Задачи

Фильтрация

Показать фильтрацию

По классам:

По предметам:

По подготовке:

По классам:

По авторам:

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, объем,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Атанасян Л. С. и др. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни //М.: Просвещение. – 2013.

В шар вписан конус, радиус основания которого равен \(r\), а высота равна \(H\). Найдите площадь поверхности и объем шара.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \(\frac{\pi }{H_{2}} \left ( H^{2}+r^{2} \right )^{2}\), \(\frac{\pi}{6H^{3}}\left ( H^{2}+r^{2} \right )^{3}\)

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, объем,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Атанасян Л. С. и др. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни //М.: Просвещение. – 2013.

В шар вписана пирамида, основанием которой является прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной 2 см. Найдите площадь поверхности и объем шара, если каждое боковое ребро пирамиды составляет с основанием угол \(\alpha\).

Решение №44937: \(см^{2}\), \(см^{3}\)

Ответ: \(\frac{4\pi }{sin^{2}2\alpha}\), \(\frac{4\pi}{3 sin^{3}2\alpha}\)

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, объем,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Атанасян Л. С. и др. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни //М.: Просвещение. – 2013.

В шар вписана пирамида, основанием которой является прямоугольник с диагональю 10 см. Каждое боковое ребро пирамиды составляет с основанием угол \(\beta\). Найдите площадь поверхности и объем шара.

Решение №44938: \(см^{2}\), \(см^{3}\)

Ответ: \(\frac{100\pi }{sin^{2}2\beta}\), \(\frac{500\pi }{3 sin^{3}2\beta}\)

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, объем,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Атанасян Л. С. и др. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни //М.: Просвещение. – 2013.

Цистерна имеет форму цилиндра, к основаниям которого присоединены равные шаровые сегменты. Радиус цилиндра равен 1,5 м, а высота сегмента равна 0,5 м. Какой длины должна быть образующая цилиндра, чтобы вместимость цистерны равнялась 50 \(м^{3}\)?

Решение №44939: м

Ответ: \(\approx 6,56\)

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, объем,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Атанасян Л. С. и др. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни //М.: Просвещение. – 2013.

Куб, шар, цилиндр и конус (у двух последних тел диаметры оснований равны высоте) имеют равные площади поверхностей. Какое из этих тел имеет наибольший объем и какое - наименьший?

Решение №44940: Наибольший объем имеет шар, наименьший объем имеет конус.

Ответ: NaN

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, объем,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Атанасян Л. С. и др. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни //М.: Просвещение. – 2013.

Будет ли плавать в воде полый медный шар, диаметр которого равен 10 см, а толщина стенки: а) 2 мм; б) 1,5 мм? (Плотность меди \(8,9 \frac{г}{см^{3}\)

Решение №44941: а) Нет; б) да. Указание. Сравнить плотность шара, считая его однородным, с плотностью воды.

Ответ: NaN

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, объем,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Атанасян Л. С. и др. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни //М.: Просвещение. – 2013.

В правильной треугольний призме \(ABCA_{1}B_{1}C_{1}\) сторона основания равна 6 см, а боковое ребро равно 3 см. а) Найдите площадь сечения призмы плоскостью \(ABC_{1}\). б) Докажите, что прямая \(A_{1}B_{1}\) параллельна плоскости \(AC_{1}B\). в) Найдите угол, который составляет прямая \(B_{1}C\) с плоскостью \(ABC\). г) Найдите угол между плоскостями \(AB_{1}C\) и \(ABC\). д) Найдите длину вектора \(\overrightarrow{BB_{1}}-\overrightarrow{BC}+2\overrightarrow{A_{1}A}-\overrightarrow{C_{1}C}\). е) Найдите объем призмы.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: а)\(9\sqrt{3} см^{2}\); в)\(atctg 0,5\); г)\(arctg \frac{\sqrt{2}}{2}\); д) 6 см; е)\(27\sqrt{3} см^{3}\)

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, объем,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Атанасян Л. С. и др. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни //М.: Просвещение. – 2013.

В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна см, а боковое ребро равно 12 см. Найдите: а) площадь боковой поверхности пирамиды; б) объем пирамиды; в) угол наклона боковой грани к плоскости основания; г) угол между боковыми ребром и плоскостью основания; д) скалярное произведение векторов \(\left (\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD} \right )\overrightarrow{AM}\); е) площадь сферы, описанной около пирамиды.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: а)\(72\sqrt{7} см^{2}\); б)\(144\sqrt{3} см^{3}\); в)\(arctg \sqrt{6}\); г)\(60^{\circ}\); д)72; е)\(192 \pi см^{2}\)

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, объем,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Атанасян Л. С. и др. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни //М.: Просвещение. – 2013.

В правильной треугольной пирамиде \(DABC\) высота равна 3 см, а боковое ребро \(DA\) равно 5 см. Найдите: а) площадь полной поверхности пирамиды; б) объъем пирамиды; в) угол между боковым ребром и плоскостью основания; г) угол наклона боковой грани к плоскости основания; д) скалярное произведение векторов \(\frac{1}{2} \left (\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC} \right )\overrightarrow{MA}\), где \(M\) - середина ребра \(BC\); е) радиус шара, вписанного в пирамиду.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: а)\(6\sqrt{3}\left ( 2+\sqrt{13} \right ) см^{2}\); б)\(12\sqrt{3} см^{3}\); в)\(arcsin 0,6\); г)\(arctg 1,5\); д)12; е)\(\left ( 12-6\sqrt{3} \right )\) см

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, объем,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Атанасян Л. С. и др. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни //М.: Просвещение. – 2013.

