Задачи

Фильтрация

Показать фильтрацию

По классам:

По предметам:

По подготовке:

По классам:

По авторам:

Заполните таблицу формул для вычисления стороны \($a_{n}$\), радиуса \(R\) описанной окружности и радиуса \(r\) вписанной окружности для правиль­ного \(n\)-угольника.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Сечение напильника имеет форму правильного треугольника со стороной 3 см. Каким мог быть наименьший диа­метр круглого металлического стержня, из которого изготовили напильник?

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \(2\sqrt{3}\) см.

Поперечное сечение деревянного бруска - квадрат с диагональю \(4\sqrt{2}\) см. Найдите наибольший диаметр круглого стержня, который можно выточить из такого бруска.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 4 см.

Докажите, что внешний угол правильного многоугольника равен его центральному углу.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Определите количество сторон правильного многоугольника, углы которого равны: а) \(120^\circ\); б) \(108^\circ\); в) \(150^\circ\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: а) 6; б) 5; в) 12.

Найдите: а) периметр правильного многоугольника со стороной 5 см и вну­тренним углом \(144^\circ\); б) сторону правильного многоугольника, периметр которого ра­вен 48 см, а внутренний угол в 3 раза больше внешнего.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: а) 50 см; б) 6 см.

Докажите, что середины сторон правильного \(n\)-угольника являют­ся вершинами другого правильного \(n\)-угольника.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Докажите, что вершины правильного \(2n\)-угольника, взятые через одну, являются вершинами правильного \(n\)-угольника.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Найдите: а) площадь правильного шестиугольника, вписанного в окруж­ность, если площадь квадрата, описанного около этой окружности, равна \(64 $см^2$\); б) площадь квадрата, описанного около окружности, если пло­щадь правильного треугольника, вписанного в эту окружность, равна \(9\sqrt{3} $см^2$\); в) радиус окружности, описанной около правильного шестиуголь­ника, если радиус окружности, вписанной в этот шестиугольник, равен \(8\sqrt{3}\) см.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: а) \(24\sqrt{3 $см^2$\); б) \(48 $см^2$\); в) 16 см.

Найдите: а) площадь квадрата, вписанного в окружность, если площадь правильного шестиугольника, вписанного в эту окружность, рав­на \(6\sqrt{3} $см^2$\); б) площадь правильного треугольника, описанного около окруж­ности, если площадь квадрата, описанного около этой окружности, равна \(36 $см^2$\); в) радиусы описанной и вписанной окружностей равностороннего треугольника, если разность этих радиусов равна 3 см.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: а) \(8 $см^2$\); б) \(27\sqrt{3} $см^2$\); в) 6 см и 3 см.

Заполните таблицу формул для вычисления площади \(S\) правиль­ного \(n\)-угольника со стороной \($a_{n}$\), радиусом \(R\) описанной окружности и радиусом \(r\) вписанной окружности.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Докажите, что серединные перпендикуляры к любым двум сторо­нам правильного многоугольника пересекаются или совпадают.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Докажите, что прямые, на которых лежат биссектрисы двух любых углов правильного многоугольника, пересекаются или совпадают.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Разность внешних углов двух правильных многоугольников рав­на \(24^\circ\), а разность сумм всех внутренних углов этих многоугольников равна \(720^\circ\). Определите количество сторон каждого многоугольника.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 6 и 10.

Определите количество сторон правильного многоугольника, если: а) сумма четырех его внутренних углов на \(240^\circ\) больше суммы остальных углов; б) сумма четырех внутренних и двух внешних его углов равна \(576^\circ\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: а) 6; б) 5.

Правильный треугольник, квадрат и правильный шестиугольник имеют одинаковые периметры. Найдите отношение их площадей.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \(4 : 3\sqrt{3} : 6\).

Правильный треугольник, квадрат и правильный шестиугольник вписаны в одну окружность. Найдите отношение их площадей.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \(9 : 8\sqrt{3} : 18\).

Постройте правильный шестиугольник с периметром 12 см. Вы­числите площадь построенного шестиугольника.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \(6\sqrt{3} $см^2$\).

Впишите квадрат в окружность радиуса 3 см. С помощью впи­санного квадрата постройте правильный восьмиугольник, вписанный в данную окружность.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Постройте окружность радиуса 3 см. Для этой окружности по­стройте правильные вписанный и описанный шестиугольники и вычис­лите отношение их площадей. Зависит ли оно от длины радиуса окруж­ности?

