2, y_{2}=3\)

Ответ: \( \left ( \frac{1}{64}; -2 \right ), \left ( 16; 3 \right ) )\

Решение №15858: \( \log _{2}2x^{2}+\log _{2}x*x^{\log _{x}\left ( \log _{2}x+1 \right )}+\frac{1}{2}\log _{4}^{2}x^{4}+2^{-3\log _{1/2}\log _{2}x}=\log _{2}2+\log _{2}x^{2}+\log _{2}x*\left ( \log _{2}x+1 \right )+2\log _{2}^{2}x+2^{\log _{2}\log _{2}^{3}x}=1+2\log _{2}x+\log _{2}^{2}x+\log _{2}x+2\log _{2}^{2}x+\log _{2}^{3}x=\log _{2}^{3}x+3\log _{2}^{2}x+3\log _{2}x+1=\left ( \log _{2}x+1 \right )^{3} \)

Ответ: \( \left ( \log _{2}x+1 \right )^{3} )\

Решение №15859: ОДЗ: \( 0< \sin x< 1 \) Так как \( 1-\cos 2x=2\sin ^{2}x \), то имеем \( 3\log _{2}^{2}\sin x+\log _{2}2\sin ^{2}x-2=0 \Leftrightarrow 3\log _{2}^{2}\sin x+2\log _{2}\sin x-1=0 \) Решая это уравнение как квадратное относительно \( \log _{2}\sin x \), получим \( \log _{2}\sin x=\frac{1}{3} \), или \( \log _{2}\sin x=-1 \), откуда \( \sin x=\sqrt[3]{2} \) (нет решений), или \( \sin x=\sqrt[1]{2} \) Тогда \( x=\left ( -1 \right )^{n}\frac{\pi }{6}+\pi n, n\epsilon Z \)

Ответ: \( \left ( -1 \right )^{n}\frac{\pi }{6}+\pi n )\, \( n\epsilon Z )\

Решение №15860: Разделив второе уравнение заданной системы на первое, получим \( \frac{3^{x}*4^{y}}{2^{x}*3^{y}}=\frac{12}{6}, \frac{3^{x-y}}{2^{x-2y}}=2, 3^{x-y}=2^{1+x-2y} \) Это равенство возможно, когда \( \left\{\begin{matrix} x-y=0, & & \\ 1+x-2y=0 & & \end{matrix}\right. \Rightarrow x=y, 1+y-2y=0, y=1 \) Тогда \( x=y=1 \)

Ответ: \( \left ( 1; 1 \right ) )\

Решение №15861: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} x> 0 & & \\ y+x\neq 0 & & \end{matrix}\right. \) Из первого уравнения системы \( 3^{y+2x}=3^{4}, y+2x=4, y=4-2x \) Из второго уравнения системы \( \lg \frac{\left ( y+x \right )^{2}}{x}=\lg 9 \), откуда \( \frac{\left ( y+x \right )^{2}}{x}=9 \) Тогда исходная система приобретает вид \( \left\{\begin{matrix} y=4-2x & & \\ \left ( y+x \right )^{2}=9x & & \end{matrix}\right.\Rightarrow x^{2}-17x+16=0 \), откуда \( x_{1}=1, x_{2}=16 \) Тогда \( y_{1}=2, y_{2}=-28 \)

Ответ: \( \left ( 1; 2 \right ), \left ( 16; -28 \right ) )\

Решение №15862: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} x> 0, & & \\ y> 0. & & \end{matrix}\right. \) Имеем \( \left\{\begin{matrix} xy=36, & & \\ x+y=20, & & \end{matrix}\right. \), откуда \( \left\{\begin{matrix} x_{1}=2, & & \\ y_{1}=18; & & \end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix} x_{2}=18, & & \\ y_{2}=2. & & \end{matrix}\right.