В правильной четырехугольной пирамиде \(MABCD\) боковое ребро \(MA\), равное 8 см, наклонено к плоскости основания под углом \(60^{\circ}\). Найдите: а) площадь боковой поверхности пирамиды; б) объем пирамиды; в) угол между противоположными боковыми гранями; г) угол между боковой гранью и плоскостью основания; д) скалярное произведение векторов \(\frac{1}{2} \left (\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD} \right )\overrightarrow{MK}, где \(K\) - середина ребра \(AB\); е) радиус описанного около пирамиды шара.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: а)\(37\sqrt{7} см^{2}\); б)\(\frac{128\sqrt{3}}{3} см^{3}\); в)\(arctg \sqrt{6}\); г)\(2 arctg \frac{\sqrt{6}}{6}\); д)48; е)\(\frac{8\sqrt{3}}{3}\) см

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, объем,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Атанасян Л. С. и др. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни //М.: Просвещение. – 2013.

В основании пирамиды \(MABC\) лежит треугольник \(ABC\), в котором \(\angle C = 90^{\circ}\), \(AC\) = 4 см, \(BC\) = 3 см. Грань \(MAC\) перпендикулярна к плоскости основания, а две другие боковые грани составляют равные углы с плоскостью основания. Расстояние от основания высоты \(MH\) пирамиды до грани \(MBC\) равно \(\frac{3\sqrt{2}}{4}\) см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \(3\left ( 1+2\sqrt{2} \right )см^{2}\)

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, объем,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Атанасян Л. С. и др. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни //М.: Просвещение. – 2013.

Докажите, что если одна из высот тетраэдра проходит через точку пересечения высот противоположной грани, то и остальные высоты этого тетраэдра проходят через точки пересечения высот противоположных граней.

Решение №44947: Указание. Допустим, то вершина тетраэдра проектируется в точку пересечения высот основания. Тогда любое ребро тетраэдра перпендикулярно к противоположному ребру. Затем применить обратную теорему о трех перпендикулярах.

Ответ: NaN

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, объем,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Атанасян Л. С. и др. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни //М.: Просвещение. – 2013.

Все плоские углы тетраэдра \(OABC\) при вершине \(O\) равны \(90^{\circ}\). Докажите, что площадь треугольника \(AOB\) равна среднему геометрическому площадей треугольников \(ABC\) и \(O_{1}AB\), где \(O_{1}\) - проекция точки \(O\) на плоскость \(ABC\).

Решение №44948: Указание. Учесть, что \(O_{1}\) - точка пересечения высот треугольника \(ABC\).

Ответ: NaN

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, объем,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Атанасян Л. С. и др. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни //М.: Просвещение. – 2013.

Через ребро тетраэдра проведена плоскость, разделяющая двугранный угол при этом ребре пополам. Докажите, что она делит противоположное ребро тетраэдра в отношении, равном отношению площадей граней, заключающих этот двугранный угол.

Решение №44949: Указание. Воспользоваться формулой объема тетраэдра.

Ответ: NaN

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, объем,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Атанасян Л. С. и др. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни //М.: Просвещение. – 2013.

Сколько существует плоскостей, каждая из которых равноудалена от четырех данных точек, не лежащих в одной плоскости?

Решение №44950: Семь

Ответ: NaN

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, объем,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Атанасян Л. С. и др. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни //М.: Просвещение. – 2013.

Докажите, что прямая, пересекающая две грани двугранного угла, образует с ними равные углы тогда и только тогда, когда точки пересечения равноудалены от ребра.

Решение №44951: Указание. Через биссектрису линейного угла данного двугранного угла и его ребро провести плоскость и спроектировать точку пересечения данной прямой с этой плоскостью на грани. Затем воспользоваться равенством полученных треугольников.

Ответ: NaN

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, объем,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Атанасян Л. С. и др. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни //М.: Просвещение. – 2013.

Докажите, что сечением куба может быть правильный треугольник, квадрат, правильный шестиугольник, но не может быть правильный треугольник и правильный многоугольник с числом сторон более шести.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, объем,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Атанасян Л. С. и др. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни //М.: Просвещение. – 2013.

Докажите, что сумма квадратов расстояний от вершин куба до прямой, проходящей через его центр, не зависит от положения этой прямой.

Решение №44953: Указание. Пусть \(A\) - произвольная вершина, \(O\) - центр куба, \(A_{1]\) - проекция точки \(A\) на данную прямую. Тогда \(AA_{1}=OA \cdot sin \varphi\), где \(\varphi\) - угол между \(OA\) и \(OA_{1}\). Записать сумму квадратов расстояний от прямой \(OA_{1}\) до вершин куба и воспользоваться теоремой косинусов.

Ответ: NaN

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, объем,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Атанасян Л. С. и др. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни //М.: Просвещение. – 2013.

Разбейте куб на шесть равных тетраэдров.

Решение №44954: Указание. Указанные тетраэдры имеют общую вершину, а их основания - равнобедренные прямоугольные треугольники, катеты которых равны ребру куба.

Ответ: NaN

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, объем,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Атанасян Л. С. и др. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни //М.: Просвещение. – 2013.

