Задачи

Фильтрация

Показать фильтрацию

По классам:

По предметам:

По подготовке:

По классам:

По авторам:

Расположите в системе координат пря­моугольную трапецию с основаниями \(a\) и \(b\) (\(a < b\)) и высотой \(h\) так, чтобы две стороны трапеции лежали на осях координат. Определите координаты вершин трапеции.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Составьте уравнение прямой, которая: а) параллельна прямой \(2х + 3у + 1 = 0\) и проходит через точку \((1; 1)\); б) параллельна прямой \(х + у - 14 = 0\) и проходит через начало координат.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: а) \(2х + 3у - 5 = 0\); б) \(х + у = 0\).

Даны прямая \(2х - у + 4 = 0\) и точка \(А(1; 1)\). Через точку \(А\) проведены прямая, параллельная данной, и прямая, перпендикулярная данной. Составьте уравнения этих прямых.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \(2х - у - 1 = 0\) и \(х + 2у - 3 = 0\).

Докажите методом координат, что параллелограмм, имеющий рав­ные диагонали, является прямоугольником.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Докажите методом координат, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Докажите методом координат, что средняя линия трапеции парал­лельна ее основаниям.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Составьте уравнение ГМТ: а) равноудаленных от начала координат и точки \((-4; 2)\); б) сумма квадратов расстояний от которых до точек \((-1; 0)\) и \((1; 0)\) равна 12.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: а) \(2х - у + 5 = 0\); б) \($х^2$ + $у^2$ = 5\).

Составьте уравнение ГМТ, разность квадратов расстояний от кото­рых до точек \((1; 0)\) и \((-1; 2)\) равна 1.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \(4х - 4у + 5 = 0\).

Составьте уравнение прямой, которая: а) наклонена к положительной полуоси оси абсцисс под углом \(60^\circ\) и проходит через точку \((0; 1)\); б) наклонена к положительной полуоси оси абсцисс под углом \(135^\circ\) и проходит через точку \((0; -1)\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: а) \(у = \sqrt{3}х + 1\); б) \(у = - х - 1\).

Составьте уравнения касательных к окружности \($х^2$ + $у^2$ = 25\) в точ­ках \((3; 4)\) и \((-3; -4)\). Докажите, что эти касательные параллельны.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \(3х + 4у - 25 = 0\), \(3х + 4у + 25 = 0\).

Три стороны квадрата лежат на прямых \(3х + у + 1 = 0\), \(3х + у - 9 = 0\), \(х - 3у - 3 = 0\). Составьте уравнение прямой, на которой лежит четвертая сторона. Сколько решений имеет задача?

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \(х - 3у + 7 = 0\) или \(х - 3у - 13 = 0\).

К стене вертикально приставлена лестница. На средней ступеньке лестницы сидит кошка. Мальчик начинает двигать лестницу так, что один ее конец перемещается прямолинейно по земле, а другой - верти­кально вниз вдоль стены. По какой траектории будет двигаться кошка, если она все время будет сидеть посередине лестницы? Примените для решения метод координат.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Прямая удалена от центра окружности радиуса \(R\) на расстояние \(d\). Исследуйте взаимное расположение окружности и прямой в зависимо­сти от значений \(d\) и \(R\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Расстояние между центрами окружностей радиусов \(R\) и \(r\) равно \(d\). Исследуйте взаимное расположение окружностей в зависимости от зна­чений \(d\), \(R\) и \(r\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

(опорная). Уравнение прямой, проходящей через точки \(($x_{1}$; $y_{1}$)\) и \(($x_{2}$; $y_{2}$)\), имеет вид \(\fraq{x - $x_{1}$}{$x_{2}$ - $x_{1}$} = \fraq{y - $y_{1}$}{$y_{2}$ - $y_{1}$}\). Докажите.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

