Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Предел последовательности, Свойства бесконечно малых последовательностей, Бесконечно большие последовательности, Определение предела последовательности, Теоремы о пределах,
Задача в следующих классах: 9 класс 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Пратусевич М.Я.,Столбов К.М., Головин А.Н., Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учебн. Для общеобразовательных учреждений: профильный уровень.М.Просвещение, 2009. 415 с.: ил. ISBN 978-5-09-016552-5
Пока решения данной задачи,увы,нет...
Ответ: \frac{1}{6}
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Предел последовательности, Свойства бесконечно малых последовательностей, Бесконечно большие последовательности, Определение предела последовательности, Теоремы о пределах,
Задача в следующих классах: 9 класс 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Пратусевич М.Я.,Столбов К.М., Головин А.Н., Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учебн. Для общеобразовательных учреждений: профильный уровень.М.Просвещение, 2009. 415 с.: ил. ISBN 978-5-09-016552-5
Решение №13735: \( \lim_{n \to \propto} \frac{\sqrt{n^{2}+1}-n}{\sqrt{n^{3}+1}-n\sqrt{n}}=\lim_{n \to \propto} \frac{\left ( n^{2}+1-n^{2} \right )\left ( \sqrt{n^{3}+1}+n\sqrt{n} \right )}{\left ( \sqrt{n^{2}+1}+n \right )\left ( n^{3}+1-n^{3} \right )}=\lim_{n \to \propto} \frac{n\left ( \sqrt{n+\frac{1}{n^{2}}}+\sqrt{n} \right )}{n\left ( 1+\frac{1}{n^{2}}+1 \right )}=+\propto \)
Ответ: +\propto
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Предел последовательности, Свойства бесконечно малых последовательностей, Бесконечно большие последовательности, Определение предела последовательности, Теоремы о пределах,
Задача в следующих классах: 9 класс 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Пратусевич М.Я.,Столбов К.М., Головин А.Н., Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учебн. Для общеобразовательных учреждений: профильный уровень.М.Просвещение, 2009. 415 с.: ил. ISBN 978-5-09-016552-5
Пока решения данной задачи,увы,нет...
Ответ: 0
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Предел последовательности, Свойства бесконечно малых последовательностей, Бесконечно большие последовательности, Определение предела последовательности, Теоремы о пределах,
Задача в следующих классах: 9 класс 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Пратусевич М.Я.,Столбов К.М., Головин А.Н., Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учебн. Для общеобразовательных учреждений: профильный уровень.М.Просвещение, 2009. 415 с.: ил. ISBN 978-5-09-016552-5
Пока решения данной задачи,увы,нет...
Ответ: 3
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Предел последовательности, Свойства бесконечно малых последовательностей, Бесконечно большие последовательности, Определение предела последовательности, Теоремы о пределах,
Задача в следующих классах: 9 класс 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Пратусевич М.Я.,Столбов К.М., Головин А.Н., Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учебн. Для общеобразовательных учреждений: профильный уровень.М.Просвещение, 2009. 415 с.: ил. ISBN 978-5-09-016552-5
Пока решения данной задачи,увы,нет...
Ответ: 0
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Предел последовательности, Свойства бесконечно малых последовательностей, Бесконечно большие последовательности, Определение предела последовательности, Теоремы о пределах,
Задача в следующих классах: 9 класс 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Пратусевич М.Я.,Столбов К.М., Головин А.Н., Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учебн. Для общеобразовательных учреждений: профильный уровень.М.Просвещение, 2009. 415 с.: ил. ISBN 978-5-09-016552-5
Пока решения данной задачи,увы,нет...
Ответ: \frac{1}{2}
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Предел последовательности, Свойства бесконечно малых последовательностей, Бесконечно большие последовательности, Определение предела последовательности, Теоремы о пределах,
Задача в следующих классах: 9 класс 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Пратусевич М.Я.,Столбов К.М., Головин А.Н., Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учебн. Для общеобразовательных учреждений: профильный уровень.М.Просвещение, 2009. 415 с.: ил. ISBN 978-5-09-016552-5
Пока решения данной задачи,увы,нет...
Ответ: \frac{1}{3}
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Предел последовательности, Свойства бесконечно малых последовательностей, Бесконечно большие последовательности, Определение предела последовательности, Теоремы о пределах,
Задача в следующих классах: 9 класс 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Пратусевич М.Я.,Столбов К.М., Головин А.Н., Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учебн. Для общеобразовательных учреждений: профильный уровень.М.Просвещение, 2009. 415 с.: ил. ISBN 978-5-09-016552-5
Решение №13747: \( \frac{2^{\frac{n}{2}}+\left ( n+1 \right )!}{n\left ( 3^{n}+n! \right )}=\frac{\frac{2^{\frac{n}{2}}}{\left ( n+1 \right )!}+1}{\frac{n*3^{n}}{\left ( n+1 \right )!}+\frac{n}{n+1}}\), а так как \(\lim_{n \to \propto}\frac{\frac{2^{\frac{n}{2}}}{\left ( n+1 \right )!}+1}{\frac{n*3^{n}}{\left ( n+1 \right )!}+\frac{n}{n+1}}=1, \lim_{n \to \propto}\frac{2^{\frac{n}{2}}+\left ( n+1 \right )!}{n\left ( 3^{n}+n! \right )}=1. \)
Ответ: 1
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Предел последовательности, Свойства бесконечно малых последовательностей, Бесконечно большие последовательности, Определение предела последовательности, Теоремы о пределах,
Задача в следующих классах: 9 класс 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Пратусевич М.Я.,Столбов К.М., Головин А.Н., Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учебн. Для общеобразовательных учреждений: профильный уровень.М.Просвещение, 2009. 415 с.: ил. ISBN 978-5-09-016552-5
Решение №13750: Способ 1. Если a> 1, то \(a=1+\alpha , где \alpha > 0\). Откуда \(a^{n}=\left ( 1+\alpha \right )^{n}> C_{n}^{p+1}*\alpha ^{p+1}\ при n> p. Пусть n> 2p. Тогда C_{n}^{p+1}=\frac{n\left ( n-1 \right )...\left ( n-p \right )}{\left ( p+1 \right )!}> \frac{n}{\left ( p+1 \right )!}\left ( \frac{n}{2} \right )^{p}\) (так как \(n-k> \frac{n}{2}\) при \(1\leqslant k\leqslant p\)). Отсюда следует, что \(0< \frac{n^{p}}{a^{n}}< \frac{2^{p}\left ( p+1 \right )!}{\alpha ^{p+1}*n}\), а следовательно, \(\lim_{n \to \propto} \frac{n^{p}}{a^{n}}=0\). ( Поскольку \(\frac{2^{p}\left ( p+1 \right )!}{\alpha ^{p+1}}\) не зависит от n, то \(\lim_{n \to \propto}\frac{2^{p}\left ( p+1 \right )!}{\alpha ^{p}*n}=0)\) Способ 2. Если \(x_{n}=\frac{n^{p}}{a^{n}}, a> 1 \frac{x_{n+1}}{x_{n}}=\frac{\left ( n+1 \right )^{p}*a^{n}}{a^{n+1}*n^{p}}=\frac{1}{a}\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^{p}\rightarrow _{n \to \propto} \frac{1}{a} \frac{1}{a}< 1\). Следовательно, по лемме \(\lim_{n \to \propto} x_{n}=0\). Если \(x_{n}=\frac{\left ( 2n \right )!}{a^{n}}\left ( a> 1 \right ),то \forall n\in N x_{n}> 0 и \frac{x_{n+1}}{x_{n}}=\frac{\left ( 2n+2 \right )!*a^{n!}}{a^{\left ( n+1 \right )!}\left ( 2n \right )!}=\frac{2n+1}{a^{\left ( n-1 \right )n!}}*\frac{2n+2}{a^{n!}}\rightarrow _{n \to \propto} 0\) ( обе бесконечно малые при a> 1, то в силу леммы \)\lim_{n \to \propto} x_{n}=0\). Если \(x_{n}=\frac{4*7*10*...*\left ( 3n+1 \right )}{2*6*10*...*\left ( 4n+2 \right )}> 0\) и \(\forall n\in N \frac{x_{n+1}}{x_{n}}=\frac{3n+4}{4n+6}\rightarrow _{n \to \propto} \frac{3}{4}\), то в силу леммы \(\lim_{n \to \propto} x_{n}=0 \)
Ответ: NaN
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Предел последовательности, Свойства бесконечно малых последовательностей, Бесконечно большие последовательности, Определение предела последовательности, Теоремы о пределах,
Задача в следующих классах: 9 класс 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Пратусевич М.Я.,Столбов К.М., Головин А.Н., Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учебн. Для общеобразовательных учреждений: профильный уровень.М.Просвещение, 2009. 415 с.: ил. ISBN 978-5-09-016552-5
Решение №13751: \(\lim_{n \to \propto} n^{\frac{3}{2}}\left ( \sqrt{n+1} +\sqrt{n-1}-2\sqrt{n}\right )=\lim_{n \to \propto}\frac{n^{\frac{3}{2}}\left ( 2n+2\sqrt{n^{2}-1} -4n\right )}{\left ( \sqrt{n+1} +\sqrt{n-1}-2\sqrt{n}\right )}=\lim_{n \to \propto}\frac{2n^{\frac{3}{2}}\left ( \sqrt{n^{2}-1}-n \right )}{\sqrt{n}\left ( \sqrt{1+\frac{1}{n}} +\sqrt{1-\frac{1}{n}}+2\right )}=\lim_{n \to \propto}\frac{-2n}{\left ( \sqrt{1+\frac{1}{n}} +\sqrt{1-\frac{1}{n}}+2 \right )n\left ( \sqrt{1-\frac{1}{n^{2}}+1} \right )}=\frac{-2}{4*2}=-\frac{1}{4} \)
Ответ: -\frac{1}{4}
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Предел последовательности, Теоремы о пределах,
Задача в следующих классах: 9 класс 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Пратусевич М.Я.,Столбов К.М., Головин А.Н., Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учебн. Для общеобразовательных учреждений: профильный уровень.М.Просвещение, 2009. 415 с.: ил. ISBN 978-5-09-016552-5
Решение №13752: Покажем, что последовательность убывает: \(\frac{x_{n+1}}{x_{n}}=\frac{\left ( n+1 \right )^{3}*10^{n}}{10^{n+1}*n^{3}}=\left ( \frac{n+1}{n} \right )^{3}*\frac{1}{10}< 1.\) Так как \(\forall n\in N \frac{n+1}{n}\leqslant 2\), а значит, \(\left ( \frac{n+1}{n} \right )^{3}< 10\). Таким образом \(\forall n\in N x_{n+1}< x_{n}\), т.е. последовательность \(\left \{ x_{n} \right \}\)убывает и ограничена снизу нулем \(\left ( \forall n\in N x_{n}> 0 \right ).\) По теореме Вейерштрасса она имеет предел. Можно показать, как найти этот предел (этого не требуется в задаче). Пусть\(\lim_{n \to \propto} x_{n}=\lim_{n \to \propto} x_{n+1}=a\), имеем \(x_{n+1}=\frac{1}{10}\left ( \frac{n+1}{n} \right )^{3}x_{n}\). Так как \(\lim_{n \to \propto} \left ( \frac{n+1}{n} \right )^{3}=1, a=\frac{1}{10}a\). Значит a=0.