Комната имеет форму куба. Паук, сидящий в середине ребра, хочет, двигаясь по кратчайшему пути, поймать муху, сидящую в одной из самых удаленных от паука вершин куба. Как должен двигаться паук?

Решение №44955: Указание. Рассмотреть развертку куба.

Ответ: NaN

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, объем,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Атанасян Л. С. и др. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни //М.: Просвещение. – 2013.

Докажите, что в кубе можно вырезать сквозное отверстие, через которое можно протащить куб таких же и даже больших размеров.

Решение №44956: Указание. Взять в качестве оси отверстия диагонали куба.

Ответ: NaN

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, объем,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Атанасян Л. С. и др. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни //М.: Просвещение. – 2013.

Площадь боковой грани правильной шестиугольной пирамиды равн \(S\). Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середину высоты пирамиды и параллельной плоскости боковой грани.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \(\frac{25}{16}\)

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, объем,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Атанасян Л. С. и др. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни //М.: Просвещение. – 2013.

Какую наибольшую длину может иметь ребро правильного тетраэдра, который помещает в коробку, имеющую форму куба с ребром 1 см?

Решение №44958: Указание. Воспользоваться тем, что тетраэдр должен находиться внутри сферы, описанной около куба.

Ответ: \(\sqrt{2}\)

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, объем,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Атанасян Л. С. и др. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни //М.: Просвещение. – 2013.

Дан куб \(ABCDA_{1}B_[1}C_{1}D_{1}\). Докажите, что пересечение тетраэдров \(AB_{1}CD_{1}\) и \(C_{1}BA_{1}D\) есть правильный октаэдр.

Решение №44959: Указание. Доказать, что все вершины полученного многогранника - середины граней куба.

Ответ: NaN

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, объем,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Атанасян Л. С. и др. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни //М.: Просвещение. – 2013.

Докажите, что из конечного числа попарно различных кубов нельзя составить прямоугольный параллелепипед.

Решение №44960: Указание. Взять какую-нибудь грань параллелепипеда, выбрать наименьший куб, примыкающий к этой грани, и выяснить, как и к нему могут быть приставлены остальные кубы.

Ответ: NaN

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, объем,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Атанасян Л. С. и др. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни //М.: Просвещение. – 2013.

Внутри куба с ребром 1 см расположена ломаная, причем любая плоскость, параллельная любой грани куба, пересекает ее не более чем в одной точке. Докажите, что длина ломаной меньше 3 см. Докажите, что можно построить ломаную, обладающую указанным свойством, длина которой сколь угодно мало отличается от 3 см.

Решение №44961: Указание. Спроектировать вершины ломаной на три ребра куба с общей вершиной и воспользоваться соотношениями между сторонами треугольника.

Ответ: NaN

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, объем,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Атанасян Л. С. и др. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни //М.: Просвещение. – 2013.

Отрезки \(AB\) и \(CD\) перемещаются по скрещивающимися прямым. Докажите, что объем тетраэдра \(ABCD\) при этом не изменяется.

Решение №44962: Указание. Сначала доказать, что объем тетераэдра не изменится, если отрезок \(AB\) неподвижен, а отрезок \(CD\) перемещается.

Ответ: NaN

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, объем,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Атанасян Л. С. и др. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни //М.: Просвещение. – 2013.

Докажите, что центры граней правильного додекаэдра влются вершинами правильного икосаэдра.

Решение №44963: Указание. Воспользоваться симметрией.

Ответ: NaN

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, объем,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Атанасян Л. С. и др. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни //М.: Просвещение. – 2013.

Докажите, что центры граней правильного икосаэдра явлются вершинами правильного додекаэдра.

Решение №44964: Указание. Воспользоваться симметрией.

Ответ: NaN

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, объем,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Атанасян Л. С. и др. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни //М.: Просвещение. – 2013.

В правильном треугольнике \(ABC\) сторона равна \(a\). Отрезок \(AS\) длины \(a\) перпендикулярен к плоскости \(ABC\). Найдите расстояние и угол между прямыми \(AB\) и \(SC\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \(\sqrt{\frac{3}{7}}a\), \(arccos\(\sqrt{\frac{2}{4}}\)

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, объем,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Атанасян Л. С. и др. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни //М.: Просвещение. – 2013.

В правильном треугольнике \(ABC\) сторона равна \(a\). На сонаправленных лучах \(BD\) и \(CE\), перпендикулярных к плоскости \(ABC\), взяты точки \(D\) и \(E\) так, что \(BD=\frac{a}{\sqrt{2}}\)m \(CE=a\sqrt{2}\). Докажите, что треугольник \(ADE\) прямоугольный, и найдите угол между плоскостями \(ABC\) и \(ADE\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \(arccos\sqrt\frac{3}{3}}\)

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, объем,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Атанасян Л. С. и др. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни //М.: Просвещение. – 2013.

Используя векторы, докажите, что сумма квадратов четырех диагоналей параллелепипеда равна сумме квадратов двенадцати его ребер.

Решение №44967: Указание. Воспользоваться векторы, задающие диагонали, через векторы, задающие ребра.

Ответ: NaN

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, объем,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Атанасян Л. С. и др. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни //М.: Просвещение. – 2013.