(опорная). Прямые \($a_{1}$x + $b_{1}$y + $c_{1}$ = 0\) и \($a_{2}$х + $b_{2}$y + $с_{2}$= 0\) пер­пендикулярны тогда и только тогда, когда \($a_{1}$$a_{2}$ + $b_{1}$$b_{2}$ = 0\). Докажите.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны соответ­ственно \(a\sqrt{2}\) и \(a\sqrt{3}\). Докажите, что медианы, проведенные к этим сто­ронам, взаимно перпендикулярны.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

В прямоугольнике \(АВСD АВ = 2а\), \(АD = 5а\). На стороне \(АD\) отмече­на точка \(K\) так, что \(АK = а\). Докажите, что \(ВK \perp KC\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

На окружности радиуса \(R\) отмечена точка \(А\). Найдите геометриче­ское место середин всех хорд данной окружности, выходящих из точки \(А\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: Окружность радиуса \(0,5R\), касающаяся дан­ной окружности внутренним образом в точке \(А\), кроме этой точки. Указание. Выберите систему координат так, чтобы центр \(О\) данной окружности имел координаты \((0; 0)\), точка \(А\) - координаты \((R; 0)\).

В прямоугольном треугольнике \(АВС \angle С = 90^\circ\). Найдите гео­метрическое место точек \(М\) таких, что \($МА^2$ + $МВ^2$ = 2$МС^2$\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: Прямая, проходящая через середину \(N\) стороны \(АВ\) перпендикулярно \(CN\).

Диагонали равнобокой трапеции \(ABCD\) (\(AD \parallel BC\)) пересекаются в точке \(О\). Докажите равенство треугольников \(АОВ\) и \(DОС\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Вершины треугольника \(АВС\) имеют координаты \(А(-2; 1)\), \(В(-1; 4)\), \(С(1; 4)\). Найдите на координатной плоскости точку \(D\) такую, что: а) \(\Delta АВС = \Delta АDС\); б) \(\Delta АВС = \Delta СDА\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: а) \(D(1; 2)\); б) \(D(0; 1)\).

Диагонали параллелограмма \(АВСD\) пересекаются в точке \(О\), при­чем \(А(-3; -1)\), \(B(0; 4)\), \(O(2; 1)\). Найдите координаты вершин \(C\) и \(D\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \(С(7; 3)\), \(D(4; -2)\).

Докажите, что: а) сумма абсцисс середин сторон треугольника равна сумме аб­сцисс его вершин; б) точка пересечения медиан треугольника, образованного средни­ми линиями данного треугольника, совпадает с точкой пересечения медиан данного треугольника.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

На оси ординат найдите точку, расстояние от которой до точ­ки \(А(1; 3)\) вдвое меньше, чем до точки \(B(2; -3)\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \((0; 1)\) или \((0;9)\).

Даны точки \(А(-3; 1)\) и \(B(7; 1)\). Составьте уравнение геометрического места точек \(С\), таких, что треугольник \(АВС\): а) прямоугольный с гипотенузой \(АВ\); б) прямоугольный с катетом \(АВ\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: а) \($(х - 2)^2$ + $(у - 1)^2$ = 25\), \(х \neq -3\), \(х \neq 7\); б) \(х = -3\) или \(х = 7\), \(у \neq 1\).

Окружность касается осей координат, а ее центр лежит во второй координатной четверти и удален от начала координат на \(2\sqrt{2}\). Составьте уравнение этой окружности.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \($(х + 2)^2$ + $(у - 2)^2$ = 4\).

Вершины треугольника \(АВС\) имеют координаты \(А(2; -6)\), \(B(4; 2)\), \(С(0; -4)\). Составьте уравнение прямой, содержащей среднюю линию треугольника, параллельную стороне \(АС\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \(х + у - 1 = 0\).

Докажите, что прямые \(ах + 2у - 6 = 0\) и \(bх - у + 5 = 0\) пересека­ются при условии \(а + 2b \neq 0\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Составьте уравнение прямой, пересекающей окружность \($х^2$ + $у^2$ = 25\) в точках с абсциссами -4 и 3, а ось \(Оу\) - в точке с наи­большей из возможных ординатой.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \(х - 7у + 25 = 0\).