Ответ: NaN
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Предел последовательности, Теоремы о пределах,
Задача в следующих классах: 9 класс 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Пратусевич М.Я.,Столбов К.М., Головин А.Н., Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учебн. Для общеобразовательных учреждений: профильный уровень.М.Просвещение, 2009. 415 с.: ил. ISBN 978-5-09-016552-5
Решение №13753: \( \forall n> 2 \frac{x_{n+1}}{x_{n}}=\frac{2}{n+1}< 1\). Доказательство того, что предел существует, здесь гораздо очевиднее, но зато нет способа его найти. Предельный переход, как в предыдущем пункте, здесь ничего не даёт для поиска предела последовательности \(\left \{ x_{n} \right \}\), равного a
Ответ: NaN
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Предел последовательности, Теоремы о пределах,
Задача в следующих классах: 9 класс 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Пратусевич М.Я.,Столбов К.М., Головин А.Н., Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учебн. Для общеобразовательных учреждений: профильный уровень.М.Просвещение, 2009. 415 с.: ил. ISBN 978-5-09-016552-5
Решение №13754: \( \forall n\in N \frac{x_{n+1}}{x_{n}}=\frac{3n+8}{6n+1}\). Так как \(\lim_{n \to \propto}\frac{x_{n+1}}{x_{n}}=\frac{1}{2}< 1 \forall n\in N x_{n}> 0\). А можно так:\( \forall n> 8 \frac{3n+8}{6n+1}< \frac{2}{3} \) Значит, при n> 8 последовательность \(\left \{ x_{n} \right \}\) убывает и ограничена снизу нулем. Следовательно, существует \( \lim_{n \to \propto} x_{n} \)
Ответ: NaN
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Предел последовательности, Теоремы о пределах,
Задача в следующих классах: 9 класс 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Пратусевич М.Я.,Столбов К.М., Головин А.Н., Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учебн. Для общеобразовательных учреждений: профильный уровень.М.Просвещение, 2009. 415 с.: ил. ISBN 978-5-09-016552-5
Решение №13757: Выясним сначала, чему может быть равен предел последовательности \(\left \{ x_{n} \right \}\). Пусть \(\lim_{n \to \propto} x_{n}=B, тогда B=\sqrt{B+a}, B^{2}-B-a=0 B=\frac{1+\sqrt{1+4a}}{2} (B> 0)\), так как \(\forall n\in N x_{n}> 0)\). Докажем по индукции, что \(\forall n\in N x_{n}< x_{n+1}< B\). База индукции очевидна. Индукционный переход. Докажем, что \(x_{k}< x_{k+1}< B\), если \(x_{k-1}< x_{k}< B\). Действительно, \(x_{k-1}< x_{k}< B\Leftrightarrow x_{k-1}< \sqrt{a+x_{k-1}}< B\), но в силу монотонности корня и того, что \(x_{k-1}< x_{k}\), выполняется \(\sqrt{a+x_{k-1}}< \sqrt{a+x_{k}=x_{k+1}}< B (так как x_{k}< B \sqrt{a+x_{k}}< \sqrt{a+B}=B)\). Мы доказали, что последовательность \(\left \{ x_{n} \right \}\\) возрастает и ограничена снизу и имеет предел, равный \(\frac{1+\sqrt{1+4a}}{2} \)
Ответ: NaN
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Предел последовательности, Теоремы о пределах,
Задача в следующих классах: 9 класс 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Пратусевич М.Я.,Столбов К.М., Головин А.Н., Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учебн. Для общеобразовательных учреждений: профильный уровень.М.Просвещение, 2009. 415 с.: ил. ISBN 978-5-09-016552-5
Решение №13759: Докажем для случая \(x_{1}=\frac{1}{6}\). Рассмотрим разность \(x_{n+1}-x_{n}=\frac{1}{3x_{n}}-x_{n}^{2}=x_{n}\left ( \frac{1}{3}-x_{n} \right )\). По индукции легко показать, что последовательность \(\left \{ x_{n} \right \}\) возрастает и\(\forall n\in N x_{n}\leqslant \frac{1}{3}\). База индукции \(x_{1}=\frac{1}{6}. Тогда x_{2}-x_{1}=\frac{1}{6}\left ( \frac{1}{3}-\frac{1}{6} \right )=\frac{1}{36}> 0\) и \(x_{2}=x_{1}+\frac{1}{36}=\frac{13}{36}, 0< x_{1}< x_{2}< \frac{1}{3}\). Индукционный переход. Докажем, что \(0< x_{k}< x_{k+1}< \frac{1}{3},если 0< x_{k-1}< x_{k}< \frac{1}{3}\). Так как \(x_{k+1}-x_{k}=x_{k}\left ( \frac{1}{3} -x_{k}\right )> 0\) (по индукционному предположению),\(x_{k+1}> x_{k}\). Если рассмотреть функцию \(g\left ( t \right )=t\left ( \frac{4}{3}-t \right )-\frac{1}{3}; g\left ( t \right )=-\frac{1}{3}\left ( 3t-1 \right )\left ( t-1 \right ), g\left ( t \right )> 0\Leftrightarrow \frac{1}{3}< t< 1\), поэтому \(g\left ( x \right )< 0, x_{k+1}< \frac{1}{3} \)
Ответ: NaN
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Предел последовательности, Теоремы о пределах,
Задача в следующих классах: 9 класс 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Пратусевич М.Я.,Столбов К.М., Головин А.Н., Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учебн. Для общеобразовательных учреждений: профильный уровень.М.Просвещение, 2009. 415 с.: ил. ISBN 978-5-09-016552-5
Решение №13760: Докажем, что последовательность \(\left \{ x_{n} \right \} \)убывает и ограничена снизу нулем. \(0\leqslant x_{2}=x_{1}\left ( 1-x_{1} \right )\leqslant x_{1}\leqslant 1\), так как \(0\leqslant x_{1}\leqslant 1\). Легко показать по индукции, что \(0\leqslant x_{k+1}=x_{k}\left ( 1-x_{k} \right )\leqslant x_{k}\) (индукция нужна лишь для доказатнльства неравенства \(x_{k+n}\geqslant 0)\). Тогда пусть \(\lim_{n \to \propto} x_{n}=\lim_{n \to \propto} x_{n+1}=a\). Итак \(a=a-a^{2}\Leftrightarrow a=0. \)
Ответ: NaN
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Предел последовательности, Теоремы о пределах,
Задача в следующих классах: 9 класс 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Пратусевич М.Я.,Столбов К.М., Головин А.Н., Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учебн. Для общеобразовательных учреждений: профильный уровень.М.Просвещение, 2009. 415 с.: ил. ISBN 978-5-09-016552-5
Решение №13764: \( \lim_{n \to \propto} \left ( \frac{n}{n+1} \right )^{n}=\lim_{n \to \propto}\frac{1}{\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^{n}}=e^{-1} \)
Ответ: e^{-1}
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Предел последовательности, Теоремы о пределах,
Задача в следующих классах: 9 класс 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Пратусевич М.Я.,Столбов К.М., Головин А.Н., Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учебн. Для общеобразовательных учреждений: профильный уровень.М.Просвещение, 2009. 415 с.: ил. ISBN 978-5-09-016552-5
Пока решения данной задачи,увы,нет...