Основание \(ABC\) тетраэдра \(OABC\) прозрачное, а все остальные грани зеркальные. Все плоские углы при вершине \(O\) прямые. Докажите, что луч света, вошедший в тетраэдр через основание \(ABC\) под произвольным углом к нему, отразившись от граней, выйдет в противоположном направлении по отношению к входящему лусу. (На этом свойстве основано устройтсво уголкового отражателя, который, в частности, был запущен на Луну для измерения расстояния до нее с помощью лазера).

Решение №44968: Указание. Рассмотреть векторы, определяющие направления падающего и отраженного лучей.

Ответ: NaN

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, объем,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Атанасян Л. С. и др. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни //М.: Просвещение. – 2013.

Из точки \(A\) исходят четыре луча \(AB\), \(AC\), \(AD\) и \(AE\) так, что \(\angle BAC=60^{\circ}\), \(\angle BAD=\angle DAC=45^{\circ}\), а луч \(AE\) перпендикулярен к плоскости \(ABD\). Найдите угол \(CAE\).

Решение №44969: Два решения: \(45^{\circ}\) и \(135^{\circ}\)

Ответ: NaN

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, объем,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Атанасян Л. С. и др. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни //М.: Просвещение. – 2013.

Докажите, что высота тетраэдра пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда его противоположные ребра перпендикулярны.

Решение №44970: Указание. Исходя из условия задачи, записать соотношения для векторов, задающих три ребра тетраэдра с общим концом.

Ответ: NaN

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, объем,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Атанасян Л. С. и др. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни //М.: Просвещение. – 2013.

Три боковые ребра тетраэдра равны друг другу. Докажите, что прямая, образующая равные углы с этими ребрами и пересекающая плоскость основания, перпендикулярна к этой плоскости.

Решение №44971: Указание. Рассмотреть вектор, образующий равные углы с боковыми ребрами, и доказать, что он перпендикулярен к векторам, задающим два ребра основания.

Ответ: NaN

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, объем,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Атанасян Л. С. и др. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни //М.: Просвещение. – 2013.

Все плоские углы тетраэдра \(OABC\) при вершине \(O\) прямые. Докажите, что проекция вершины \(O\) на плоскость \(ABC\) есть точка пересечения высот треугольника \(ABC\)

Решение №44972: Указание. Пусть \(O_{1}\) - проекция на плоскость \(ABC\). Доказать, что \(\overrightarrow{O_{1}A}\cdot \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BO_{1}}\cdot \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CO_{1}}\cdot \overrightarrow{AB}=0\)

Ответ: NaN

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, объем,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Атанасян Л. С. и др. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни //М.: Просвещение. – 2013.

Из точки сферы проведены три попарно перпендикулярные хорды. Докажите, что сумма их квадратов не зависит от положения этих хорд.

Решение №44973: Указание. Доказать, что эта величина равна квадрату диаметра шара.

Ответ: NaN

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, объем,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Атанасян Л. С. и др. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни //М.: Просвещение. – 2013.

Найдите множество центров всех сечений шара плоскостями, проходящими через данную прямую, не пересекающую шар.

Решение №44974: Дуга окружности, расположения внутри шара, диаметр которой равен расстойнию от центра шара до данной прямой, а плоскость окружности перпендикулярна к данной прямой.

Ответ: NaN

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, объем,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Атанасян Л. С. и др. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни //М.: Просвещение. – 2013.

Найдите множество всех таких точек, из которых можно провести к данной сфере три попарно перпендикулярные касательные прямые.

Решение №44975: Сфера, центр которой совпадает с центром данной сферы, а радиус равен \(\frac{\sqrt{6}}{2}R\), где \(R\) - радиус данной сферы.

Ответ: NaN

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, объем,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Атанасян Л. С. и др. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни //М.: Просвещение. – 2013.

В тетраэдр с высотами вписан шир радиуса. Докажите, что \(\frac{1}{R}=\frac{1}{h_{1}}+\frac{1}{h_{2}}+\frac{1}{h_{3}}+\frac{1}{h_{4}}\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, объем,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Атанасян Л. С. и др. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни //М.: Просвещение. – 2013.

Какому условию должны удовлетворять радиусы трех шаров, попарно касающихся друг друга, чтобы к ним можно было провести общую касательную плоскость?

Решение №44977: \(r_{3}\) - радиус меньшего из шаров

Ответ: \(r_{3}\geqslant \frac{r^{1}r_{2}}{\left ( \sqrt{r_{1}}+\sqrt{r_{2}} \right )}\)

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, объем,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Атанасян Л. С. и др. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни //М.: Просвещение. – 2013.

На плоскости лежат четыре шара радиуса \(R\), причем три из них попарно касаются друг друга, а четвертый касается двух из них. На эти шары положены сверху два шара меньшего радиуса \(r\), касающиеся друг друга, причем каждый из них касается трех больших шаров. Найдите радиус маленьких шаров.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \(r=\frac{\sqrt{3}}{3}R\)

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, объем,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Атанасян Л. С. и др. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни //М.: Просвещение. – 2013.

На плоскости лежат три шара радиуса \(R\), попарно касающиеся друг друга. Основание конуса лежит в указанной плоскости, а данные шары касаются его извне. Высота конуса равна \(\lambda 2\). Найдите радиус его основания.