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \(3 : 4\).

Впишите в окружность правильный восьмиугольник. Вычислите его площадь, если радиус окружности равен \(R\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \(2\sqrt{2}$R^2$\).

Докажите формулу зависимости стороны \($a_{2n}$\) правильного вписан­ного \(2n\)-угольника от радиуса \(R\) описанной окружности и стороны \($a_{n}$\) правильного вписанного \(n\)-угольника (формулу удвоения числа сторон правильного вписанного многоугольника): \($a_{2n}$ = \sqrt{2$R^2$ - 2R\sqrt{$R^2$ - \fraq{$$a_{n}$^2$}{4}}}\). Пользуясь этой формулой, выразите через \(R\) стороны правильного впи­санного восьмиугольника и двенадцатиугольника.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \($а_{8}$ = R\sqrt{2 - \sqrt{2}}\), \($а_{12}$ = R\sqrt{2 - \sqrt{3}}\).

Впишите в окружность данного радиуса \(R\) правильный десяти­угольник. а) Докажите, что сторона \($а_{10}$\) построенного десятиугольника и ра­диус \(R\) окружности относятся в золотом сечении. б) Впишите в данную окружность правильный пятиугольник.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Два угла треугольника равны \(15^\circ\) и \(85^\circ\). Найдите центральные углы, под которыми стороны данного треугольника видны из центра описанной окружности.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \(30^\circ\), \(170^\circ\) и \(160^\circ\).

Две стороны треугольника равны 6 см и 8 см, а его площадь \(24 $см^2$\). Найдите радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 5 см и 2 см.

Определите, как изменятся длина окружности и площадь ограни­ченного ею круга, если: а) радиус окружности увеличить в 3 раза; б) диаметр окружности уменьшить в 5 раз.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Верно ли, что длина окружности больше ее утроенного диаметра?

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Может ли площадь правильного многоугольника, вписанного в окружность, быть больше площади круга, ограниченного этой окруж­ностью?

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Круговой сектор опирается на дугу \(\alpha\). Определите, является ли угол \(\alpha\) острым, прямым или тупым, если: а) длина дуги, ограничивающей сектор, равна четверти длины окружности; б) площадь сектора равна трети площади круга.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Из круга радиуса 4 вырезан сегмент. Определите, является ли дан­ный сегмент большим или меньшим, чем полукруг, если: а) площадь сегмента равна \(9\pi\); б) площадь сегмента равна половине площади оставшейся части круга.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Впишите в круг равносторонний треугольник. Выделите цветом образовавшиеся сегменты. Какова градусная мера их дуг?

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Начертите два круга с общим центром и радиусами 2 см и 3 см. Сравните на глаз площадь меньшего круга с площадью образовавшегося кольца. Проверьте правильность сравнения путем вычислений.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Найдите: а) длину окружности, радиус которой ра­вен 6 см; б) радиус окружности, длина которой рав­на 12,56 см.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: а) \(12\pi\) см; б) 2 см.

Найдите длину окружности: а) вписанной в квадрат площадью \(144 $см^2$\); б) описанной около равностороннего треугольника со сторо­ной \(4\sqrt{3}\) см; в) описанной около правильного шестиугольника с перимет­ром 30 см.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: а) \(12\pi\) см; б) \(8\pi\) см; в) \(10\pi\) см.

Петя, помогая бабушке, набирал воду из колодца. Мальчик под­считал, что поднять ведро можно за 20 оборотов вала. Какова глубина колодца (в м), если диаметр вала равен 0,2 м? Считайте, что \(\pi = 3\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

На пути 219,8 м колесо электровоза совер­шает 50 оборотов. Найдите диаметр колеса.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \(\approx 1,4\) м.

Вычислите длину круговой орбиты искус­ственного спутника Земли, если он вращается на расстоянии 330 км от земной поверхности, а радиус Земли равен 6370 км.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \(\approx 42 097\) км.

Найдите длину дуги окружности радиу­са \(R\), если ее градусная мера равна: а) \(90^\circ\); б) \(135^\circ\); в) \(340^\circ\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: а) \(\fraq{\piR}{2}\); б) \(\fraq{3\piR}{4}\); в) \(\fraq{17\piR}{9}\).

Длина маятника настенных часов 60 см, а угол его колебаний \(30^\circ\). Найдите длину дуги, которую описывает конец маятника.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \(10\pi\) см.