Ответ: e^{2}
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Предел последовательности, Теоремы о пределах,
Задача в следующих классах: 9 класс 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Пратусевич М.Я.,Столбов К.М., Головин А.Н., Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учебн. Для общеобразовательных учреждений: профильный уровень.М.Просвещение, 2009. 415 с.: ил. ISBN 978-5-09-016552-5
Пока решения данной задачи,увы,нет...
Ответ: Нет
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Предел последовательности, Теоремы о пределах,
Задача в следующих классах: 9 класс 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Пратусевич М.Я.,Столбов К.М., Головин А.Н., Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учебн. Для общеобразовательных учреждений: профильный уровень.М.Просвещение, 2009. 415 с.: ил. ISBN 978-5-09-016552-5
Пока решения данной задачи,увы,нет...
Ответ: Нет, например a_{n}=\left ( -1 \right )^{n}
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Предел последовательности,
Задача в следующих классах: 9 класс 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 4
Задача встречается в следующей книге: Пратусевич М.Я.,Столбов К.М., Головин А.Н., Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учебн. Для общеобразовательных учреждений: профильный уровень.М.Просвещение, 2009. 415 с.: ил. ISBN 978-5-09-016552-5
Решение №13771: Выпишем первых три члена последовательности: \(a_{1}=1=\frac{2^{1}-1}{2^{0}}, a_{2}=\frac{3}{2}=\frac{2^{2}-1}{2^{1}}, a_{3}=\frac{7}{4}=\frac{2^{3}-1}{2^{2}}\). Теперь можно предположить, что \(a_{n}=\frac{2^{n}-1}{2^{n-1}}\). В правильности этой гипотезы можно убедиться, используя метод математической индукции.
Ответ: a_{n}=\frac{2^{n}-1}{2^{n-1}}
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Предел последовательности,
Задача в следующих классах: 9 класс 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 4
Задача встречается в следующей книге: Пратусевич М.Я.,Столбов К.М., Головин А.Н., Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учебн. Для общеобразовательных учреждений: профильный уровень.М.Просвещение, 2009. 415 с.: ил. ISBN 978-5-09-016552-5
Решение №13774: Обязательно ограничена.
Ответ: NaN
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Предел последовательности,
Задача в следующих классах: 9 класс 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 4
Задача встречается в следующей книге: Пратусевич М.Я.,Столбов К.М., Головин А.Н., Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учебн. Для общеобразовательных учреждений: профильный уровень.М.Просвещение, 2009. 415 с.: ил. ISBN 978-5-09-016552-5
Решение №13776: Может быть как ограниченной, так и неограниченной.
Ответ: NaN
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Предел последовательности,
Задача в следующих классах: 9 класс 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 4
Задача встречается в следующей книге: Пратусевич М.Я.,Столбов К.М., Головин А.Н., Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учебн. Для общеобразовательных учреждений: профильный уровень.М.Просвещение, 2009. 415 с.: ил. ISBN 978-5-09-016552-5
Решение №13777: Рассмотрим разность \(x_{n+1}-x_{n}=x_{n}^{2}+4x_{n}+4=\left ( x_{n}+2 \right )^{2}\) . Она положительна, если \(x_{n}=-2\). Если \(x_{2}\neq -2\), то, рассуждая по индукции, получим \(x_{n}\neq -2\). Выясним, когда \(x_{2}=-2: -2=a^{2}+5a+4\Leftrightarrow \left [ \begin{matrix}a=-2 \\ a=-3 \end{matrix} \right \) Значит, при \(a\neq -2 и a\neq -3\) последовательность\(\left \{ x_{n} \right \}\) возрастает. Далее, пусть \(x_{1}=a> -2\). Тогда в силу возрастания последовательности \(\left \{ x_{n} \right \} \)выполнено: \(\forall n\in N x_{n+1}=x_{n}^{2}+5x_{n}+4> -2 \left [ \begin{matrix}x_{n}> -2 \\ x_{n}< -3 \end{matrix} \right \) Однако неравенство \(x_{n}< -3\) не выполняетя при \(n\geqslant 2\), поскольку неравенство \(x^{2}+5x+4< -3\) не имеет решений. Итак, пусть для любых натуральных значений n выполнено \(x_{n}> -2\). Тогда при всех натуральных k выполнено \(x_{k+1}-x_{k}=\left ( x_{k}+2 \right )^{2}> \left ( x_{1}+2 \right )^{2}\), а тогда \(x_{n+1}=x_{n+1}-x_{n}+x_{n}-x_{n-1}+...+x_{2}-x_{1}+x_{1}> x_{1}+n\left ( x_{1}+2 \right )^{2}\). Из неравентва \(x_{n+1}> x_{1}+n\left ( x_{1}+2 \right )^{2}\) ясно, что члены последовательности могут быть сколь угоднобольшими. Если -\(3< x_{1}=a< -2, то -3< x_{n}^{2}+5x_{n}+4< -2\Leftrightarrow x_{n}\in \left ( -3;-2 \right )\). Тем самым последовательность будет ограниченной.
Ответ: \left ( -3;-2 \right )
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Предел последовательности, Определение предела последовательности,
Задача в следующих классах: 9 класс 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 4
Задача встречается в следующей книге: Пратусевич М.Я.,Столбов К.М., Головин А.Н., Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учебн. Для общеобразовательных учреждений: профильный уровень.М.Просвещение, 2009. 415 с.: ил. ISBN 978-5-09-016552-5
Решение №13778: Пусть удалось расположить рациональные числа из отрезка \(\left [ 0; 1 \right ]\) в последовательность, сходящуюся к какому то числу A. Ясно, что в любой \varepsilon - окрестности числа A будет бесконечно много членов последовательности, но вне этой окрестности окажется также бесконечно много членов последовательности, что противоречит геометрическому смыслу предела последовательности (вне любой окрестности должно быть конечное число членов последовательности)
Ответ: Нельзя
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Предел последовательности, Определение предела последовательности,
Задача в следующих классах: 9 класс 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 4
Задача встречается в следующей книге: Пратусевич М.Я.,Столбов К.М., Головин А.Н., Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учебн. Для общеобразовательных учреждений: профильный уровень.М.Просвещение, 2009. 415 с.: ил. ISBN 978-5-09-016552-5
Решение №13779: Обозначим \(y_{k}=a_{k}-a и S_{n}=\frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{n}\). Тогда \(S_{n}-a=\frac{y_{1}+y_{2}+...+y_{n}}{n}\). Так как \(\lim_{n \to \propto} y_{n}=0, то \forall \varepsilon > 0 \exists N\in N: \forall n\geqslant N\left | y_{n} \right |< \frac{\varepsilon }{2}\). Обозначим \(c=\left | y_{1}+y_{2}+...+y_{N} \right |\). Тогда, если \(n> N\), то \(\left | S_{n}-1 \right |\leqslant \frac{\left | y_{1}+y_{2}+...+y_{N} \right |}{n}+\frac{\left | y_{N+1} \right |+...+\left | y_{n} \right |}{n}< \frac{c}{n}+\frac{\varepsilon }{2}\frac{n-N}{n}\leqslant \frac{c}{n}+\frac{\varepsilon }{2}\). Выберем k* так, чтобы \(\frac{c}{k*}< \frac{\varepsilon }{2}\). Тогда справедливо : \(\forall n\geqslant k*\frac{c}{n}< \frac{\varepsilon }{2}\). Пусть, наконец, \(n_{1}= max \left ( N; k* \right )\). Тогда для всех\(n\geqslant n_{1}\) выполняется неравенство \(\left | S_{n}-a \right |< \varepsilon\) . Следовательно, \(\lim_{n \to \propto} S_{n}=a.\)
Ответ: NaN
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Предел последовательности, Свойства бесконечно малых последовательностей, Бесконечно большие последовательности, Определение предела последовательности, Теоремы о пределах,
Задача в следующих классах: 9 класс 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 4
Задача встречается в следующей книге: Пратусевич М.Я.,Столбов К.М., Головин А.Н., Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учебн. Для общеобразовательных учреждений: профильный уровень.М.Просвещение, 2009. 415 с.: ил. ISBN 978-5-09-016552-5
Решение №13783: Пусть \(A=\lim_{n \to \propto}\sin n\). Тогда \(A=\lim_{n \to \propto}\sin \left ( n+2 \right )\). Отсюда \(\lim_{n \to \propto}\left ( \sin \left ( n+2 \right )-\sin n \right )=0\). Но тогда \(\lim_{n \to \propto} \cos \left ( n+1 \right )=0\), откуда \(\lim_{n \to \propto}\cos n=0\), а тогда \(\lim_{n \to \propto}\sin 2n=0\) и в то же время \(\lim_{n \to \propto}\sin 2n=A\). Но тогда \(\lim_{n \to \propto}\left ( \sin ^{2}n+\cos ^{2}n \right )=0\), что противоречит основному тригонометрическому тождеству.