Решение №44979: при \(\lambda \neq 2\) и \(\frac{\sqrt{3}}{6}\) при \(\lambda = 2\)

Ответ: \(\frac{2\sqrt{3}\left ( \lambda -1 \right )-\sqrt{9\lambda ^{2}-18\lambda +12}}{3\left ( \lambda -2 \right )}R\)

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, объем,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Атанасян Л. С. и др. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни //М.: Просвещение. – 2013.

Плоскости \(AB_{1}C_{1}\) и \(A_{1}BC\) разбивают треугольную призму \(ABCA_{1}B_{1}C_{1}\) на четыре части. Найдите отношение объемов этих частей.

Решение №44980: где \(V\) - объем призмы.

Ответ: \(\frac{1}{12}V\), \(\frac{1}{4}V\), \)\frac{1}{4}V\) и \(\frac{5}{12}V\)

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, объем,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Атанасян Л. С. и др. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни //М.: Просвещение. – 2013.

Докажите, что объем тетраэдра равен \(\frac{1}{6}abc sin \varphi\), где \(a\) и \(b\) - противоположные ребра, а \(varphi\) и \(c\) - соответственно угол и расстояние между ними.

Решение №44981: Указание. Достроить тетраэдр до треугольной призмы и воспользоваться задачей 733

Ответ: NaN

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, объем,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Атанасян Л. С. и др. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни //М.: Просвещение. – 2013.

Докажите, что плоскость, проходящая через ребро и середину противоположного ребра тетраэдра, разделяет его на две части, объемы которых равны.

Решение №44982: Указание. Доказать, что полученные тетраэдры имеют общее основание и равные высоты.

Ответ: NaN

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, объем,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Атанасян Л. С. и др. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни //М.: Просвещение. – 2013.

Основанием пирамиды \(OABCD\) является параллелограмм \(ABCD\). В каком отношении делит объем пирамиды плоскость, проходящая через прямую \(AB\) и среднюю линию грани \(OCD\)?

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 5:3

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, объем,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Атанасян Л. С. и др. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни //М.: Просвещение. – 2013.

Даны три параллельные прямые, не лежащие в одной плоскости. На одной из них взят отрезок \(AB\), а на двух других - точки \(C\) и \(D\) соответственно. Докажите, что объем тетраэдра \(ABCD\) не зависит от выбора точек \(C\) и \(D\).

Решение №44984: Указание. Взяв за основание какюу-нибудь грань с ребром \(AB\), заменить, что ни ее площаь, ни высота тетраэдра не зависят от положения точек \(C\) и \(D\)

Ответ: NaN

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, объем,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Атанасян Л. С. и др. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни //М.: Просвещение. – 2013.

Точки \(E\) и \(F\) - середины ребер \(DC\) и \(BB_{1}\) куба \(ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\) с ребром 1 см. Найдите объем тетраэдра \(AD_{1}EF\).

Решение №44985: \(см^{2}\). Указание. Воспользоваться задачей 803.

Ответ: \(\frac{5}{24}\)

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, объем,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Атанасян Л. С. и др. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни //М.: Просвещение. – 2013.

В двух параллельных плоскостях взяты два многоугольника. Их вершины соединены отрезками так, что у полученного многогранника все боковые грани - трапеции, треугольники и параллелограммы. Докажите, что \(V=\frac{h}{6}\left ( S_{1}+S_{2}+4S_{3} \right )\), где \(V\) - объем многогранника, \(h\) - его высота, \(S_{1}\) и \(S_{2}\) - площади оснований, а \(S_{3}\) - площадь сечения плоскостью, параллельной плоскостями оснований и равноудаленной от них.

Решение №44986: Указание. Взять точку в\(A\) внутри сечени и разбить многогранник на пирамиды с общей вершиной \(A\).

Ответ: NaN

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, объем,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Атанасян Л. С. и др. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни //М.: Просвещение. – 2013.

Два разных цилиндра, высоты которых больше их диаметров, расположены так, что их оси пересекаются под прямым углом и точка пересечения осей равноудалена от оснований цилиндров. Найдите объем общей части этих цилиндров, если радиус каждого из них равен 1 см.

Решение №44987: \(см^{2}\). Указание. Рассмотреть сечение фигуры плоскостями, параллельными осям цилиндров.

Ответ: \(\frac{16}{3}\)

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, объем,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Атанасян Л. С. и др. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни //М.: Просвещение. – 2013.

Вокруг данного шара описан конус с углом \(\alpha\) при вершине осевого сечения. При каком значении \(\alpha\) конус имеет наименьший объем?

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \(2 arcsin \frac{1}{3}\)

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, объем,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Атанасян Л. С. и др. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни //М.: Просвещение. – 2013.

В конус вписан шар. Докажите, что отношение объемов конуса и шара равно отношению площадей полной поверхности конуса и сферы, являющейся границей шара.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, объем,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Атанасян Л. С. и др. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни //М.: Просвещение. – 2013.

Правильная четырехугольная пирамида, у которой сторона основания равна \(a\), а плоский угол при вершине равен \(\alpha\), вращается вокруг прямой, проходящей через вершину параллельно стороне основания. Найдите объем полученного тела вращения.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \(\frac{\pi a^{3}}{12}\left ( 3ctg^{2}\frac{\alpha}{2} -\frac{cos\alpha }{sin^{2}\frac{\alpha}{2}}\right )\)

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, объем,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Атанасян Л. С. и др. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни //М.: Просвещение. – 2013.