Составьте уравнение окружности, проходящей через точки \((3; 0)\) и \((-1; 2)\), если центр окружности лежит на прямой \(х - у + 2 = 0\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \($(х - 3)^2$ + $(у - 5)^2$ = 25\).

Найдите расстояние от начала координат до прямой \(3х + 2y - 13 = 0\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \(\sqrt{13}\).

Составьте уравнение окружности, описанной около треугольника с вершинами \((3; -7)\), \((8; -2)\) и \((6; 2)\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \($(х - 3)^2$ + $(у + 2)^2$ = 25\).

(опорная). Расстояние от точки \(М($x_{0}$; $y_{0}$) до прямой \(ах + by + с = 0\) определяется по формуле \(d = \fraq{|a$x_{0}$ + b$y_{0}$ + c|}{\sqrt{$a^2$ + $b^2$}}\). Докажите.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Найдите все значения \(k\), при которых прямая \(у = kaх + 5\) удалена от начала координат на 3 единицы.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \(k = \pm \fraq{4}{3}\).

Точка \(М\) - точка пересечения медиан треугольника \(АВС\), причем \(А(-1; 2)\), \(B(2; 3)\), \(М(1; 2)\). Найдите координаты вершины \(С\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \(С(2; 1)\).

Около равностороннего треугольника со стороной \(a\) описана окруж­ность. Докажите, что сумма квадратов расстояний от произвольной точ­ки окружности до вершин треугольника равна \(2$а^2$\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

На плоскости отмечены точки \(А\) и \(В\). Докажите, что геометрическим местом точек \(М\), для которых \(\fraq{MA}{MB} = \kappa\) \((\kappa > 0, \kappa \neq 1)\), является окруж­ность с центром на прямой \(АВ\) (окружность Аполлония).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Может ли движение переводить: а) сторону параллелограмма в противоположную его сторону; б) одно из оснований трапеции в другое; в) один из углов при основании равнобедренного треугольника в другой; г) один из углов разностороннего треугольника в другой?

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Отрезок \(АС\) и его середина \(В\) при движении переходят в отрезок \(А'С'\) и точку \(В'\) соответственно. Найдите длину отрезка \(А'С'\), если \(АВ = 20\) см.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

При движении четырехугольника \(АВСD\) получили квадрат \(А'В'С'D'\). Определите длину диагонали \(BD\), если \(А'С' = 4\) см.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Треугольник \(А'В'С'\) является образом равностороннего треуголь­ника \(АВС\), полученным при движении. Определите углы треугольни­ка \(А'В'С'\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Начертите две окружности с общим центром \(О\). Опишите геометри­ческое преобразование, переводящее меньшую окружность в большую. Является ли такое преобразование движением?

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Начертите прямоугольник \(АВСD\) и отметьте точку \(О\) пересечения его диагоналей. Опишите геометрическое преобразование, переводящее треугольник \(АОВ\) в треугольник \(DОС\). Является ли такое преобразование движением?

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Точки \(А\), \(В\) и \(С\) не лежат на одной прямой и при движении переходят в точки \(A'\), \(В'\) и \(С'\) соответственно. Докажите равенство треугольников \(AВС\) и \(А'В'С'\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Докажите, что при движении смежные углы переходят в смежные углы.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Докажите, что при движении вертикальные углы переходят в вер­тикальные углы.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

При движении разносторонний треугольник \(АВС\) переходит в треугольник \(MNK\), причем \(\angle А = \angle N\), \(\angle В = 70^\circ\), \(\angle М = 20^\circ\). Найдите углы \(N\) и \(K\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \(\angle K = 70^\circ\), \(\angle N = 90^\circ\).

Треугольник \(MNK\) - образ треугольника \(АВС\), полученный при движении. Найдите углы треугольника \(АВС\), если \(АВ = ВС\), а наи­больший угол треугольника \(MNK\) равен \(100^\circ\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \(\angle А = \angle С = 40^\circ\), \(\angle В = 100^\circ\).