Ответ: \( \left ( 2; 18 \right ),\left ( 18; 2 \right ) )\

Решение №15863: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} x> 0 & & \\ y> 0 & & \end{matrix}\right. \) Из первого уравнения системы имеем \( 3^{2\sqrt{x}-\sqrt{y}}=3^{4}, 2\sqrt{x}-\sqrt{y}=4, \sqrt{y}=2\sqrt{x}-4 \) Из второго уравнения системы получим \( \sqrt{xy}=30, \sqrt{x}*\sqrt{y}=30 \) Система принимает вид\( \left\{\begin{matrix} \sqrt{y}=2\sqrt{x}-4 & & \\ \sqrt{x}*\sqrt{y}=30 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left ( \sqrt{x} \right )^{2}-2\sqrt{x}-15=0 \), откуда \( \sqrt{x}=5 \), или \( \sqrt{x}=-3 \), (не подходит). Тогда \( \sqrt{y}=6 \) Следовательно, \( x=25, y=36 \)

Ответ: \( \left ( 25; 36 \right ) )\

Решение №15864: Перепишем систему уравнений в виде \( \left\{\begin{matrix} \left ( 3^{x}-2^{y/2} \right \)left ( 3^{x}+2^{y/2} \right )=725, & & \\ 3^{x}-2^{y/2}=25 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3^{x}+2^{y/2}=29, & & \\ 3^{x}-2^{y/2}=25 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3^{x}=27, & & \\ 2^{y/2}=2, & & \end{matrix}\right. \), откуда \( \left\{\begin{matrix} x=3, & & \\ y=2. & & \end{matrix}\right. \)

Ответ: \( \left ( 3; 2 \right ) )\

Решение №15865: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} 0< x\neq 1, & & & \\ y> 0, & & & \\ \log _{1/9}\frac{x}{y}> 0\Rightarrow 0< \frac{x}{y}< 1 & & & \end{matrix}\right. \) Из первого уравнения системы \( xy=x^{4} \) или с учетом ОДЗ \( y=x^{3} \) Из второго уравнения имеем \( \log _{1/9}\frac{x}{y}=1, \frac{x}{y}=\frac{1}{9} \) Исходная система переписывается в виде \( \left\{\begin{matrix} y=x^{3} & & \\ \frac{x}{y}=\frac{1}{9} & & \end{matrix}\right. \Rightarrow \frac{x}{x^{3}}=\frac{1}{9} \), откуда с учетом с ОДЗ \( x=3, y=27 \)

Ответ: \( \left ( 3; 27 \right ) )\

Решение №15866: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} x-2y> 0, & & \\ 3x+2y> 0. & & \end{matrix}\right. \) Имеем \( \left\{\begin{matrix} 2^{3+\frac{x-y}{2}}=2^{3-y}, & & \\ \log _{3}\left ( x-2y \right \)left ( 3x+2y \right )=3 & & \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} 3+\frac{x-y}{2}=3-y, & & \\ \left ( x-2y \right \)left ( 3x+2y \right )=27, & & \end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix} x=-y, & & \\ y^{2}=9 & & \end{matrix}\right. \), откуда, учитывая ОДЗ, получаем \( x=3 y=-3 \)

Ответ: \( \left ( 3; -3 \right ) )\

Решение №15867: Из условия \( \left ( 2^{\frac{x+y}{6}} \right )^{2}+2^{\frac{x+y}{6}}-6=0 \) Решая это уравнение как квадратное относительно \( 2^{\frac{x+y}{6}} \), имеем \( 2^{\frac{x+y}{6}}=-3, \varnothing \); или \( 2^{\frac{x+y}{6}}=2 \), откуда \( \frac{x+y}{6}=1, x+y=6 \) Из второго уравнения системы \( x^{2}-6yx+5y^{2}=0 \), решая его как квадратное относительно \( x \), имеем \( x_{1}=y, x_{2}=5y \) Исходная система эквивалентна двум системам:\( \left\{\begin{matrix} x+y=6, & & \\ x=y; & & \end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix} x+y=6, & & \\ x=5y; & & \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x_{1}=3 & & \\ y_{1}=3 & & \end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix} x_{2}=5 & & \\ y_{2}=1 & & \end{matrix}\right. \)

Ответ: \( \left ( 3; 3 \right )\left ( 5; 1 \right ) )\

Решение №15868: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} 0< x\neq 1 & & \\ 0< y\neq 1 & & \end{matrix}\right. \) Из первого уравнения системы имеем: \( 2\log _{y}^{2}x-5\log _{y}x+2=0 \), откуда, решая это уравнения как квадратное относительно \( \log _{y}x \), найдем \( \left ( \log _{y}x \right )_{1}=\frac{1}{2} \), или \( \left ( \log _{y}x \right )_{2}=2 \) Отсюда \( x_{1}=\sqrt{y}, x_{2}=y^{2} \) Из второго уравнения системы найдем \( y^{3/2}=27, y_{1}=9 \) Подставляя значение \( x_{2}=y^{2} \), найдем \( y_{2}^{3}=27, y_{2}=3 \) Учитывая ОДЗ, имеем \( \left\{\begin{matrix} x_{1}=3, & & \\ y_{1}=9; & & \end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix} x_{2}=9, & & \\ y_{1}=3. & & \end{matrix}\right. \)