Шар образован вращением полукруга вокруг прямой, содержащей диаметр. При этом поверхность, образованная вращением некоторой хорды, один конец которой совпадает с концом данного диаметра, разбивает шар на две равные по объему части. Найдите косинус угла между этой хордой и диаметром.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \(\sqrt[4]{\frac{1}{2}}\)

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, объем,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Атанасян Л. С. и др. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни //М.: Просвещение. – 2013.

Все высоты тетраэдра пересекаются в точке \(H\). Докажите, что точка \(H\), центр \(O\) описанной сферы и точки \(G\) пересечения отрезков, соединяющих вершины с точками пересечения медиан противоположных граней тетраэдра, лежат на одной прямой (прямая Эйлера), причем точки \(O\) и \(H\) симметричны относительно точки \(G\).

Решение №44992: Указание. Рассмотреть плоскость, в которой лежат вершина тетраэдра и прямая Эйлера противоположной грани (см. п. 94)

Ответ: NaN

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, объем,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Атанасян Л. С. и др. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни //М.: Просвещение. – 2013.

Дан тетраэдр, все высоты которого пересекаются в одной точке. Докажите, что точки пересечения медиан всех граней, основания высот тетраэдра и точки, которые делят каждый из отрезков, соединяющих точку пересечения высот с вершинами, в отношении 2:1, считая от вершины, лежат на одной сфере, центр которой расположен на прямой Эйлера (сфера Эйлера).

Решение №44993: Указание. Рассмотреть центральное подобие с центром \(G\) (см. задачу 814) и коэффициентом \(-\frac{1}{3}\), а также центральное подобие с центром и коэффициентом \(\frac{1}{3}\)

Ответ: NaN

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, аксиомы стереометрии,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Клопский В. М., Скопец З. А., Ягодовский М. И. Геометрия. Учебное пособие для 9 и 10 классов средней школы. – 1978.

Прочитай записи и сделайте схематические рисунки: 1) \(A\in a, B\notin a, C\in (AB)\); 2) \(A\in a, a\subset a, A\notin a\); 3) \(a\cap a=A, b\cap a=A\); 4) \(a\cap b=A, a\subset a, b\subset a\); 5) \(\alpha \cap \beta =a, b\cap a=A, b\subset \beta\); 6) \(\left\{ A, B,C\right\}\subset \alpha , C\notin \left ( AB \right ), \left\{ A, C\right\}\subset \beta , \beta \neq \alpha\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, аксиомы стереометрии,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Клопский В. М., Скопец З. А., Ягодовский М. И. Геометрия. Учебное пособие для 9 и 10 классов средней школы. – 1978.

Запишите символически: 1) точка \(A\) принадлежит плоскости \(\alpha\), но не принадлежит плоскости \(\beta\); 2) прямая \(a\) проходит через точку \(M\), не принадлежащую плоскости \(\alpha\), причем \(a\) не лежит в плоскости \(\alpha\); 3) прямые \(a\) и \(b\) проходят через точку \(M\), принадлежащую плоскости \(\alpha\), причем \(a\) лежит в плоскости \(\alpha\), \(b\) не лежит в этой плоскости; 4) прямая \(a\) и плоскость \(\alpha\) пересекаются в точке \(M\), плоскость \(\alpha\) пересекается с плоскостью \(\beta\) по прямой \(b\), причем \(b\) не проходит через точку \(M\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, аксиомы стереометрии,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Клопский В. М., Скопец З. А., Ягодовский М. И. Геометрия. Учебное пособие для 9 и 10 классов средней школы. – 1978.

Вместо многоточия поставьте "необходимо", или "достаточно", или "необходимо и достаточно": 1) Для совпадения двух прямых … , чтобы они имели общую точку. 2) Для совпадения двух плоскостей …, чтобы они имели три общие точки, не принадлежащие прямой. 3) Для того чтобы плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) пересекались, ..., чтобы они имели общую точку. 4) Для того чтобы плоскость \(\alpha\) содержала прямую \(a\), ..., чтобы \(a\) и \(\alpha\) имели две различные общие точки.

Решение №44996: 1) Необходимо; 2) необходимо и достаточно; 3) необходимо; 4)необходимо и достаточно.

Ответ: NaN

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, аксиомы стереометрии,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Клопский В. М., Скопец З. А., Ягодовский М. И. Геометрия. Учебное пособие для 9 и 10 классов средней школы. – 1978.

1) Верно ли утверждение, что через одну данную точку и любую точку данной прямой можно провести единственную прямую? 2) В треугольнике \(ABC\) построена точка пересечения высот. Верно ли утверждение, что через эту точку \(A\) можно провести единственную прямую?

Решение №44997: 1) Нет; 2) нет

Ответ: NaN

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, аксиомы стереометрии,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Клопский В. М., Скопец З. А., Ягодовский М. И. Геометрия. Учебное пособие для 9 и 10 классов средней школы. – 1978.

Даны плоскость \(\alpha\) и прямоугольник \(ABCD\). Может ли плоскости \(\alpha\) принадлежать: 1) только одна вершина прямоугольника; 2) только две его вершины; 3) только три вершины?

Решение №44998: 1) Да; 2) да; 3) нет.

Ответ: NaN

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, аксиомы стереометрии,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Клопский В. М., Скопец З. А., Ягодовский М. И. Геометрия. Учебное пособие для 9 и 10 классов средней школы. – 1978.