Найдите диаметр окружности, если ее ду­га длиной 12,56 см имеет градусную меру \(240^\circ\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \(\approx 6\) см.

Длина окружности цирковой арены равна 75,36 м. Найдите площадь арены.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \(\approx 452 $м^2$\).

Найдите площадь круга, ограниченного окружностью: а) вписанной в правильный шестиугольник со стороной \(8\sqrt{3}\) см; б) описанной около квадрата с периметром \(12\sqrt{2}\) см.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: а) \(144\pi $см^2$\); б) \(9\pi $см^2$\).

Найдите площадь круга, ограниченного окружностью: а) описанной около равностороннего треугольника с высотой 6 см; б) вписанной в квадрат с диагональю \(14\sqrt{2}\) см.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: а) \(16\pi $см^2$\); б) \(49\pi $см^2$\).

Радиусы окружностей мишени равны 1, 2, 3 и 4 (рис. 135). Найдите площадь каждого из трех колец ми­шени.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \(3\pi\), \(5\pi\) и \(7\pi\).

Две трубы водопровода, внутрен­ние диаметры которых равны 10 см и 24 см, необходимо заменить одной, не изменив пропускную способность системы. Каким должен быть внутренний диаметр новой трубы?

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 26 см.

Найдите площадь кругового сектора с радиусом \(R\) и дугой \(\alpha\), если: а) \(R = 9\), \(\alpha = 120^\circ\); б) \(R = 8\), \(\alpha = 225^\circ\); в) \(R = 12\), \(\alpha = 15^\circ\);

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: а) \(27\pi\); б) \(40\pi\); в) \(6\pi\).

Найдите площадь большего и меньшего круговых сегментов, на ко­торые круг радиуса 1 делится хордой, равной радиусу.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \(\fraq{1}{12}(2\pi - 3\sqrt{3})\), \(\fraq{1}{12}(10\pi + 3\sqrt{3})\).

Найдите длину окружности: а) вписанной в треугольник со сторонами 8 см, 26 см и 30 см; б) описанной около прямоугольника со сторонами 6 см и 8 см; в) вписанной в правильный шестиугольник с площадью \(6\sqrt{3} $см^2$\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: а) \(6\pi\) см; б) \(10\pi\) см; в) \(2\sqrt{3}\pi\) см.

Длина окружности, вписанной в равнобокую трапецию, равна \(12\pi\) см. Найдите площадь трапеции, если ее боковая сторона равна 13 см.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \(156 $см^2$\).

Найдите длину окружности: а) вписанной в ромб с диагоналями 30 см и 40 см; б) описанной около прямоугольного треугольника с катетами 14 см и 48 см.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: а) \(24\pi\) см; б) \(50\pi\) см.

На рис. 136 на сетке из единичных квадратов изображены фигуры, состоящие из дуг окружностей с заданными центрами. Найдите: а) периметр изображенной фигуры (рис. 136, а); б) площадь закрашенной части круга (рис. 136, б).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: а) \(3\sqrt{2}\pi\); б) \(6\pi\).

На рис. 137 на сетке из единичных квадратов изображены фигуры, состоящие из дуг окружностей с заданными центрами. Найдите: а) периметр изображенной фигуры (рис. 137, а); б) площадь закрашенной части круга (рис. 137, б).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: а) \(6\pi\); б) \(15\pi\).

Определите длины дуг, которые описывают в течение 2 ч концы стрелок часов на здании Харьковского университета, если длина часо­вой стрелки равна 2,4 м, а минутной - 3,2 м.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \(\approx 2,5\) м и \(\approx 40\) м.

Из куска металлического провода, имеющего форму дуги окруж­ности радиуса 3 м, необходимо сварить кольцо. Найдите радиус этого кольца, если градусная мера дуги составляет \(120^\circ\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 1 м.

Найдите площадь круга, ограниченного окружностью: а) описанной около равнобедренного треугольника с основани­ем 48 см и проведенной к нему медианой 32 см; б) вписанной в ромб с периметром 48 см и углом \(120^\circ\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: а) \(625\pi $см^2$\); б) \(27\pi $см^2$\).

Найдите площадь круга, ограниченного окружностью: а) описанной около прямоугольника с меньшей стороной 4 см и углом между диагоналями \(60^\circ\); б) вписанной в треугольник со сторонами 11 см, 13 см и 20 см.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: а) \(16\pi $см^2$\); б) \(9\pi $см^2$\).