Ответ: \( \left ( 3; 9 \right ) , \left ( 9; 3 \right ) )\

Решение №15869: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} x> 0, & & \\ y> 0. & & \end{matrix}\right.\) Перейдем к основанию 2. Имеем \( \left\{\begin{matrix} \log _{2}x+\frac{1}{2}\log _{2}y=4 & & \\ \frac{1}{2}\log _{2}x+\log _{2}y=5 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2\log _{2}x+\log _{2}y=8 & & \\ \log _{2}x+2\log _{2}y=10 & & \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} \log _{2}x^{2}y=8, & & \\ \log _{2}xy^{2}=10 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^{2}y=2^{8} & & \\ xy^{2}=2^{10} & & \end{matrix}\right. \) Из первого уравнения системы \( y=\frac{2^{8}}{x^{2}} \) Из второго уравнения \( x*\left ( \frac{2^{8}}{x^{2}} \right )^{2}=2^{10}, x^{3}=2^{6} \), откуда \( x=4, y=16 \)

Ответ: \( \left ( 4; 16 \right ) )\

Решение №15870: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} 2x-y> 0, & & \\ y+2x> 0. & & \end{matrix}\right. \) Из первого уравнения системы получаем \( \left ( 2^{\frac{x-y}{2}} \right )^{2}-2.5*2^{\frac{x-y}{2}}+1=0 \) Решая это уравнение как квадратное относительно \( 2^{\frac{x-y}{2}} \), найдем \( \left ( 2^{\frac{x-y}{2}} \right )_{1}=2^{-1} \), или \( \left ( 2^{\frac{x-y}{2}} \right )_{2}=2 \), откуда \( \left ( x-y \right )_{1}=-2 \), или \( \left ( x-y \right )_{2}=2 \) Из второго уравнения системы получаем \( \lg 10\left ( 2x-y \right )=\lg 6\left ( 2x+y \right ) \), откуда \( 10\left ( 2x-y \right )=6\left ( 2x+y \right ), x=2y \) Таким образом, исходная система эквивалента системам уравнений: \left\{\begin{matrix} x-y=-2 & & \\ x=2y & & \end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix} x-y=2 & & \\ x=2y & & \end{matrix}\right. \), откуда: \( \left\{\begin{matrix} x_{1}=-4 & & \\ y_{1}=-2 & & \end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix} x_{2}=4 & & \\ y_{2}=2 & & \end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix} x_{1}=-4 & & \\ y _{1}=-2 & & \end{matrix}\right. \) ( не подходит по ОДЗ).

Ответ: \( \left ( 4; 2 \right ) )\

Решение №15871: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} x> 0, & & \\ y> 0. & & \end{matrix}\right. \) Перепишем первое уравнение системы в виде \( \log _{4}x=\log _{2}y^{2} \Rightarrow \frac{1}{2}\log _{2}x=\log _{2}y, \log _{2}x=\log _{2}y^{2}, x=y^{2} \) Из второго уравнения системы имеем \( y^{4}-2y^{2}-8=0 \), откуда с учетом ОДЗ, \( y=0 \) Тогда \( x=4 \)

Ответ: \( \left ( 4; 2 \right ) )\

Решение №15872: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} x+y> 0 & & \\ x-y> 0 & & \end{matrix}\right. \) Из условия \( \left\{\begin{matrix} \lg \left ( x^{2}+y^{2} \right )=\lg 20 & & \\ \lg \left ( x^{2}-y^{2} \right )=\lg 12 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}=20 & & \\ x^{2}-y^{2}=12 & & \end{matrix}\right. \) Отсюда \( x^{2}=16 \), откуда \( x_{1,2}=\pm 4. y^{2}=4 , y_{1,2}=\pm 2 \) Следовательно, \left\{\begin{matrix} x_{1}=4, & & \\ y_{1}=2; & & \end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix} x_{2}=4 & & \\ y_{2}=-2 & & \end{matrix}\right. Остальные решения не удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: \( \left ( 4; 2 \right ), \left ( 4; -2 \right ) )\