Две вергины треугольника принадлежат плоскости. Принадлежит ли ей третья вершина, если известно, что данной плоскости принадлежит: 1) центр вписанной в треугольник окружности; 2) центр описанной около него окружности?

Решение №44999: 1) Да; 2) не обязательно.

Ответ: NaN

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, аксиомы стереометрии,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Клопский В. М., Скопец З. А., Ягодовский М. И. Геометрия. Учебное пособие для 9 и 10 классов средней школы. – 1978.

Объясните, почему любой стол, имеющий три ножки, обязательной стойчив, а по отношению к столу с четырьмя ножками это утверждать нельзя.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, аксиомы стереометрии,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Клопский В. М., Скопец З. А., Ягодовский М. И. Геометрия. Учебное пособие для 9 и 10 классов средней школы. – 1978.

Каждая ли точка дуги окружности принадлежит плоскости, если известно, что этой плоскости принадлежат? 1) две различные точки дуги; 2) три различные точки дуги?

Решение №45001: 1) Не обязательно; 2) да

Ответ: NaN

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, аксиомы стереометрии,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Клопский В. М., Скопец З. А., Ягодовский М. И. Геометрия. Учебное пособие для 9 и 10 классов средней школы. – 1978.

Как можно проверить качество изготовления линейки, имея хорошо обработанную плоскую плиту? На каком теоретическом положении основана эта проверка?

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, аксиомы стереометрии,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Клопский В. М., Скопец З. А., Ягодовский М. И. Геометрия. Учебное пособие для 9 и 10 классов средней школы. – 1978.

Могут ли две различные плоскости иметь две различные общие прямые?

Решение №45003: Нет

Ответ: NaN

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, аксиомы стереометрии,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Клопский В. М., Скопец З. А., Ягодовский М. И. Геометрия. Учебное пособие для 9 и 10 классов средней школы. – 1978.

Дано: \(a\cap b=C\), \(b\cap c=A\), \(c\cap a=B\), \(a\neq B\), \(A\neq B\), \(A_{1}\in a\), \(B_{1}\in b\), \(C_{1}\in \left ( A_{1}B_{1} \right )\). Доказать: \(C_{1}\in \left ( ABC \right )\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, аксиомы стереометрии,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Клопский В. М., Скопец З. А., Ягодовский М. И. Геометрия. Учебное пособие для 9 и 10 классов средней школы. – 1978.

Дано: \(\alpha \cap \beta =m\), \(a\subset \alpha\), \(b\subset \beta\), \(a\cap b=A\). Доказать: \( A\in m\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, аксиомы стереометрии,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Клопский В. М., Скопец З. А., Ягодовский М. И. Геометрия. Учебное пособие для 9 и 10 классов средней школы. – 1978.

Даны точки \(A\), \(B\), \(C\) причем \(A\in \left ( BC \right )\). Докажите, что \(\left|AB \right|+\left|BC \right|> \left| AC\right|\)

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, аксиомы стереометрии,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Клопский В. М., Скопец З. А., Ягодовский М. И. Геометрия. Учебное пособие для 9 и 10 классов средней школы. – 1978.

Сколько различных плоскостей можно провести: 1) через одну точку; 2) через две различные точки; 3) через три различные точки; 4) через чеыре точки, никакие три из которых не принадлежат одной прямой?

Решение №45007: 1) и 2) Бесконечное множество; 3) одну и бесконечное множество; 4) одну и ни одной.

Ответ: NaN

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, аксиомы стереометрии,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Клопский В. М., Скопец З. А., Ягодовский М. И. Геометрия. Учебное пособие для 9 и 10 классов средней школы. – 1978.

Дано: \(a\cap b=A\), \(a\subset \alpha\). Верно ли утверждение, что: 1) \(A\in \alpha\); 2) \(b\subset \alpha\) ?

Решение №45008: 1) Да; 2) нет.

Ответ: NaN

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, аксиомы стереометрии,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Клопский В. М., Скопец З. А., Ягодовский М. И. Геометрия. Учебное пособие для 9 и 10 классов средней школы. – 1978.

1) Даны четыре точки, не принадлежащие одной плоскости. Докажите, что никакие три из них не принадлежат одной прямой. 2) Верно ли обратное утверждение?

Решение №45009: 2) Нет

Ответ: NaN

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, аксиомы стереометрии,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Клопский В. М., Скопец З. А., Ягодовский М. И. Геометрия. Учебное пособие для 9 и 10 классов средней школы. – 1978.

Из четырех точек никакие три не принадлежат окружности. Принадлежат ли все четыре точки одной плоскости?

Решение №45010: Да

Ответ: NaN

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, аксиомы стереометрии,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Клопский В. М., Скопец З. А., Ягодовский М. И. Геометрия. Учебное пособие для 9 и 10 классов средней школы. – 1978.

Даны две несовпадающие параллельные прямые. Докажите, что все прямые, пересекающие обе данные прямые, лежат в одной плоскости.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, аксиомы стереометрии,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Клопский В. М., Скопец З. А., Ягодовский М. И. Геометрия. Учебное пособие для 9 и 10 классов средней школы. – 1978.

Даны две пересекающиеся прямые. Верно ли утверждение, что любая прямая, пересекающая обе данные прямые, лежит с ними в одной плоскости?

Решение №45012: Нет

Ответ: NaN

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, аксиомы стереометрии,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Клопский В. М., Скопец З. А., Ягодовский М. И. Геометрия. Учебное пособие для 9 и 10 классов средней школы. – 1978.