Две окружности имеют общий центр \(О\) (рис. 138). Докажите, что площадь образован­ного кольца равна произведению его шири­ны \(АВ\) на длину окружности с тем же цен­тром и радиусом \(ОС\) (\(С\) - середина \(АВ\)).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Площадь сектора с дугой \(108^\circ\) равна \(S\). Найдите радиус сектора.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \(\sqrt{\fraq{10S}{3\pi}}\).

Найдите площадь каждого из сегментов, которые лежат вне вписанного в окружность радиуса \(R\) правильного \(n\)-угольника, если: а) \(n = 3\) (рис. 139, а); б) \(n = 4\) (рис. 139, б); в) \(n = 6\) (рис. 139, в).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: а) \(\fraq{$R^2$}{12}(4\pi - 3\sqrt{3})\); б) \(\fraq{$R^2$}{4}(\pi - 2)\); в) \(\fraq{$R^2$}{12}(2\pi - 3\sqrt{3})\).

Радиус круга равен \(R\). Найдите площадь кругового сегмента, дуга которого равна: а) \(60^\circ\); б) \(240^\circ\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: а) \(\fraq{$R^2$}{12}(2\pi - 3\sqrt{3})\); б) \(\fraq{$R^2$}{12}(8\pi + 3\sqrt{3})\).

По данным рис. 140: а) докажите, что площадь закрашенного треугольника равна сум­ме площадей закрашенных «серпиков» (рис. 140, а); б) найдите периметр фигуры, которая изображена на сетке из пра­вильных треугольников со стороной 1 и состоит из дуг окружно­стей с заданными центрами (рис. 140, б).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: б) \(6\pi\).

По данным рис. 141: а) докажите, что площадь закрашенной фигуры равна сумме пло­щадей шести закрашенных «серпиков» (рис. 141, а); б) найдите периметр фигуры, изображенной на сетке из единичных квадратов и состоящей из дуг окружностей с заданными центрами (рис. 141, б).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: б) \(6\sqrt{2}\pi\).

Площадь кругового сектора равна \(6\pi $см^2$\), а длина его дуги - \(2\pi\) см. Найдите площадь круга, вписанного в этот сектор (рис. 142).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \(4\pi $см^2$\).

Стороны треугольника равны 17 см, 25 см и 28 см. Окружность с центром на наибольшей стороне треугольника касается двух других сторон. Найдите площадь круга, ограниченного этой окружностью.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \(100\pi $см^2$\).

Окружность делит каждую сторону равно­стороннего треугольника на три равные части длиной 2 см. Найдите площадь части треуголь­ника, лежащей внутри окружности.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \((2\pi + 3\sqrt{3}) $см^2$\).

Сумма внутренних углов правильного многоугольника вдвое боль­ше суммы его внешних углов. Найдите площадь этого многоугольника, если радиус окружности, описанной около него, равен \(R\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \(1,5\sqrt{3}$R^2$\).

В прямой угол вписана окружность радиуса 4 см. Найдите пери­метр фигуры, ограниченной сторонами угла и меньшей дугой окружно­сти, заключенной между точками касания.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \((2\pi + 8)\) см.

Определите, будет ли правильным равносторонний многоугольник, если он: а) описан около окружности; б) вписан в окружность.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: а) Нет (контрпример - ромб); б) да.

В окружность вписаны квадрат и правильный треугольник. Най­дите площадь треугольника, если площадь квадрата равна \(S\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \(\fraq{3\sqrt{3}S}{8}\).

Центры двух пересекающихся окружностей лежат по разные стороны от их общей хорды длиной \(a\). Эта хорда в одной из окружностей является стороной вписанного квадрата, а в другой - стороной правильного вписанного шестиугольника. Найдите расстояние между центрами окружностей.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \(\fraq{a}{2}(\sqrt{3} + 1)\).

В сегмент, дуга которого равна \(120^\circ\) и имеет длину \(l\), вписана окружность наибольшего радиуса (рис. 143). Найдите длину этой окружности.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \(0,75l\).

Две окружности имеют общий центр. Найдите площадь образованного кольца, если хорда большей окружности касается меньшей и имеет длину \(2а\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \(\pi$а^2$\).

Докажите, что любых два правильных \(n\)-угольника подобны.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Отрезки, соединяющие середины каждой стороны квадрата с концами противолежащей стороны, ограничивают выпуклый восьмиуголь­ник (рис. 144). Является ли он правильным?

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: Нет: его углы равны через один.

Докажите, что площадь правильного шестиугольника равна \(\fraq{3}{4}\) произведения двух его неравных диагоналей.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Сторона квадрата равна \(a\). Найдите длину окружности, которая проходит через концы одной стороны и касается противолежащей.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \(1,25\piа\). Указание. Данная окружность является описанной около равнобедренного треугольника с основанием \(а\) и боковой стороной \(\fraq{a\sqrt{5}}{2}\).

Сторона квадрата равна \(а\). Каждая вершина квадрата является центром окружности радиуса \(a\) (рис. 145). Найдите периметр криво­линейного четырехугольника \(АВСD\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \(\fraq{2\pia}{3}\). Указание. Докажите, что треугольники \(NAM\), \(KBN\), \(LCK\) и \(LDM\) равносторон­ние.

Две окружности с радиусами 3 см и 9 см касаются внешним обра­зом в точке \(А\). Некоторая прямая касается этих окружностей в точках \(В\) и \(С\) (рис. 146). Найдите площадь криволинейного треугольника \(АВС\) и радиус окружности, вписанной в него.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \((36\sqrt{3} - 16,5\pi)\) см, \(4,5(2 - \sqrt{3})\) см. Указание. Вычислите площадь трапеции \($O_{1}$BC$O_{2}$\) и вычтите из нее площади двух секторов.

Дан правильный \(n\)-угольник. Докажите, что сумма \(n\) векторов с началом в центре этого \(n\)-угольника и концами в его вершинах равна нулевому вектору.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: Указание. Докажите, что при повороте на центральный угол данного \(n\)-угольника указанный вектор-сумма не изменяется, т. е. является нулевым вектором.

Точки \(B\) и \(С\) лежат на отрезке \(АD\) длиной 24 см. Найдите длину отрезка \(ВС\), если \(АВ = 7\) см, \(АС : СD = 3 : 1\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 11 см.

Сумма трех углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, равна \(220^\circ\). Найдите угол между этими прямыми.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \(40^\circ\).

В равнобедренном треугольнике \(АВС\) с основанием \(АС\) проведены медианы \(АN\) и \(СМ\). Докажите равенство треугольников: а) \(ANM\) и \(CMN\); б) \(ABN\) и \(СВМ\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

В треугольнике \(АВС\) биссектриса внешнего угла при вершине \(В\) параллельна стороне \(АС\). Докажите, что \(АВ = ВС\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Докажите равенство треугольников \(АВС\) и \($А_{1}$$В_{1}$$С_{1}$\), если \(ВС = $B_{1}$$C_{1}$\), \(\angle А = 80^\circ\), \(\angle В = \angle $B_{1}$ = 55^\circ\), \(\angle $C_{1}$ = 45^\circ\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

В прямоугольном треугольнике \(АВС\) серединный перпендикуляр к гипотенузе \(ВС\) пересекает катет \(АВ\) в точке \(М\). Найдите острые углы треугольника, если \(\angle АМС = 50^\circ\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \(25^\circ\), \(65^\circ\).

В прямоугольном треугольнике \(АВС\) с гипотенузой \(ВС\) проведена биссектриса \(СМ\). Отрезок \(МK\) - высота треугольника \(СМВ\). Найдите острые углы треугольника \(АВС\), если \(\angle АМK = 140^\circ\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \(40^\circ\), \(50^\circ\).

Две стороны треугольника равны 5 см и 12 см. В каких пределах может изменяться длина третьей стороны, если угол между этими сто­ронами тупой?

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: Больше 13 см, но меньше 17 см.

Постройте треугольник по стороне, прилежащему углу и биссект­рисе, проведенной из вершины этого угла.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Окружность касается сторон угла \(А\) в точках \(B\) и \(С\). Биссектриса угла \(А\) пересекает эту окружность в точках \(М\) и \(N\). Докажите равенство треугольников \(МВN\) и \(МСN\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

На сторонах \(АD\) и \(ВС\) параллелограмма \(АВСD\) отмечены точки \(М\) и \(N\) соответственно, причем \(АМ = CN = АВ\). Докажите, что четырех­угольник \(МВND\) - параллелограмм, и найдите его углы, если \(\angle А = 80^\circ\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \(50^\circ\) и \(130^\circ\).