Докажите, что при движении подобные треугольники переходят в подобные треугольники.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Докажите, что если образом данного четырехугольника, получен­ным при движении, является трапеция, то данный четырехугольник также является трапецией.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Докажите, что при движении параллелограмм переходит в парал­лелограмм.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

При движении ромб \(ABCD\) переходит в четырехугольник \(A'В'С'D'\). Найдите углы полученного четырехугольника, если \(АВ = АС\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \(60^\circ\) и \(120^\circ\).

При движении четырехугольник \(АВСD\) переходит в четы­рехугольник \(А'В'С'D'\). Найдите углы четырехугольника \(АВСD\), если \(A'D' \parallel В'С'\), \(А'В' = C'D'\), \(\angle В' = 140^\circ\) (рассмотрите два случая).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \(\angle А = \angle D = 40^\circ\), \(\angle В = \angle С = 140^\circ\).

При движении фигуры \($F_{1}$\) и \($F_{2}$\) и их общая точка \(О\) переходят в фигуры \($F_{1}$'\) и \($F_{2}$'\) и точку \(O'\) соответственно. Докажите, что точка \(О'\) - общая точка фигур \($F_{1}$'\) и \($F_{2}$'\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Докажите признак равенства параллелограммов по двум диагона­лям и углу между ними.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Докажите, что при движении окружность переходит в окружность того же радиуса.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Сформулируйте и докажите любой признак равенства ромбов.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Докажите, что отрезок с концами на сторонах параллелограмма, проходящий через точку пересечения диагоналей, делится этой точкой пополам.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Отрезок с концами на боковых сторонах равнобедренного тре­угольника, перпендикулярный высоте, проведенной к основанию, делится этой высотой пополам. Докажите.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Симметрия относительно точки \(О\) переводит точку \(А\) в точку \(B\). Где находится точка \(О\)?

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

При симметрии относительно точки \(О\) точки \(А\) и \(B\) переходят в точки \(А'\) и \(B'\) соответственно. Среди равенств а-г выберите равенство, которое не обязательно выполняется: а) \(АB = А'B'\); б) \(АО = А'О\); в) \(АО = ВО\); г) \(ВО = B'О\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Какие прямые при центральной симметрии переходят сами в себя?

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Какие из фигур на рис. 57 имеют центр симметрии? Где он рас­положен?

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Симметрия относительно прямой \(l\) переводит точку \(А\) в точку \(B\). Как расположены прямые \(l\) и \(АB\)?

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

При симметрии относительно прямой \(l\) отрезок \(АB\), концы которого не лежат на прямой \(l\), переходит в отрезок \(А'B'\). Из утверждений а-г выберите утверждение, которое не обязательно выполняется: а) \(АB = А'B'\); б) \(АА' \perp l\); в) \(АА' \parallel ВВ'\); г) \(АВ \parallel А'В'\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Сколько осей симметрии имеет отрезок; прямая? Для каждой из этих фигур опишите взаимное расположение осей симметрии.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Какие из фигур на рис. 57 имеют оси симметрии? Сколько осей симметрии имеет каждая фигура? Как они расположены?

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Приведите пример фигуры, которая: а) не имеет ни центра симметрии, ни осей симметрии; б) имеет центр симметрии, но не имеет осей симметрии; в) не имеет центра симметрии, но имеет ось симметрии; г) имеет центр симметрии и несколько (бесконечно много) осей симметрии.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Начертите треугольник \(АВС\). Постройте треугольник \(АВ'С'\), сим­метричный треугольнику \(АВС\) относительно точки \(А\). Определите вид четырехугольника \(СВС'В'\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Начертите квадрат \(АВСD\). Постройте квадрат, симметричный дан­ному квадрату относительно середины стороны \(CD\). Сколько вершин данного квадрата являются также вершинами его образа?

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

На карте Украины постройте отрезок, концы которого - города Львов и Харьков. Найдите центр симметрии этого отрезка. В какой обла­сти расположена найденная точка? Вблизи какого крупного населенного пункта?

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

На карте Украины постройте прямую, относительно которой Львов и Ивано-Франковск симметричны. Какие области пересекает эта прямая?

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Начертите равнобедренный треугольник \(АВС\) с основани­ем \(АС\). Постройте треугольник \(АВ'С\), симметричный треугольнику \(АВС\) относительно прямой \(АС\). Найдите точку \(О\), при симметрии относительно которой треугольник \(АВС\) переходит в треугольник \(АВ'С\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Начертите острый угол \(АВС\). Постройте угол \(АВС'\), симметричный углу \(АВС\) относительно прямой \(АВ\). В каком отношении луч \(АВ\) делит угол \(С'АС\)?

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Начертите прямоугольник \(АВСD\) и проведите оси его симметрии. Соедините последовательно точки пересечения этих осей со сторонами прямоугольника. Какую фигуру вы получили? Являются ли оси симме­трии прямоугольника осями симметрии полученной фигуры?

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Начертите равносторонний треугольник и проведите оси его симме­трии. Будет ли точка их пересечения центром симметрии этого треугольника?

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Найдите точку, симметричную: а) точке \((2; 9)\) относительно начала координат; б) точке \((2; -7)\) относительно точки \((1; 1)\); в) началу координат относительно точки пересечения прямых \(х = -2\) и \(у = 3\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: а) \((8; -1)\); б) \((0; 9)\); в) \((-4; 6)\).

Найдите точку, симметричную: а) точке \((2; 9)\) относительно точки \((-1; 3)\); б) точке \((а; b)\) относительно начала координат.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: а) \((-4; -3)\); б) \((-а; -b)\).

Докажите, что центр равностороннего треугольника (точка, равно­удаленная от вершин) не является центром его симметрии. Может ли луч иметь центр симметрии? Ответ обоснуйте.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Докажите, что центр окружности является центром ее симметрии.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Найдите точку, симметричную: а) точке \((-3; 9)\) относительно оси ординат; б) точке \((-2; -5)\) относительно оси абсцисс; в) началу координат относительно прямой \(х = 4\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: а) \((3; 9)\); б) \((-2; 5)\); в) \((8; 0)\).

Найдите точку, симметричную точке \((а; b)\): а) относительно оси абсцисс; б) относительно оси ординат.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: а) \((а; -b)\); б) \((-а; b)\).

Составьте уравнение прямой, симметричной прямой \(у = х\) относительно: а) оси абсцисс; б) оси ординат; в) начала координат.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: а) \(у = -х\); б) \(у = -х\); в) \(у = х\).

Найдите в учебниках по разным предметам (или в сети Интернет) изображения предметов, имеющих центр симметрии; ось симметрии; не­сколько осей симметрии.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Окружность задана уравнением \($(х - 4)^2$ + $(у - 3)^2$ = 25\). Составьте уравнение окружности, симметричной данной окружности относительно: а) начала координат; б) точки \((-1; 4)\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: а) \($(х + 4)^2$ + $(у + 3)^2$ = 25\); б) \($(х + 6)^2$ + $(у - 5)^2$ = 25\).

Составьте уравнение прямой, симметричной: а) прямой \(у = 8\) относительно точки \((1; 3)\); б) прямой \(у = -х + 1\) относительно начала координат.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: а) \(у = -2\); б) \(у = -х - 1\).

Докажите, что: а) ни один треугольник не имеет центра симметрии; б) треугольник, имеющий ось симметрии, - равнобедренный.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Докажите, что четырехугольник, имеющий центр симметрии, яв­ляется параллелограммом.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Составьте уравнение: а) окружности, симметричной окружности \($(х - 4)^2$ + $(y - 3)^2$ = 25\) от­носительно прямой \(х = -6\); б) прямой, симметричной прямой \(у = -2\) относительно прямой \(у = х\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: а) \($(х + 16)^2$ + $(у - 3)^2$ = 25\); б) \(х = -2\).