Ответ: NaN
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Предел последовательности, Свойства бесконечно малых последовательностей, Бесконечно большие последовательности, Определение предела последовательности, Теоремы о пределах,
Задача в следующих классах: 9 класс 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 4
Задача встречается в следующей книге: Пратусевич М.Я.,Столбов К.М., Головин А.Н., Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учебн. Для общеобразовательных учреждений: профильный уровень.М.Просвещение, 2009. 415 с.: ил. ISBN 978-5-09-016552-5
Решение №13786: \( x_{n}=\left ( \frac{1}{2} \right )^{n} \)
Ответ: NaN
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Предел последовательности, Свойства бесконечно малых последовательностей, Бесконечно большие последовательности, Определение предела последовательности, Теоремы о пределах,
Задача в следующих классах: 9 класс 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 4
Задача встречается в следующей книге: Пратусевич М.Я.,Столбов К.М., Головин А.Н., Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учебн. Для общеобразовательных учреждений: профильный уровень.М.Просвещение, 2009. 415 с.: ил. ISBN 978-5-09-016552-5
Решение №13787: Пусть \(\lim_{n \to \propto} \sqrt[n]{a_{n}}=A> 1\). Это значит, что начиная с некоторого номера n_{0}, все члены постедовательности будут больше 1. В дальнейших рассуждениях рассматриваютя члены последовательности с номерами, большими n_{0}. Так как последовательность \(\left \{ a_{n} \right \}\) ограничена, то \(\exists m, M: \forall n\in N m\leqslant a_{n}\leqslant M\), причем \(m\geqslant 1\). Тогда \(\forall n\in N \sqrt[n]{m}\leqslant \sqrt[n]{a_{n}}\leqslant \sqrt[n]{M}\). Перейдем к пределу в неравенстве. А так как \(\lim_{n \to \propto}\sqrt[n]{m}=\lim_{n \to \propto}\sqrt[n]{M}=1\) ,то по теореме о сжатой последовательности получам. что \( \lim_{n \to \propto}\sqrt[n]{a_{n}}=1\), а это противоречит предположению.
Ответ: NaN
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Предел последовательности, Свойства бесконечно малых последовательностей, Бесконечно большие последовательности, Определение предела последовательности, Теоремы о пределах,
Задача в следующих классах: 9 класс 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 4
Задача встречается в следующей книге: Пратусевич М.Я.,Столбов К.М., Головин А.Н., Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учебн. Для общеобразовательных учреждений: профильный уровень.М.Просвещение, 2009. 415 с.: ил. ISBN 978-5-09-016552-5
Решение №13788: \( \forall n\geqslant 4010\) верно \(\frac{2005}{n}\leqslant \frac{1}{2}\). Тогда \(0< \left ( \frac{2005}{n} \right )^{n}\leqslant \left ( \frac{1}{2} \right )^{n}\).Перейдем к пределу в неравенствах \(\lim_{n \to \propto}\leqslant \lim_{n \to \propto}\left ( \frac{2005}{n} \right )^{n}\leqslant \lim_{n \to \propto}\left ( \frac{1}{2} \right )^{n}\). Так как крайние пределы равны нулю, то по теореме о сжатой последовательности \(\lim_{n \to \propto}\left ( \frac{2005}{n} \right )^{n}=0. \)
Ответ: 0
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Предел последовательности, Свойства бесконечно малых последовательностей, Бесконечно большие последовательности, Определение предела последовательности, Теоремы о пределах,
Задача в следующих классах: 9 класс 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 4
Задача встречается в следующей книге: Пратусевич М.Я.,Столбов К.М., Головин А.Н., Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учебн. Для общеобразовательных учреждений: профильный уровень.М.Просвещение, 2009. 415 с.: ил. ISBN 978-5-09-016552-5
Решение №13789: При a=1 очевидно \(\lim_{n \to \propto}\frac{1}{n^{n}}=0\). При \(0< a< 1\) выполнены неравенства \(0< \left ( \frac{a}{n} \right )^{n}< \left ( \frac{1}{n} \right )^{n}\). Перейдя к пределу в неравенствах и воспользовавшись теоремой о сжатой последовательности, получим \(\lim_{n \to \propto}\left ( \frac{a}{n} \right )^{n}=0\). Если \(a< 0, то \lim_{n \to \propto}\left ( \frac{a}{n^{n}} \right )^{n}=\lim_{n \to \propto}\left ( -1 \right )\left ( \frac{-a}{n^{n}} \right )^{n}=0\) как произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную.
Ответ: 0
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Предел последовательности, Свойства бесконечно малых последовательностей, Бесконечно большие последовательности, Определение предела последовательности, Теоремы о пределах,
Задача в следующих классах: 9 класс 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 4
Задача встречается в следующей книге: Пратусевич М.Я.,Столбов К.М., Головин А.Н., Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учебн. Для общеобразовательных учреждений: профильный уровень.М.Просвещение, 2009. 415 с.: ил. ISBN 978-5-09-016552-5
Решение №13791: Докажем, что \(\lim_{n \to \propto} \frac{a^{n}}{n!}=0 при a> 0\). Пусть натуральное число k> 2a, тогда при n> k будет выполнено \(\frac{a^{n}}{n!}=\frac{a}{1}*\frac{a}{2}*...*\frac{a}{n}=\left ( \frac{a}{1}*\frac{a}{2}*...*\frac{a}{k} \right )*\left ( \frac{a}{k+1}*\frac{a}{k+2}*...*\frac{a}{n} \right )< a^{k}\left ( \frac{1}{2} \right )^{n-k}=\left ( 2a \right )^{k}\left ( \frac{1}{2} \right )^{n}\). Так как \(\lim_{n \to \propto} \left ( \frac{1}{2} \right )^{n}=0\), то при достаточно большом n будет выполнено \(\left ( \frac{1}{2} \right )^{n}< \frac{\varepsilon }{\left ( 2a \right )^{k}}\), и следовательно, \(\frac{a^{n}}{n!}< \varepsilon\) , а это значит , что \(\lim_{n \to \propto} \frac{a^{n}}{n!}=0\). Теперь отметим, что выполнено неравенство \(0<\frac{2^{n}}{\left ( n+2 \right )!} . Тогда \lim_{n \to \propto} \frac{2^{n}}{\left ( n+2 \right )!}=0\), а так как произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность есть бесконечно малая последовательность, то \(\lim_{n \to \propto }\frac{\left ( -2 \right )^{n}}{\left ( n+2 \right )!}=\lim_{n \to \propto} \left ( -1 \right )^{n}\frac{2^{n}}{\left ( n+2 \right )!}=0 \)
Ответ: 0
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Предел последовательности, Свойства бесконечно малых последовательностей, Бесконечно большие последовательности, Определение предела последовательности, Теоремы о пределах,
Задача в следующих классах: 9 класс 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 4
Задача встречается в следующей книге: Пратусевич М.Я.,Столбов К.М., Головин А.Н., Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учебн. Для общеобразовательных учреждений: профильный уровень.М.Просвещение, 2009. 415 с.: ил. ISBN 978-5-09-016552-5
Пока решения данной задачи,увы,нет...
Ответ: 0
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Предел последовательности, Свойства бесконечно малых последовательностей, Бесконечно большие последовательности, Определение предела последовательности, Теоремы о пределах,
Задача в следующих классах: 9 класс 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 4
Задача встречается в следующей книге: Пратусевич М.Я.,Столбов К.М., Головин А.Н., Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учебн. Для общеобразовательных учреждений: профильный уровень.М.Просвещение, 2009. 415 с.: ил. ISBN 978-5-09-016552-5
Решение №13793: \( \lim_{n \to \propto}\frac{n*3^{n}+1}{n!+1}=\lim_{n \to \propto}\frac{\frac{3^{n}}{\left ( n+1 \right )!}+\frac{1}{n!}}{1+\frac{1}{n!}}=0 \)
Ответ: 0
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Предел последовательности, Теоремы о пределах,
Задача в следующих классах: 9 класс 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 4
Задача встречается в следующей книге: Пратусевич М.Я.,Столбов К.М., Головин А.Н., Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учебн. Для общеобразовательных учреждений: профильный уровень.М.Просвещение, 2009. 415 с.: ил. ISBN 978-5-09-016552-5
Решение №13796: Если f — ограниченная функция, то \(\left \{ x_{n} \right \}\) — ограниченная последовательность, а в силу заданий а и б ещё и монотонная. Значит, последовательность \(\left \{ x_{n} \right \}\) сходится по теореме Вейерштрасса.