Может ли пересечение сторон угла с плоскостью быть одной точкой, двумя различными точками, тремя различными точками?

Решение №45013: Да; да; нет

Ответ: NaN

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, аксиомы стереометрии,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Клопский В. М., Скопец З. А., Ягодовский М. И. Геометрия. Учебное пособие для 9 и 10 классов средней школы. – 1978.

Дано множество лучей, имеющих общее начало. Никакие три из них не лежат в одной плоскости. Сколько различных плоскостей можно провести так, чтобы в каждой плоскости лежало по два из данных лучей, если всего лучей: 1) три, 2) четыре, 3) \(n\)?

Решение №45014: 1) 3; 2) 6; 3) \(\frac{n\left ( n-1 \right )}{2}\)

Ответ: NaN

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, аксиомы стереометрии,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Клопский В. М., Скопец З. А., Ягодовский М. И. Геометрия. Учебное пособие для 9 и 10 классов средней школы. – 1978.

Три различные плоскости имеют общую точку. Верно ли утверждение, что эти плоскости имеют общую прямую? Сколько различных прямых может получиться при попарно пересечении этих плоскостей?

Решение №45015: Нет; одна или три

Ответ: NaN

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, аксиомы стереометрии,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Клопский В. М., Скопец З. А., Ягодовский М. И. Геометрия. Учебное пособие для 9 и 10 классов средней школы. – 1978.

1) Даны отрезки \(AB\), \(BC\), \(CD\), \(DA\), причем \(\left ( AC \right )\cap \left ( BD \right )=M\). Докажите, что данные отрезки лежат в одной плоскости. 2) Столяр с помощью двух нитей проверяет, будет ли устойчиво стоять на полу изготовленный стол, имеющий четыре ножки. Как нужно натянуть нити?

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, аксиомы стереометрии,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Клопский В. М., Скопец З. А., Ягодовский М. И. Геометрия. Учебное пособие для 9 и 10 классов средней школы. – 1978.

1) \(P_{1}\) и \(P_{2}\) - различные полупространства с общей границей \(\alpha \). Найдите: а)\(P_{1}\cap P_{2}\); б)\(P_{1}\cup P_{2}\). 2)Охарактеризуйте взаимное расположение полупространств \(P\) и \(Q\) их границ \(\alpha\) и \(\beta \), если а)\(P\cap Q=\alpha\); б)\(P\cup Q=P\cap Q \).

Решение №45017: 1) а) \(\alpha\), б)\(U\); 2) б) \(P=Q\), \(\alpha =\beta\)

Ответ: NaN

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, параллельность прямой и плоскости,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Клопский В. М., Скопец З. А., Ягодовский М. И. Геометрия. Учебное пособие для 9 и 10 классов средней школы. – 1978.

Даны прямая \(a\) и \(M\). Через данную точку проведите прямую, пересекающую данную прямую под прямым углом. Сколько решений имеет задача, если: 1) \(M\notin a\); 2) \(M\in a\)?

Решение №45018: 1) Одно; 2) бесконечное множество.

Ответ: NaN

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, параллельность прямой и плоскости,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Клопский В. М., Скопец З. А., Ягодовский М. И. Геометрия. Учебное пособие для 9 и 10 классов средней школы. – 1978.

Дано: \(a\cap \alpha =M\), \(N\notin a\). Проведите линию пересечения плоскости \(\alpha\) с плоскостью, проходящей через \(a\) и \(N\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, параллельность прямой и плоскости,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Клопский В. М., Скопец З. А., Ягодовский М. И. Геометрия. Учебное пособие для 9 и 10 классов средней школы. – 1978.

В плоскости \(\alpha\) даны прямая \(a\) и точка \(M\). Через точку \(N\notin \alpha\) проведите плоскость \(\beta\) так, чтобы линия пересечения плоскостей \(\alpha\) и \(\beta\) проходила через \(M\) и была перпендикулярна к \(a\)

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Каждое из ребер тетраэдра \(ABCD\) (рис. Geometr_1.png) равно \(a\). Найдите: 1) сумму длин всех его ребер; 2) сумму площадей всех его граней.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 1) \(6a\); 2) \(a^{2} \sqrt{3}\)

Даны тетраэдр \(ABCD\) и точки \(M\) и \(N\), \(M\in \left [ DC \right ]\), \(N\in \left [ AB \right ]\) Постройте линию пересечения плоскостей \(ABM\) и \(DCN\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

1) Постройте сечение тетраэдра \(ABCD\) плоскостью, проходящей через вершину \(B\) и середины ребер \(AD\) и \(CD\). 2)Найдите площадь сечения, если каждое ребро тетраэдра равно \(a\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 2) \(\frac{a^{2}\sqrt{11}}{16}\)

1) Постройте сечение тетраэдра \(ABCD\) плоскостью, проходящей через ребро \(DC\) и точку пересечения медиан грани \(ACB\). 2) Найдите площадь сечения, если каждое ребро тетраэдра равно \(a\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 2) \(\frac{a^{2}\sqrt{2}}{4}\)

Плоскость \(\alpha\) задана тремя различными точками, принадлежащими соответственно ребрам \(DA\), \(DB\), \(DC\) тетраэдра \(ABCD\). Постройте точку пересечения плоскости \(\alpha\) с прямой, проведенной через вершину \(D\) и точку пересечения медиан грани \(ABC\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN