Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \(\frac{3}{x}cos(lnx)\)

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \(\frac{1}{xln2}\left ( 1-\frac{1}{log_{2}^{2}x} \right )\)

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \(\frac{1}{(x+1)^{2}(x^{2}+1)}\)

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \(\frac{1}{ln2sinx}\)

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \(\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}\)

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: -\frac{1}{3}

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 1

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 1

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 2,5ln2

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \underset{[-1;2]}{max} y(x)=\frac{17}{4ln2}; \underset{[-1;2]}{min} y(x)=\frac{2}{ln2}

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 0

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: -0.4074074074074074

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 1

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 10

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \underset{[3;5]}{max} y(x)=3\sqrt{2}; \underset{[3;5]}{min} y(x)=2

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 29

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 5/e

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 24

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 22

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 1

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 1

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 29

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 84

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: -64

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 5

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \(y^{'}=2ln\frac{1}{2}\cdot 4^{-x}+(6a-7)(0,5)^{-x}ln\frac{1}{2}\)

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: {6;12}

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: {9;9}

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 6*6

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: В 9 км от \(А\)

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 28800

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 0.5

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \frac{\sqrt{5}}{2}

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: (-\infty ;0]\cup \left [ \frac{1}{4};+\infty \right )

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 8

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 0.6

Решение №13638: \( x^{n}=\frac{2n^{2}-1}{n+1}=2n-2+\frac{1}{n+1}\). Покажем, что последовательность \(\left \{ x_{n} \right \} \)не ограничена сверху, т.е.\( \forall M> 0 \exists n_{0}\in N: \forall n\geqslant n_{0} 2n-2+\frac{1}{n+1}> M\). Действительно, возьмем произвольное \(M> 0\). Тогда неравенство \(2n-2> M\) влечет за собой \(x_{n}> M\). Значит, в качестве \(n_{0}\) можно взять \(n_{0}=\left [ \frac{M+2}{2} \right ] \forall n\in N x_{n}> 0\), откуда следует, что последовательность ограничена снизу.

Ответ: NaN

Решение №13639: \( \left | \sin n \right |\leqslant 1\), поэтому последовательность \(\left \{ x_{n} \right \}\) ограниченная.

Ответ: NaN

Решение №13640: Представим общий член последовательности в виде \(x_{n}=3-\frac{5}{n+2}\). При \(x\geqslant 1\) функция \(f\left ( x \right )=3-\frac{5}{x+2} \) возрастает, множество ее значений \(E\left ( f \right )=\left [ \frac{4}{3}; 3 \right )\). Таким образом, последовательность \(\left \{ x_{n} \right \}\) ограниченная.

Ответ: NaN

Решение №13642: Так как \(\forall n\in N 1+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}} \geqslant \frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}=\frac{n}{\sqrt{n}}=\sqrt{n}\), а последовательность с общим членом \(y_{n}=\sqrt{n}\) не ограничена сверху, то последовательность \(\left \{ x_{n} \right \}\) не ограничена сверху. Понятно, что \(\forall n\in N x_{1}< x_{n}\) , а значит, последовательность \(\left \{ x_{n} \right \} \)ограничена снизу.

Ответ: NaN

Решение №13644: Последовательность \(\left \{ x_{n} \right \}\) ограничена.

Ответ: NaN

Решение №13647: Последовательность \(\left \{ y_{n} \right \} \) обязательно ограничена. По одному из определений ограниченности последовательность \(\left \{ x_{n} \right \}\) является ограниченной, если \(\exists M> 0:\forall n\in N \left | x_{n} \right |\leqslant M\). Но тогда \(\forall n\in N \left | y_{n} \right |\leqslant M\), поскольку \(\left | y_{n} \right |=\left \| x_{n} \right \|=\left | x_{n} \right |\)

Ответ: NaN

Решение №13649: Обязательно органичена. Результат не зависит от ограниченности последовательности \(\left \{ x_{n} \right \}\), поскольку значения косинуса любого числа по модулю не превосходят 1.

Ответ: NaN

Решение №13650: Необязательно ограничена. Например, для \(x_{n}=\frac{\pi }{2}-\frac{1}{n}\) последовательность \(\tan x_{n}\) будет неограниченной. Доказать это удобнее всего, решив неравенство \(\tan x> M\) и убедившись, что при любом значении M в множество решений этого неравенства попадают члены последовательности \(\left \{ x_{n} \right \}\)

Ответ: NaN

Решение №13653: Так как последовательности \(\left \{ x_{n} \right \} и \left \{ y_{n} \right \}\) ограничены, существуют такие числа A и B, что \(\forall n\in N \left ( \left | x_{n} \right |\leqslant A \right )\wedge \left ( \left | y_{n} \right |\leqslant B \right ) \) Неравенства \(\left | x_{n}+y_{n} \right |\leqslant \left | x_{n} \right |+\left | y_{n} \right |\leqslant A+B\) показывают, что последовательность \(z_{n}=x_{n}+y_{n}\) обязательно ограничена.

Ответ: NaN

Решение №13655: Так как последовательности \(\left \{ x_{n} \right \} и \left \{ y_{n} \right \}\) ограничены, существуют такие числа A и B, что \(\forall n\in N \left ( \left | x_{n} \right |\leqslant A \right )\wedge \left ( \left | y_{n} \right |\leqslant B \right ) \) Неравенства \(\left | x_{n}*y_{n} \right |\leqslant \left | x_{n} \right |*\left | y_{n} \right |\leqslant A+B\) показывают, что последовательность \(z_{n}=x_{n}+y_{n}\) обязательно ограничена.

Ответ: NaN

Решение №13657: Так как последовательности \(\left \{ x_{n} \right \} и \left \{ y_{n} \right \}\) ограничены, существуют такие числа A и B, что \( \forall n\in N \left ( \left | x_{n} \right |\leqslant A \right )\wedge \left ( \left | y_{n} \right |\leqslant B \right ) \) Пусть \(x_{n}=\sqrt[n]{2}, y_{n}=1. Тогда z_{n}=n\) - неограниченная последовательность.

Ответ: NaN

Решение №13658: Рассмотрим функцию \(f\left ( x \right )=-x^{2}-n+1=\left ( n-\frac{1}{2} \right )^{2}+\frac{3}{4} \left \). Она возрастает на множестве натуральных чисел, значит, последовательность \(\{ x_{n} \right \}\) возрастающая.

Ответ: NaN

Решение №13660: Последовательность с общим членом \(x_{n}=\frac{4n+3}{2n+1}=2+\frac{1}{2n+1} \) убывающая, так как \(f\left ( x \right )=2+\frac{1}{2x+1}\) убывает на \(\left [ -1;+\propto \right ) \)

Ответ: NaN

Решение №13661: Последовательность с общим членом \(\x_{n}=\frac{2n}{n^{2}+1}=\frac{2}{n+\frac{1}{n}}\) убывает, так как функция\( f\left ( x \right )=x+\frac{1}{x}\) возрастает и положительна на \(\left [ 1;+\propto \right ) \)

Ответ: NaN

Решение №13663: Не является монотонной. Общий член последовательности может быть записан в виде \(x_{n}=\left\{\begin{matrix}6k, n=3k \\ 2k-1, n=2k-1 \end{matrix}\right. \)

Ответ: NaN

Решение №13665: \( \frac{1}{n^{3}}< \varepsilon \Leftrightarrow n^{3}> \frac{1}{\varepsilon }\Leftrightarrow n> \sqrt[3]{\frac{1}{\varepsilon }}\), т.е. \(n\geqslant \left [ \sqrt[3]{\frac{1}{\varepsilon }} \right ]+1\). \(Если \varepsilon =\frac{1}{10}\), то\( n\geqslant \left [ \sqrt[3]{10} \right ]+1=3 \)

Ответ: NaN

Решение №13666: \( \frac{1}{n+1}< \varepsilon \Leftrightarrow n+1> \frac{1}{\varepsilon }\Leftrightarrow n> \frac{1}{\varepsilon }-1\), т.е. \(n\geqslant \left [ \frac{1}{\varepsilon } -1\right ]+1 \)

Ответ: NaN

Решение №13667: \( \lim n \to \frac{n}{2n+1}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0 \exists N_{\varepsilon }\in N: \forall n\geqslant N_{\varepsilon }\left | \frac{n}{2n+1}-\frac{1}{2} \right |< \varepsilon\) . Рассмотрим неравенство \(\left | \frac{n}{2n+1} -\frac{1}{2}\right |< \varepsilon \Leftrightarrow \frac{1}{4n+2}< \varepsilon \Leftrightarrow n> \frac{1}{4\varepsilon }-\frac{1}{2}\), т.е. в качестве \(N_{\varepsilon }\) можно взять \( N_{\varepsilon }=\left [ \frac{1}{4\varepsilon }-\frac{1}{2} \right ]+1. \)

Ответ: NaN

Решение №13669: Так как \(\left ( \frac{1}{3} \right )^{n}< \frac{1}{n}< \varepsilon\) , то в качестве \(N_{\varepsilon }\) можно взять \(N_{\varepsilon }=\left [ \frac{1}{\varepsilon } \right ]+1\). То есть мы доказали, что \(\lim_{n \to \propto} \frac{1}{3^{n}}=0 \)

Ответ: NaN

Решение №13670: Докажем, что \( \lim_{n \to \propto} \left ( -\frac{2}{5} \right )^{n}=0\). Тогда должно выполняться \(\left | \left ( -\frac{2}{5} \right )^{n} \right |=\left | \left ( -1 \right )^{n}\left ( \frac{2}{5} \right )^{n} \right |=\left ( \frac{2}{5} \right )^{n}< \varepsilon\). Взяв \(N_{\varepsilon }=\left [ \log _{\frac{5}{2}}\frac{1}{3} \right ]+1\), получим, что неравенство \(\left ( \frac{2}{5} \right )^{n}< \varepsilon\) выполнено для всех \(n> N_{\varepsilon }. \)

Ответ: NaN

Решение №13673: \( x_{n}=n^{2}; y_{n}=n^{3} \)

Ответ: NaN

Решение №13674: 1

Ответ: 1

Решение №13675: 1. При n> 6 выполнено неравенство \(n^{2}-5n-7> 0\), откуда при n> 6 будет выполняться \(x_{n}=1\)

Ответ: 1

Решение №13677: Сходимость последовательности \(\left \{ x_{n} \right \} \)означает существование какого-либо ее предела. Значит, отрицание утврждения "последовательность \(\left \{ x_{n} \right \}\) "сходится" выглядит так: \(\forall a\exists \varepsilon > 0:\forall N_{\varepsilon }\in N \exists n\geqslant N_{\varepsilon }:\left | x_{n}-a \right |\geqslant \varepsilon \)

Ответ: NaN

Решение №13679: Ясно, что для любой окрестности числа A вне этой окрестности находится конечное число членов последовательности или их нет вовсе. Значит, и конечно число членов последовательности \(\left \{ y_{n_{k}} \right \}\), полученных перестановкой членов последовательности \(\left \{ x_{n} \right \} \)

Ответ: NaN

Решение №13680: Пусть \(a_{n}=\frac{1}{n}\), тогда последовательность \(\left \{ a_{n} \right \}\) сходится, а если \(a_{n}=\left\{\begin{matrix}1, n=2k-1 \\ \frac{1}{n^{2}}, n=2k \end{matrix}\right.\), то последовательность \(\left \{ a_{n} \right \}\) расходится.

Ответ: Необязательно сходится

Решение №13682: Например, \(x_{n}=\left\{\begin{matrix}0, n=2k, \\ \frac{n+1}{2}, n=2k-1. \end{matrix}\right. \)

Ответ: Нет

Решение №13684: Рассмотрим произвольное число Е > 0. Существует лишь конечное число натуральных чисел, меньших Е, а значит, лишь конечное число членов ,\(x_{n^{1}} x_{n^{2}},....x_{n^{k}}\) последовательности, меньших Е (каждое натуральное число может встретиться в последовательности не более одного раза). Это означает, что, начиная с некоторого номера (большего n_{k}), все члены последовательности будут больше Е. Следовательно, по определению \(\lim_{n \to \propto }x_{n}=+\propto. \)

Ответ: Да

Решение №13685: Пусть \(\left \{ x_{n} \right \}\) - бесконечно малая последовательность. Тогда \(\forall \varepsilon > 0 \exists N_{\varepsilon }\in N: \forall n\geqslant N_{\varepsilon }\left | x_{n} \right |< \varepsilon \), но \(\left | x_{n} \right |< \varepsilon \Leftrightarrow \left \| x_{n} \right \|< \varepsilon \), что и доказывает требуемое

Ответ: NaN

Решение №13686: \( x_{n}=\frac{1}{n^{2}}; y_{n}=n. \)

Ответ: NaN

Решение №13688: \( x_{n}=\frac{1}{n}; y_{n}=n^{2} \)

Ответ: NaN

Решение №13690: \( x_{n}=n; y_{n}=n^{3}\)

Ответ: NaN

Решение №13692: \( x_{n}=n^{3}; y_{n}=n \)

Ответ: NaN

Решение №13694: \( x_{n}=\sqrt{n^{2}+1}; y_{n}=-n. \)

Ответ: NaN

Решение №13697: Пусть \(\lim_{n \to \propto} x_{n}=\lim_{n \to \propto} y_{n}=+\propto.\) По определению это означает, что\(\forall \varepsilon > 0 \exists K_{1}\in N: \forall n\geqslant K_{1}x_{n}> \frac{\varepsilon }{2} \forall \varepsilon > 0 \exists K_{2}\in N: \forall n\geqslant K_{2} y_{n}> \frac{\varepsilon }{2}\). Выберем \(K=max \left \{ K_{1}; K_{2} \right \}\), тогда \(\forall \varepsilon > 0 \exists K\in N: \forall n\geqslant K x_{n}+y_{n}> \varepsilon \), что и доказывает утверждение.

Ответ: NaN

Решение №13698: Рассмотрим, например, случай, когда \(\lim_{n \to \propto} y_{n}=-\propto \lim_{n \to \propto} x_{n}=+\propto\). Тогда \(\forall \varepsilon > 0 \exists K_{2}\in N: \forall n\geqslant K_{2} y_{n} < -\varepsilon < -\sqrt{\varepsilon }(-y_{n}> \sqrt{\varepsilon }) \forall \varepsilon > 1 \exists K_{1}\in N:\forall n\geqslant K_{1} x_{n}> \varepsilon > \sqrt{\varepsilon }\). Выберем \(K=max \left \{ K_{1}; K_{2} \right \}\), тогда \(\forall \varepsilon > 1 \exists K\in N: \forall n\geqslant K -x_{n}y_{n}> \varepsilon \),а значит, \(x_{n}y_{n}< -\varepsilon\). Таким образом, последовательность \(\left \{ x_{n}y_{n} \right \}\) бесконечно большая.

Ответ: NaN

Решение №13699: Если \(\lim_{n \to \propto} x_{n}=A\), то, начиная с некоторого номера, \(x_{n}> \frac{A}{2}> 0\).Возьмем E> 0. Тогда \(\exists k_{1}\in N: \forall n\geqslant k_{1}x_{n}> \frac{A}{2} \exists k_{2}\in N:\forall n\geqslant k_{2}\left | y_{n} \right |\). Выберем \(k*=max \left \{ k_{1}; k_{2} \right \}\), тогда \(\forall n\geqslant k*\left | x_{n}y_{n} \right |=\left | x_{n} \right |\left | y_{n} \right |> \frac{A}{2}\frac{2E}{A}=E\). В силу произвольного выбора E получим, что \(\lim_{n \to \propto} x_{n}y_{n}=\propto \)

Ответ: NaN

Решение №13700: \Нет, например \(y_{n}=\frac{1}{n^{2}} x_{n}=n\)

Ответ: NaN

Решение №13703: По условию \(\forall n\in N\) выполнено \(x_{2_{n}}> x_{n}> 0\). Последовательно применяя это неравенство, получаем \(x_{2^{n}}> x_{1}> 0\), т. е. все члены последовательности с номерами, являющимися степенями двойки, будут больше \(x_{1}\). Таким образом, вне окрестности \(\left ( -x_{1}; x_{1} \right )\) окажется бесконечное множество членов последовательности.

Ответ: Нет

Решение №13704: \( x_{n}=\frac{1}{n^{2}}, y_{n}=n. \)

Ответ: NaN

Решение №13706: \( x_{n}=\frac{1}{2}, y_{n}=\frac{1}{n^{2}} \)

Ответ: NaN

Решение №13708: Нет, например \(x_{n}=\frac{1}{n^{2}}, y_{n}=\frac{1}{n} \)

Ответ: NaN

Решение №13711: \( x_{n}=\frac{1}{n^{2}}; y_{n}=n \lim_{n \to \propto} \frac{x_{n}}{y_{n}}\neq 0 \)- условия для сходимости \(\left \{ y_{n} \right \}\)

Ответ: NaN

Решение №13714: \( x_{n}=\left ( \left ( -1 \right )^{n} +1\right ) \)

Ответ: NaN

Решение №13715: Например, \(\lim_{n \to \propto} \left ( \frac{2n^{2}+n}{3n-1} +\frac{6n^{3}+1}{1-9n^{2}}\right )=\frac{5}{9}\), но последовательности \(\left \{ x_{n} \right \} и \left \{ y_{n} \right \}\) для которых \(x_{n}=\frac{2n^{2}+n}{3n-1}\) и \(y_{n}=\frac{6n^{3}+1}{1-9n^{2}}\), расходятся.

Ответ: NaN

Решение №13716: \( \lim_{n \to \propto} \left ( x_{n}+y_{n} \right )-\lim_{n \to \propto} x_{n}=\lim_{n \to \propto} \left ( x_{n}+y_{n}-x_{n} \right )=\lim_{n \to \propto} y_{n} \)

Ответ: NaN

Решение №13717: Пусть существует \(\lim_{n \to \propto} \left ( ax_{n}+bx_{n} \right ) \), тогда так как \(\exists \lim_{n \to \propto} x_{n}, \exists \lim_{n \to \propto} ax_{n}\). Рассмотрим \(\lim_{n \to \propto} \left ( ax_{n}+bx_{n} \right ) - \lim_{n \to \propto} \left ( ax_{n} \right )=\lim_{n \to \propto} by_{n}=b\lim n \to \propto y_{n}\), следовательно, последовательность \(\left \{ y_{n} \right \} \)сходится, что противоречит условию.

Ответ: NaN

Решение №13719: а) -1; б)\( \frac{1}{2}; в) 0; г) -\frac{1}{2}\)

Ответ: NaN

Решение №13720: 5 ;\(\frac{3}{5}\)

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 4

Решение №13724: 1;

Ответ: NaN

Решение №13725: \( \frac{\left ( -1 \right )^{n}+\frac{1}{n}}{\frac{1}{n^{2}}-\left ( -1 \right )^{n}}=\frac{1+\frac{\left ( -1 \right )^{n}}{n}}{\frac{\left ( -1 \right )^{n}}{n^{2}}-1} \)

Ответ: -1

Решение №13730: \( \lim_{n \to \propto}\left ( \frac{1+2+...+n}{n+2}-\frac{n}{2} \right )=\lim_{n \to \propto}\left ( \frac{\left ( n+1 \right )n}{2\left ( n+2 \right )}-\frac{n}{2} \right )=\lim_{n \to \propto}\frac{-n}{2n+4}=-\frac{1}{2} \)

Ответ: -\frac{1}{2}

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 0