Ответ: NaN
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Предел последовательности, Теоремы о пределах,
Задача в следующих классах: 9 класс 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 4
Задача встречается в следующей книге: Пратусевич М.Я.,Столбов К.М., Головин А.Н., Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учебн. Для общеобразовательных учреждений: профильный уровень.М.Просвещение, 2009. 415 с.: ил. ISBN 978-5-09-016552-5
Решение №13797: Пусть \(x_{3}=f\left ( f\left ( x_{1} \right ) \right ) x_{5}=f\left ( f\left ( x_{3} \right ) \right )\). Если \(x_{1}< x_{3}, то \left \{ x_{2n-1} \right \}\) — возрастающая последовательность по предыдущей задаче, при этом \(x_{2}=f\left ( x_{1} \right ), x_{4}=f\left ( x_{3} \right )\) и так как \(x_{1}< x_{3}\), а f— убывающая функция, то \(x_{2}> x_{4}\), и т. д. Заметим, что здесь возможно единственное расположение точек\( x_{i}\) на оси \(x_{3}\in \left ( x_{1}; x_{2} \right )\).Действительно, \(x_{1} \) располагается слева от \(\left ( x_{2}; x_{3} \right ), x_{1}< x_{2}\). Так как f — убывающая функция, то \(x_{2}=f\left ( x_{1} \right )> f\left ( x_{2} \right )=x_{3}\). В результате последовательность \(\left \{ x_{2n-1} \right \}\) возрастающая и ограничена сверху \(x_{2}\), последовательность \(\left \{ x_{2n} \right \}\) убывающая и ограничена снизу \(x_{3}\). Если же \(x_{1}> x_{3} (x_{1} \)расположена справа от \(( \left ( x_{2}; x_{3} \right ))\), то \(x_{3}\in \left ( x_{2}; x_{1} \right ) \) и тогда последовательность \(\left \{ x_{2n-1} \right \} \)убывающая и ограничена снизу \(x_{2}.\)
Ответ: NaN
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Предел последовательности, Теоремы о пределах,
Задача в следующих классах: 9 класс 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 4
Задача встречается в следующей книге: Пратусевич М.Я.,Столбов К.М., Головин А.Н., Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учебн. Для общеобразовательных учреждений: профильный уровень.М.Просвещение, 2009. 415 с.: ил. ISBN 978-5-09-016552-5
Решение №13798: Пусть \(x_{n+1}=x_{n}^{2}+3x_{n}+1. Тогда \forall n\in N x_{n+1}-x_{n}=x_{n}^{2}-2x_{n}+1=\left ( x_{n}+1 \right )^{2}\geqslant 0\). Таким образом, последовательность \(\left \{ x_{n} \right \}\) возрастающая. Выясним, когда последовательность \(\left \{ x_{n} \right \}\) ограничена. Рассмотрим график \(f\left ( x \right )=x^{2}+3x+1\). Ясно, что при \(x_{1}> -1\) последовательность \(left \{ x_{n} \right \}\) расходится, так как в силу неограниченности функции \(f x_{n+1}=x_{n}^{2}+3x_{n}+1 \) и его можно сделать сколь угодно большим. Аналогично при \(x_{2}< -2\) последовательность \(left \{ x_{n} \right \}\) неограниченная.
Ответ: NaN
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Предел последовательности, Теоремы о пределах,
Задача в следующих классах: 9 класс 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 4
Задача встречается в следующей книге: Пратусевич М.Я.,Столбов К.М., Головин А.Н., Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учебн. Для общеобразовательных учреждений: профильный уровень.М.Просвещение, 2009. 415 с.: ил. ISBN 978-5-09-016552-5
Решение №13800: Заметим, что \(\forall n\in N x_{n}> 0\). Тогда используем то, что \(f\left ( x \right )=\frac{1}{1+x}\) убывает на\( \left [ 0; +\propto \right )\). Найдем несколько первых членов последовательности: \(x_{1}=1; x_{2}=\frac{1}{2}; x_{3}=\frac{2}{3}; x_{4}=\frac{3}{5}; x_{5}=\frac{5}{8}\). Нетрудно видеть, что последовательность \(\left \{ x_{2n} \right \}\), членами которой являются числа \(\frac{1}{2}; \frac{3}{5}; ...,\) возрастающая, а последовательность \(\left \{ x_{2n-1} \right \}\), членами которой являются числа 1; \(\frac{2}{3}; \frac{5}{8}; ... ,\) убывающая. Кроме того \(\forall n\in N x_{2n}< 1, x_{2n-1}> 0\). Тогда существуют \(\lim_{n \to \propto} x_{2n} и \lim_{n \to \propto} x_{2n-1}\). Покажем, что они равны: \(x_{n+1}=\frac{1}{1+x_{n}}=\frac{1}{1+\frac{1}{1+x_{n-1}}}=\frac{1+x_{n-1}}{2+x_{n-1}}\). Эта формула связывает соседние члены в обеих последовательностях. Если в ней перейти к пределу, то получим \(A=\frac{1+A}{2+A},откуда A=\frac{\sqrt{5}-1}{2} (так как A> 0)\) Таким образом, \(\lim_{n \to \propto} x_{2n} \lim_{n \to \propto} x_{2n-1}=\lim_{n \to \propto} x_{n}=\frac{\sqrt{5}-1}{2} \)
Ответ: NaN
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Предел последовательности, Теоремы о пределах,
Задача в следующих классах: 9 класс 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 4
Задача встречается в следующей книге: Пратусевич М.Я.,Столбов К.М., Головин А.Н., Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учебн. Для общеобразовательных учреждений: профильный уровень.М.Просвещение, 2009. 415 с.: ил. ISBN 978-5-09-016552-5
Решение №13802: Пусть \(\tau =\frac{\sqrt{5}-1}{2}\). \(\tau \) - это предел в предположений, что он существует. Заметим, что \(x_{2}=\sqrt{1-x_{1}}> \sqrt{1-\tau }=\tau > x_{1}, x_{3}=\sqrt{1-x_{2}}> \sqrt{1-\tau }=\tau \). Выясним, верно ли, что \(x_{3}> x_{1}\), т.е. верно, что \(\sqrt{1-x_{2}}=\sqrt{1-\sqrt{1-x_{1}}}> x_{1}. 1-\sqrt{1-x_{1}}> x_{1}^{2}; \sqrt{1-x_{1}}< \left ( 1+x_{1} \right )\left ( 1-x_{1} \right ); \sqrt{1-x_{1}}\left ( 1+x_{1} \right )> 1\). Последнее неравенство верно, так как \(\sqrt{1-x_{2}}\leqslant 1-x_{1}\Leftrightarrow \sqrt{1-x_{1}}\geqslant 1\Leftarrow 0< x_{1}\leqslant \frac{\sqrt{5}-1}{2}\). Таким образом, \(x_{1}\notin \left ( x_{2}; x_{3} \right )\). Итак, последовательность \(\left \{ x_{2n-1} \right \}\) возрастающая и ограниченная сверху \(\tau\), а последовательность \(\left \{ x_{2n} \right \}\) убывающая и ограниченная снизу \tau и окончательно \(\lim_{n \to \propto} x_{2n-1}=\lim_{n \to \propto} x_{2n}=\lim_{n \to \propto} x_{n}=\tau .\)
Ответ: NaN
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Предел последовательности, Теоремы о пределах,
Задача в следующих классах: 9 класс 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 4
Задача встречается в следующей книге: Пратусевич М.Я.,Столбов К.М., Головин А.Н., Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учебн. Для общеобразовательных учреждений: профильный уровень.М.Просвещение, 2009. 415 с.: ил. ISBN 978-5-09-016552-5
Решение №13804: \( x_{n+1}=\frac{1}{2}\left ( 1+\frac{1}{x_{n}} \right ); \lim_{n \to \propto} x_{n}=1 \)
Ответ: NaN
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Предел последовательности, Теоремы о пределах,
Задача в следующих классах: 9 класс 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 4
Задача встречается в следующей книге: Пратусевич М.Я.,Столбов К.М., Головин А.Н., Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учебн. Для общеобразовательных учреждений: профильный уровень.М.Просвещение, 2009. 415 с.: ил. ISBN 978-5-09-016552-5
Решение №13806: \( x=\frac{a}{x}+b\Leftrightarrow x=\frac{b+\sqrt{b^{2}+4a}}{2}, \lim_{ n \to \propto} x_{n}=\frac{b+\sqrt{b^{2}+4a}}{2} \)
Ответ: NaN
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Предел последовательности, Теоремы о пределах,
Задача в следующих классах: 9 класс 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 4
Задача встречается в следующей книге: Пратусевич М.Я.,Столбов К.М., Головин А.Н., Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учебн. Для общеобразовательных учреждений: профильный уровень.М.Просвещение, 2009. 415 с.: ил. ISBN 978-5-09-016552-5
Решение №13807: Если \(x_{1}=a\), то \(x_{2}=\cos a, x_{3}=\cos \left ( \cos a \right )\),так как \(-1\leqslant \cos a\leqslant 1, x_{3}\in \left ( 0; 1 \right )\). Более того, начиная с n = 3, все члены последовательности \(\left \{ x_{n} \right \}\) принадлежат интервалу \(\left ( 0; 1 \right )\), где косинус убывает. Таким образом, последовательность удовлетворяет , а тогда последовательности \(\left \{ x_{2n-1} \right \} и \left \{ x_{2n} \right \}\) монотонны и ограниченны, т. е. имеют пределы. Осталось показать, что эти пределы равны. Заметим, что \(\left \{ x_{2n-1} \right \} =\cos \left ( \cos x_{2n-1} \right ) x_{2n+2}=\cos \left ( \cos x_{2n} \right )\). Переходя к пределу в обеих частях равенства , получаем, что оба предела являются корнями уравнения \(x=\cos \left ( \cos x \right )\). Покажем, что уравнение \(x=\cos \left ( \cos x \right )\) имеет один корень. Пусть этих корней два: \(x_{1}\neq x_{2}\). Тогда\(\left | x_{1}-x_{2} \right |=2\left | \sin \frac{\cos x_{1}+\cos x_{2}}{2} \right |*\left | \sin \frac{\cos x_{2}-\cos x_{1}}{2} \right |\leqslant 2\left | \frac{\left ( \cos x_{2} -\cos x_{1}\right )}{2} \right |=2\left | \sin \frac{x_{1}-x_{2}}{2} \right |*\left | \sin \frac{x_{1}+x_{2}}{2} \right |\leqslant x_{1}-x_{2}\). Противоречия можно избежать, только если вместо знаков неравенства всюду стоят знаки равенства, что возможно лишь при \(\left | x_{1}+x_{2} \right |=0\) (использовано неравенство \(\left | \sin x \right |\leqslant \left | x \right |\), верное при всех значениях x и обращающееся в равенство при x = 0, и то, что \(\left | \sin x \right |\leqslant 1.\)
Ответ: NaN
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Предел последовательности, Теоремы о пределах,
Задача в следующих классах: 9 класс 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 4
Задача встречается в следующей книге: Пратусевич М.Я.,Столбов К.М., Головин А.Н., Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учебн. Для общеобразовательных учреждений: профильный уровень.М.Просвещение, 2009. 415 с.: ил. ISBN 978-5-09-016552-5
Решение №13809: \( x_{1}\notin \left ( 0;1 \right )\), например \(x_{1}\in \left ( 1; 2 \right )\). Тогда снова \(\left \{ x_{n} \right \}\) сходится и \(\lim_{n \to \propto} x_{n}=1\). Если \(x_{1}< 0\), то последовательность \(\left \{ x_{n} \right \}\) убывающая и не ограничена снизу и \(\lim_{n \to \propto} x_{n}=-\propto\) . Если \(x_{1}> 2\), то всё сводится к случаю \(x_{1}< 0\) Вообще говоря, можно заметить, что если существует \(\lim_{n \to \propto} x_{n}=A, A=0\) или A=1, но при \(x_{1}> 2 A\neq 0 A\neq 1.\)
Ответ: NaN
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Предел последовательности, Теоремы о пределах,
Задача в следующих классах: 9 класс 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 4
Задача встречается в следующей книге: Пратусевич М.Я.,Столбов К.М., Головин А.Н., Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учебн. Для общеобразовательных учреждений: профильный уровень.М.Просвещение, 2009. 415 с.: ил. ISBN 978-5-09-016552-5
Решение №13812: Заметим, что последовательность отличается от последовательности из задания а на \(\frac{1}{n} \) , значит, имеет тот же предел. При этом, так как \(a_{n+1}-a_{n}=\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}-\frac{1}{n+1}< \frac{1}{2n+2}+\frac{1}{2n+2}-\frac{1}{n+1}=0\) последовательность возрастает. Её предел больше \(a_{2}=\frac{1}{12}> \frac{1}{2} . \)
Ответ: NaN
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Предел последовательности, Теоремы о пределах,
Задача в следующих классах: 9 класс 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 4
Задача встречается в следующей книге: Пратусевич М.Я.,Столбов К.М., Головин А.Н., Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учебн. Для общеобразовательных учреждений: профильный уровень.М.Просвещение, 2009. 415 с.: ил. ISBN 978-5-09-016552-5
Решение №13813: Подстановка \(x_{n}=2\sin a_{n} \) дает \(x_{n+1}=2\sin \frac{a_{n}}{2}\). Поэтому \(x_{n}=2\sin \frac{a_{1}}{2^{n-1}}\). Поскольку \(\lim_{n \to \propto} \frac{a_{1}}{2^{n-1}}=0\), то получаем \(\lim){n \to \propto} x_{n}=0. \)
Ответ: NaN
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Предел последовательности, Теоремы о пределах,
Задача в следующих классах: 9 класс 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 4
Задача встречается в следующей книге: Пратусевич М.Я.,Столбов К.М., Головин А.Н., Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учебн. Для общеобразовательных учреждений: профильный уровень.М.Просвещение, 2009. 415 с.: ил. ISBN 978-5-09-016552-5
Решение №13817: Если предел последовательности \(\left \{ x_{n} \right \} \)не равен 0, то\(\lim_{n \to \propto} \left ( nx_{n} +2\right )=\propto\) , в то время как он должен быть равен пределу последовательности\(\left \{ x_{n+1} \right \}\), т. е. числу.
Ответ: NaN
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Предел последовательности, Теоремы о пределах,
Задача в следующих классах: 9 класс 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 4
Задача встречается в следующей книге: Пратусевич М.Я.,Столбов К.М., Головин А.Н., Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учебн. Для общеобразовательных учреждений: профильный уровень.М.Просвещение, 2009. 415 с.: ил. ISBN 978-5-09-016552-5
Решение №13818: Пусть \(c=\frac{p}{q} \)— несократимая дробь. Тогда все члены последовательности будут иметь знаменатель, не больший q. Заметим, что в последовательности \(\left \{ x_{n} \right \} \) могут совпасть не более двух членов. Последовательность чисел, знаменатели которых не больше q, не может иметь предела, поскольку в любом интервале таких чисел содержится лишь конечное количество. Как будет показано ниже, при рациональном с члены последовательности, начиная с некоторого номера, становятся целыми числами.
Ответ: NaN
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Предел последовательности, Теоремы о пределах,
Задача в следующих классах: 9 класс 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 4
Задача встречается в следующей книге: Пратусевич М.Я.,Столбов К.М., Головин А.Н., Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учебн. Для общеобразовательных учреждений: профильный уровень.М.Просвещение, 2009. 415 с.: ил. ISBN 978-5-09-016552-5
Решение №13820: Рассмотрим наибольшее из чисел. Пусть этим числом является а. Тогда из условия следует, что при всех натуральных n выполнено неравенство \(a^{n}< b^{n}+c^{n}\). Поделим обе части неравенства на \(a^{n}\). Получим неравенство \(\left ( \frac{b}{a} \right )^{n+\left ( \frac{c}{a} \right )^{n}}> 1\), верное при всех натуральных n. Если а не равно ни одному из чисел b и с, то \(\frac{b}{a}< 1, \frac{c}{a}< 1\), а тогда \(\lim_{n \to \propto} \left ( \left ( \frac{b}{a} \right )^{n}+\left ( \frac{c}{a} \right )^{n} \right )=0\), что противоречит неравенству.
Ответ: NaN
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Предел последовательности, Теоремы о пределах,
Задача в следующих классах: 9 класс 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 4
Задача встречается в следующей книге: Пратусевич М.Я.,Столбов К.М., Головин А.Н., Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учебн. Для общеобразовательных учреждений: профильный уровень.М.Просвещение, 2009. 415 с.: ил. ISBN 978-5-09-016552-5
Решение №13821: Идея решения этой задачи схожа с идеей решения предыдущей. Пусть \(a_{1}, ... , a_{k}\) — данные числа. Пусть \(a_{1}\)— число с максимальным модулем. Из условия получаем равенство \( 1+\left ( \frac{a_{2}}{a_{1}} \right )^{n}+...+\left ( \frac{a_{k}}{a_{1}} \right )^{n}=0\) верное при всех натуральных нечётных n. Если среди записанных в равенстве дробей нет дроби, по модулю равной 1, то, устремляя n к бесконечности, получаем предел левой части равным 1, что противоречит равенству (3). Значит, среди таких дробей есть равные 1 и −1. Сумма дробей, имеющих модуль 1, должна быть равна 0, поскольку остальные дроби «уйдут в 0» при нахождении предела. Значит, среди исходных чисел было поровну равных а1 и −а1. Поскольку сумма всех чисел с наибольшим модулем в нечётных степенях будет равна 0, для оставшихся чисел условие задачи будет выполнено, и то же самое рассуждение можно проделать ещё несколько раз.
Ответ: NaN
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Предел последовательности, Теоремы о пределах,
Задача в следующих классах: 9 класс 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 4
Задача встречается в следующей книге: Пратусевич М.Я.,Столбов К.М., Головин А.Н., Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учебн. Для общеобразовательных учреждений: профильный уровень.М.Просвещение, 2009. 415 с.: ил. ISBN 978-5-09-016552-5
Решение №13823: \( a_{1}= 2\), таким образом, из возрастания последовательности \(\left \{ a_{n} \right \}\) следует, что при n > 1 выполнено \(a_{n} > 2\). Второе неравенство следует из того, что \(a_{n} < е\), поскольку e является пределом возрастающей последовательности, который, как следует из доказательства теоремы Вейерштрасса, является её супремумом. В свою очередь, е < 3.
Ответ: NaN
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Предел последовательности, Теоремы о пределах,
Задача в следующих классах: 9 класс 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 4
Задача встречается в следующей книге: Пратусевич М.Я.,Столбов К.М., Головин А.Н., Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учебн. Для общеобразовательных учреждений: профильный уровень.М.Просвещение, 2009. 415 с.: ил. ISBN 978-5-09-016552-5
Решение №13824: При всех натуральных n выполнено \(\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^{n+1}> e\), откуда, возводя обе части неравенства в степень \(\frac{n}{n+1}\) , получаем \(\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^{n}> e^{1-\frac{1}{n+1}}\) которое влечёт требуемое неравенство, так как \(1-\frac{1}{n+1}> 1-\frac{1}{n}\)
Ответ: NaN
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Предел последовательности, Теоремы о пределах,
Задача в следующих классах: 9 класс 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 4
Задача встречается в следующей книге: Пратусевич М.Я.,Столбов К.М., Головин А.Н., Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учебн. Для общеобразовательных учреждений: профильный уровень.М.Просвещение, 2009. 415 с.: ил. ISBN 978-5-09-016552-5
Решение №13828: Пусть \(e=\frac{p}{q} \), где p и q - натуральные числа. Тогда $$\frac{p}{q}=1+1+\frac{1}{2!}+...+\frac{1}{q!}+\frac{a_{q}}{q!q}, 0< a_{q}\leqslant 1$$ Умножив обе части этого неравенства на \(q!\) Получаем $$p=2q!+\frac{q!}{2!}+...+1+\frac{a_{q}}{q}$$ В левой части этого равенства стоит натуральное число. В правой части равенства все слагаемые, кроме последнего, являются натуральными числами, а последнее слагаемое целым не является. Полученное противоречие доказывает утверждение задачи. Кстати, из доказанного утверждения следует, что в использованном представлении числа e для всех натуральных n выполнено строгое неравенство \(a_{n}< 1\). В противном случае получилось бы, что \(e\) — рациональное число.
Ответ: NaN
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Предел последовательности, Теоремы о пределах,
Задача в следующих классах: 9 класс 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 4
Задача встречается в следующей книге: Пратусевич М.Я.,Столбов К.М., Головин А.Н., Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учебн. Для общеобразовательных учреждений: профильный уровень.М.Просвещение, 2009. 415 с.: ил. ISBN 978-5-09-016552-5
Решение №13829: \( n!e=m_{n}+\frac{a_{n}}{n}, 0< a_{n}\leqslant 1\), где\( m_{n} - некоторое целое число. Тогда \(\sin \left ( 2\pi n!e \right )=\sin \left ( 2\pi m_{n} +\frac{2\pi a_{n}}{n}\right )=\sin \left ( \frac{2\pi a_{n}}{n} \right )\) Очевидно, что \(\lim_{n \to \propto}\sin \left ( \frac{2\pi a_{n}}{n} \right )=0 \)
Ответ: NaN
Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Простейшие уравнения Простейшие уравнения Показательные уравнения
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, простые показательные уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 1
Задача встречается в следующей книге: Нелин Е.П.,Роанин А.Н.,Куланин Е.Д.,Федин С.Н. Сборник задач по алгбере и началам математического анализа.10 класс.- М.:ИЛЕКСА 2014, - 448.: ил
Пока решения данной задачи,увы,нет...
Ответ: 2
Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Простейшие уравнения Простейшие уравнения Показательные уравнения
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, простые показательные уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 1
Задача встречается в следующей книге: Нелин Е.П.,Роанин А.Н.,Куланин Е.Д.,Федин С.Н. Сборник задач по алгбере и началам математического анализа.10 класс.- М.:ИЛЕКСА 2014, - 448.: ил
Пока решения данной задачи,увы,нет...
Ответ: 0
Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Простейшие уравнения Простейшие уравнения Показательные уравнения
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, простые показательные уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 1
Задача встречается в следующей книге: Нелин Е.П.,Роанин А.Н.,Куланин Е.Д.,Федин С.Н. Сборник задач по алгбере и началам математического анализа.10 класс.- М.:ИЛЕКСА 2014, - 448.: ил
Пока решения данной задачи,увы,нет...
Ответ: 2
Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Простейшие уравнения Простейшие уравнения Показательные уравнения
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, простые показательные уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 1
Задача встречается в следующей книге: Нелин Е.П.,Роанин А.Н.,Куланин Е.Д.,Федин С.Н. Сборник задач по алгбере и началам математического анализа.10 класс.- М.:ИЛЕКСА 2014, - 448.: ил
Пока решения данной задачи,увы,нет...
Ответ: 2
Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Простейшие уравнения Простейшие уравнения Показательные уравнения
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, простые показательные уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 1
Задача встречается в следующей книге: Нелин Е.П.,Роанин А.Н.,Куланин Е.Д.,Федин С.Н. Сборник задач по алгбере и началам математического анализа.10 класс.- М.:ИЛЕКСА 2014, - 448.: ил
Пока решения данной задачи,увы,нет...
Ответ: 4
Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Простейшие уравнения Простейшие уравнения Показательные уравнения
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, простые показательные уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 1
Задача встречается в следующей книге: Нелин Е.П.,Роанин А.Н.,Куланин Е.Д.,Федин С.Н. Сборник задач по алгбере и началам математического анализа.10 класс.- М.:ИЛЕКСА 2014, - 448.: ил
Пока решения данной задачи,увы,нет...
Ответ: -2
Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Простейшие уравнения Простейшие уравнения Показательные уравнения
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, простые показательные уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 1
Задача встречается в следующей книге: Нелин Е.П.,Роанин А.Н.,Куланин Е.Д.,Федин С.Н. Сборник задач по алгбере и началам математического анализа.10 класс.- М.:ИЛЕКСА 2014, - 448.: ил
Пока решения данной задачи,увы,нет...
Ответ: -3
Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Простейшие уравнения Простейшие уравнения Показательные уравнения
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, простые показательные уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 1
Задача встречается в следующей книге: Нелин Е.П.,Роанин А.Н.,Куланин Е.Д.,Федин С.Н. Сборник задач по алгбере и началам математического анализа.10 класс.- М.:ИЛЕКСА 2014, - 448.: ил
Пока решения данной задачи,увы,нет...
Ответ: -3
Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Простейшие уравнения Простейшие уравнения Показательные уравнения
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, простые показательные уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 1
Задача встречается в следующей книге: Нелин Е.П.,Роанин А.Н.,Куланин Е.Д.,Федин С.Н. Сборник задач по алгбере и началам математического анализа.10 класс.- М.:ИЛЕКСА 2014, - 448.: ил
Пока решения данной задачи,увы,нет...
Ответ: -0.5
Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Простейшие уравнения Простейшие уравнения Показательные уравнения
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, простые показательные уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 1
Задача встречается в следующей книге: Нелин Е.П.,Роанин А.Н.,Куланин Е.Д.,Федин С.Н. Сборник задач по алгбере и началам математического анализа.10 класс.- М.:ИЛЕКСА 2014, - 448.: ил
Пока решения данной задачи,увы,нет...
Ответ: 0
Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Простейшие уравнения Простейшие уравнения Показательные уравнения
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, простые показательные уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 1
Задача встречается в следующей книге: Нелин Е.П.,Роанин А.Н.,Куланин Е.Д.,Федин С.Н. Сборник задач по алгбере и началам математического анализа.10 класс.- М.:ИЛЕКСА 2014, - 448.: ил
Пока решения данной задачи,увы,нет...
Ответ: 1
Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Простейшие уравнения
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, простые показательные уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 1
Задача встречается в следующей книге: Нелин Е.П.,Роанин А.Н.,Куланин Е.Д.,Федин С.Н. Сборник задач по алгбере и началам математического анализа.10 класс.- М.:ИЛЕКСА 2014, - 448.: ил
Пока решения данной задачи,увы,нет...
Ответ: \varnothing }
Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Простейшие уравнения Простейшие уравнения Показательные уравнения
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, простые показательные уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 1
Задача встречается в следующей книге: Нелин Е.П.,Роанин А.Н.,Куланин Е.Д.,Федин С.Н. Сборник задач по алгбере и началам математического анализа.10 класс.- М.:ИЛЕКСА 2014, - 448.: ил
Пока решения данной задачи,увы,нет...
Ответ: 4
Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Простейшие уравнения Простейшие уравнения Показательные уравнения
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, простые показательные уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 1
Задача встречается в следующей книге: Нелин Е.П.,Роанин А.Н.,Куланин Е.Д.,Федин С.Н. Сборник задач по алгбере и началам математического анализа.10 класс.- М.:ИЛЕКСА 2014, - 448.: ил
Пока решения данной задачи,увы,нет...
Ответ: 1
Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Простейшие уравнения Простейшие уравнения Показательные уравнения
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, простые показательные уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 1
Задача встречается в следующей книге: Нелин Е.П.,Роанин А.Н.,Куланин Е.Д.,Федин С.Н. Сборник задач по алгбере и началам математического анализа.10 класс.- М.:ИЛЕКСА 2014, - 448.: ил
Пока решения данной задачи,увы,нет...
Ответ: 2
Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Простейшие уравнения Простейшие уравнения Показательные уравнения
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, простые показательные уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 1
Задача встречается в следующей книге: Нелин Е.П.,Роанин А.Н.,Куланин Е.Д.,Федин С.Н. Сборник задач по алгбере и началам математического анализа.10 класс.- М.:ИЛЕКСА 2014, - 448.: ил
Пока решения данной задачи,увы,нет...
Ответ: 3
Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Простейшие уравнения Простейшие уравнения Показательные уравнения
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, простые показательные уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 1
Задача встречается в следующей книге: Нелин Е.П.,Роанин А.Н.,Куланин Е.Д.,Федин С.Н. Сборник задач по алгбере и началам математического анализа.10 класс.- М.:ИЛЕКСА 2014, - 448.: ил
Пока решения данной задачи,увы,нет...
Ответ: 2
Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Простейшие уравнения Простейшие уравнения Показательные уравнения
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, простые показательные уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 1
Задача встречается в следующей книге: Нелин Е.П.,Роанин А.Н.,Куланин Е.Д.,Федин С.Н. Сборник задач по алгбере и началам математического анализа.10 класс.- М.:ИЛЕКСА 2014, - 448.: ил
Пока решения данной задачи,увы,нет...
Ответ: 1
Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Простейшие уравнения
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, простые показательные уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 1
Задача встречается в следующей книге: Нелин Е.П.,Роанин А.Н.,Куланин Е.Д.,Федин С.Н. Сборник задач по алгбере и началам математического анализа.10 класс.- М.:ИЛЕКСА 2014, - 448.: ил
Пока решения данной задачи,увы,нет...
Ответ: {2;3}
Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Простейшие уравнения Простейшие уравнения Показательные уравнения
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, простые показательные уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 1
Задача встречается в следующей книге: Нелин Е.П.,Роанин А.Н.,Куланин Е.Д.,Федин С.Н. Сборник задач по алгбере и началам математического анализа.10 класс.- М.:ИЛЕКСА 2014, - 448.: ил
Пока решения данной задачи,увы,нет...
Ответ: 4
Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Простейшие уравнения
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, простые показательные уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 1
Задача встречается в следующей книге: Нелин Е.П.,Роанин А.Н.,Куланин Е.Д.,Федин С.Н. Сборник задач по алгбере и началам математического анализа.10 класс.- М.:ИЛЕКСА 2014, - 448.: ил
Пока решения данной задачи,увы,нет...
Ответ: R
Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Простейшие уравнения Простейшие уравнения Показательные уравнения
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, простые показательные уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 1
Задача встречается в следующей книге: Нелин Е.П.,Роанин А.Н.,Куланин Е.Д.,Федин С.Н. Сборник задач по алгбере и началам математического анализа.10 класс.- М.:ИЛЕКСА 2014, - 448.: ил
Пока решения данной задачи,увы,нет...
Ответ: -2.5
Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Простейшие уравнения Простейшие уравнения Показательные уравнения
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, простые показательные уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 1
Задача встречается в следующей книге: Нелин Е.П.,Роанин А.Н.,Куланин Е.Д.,Федин С.Н. Сборник задач по алгбере и началам математического анализа.10 класс.- М.:ИЛЕКСА 2014, - 448.: ил
Пока решения данной задачи,увы,нет...
Ответ: -4
Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Простейшие уравнения Простейшие уравнения Показательные уравнения
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, простые показательные уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 1
Задача встречается в следующей книге: Нелин Е.П.,Роанин А.Н.,Куланин Е.Д.,Федин С.Н. Сборник задач по алгбере и началам математического анализа.10 класс.- М.:ИЛЕКСА 2014, - 448.: ил
Пока решения данной задачи,увы,нет...
Ответ: -6
Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Простейшие уравнения Простейшие уравнения Показательные уравнения
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, простые показательные уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 1
Задача встречается в следующей книге: Нелин Е.П.,Роанин А.Н.,Куланин Е.Д.,Федин С.Н. Сборник задач по алгбере и началам математического анализа.10 класс.- М.:ИЛЕКСА 2014, - 448.: ил
Пока решения данной задачи,увы,нет...
Ответ: 1
Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Простейшие уравнения Простейшие уравнения Показательные уравнения
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, простые показательные уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 1
Задача встречается в следующей книге: Нелин Е.П.,Роанин А.Н.,Куланин Е.Д.,Федин С.Н. Сборник задач по алгбере и началам математического анализа.10 класс.- М.:ИЛЕКСА 2014, - 448.: ил
Пока решения данной задачи,увы,нет...
Ответ: 0
Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Простейшие уравнения Простейшие уравнения Показательные уравнения
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, простые показательные уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 1
Задача встречается в следующей книге: Нелин Е.П.,Роанин А.Н.,Куланин Е.Д.,Федин С.Н. Сборник задач по алгбере и началам математического анализа.10 класс.- М.:ИЛЕКСА 2014, - 448.: ил
Пока решения данной задачи,увы,нет...
Ответ: -2.4
Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Простейшие уравнения Простейшие уравнения Показательные уравнения
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, простые показательные уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 1
Задача встречается в следующей книге: Нелин Е.П.,Роанин А.Н.,Куланин Е.Д.,Федин С.Н. Сборник задач по алгбере и началам математического анализа.10 класс.- М.:ИЛЕКСА 2014, - 448.: ил
Пока решения данной задачи,увы,нет...
Ответ: -2.25
Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Простейшие уравнения Простейшие уравнения Показательные уравнения
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, простые показательные уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 1
Задача встречается в следующей книге: Нелин Е.П.,Роанин А.Н.,Куланин Е.Д.,Федин С.Н. Сборник задач по алгбере и началам математического анализа.10 класс.- М.:ИЛЕКСА 2014, - 448.: ил
Пока решения данной задачи,увы,нет...
Ответ: 6.5
Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Простейшие уравнения Простейшие уравнения Показательные уравнения
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, простые показательные уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 1
Задача встречается в следующей книге: Нелин Е.П.,Роанин А.Н.,Куланин Е.Д.,Федин С.Н. Сборник задач по алгбере и началам математического анализа.10 класс.- М.:ИЛЕКСА 2014, - 448.: ил
Пока решения данной задачи,увы,нет...
Ответ: 2.2
Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Простейшие уравнения Простейшие уравнения Показательные уравнения
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, простые показательные уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 1
Задача встречается в следующей книге: Нелин Е.П.,Роанин А.Н.,Куланин Е.Д.,Федин С.Н. Сборник задач по алгбере и началам математического анализа.10 класс.- М.:ИЛЕКСА 2014, - 448.: ил
Пока решения данной задачи,увы,нет...
Ответ: -0.4
Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Простейшие уравнения Простейшие уравнения Показательные уравнения
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, простые показательные уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 1
Задача встречается в следующей книге: Нелин Е.П.,Роанин А.Н.,Куланин Е.Д.,Федин С.Н. Сборник задач по алгбере и началам математического анализа.10 класс.- М.:ИЛЕКСА 2014, - 448.: ил
Пока решения данной задачи,увы,нет...
Ответ: 0.7
Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Простейшие уравнения Простейшие уравнения Показательные уравнения
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, простые показательные уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 1
Задача встречается в следующей книге: Нелин Е.П.,Роанин А.Н.,Куланин Е.Д.,Федин С.Н. Сборник задач по алгбере и началам математического анализа.10 класс.- М.:ИЛЕКСА 2014, - 448.: ил
Пока решения данной задачи,увы,нет...
Ответ: 1
Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Простейшие уравнения Простейшие уравнения Показательные уравнения
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, простые показательные уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 1
Задача встречается в следующей книге: Нелин Е.П.,Роанин А.Н.,Куланин Е.Д.,Федин С.Н. Сборник задач по алгбере и началам математического анализа.10 класс.- М.:ИЛЕКСА 2014, - 448.: ил
Пока решения данной задачи,увы,нет...
Ответ: 2
Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Простейшие уравнения Простейшие уравнения Показательные уравнения
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, простые показательные уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 1
Задача встречается в следующей книге: Нелин Е.П.,Роанин А.Н.,Куланин Е.Д.,Федин С.Н. Сборник задач по алгбере и началам математического анализа.10 класс.- М.:ИЛЕКСА 2014, - 448.: ил
Пока решения данной задачи,увы,нет...
Ответ: -1
Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Простейшие уравнения Простейшие уравнения Показательные уравнения
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, простые показательные уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 1
Задача встречается в следующей книге: Нелин Е.П.,Роанин А.Н.,Куланин Е.Д.,Федин С.Н. Сборник задач по алгбере и началам математического анализа.10 класс.- М.:ИЛЕКСА 2014, - 448.: ил
Пока решения данной задачи,увы,нет...
Ответ: -1
Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Простейшие уравнения Простейшие уравнения Показательные уравнения
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, простые показательные уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 1
Задача встречается в следующей книге: Нелин Е.П.,Роанин А.Н.,Куланин Е.Д.,Федин С.Н. Сборник задач по алгбере и началам математического анализа.10 класс.- М.:ИЛЕКСА 2014, - 448.: ил
Пока решения данной задачи,увы,нет...
Ответ: 1