Задачи

Фильтрация

Показать фильтрацию

По классам:

По предметам:

По подготовке:

По классам:

По авторам:

Неподалеку от австралийского города Катумба расположена самая крутая (по наклону трассы) горная железная дорога \(Katoomba Scenic Railway\). Ее длина составляет 415 м, а высота подъема - 321 м. Найдите угол наклона трассы.

Решение №39992: \(с = 415\) м; \(h = 321\) м. \(\sin{\alpha} = \fraq{h}{c} = \fraq{321}{415} \approx 0,78\); \(\alpha \approx 51^\circ\).

Ответ: \(\approx 50^\circ\).

Решите прямоугольный треугольник по сумме катетов \(m\) и острому углу \(\alpha\).

Решение №39993: \( \begin{equation*} \begin{cases} \(a = c\sin{\alpha}\); \(b = c\cos{\alpha}\); \end{cases} \end{equation*} \) \(m = a + b = c(\sin{\alpha} + \cos{\alpha})\); \(c = \fraq{m}{\sin{\alpha} + \cos{\alpha}}\); \(a = \fraq{m\sin{\alpha}}{\sin{\alpha} + \cos{\alpha}}\); \(b = \fraq{m\cos{\alpha}}{\sin{\alpha} + \cos{\alpha}}\).

Ответ: \(c = \fraq{m}{\sin{\alpha} + \cos{\alpha}}\); \(a = \fraq{m\sin{\alpha}}{\sin{\alpha} + \cos{\alpha}}\); \(b = \fraq{m\cos{\alpha}}{\sin{\alpha} + \cos{\alpha}}\);

Решите прямоугольный треугольник по разности острых углов \(\varphi\) и гипотенузе \(c\).

Решение №39994: \(\alpha + \beta = 90^\circ \Rightarrow \beta = 90^\circ - \alpha\); тогда \(\alpha - \beta = \alpha - 90^\circ + \alpha = 2\alpha - 90^\circ = \varphi\); \(\alpha = \fraq{90^\circ + \varphi}{2}\); \(\beta = \fraq{90^\circ - \varphi}{2}\); тогда \(a = c\sin{\alpha} = c\cos{\fraq{\varphi}{2}}\); \(b = c\sin{\fraq{\varphi}{2}}\).

Ответ: \(a = c\sin{\alpha} = c\cos{\fraq{\varphi}{2}}\); \(b = c\sin{\fraq{\varphi}{2}}\).

Высота прямоугольного треугольника делит гипотенузу в отноше­нии \(1 : 3\). Найдите острые углы треугольника.

Решение №39995: Пусть \(a_{c} = х\); \(b_{c} = 3х\). Высота \(h\), проведенная к гипотенузе: \(h = \sqrt{a_{c}b_{c}}\), тогда \(\tan{\beta} = \fraq{h}{a_{c}}\); \(4\tan{\alpha} = \fraq{h}{b_{c}}\); \(\tan{\beta} = \fraq{\sqrt{3}x}{x} = \sqrt{3}\); \(\beta = 60^\circ\) и \(\tan{\alpha} = \fraq{1}{\sqrt{3}}\); \(\alpha = 30^\circ\).

Ответ: \(30^\circ\) и \(60^\circ\).

На рис. 182 показан способ измерения высоты предмета, основание которого недоступно. Найдите эту высоту, если \(АВ = d\), \(\angle CAD = \alpha\), \(\angle CBD = \beta\).

Решение №39996: Пусть \(CD = h\), a \(BD = x\), тогда \(\tan{\beta} = \fraq{h}{x}\); \(\tan{\alpha} = \fraq{h}{x + AB} = \fraq{h}{x + d}\); \(x = \fraq{h}{\tan{\beta}}\) и \(x = \fraq{h}{\tan{\alpha}} - d \Rightarrow d = \fraq{h}{\tan{\alpha}} - \fraq{h}{\tan{\beta}} = h \cdot \cot{\alpha} - h\cdot \cot{\beta} \Rightarrow h = \fraq{d}{\cot{\alpha} - \cot{\beta}}\).

Ответ: \(\fraq{d}{\cot{\alpha} - \cot{\beta}}\).

Катеты прямоугольного треугольника рав­ны 30 и 40. Найдите угол между медианой и высо­той, проведенными к гипотенузе.

Решение №39997: \(AC = c = \sqrt{a^2 + b^2} = 50\) (см). Пусть \(AD = х\), тогда \(DC = 50 - х\). Пусть \(BD = h\); \(h = \fraq{ab}{c} = \fraq{30 \cdot 40}{50} = 24\) (см); \(h^2 = x(50 - х) \Rightarrow x^2 - 50x + 576 = 0; \(D_{1} = 625 - 576 = 49\); \(x = 25 \pm 7\); \(x_{1} = 32\) (см); \(x_{2} = 18\) (см). \(АМ = 50 : 2 = 25\) (см); тогда \(DM = AM - AD = 25 - 18 = 7\) (см); \(\tan{\angle DBM} = \fraq{DM}{DB} = \fraq{7}{24} \approx 0,29 \angle DBM \approx 16^\circ\).

Ответ: \(\angle DBM \approx 16^\circ\).

Стороны параллелограмма равны \(4\sqrt{2}\) см и 8 см, а острый угол \(45^\circ\). Найдите высоты и площадь параллелограмма.

Решение №39998: \(h_{a} = b\sin{45^\circ} = \fraq{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}\) (см); \(h_{b} = a\sin{45^\circ} = \fraq{4\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 4\) (см); \(S = h_{b} \cdot b = 4 \cdot 8 = 32 (см^2)\).

Ответ: \(h_{a} = 4\sqrt{2}\) (см); \(h_{b} = 4\) (см); \(S = 32 (см^2)\).

Радиус окружности, вписанной в ромб с острым углом \(\alpha\), равен \(r\). Найдите сторону и площадь ромба.

Решение №39999: По свойству диагоналей ромба \(АС\) - биссектриса \(\agnle BCD = \alpha\), тогда: \(\fraq{r}{OC} = \sin{\fraq{\alpha}{2}}\); \(OC = \fraq{d_{1}}{2} = \fraq{r}{\sin{\fraq{\alpha}{2}}}\); \(\angle OBC = 90^\circ - \fraq{\alpha}{2}\), тогда \(ОВ = \fraq{d_{2}}{2} = \fraq{r}{\sin{(90^\circ - \fraq{\alpha}{2})}} = \fraq{r}{\cos{\fraq{\alpha}{2}}}\), \(S = \fraq{d_{1}d_{2}}{2} = \fraq{2r^2}{\sin{\fraq{\alpha}{2}} \cdot \cos{\fraq{\alpha}{2}}} = \fraq{4r^2}{\sin{\alpha}}\); \(AB = \fraq{OB}{\cos{\fraq{\alpha}{2}}} = \fraq{d_{1}}{2\cos{\fraq{\alpha}{2}}} = \fraq{r}{\sin{\fraq{\alpha}{2}}\cos{\fraq{\alpha}{2}}} = \fraq{2r}{\sin{\alpha}}\).

Ответ: \(S = \fraq{4r^2}{\sin{\alpha}}\); \(AB = \fraq{2r}{\sin{\alpha}}\).

Сторона треугольника равна 10, а прилежащие к ней углы - \(30^\circ\) и \(45^\circ\). Найдите другие стороны треугольника.

Решение №40000: \(ah_{a} = ab \sin{\gamma} = ac\sin{\beta}\); \(bh_{b} = ba\sin{\gamma} = bc \sin{\alpha}\); \(\alpha = 180^\circ - 30^\circ - 45^\circ = 105^\circ\), тогда: \(a\sin{\gamma} = c\sin{\alpha} \Rightarrow c = a \cdot \fraq{\sin{\gamma}}{\cos{\alpha}} = 10 \cdot \fraq{\sin{45^\circ}}{\sin{105^\circ}} \approx 7,3\) (см). \(b = a \cdot \fraq{\sin{\beta}}{\sin{\alpha}} \Rightarrow b = 10 \cdot \fraq{\sin{30^\circ}}{\sin{105^\circ}} \approx 5,2\) (см).

Ответ: \(b \approx 5,2\) см; \(c \approx 7,3\) см.

Если два прямоугольных треугольни­ка имеют равные гипотенузы, то синусы их острых углов пропорциональны противоле­жащим катетам, а косинусы острых углов - прилежащим катетам. Докажите.

Решение №40001: \( \begin{equation*} \begin{cases} \(\sin{\alpha_{1}} = \fraq{a_{1}}{2}\); \(\sin{\alpha_{2}} = \fraq{a_{2}}{2}\); \end{cases} \end{equation*} \) \(\fraq{\sin{\alpha_{1}}}{\sin{\alpha_{2}} = \fraq{a_{1}}{a_{2}}\); \( \begin{equation*} \begin{cases} \(\cos{\alpha_{1}} = \fraq{b_{1}}{c}\); \(\cos{\alpha_{2}} = \fraq{b_{2}}{c}\); \end{cases} \end{equation*} \) \(\fraq{\cos{\alpha_{1}}}{\cos{\alpha_{2}} = \fraq{b_{1}}{b_{2}}\), что и требовалось доказать.

Ответ: NaN

Биссектриса, проведенная из верши­ны острого угла \(\alpha\) прямоугольного треугольника, равна \(l\). Найдите гипотенузу треугольника.

Решение №40002: По определению биссектрисы угол между \(l\) и \(h\) равен \(\fraq{\alpha}{2}\), тогда: \(h = l\cos{\fraq{\alpha}{2}}\); \(c = h\cos{\alpha} = l \cdot \fraq{\cos{\alpha}}{\cos{\fraq{\alpha}{2}}}\).

Ответ: \(l \cdot \fraq{\cos{\alpha}}{\cos{\fraq{\alpha}{2}}}\).

Ступеньки эскалатора харьковского ме­трополитена имеют ширину 40 см и высоту 30 см. Определите угол наклона эскалатора.

Решение №40003: \(\tan{\alpha} = \fraq{h}{d} = \fraq{30}{40} = \fraq{3}{4}\); \(\alpha \approx 37^\circ\).

Ответ: \(37^\circ\).

На расстоянии 700 м от точки отрыва самолета от земли расположены деревья вы­сотой 24 м. Под каким углом должен под­ниматься самолет, чтобы не задеть деревья?

Решение №40004: \(\tan{\alpha} = \fraq{h}{l} = \fraq{24}{700} = \fraq{6}{175}\); \(\alpha = 2^\circ\).

Ответ: Угол должен быть не меные \(2^\circ\).

Докажите, что катеты прямоугольного треугольника и высота, проведенная к гипотенузе, связаны соотношением \(\fraq{1}{h_{c}^2} = \fraq{1}{a^2} + \fraq{1}{b^2}\).

Решение №40005: \(\fraq{h_{c}}{a} = \sin{\beta}\) и \(\fraq{h_{c}}{b} = \cos{\beta}\); по основному тригонометрическому тождеству: \(\sin^2{\beta} + \cos^2{\beta} = 1\) тогда \(\fraq{h_{c}^2}{a^2} + \fraq{h_{c}^2}{b^2} = 1 \Rightarrow \fraq{1}{a^2} + \fraq{1}{b^2} + \fraq{1}{h_{c}^2}\).

Ответ: NaN

В равнобедренном треугольнике косинус угла при вершине равен \(a\). Найдите тангенс угла между основанием и высотой, проведенной к боко­вой стороне.

Решение №40006: \(\tan{\beta} = \fraq{\sin{\beta}}{\cos{\beta}} = \fraq{\cos{(90^\circ - \beta)}}{\sin{(90^\circ - \beta)}} = \fraq{\cos{\beta}}{\sin{\beta}} = \fraq{a}{\sqrt{1 - a^2}}\).

Ответ: \(\fraq{a}{\sqrt{1 - a^2}}\).

В треугольнике \(АВС АВ = ВС\), а высота \(АЕ\) в два раза меньше высоты \(BD\). Найдите косинус угла при основании треугольника.

Решение №40007: Найти: \(\cos{C} - ?\). \(\sin{C} = \fraq{AE}{AC} = 2 \cdot \fraq{BD}{AC}\); \(\tan{C} = \fraq{BD}{DC}\). По определению \(\Delta АВС\) - равнобедренный \(\Rightarrow\) по свойству высоты \(DC = AC : 2 \Rightarrow \tan{C} = \fraq{BD}{AC}\), тогда \(\fraq{\sin{C}}{\tan{C}} = \cos{C} = 1\).

Ответ: \(\cos{C} = 1\).

Две окружности, расстояние между центрами которых равно \(d\), ка­саются внешним образом. Найдите радиусы этих окружностей, если угол между их общими внешними касательными равен \(2\alpha\).

Решение №40008: \(\Delta CDK = \Delta EDK\) и \(\Delta BDA = \Delta FDA\) по трем сторонам, тогда \(\angle BDA = \angle ADF = \fraq{\angle BDF}{2}\); \(\angle BDA = \alpha\). \( \begin{equation*} \begin{cases} \(CK = KD\sin \alpha\); \(AB = AD\sin \alpha\); \end{cases} \end{equation*} \) но \(AD = AK + KD = d + KD \Rightarrow\) \( \begin{equation*} \begin{cases} \(CK = KD\sin \alpha\); \(AB = d\sin \alpha + KD\sin \alpha\); \end{cases} \end{equation*} \) \(\Rightarrow AB - CK = d\sin \alpha\). Пусть \(AB = R_{1}\), \(CK = R_{2}\). Тогда \(AO = R_{1}\) и \(OK = R_{2}\), но \(AO + OK =d\). Следовательно: \( \begin{equation*} \begin{cases} \(R_{1} - R_{2} = d\sin{\alpha}\); \(R_{1} + R_{2} = d\); \end{cases} \end{equation*} \) \( \begin{equation*} \begin{cases} \(R_{1} = \fraq{1}{2}d(\sin{\alpha} +1)\); \(R_{2} = \fraq{1}{2}d(1 - \sin{\alpha})\). \end{cases} \end{equation*}. \)

Ответ: \(R_{1} = \fraq{1}{2}d(\sin{\alpha} +1)\); \(R_{2} = \fraq{1}{2}d(1 - \sin{\alpha})\).

Найдите \(\sin 75^\circ\).

Решение №40009: \(\sin 75^\circ = \cos(90^\circ - 75^\circ) = \cos 15^\circ\); \(\sin 30^\circ = 2\sin 15^\circ\cos 15^\circ = \fraq{1}{2}\); \((\fraq{1}{4})^2 = \cos^2 15^\circ \cdot (1 - \cos^2 15^\circ); \(\cos^4 15^\circ - \cos^2 15^\circ + \fraq{1}{16} = 0\); \(D = 1 - \fraq{1}{4} = \fraq{3}{4}\); \(\cos^2 15^\circ = (1 + \fraq{\sqrt{3}}{2}) \cdot \fraq{1}{2} = \fraq{1}{2} + \fraq{\sqrt{3}}{4} \Rightarrow \sin{75^\circ} = \sqrt{\fraq{1}{2} + \fraq{\sqrt{3}}{4}}\).

Ответ: \(\sqrt{\fraq{1}{2} + \fraq{\sqrt{3}}{4}}\).

Отрезки \(BB_{1}\) и \(CC_{1}\) - высоты остроугольного треугольни­ка \(АВС\), в котором \(\angle А = \alpha\). Найдите площадь треугольника \(АB_{1}C_{1}\), если площадь треугольника \(АВС\) равна \(S\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Сторона угла \(alpha\), отложенного от положительной полуоси оси \(Ох\) в направлении против часовой стрелки, пересекает тригонометриче­скую окружность в точке \(М\). а) Назовите координаты точки \(М\), если \(\alpha = 90^\circ\). б) Определите величину угла \(\alpha\), если \(М(\fraq{\sqrt{2}}{2};\fraq{\sqrt{2}}{2})\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Определите, является ли угол \(\alpha (0^\circ < \alpha < 180^\circ)\) острым, прямым или тупым, если: а) \(\cos{\alpha} = 0\); б) \(\sin{\alpha} \cdot \cos{\alpha} < 0\); в) \(\tan{\alpha} > 0\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Может ли косинус тупого угла быть равным 0,01; -0,8; -3? Может ли косинус тупого угла быть равным синусу того же угла?

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Дан острый угол \(\beta\), причем \(\sin{\beta} = n\), \(\cos{\beta} = m\). Найдите синус и ко­синус угла \((180^\circ - \beta)\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Верно ли, что: а) синусы смежных углов - противоположные числа; б) тангенсы смежных углов - противоположные числа?

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

В прямоугольной системе координат на тригонометрической окруж­ности отметьте точку \(М\), соответствующую углу \(120^\circ\). а) Проведите из точки \(М\) перпендикуляры к осям координат. Опре­делите координаты оснований этих перпендикуляров. б) Отметьте на тригонометрической окружности точку \($M_{1}$\), соответ­ствующую острому углу, синус которого равен синусу \(120^\circ\). Измерьте этот острый угол и обоснуйте полученный результат.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

В прямоугольной системе координат на тригонометрической окруж­ности отметьте точку \(М\), соответствующую углу \(150^\circ\). а) Определите координаты \(x\) и \(y\) точки \(М\). Какая из координат больше? б) Вычислите значение выражения \($х_{2}$ + $у_{2}$\). Обоснуйте полученный результат.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

С помощью формул приведения для углов \((180^\circ - \alpha)\) вычислите си­нус, косинус и тангенс углов \(120^\circ\) и \(135^\circ\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

С помощью формул приведения и тригонометрических таблиц (каль­кулятора) вычислите: а) \(\sin{160^\circ}\); б) \(\cos{115^\circ}\); в) \(\tan{95^\circ}\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Определите все значения \(\alpha\) от \(0^\circ\) до \(180^\circ\), для которых выполняется равенство: а) \(\sin{\alpha} = \fraq{\sqrt{3}}{2}\); б) \(\cos{\alpha} = -0,5\); в) \(\tan{\alpha} = -1\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: а) \(60^\circ\) и \(120^\circ\); б) \(120^\circ\); в) \(135^\circ\).

С помощью формул приведения и таблиц значений тригонометрических функций (см. Справочные материалы на с. 237-238) найдите: а) \(\sin{\alpha}\) и \(\tan{\alpha}\), если \(\alpha = 170^\circ\); б) острый и тупой углы, синусы которых равны 0,643.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: а) \(\approx 0,174\) и \(\approx -0,176\); б) \(\approx 40^\circ\) и \(\approx 140^\circ\).

Найдите: а) \(\sin{\alpha}\), если \(\cos{\alpha} = -0,8\); б) \(\cos{\alpha}\), если \(\sin{\alpha} = \fraq{1}{\sqrt{5}}\), \(90^\cir < \alpha < 180^\circ\); в) \(tg{\alpha}\), если \(\cos{\alpha} = -1\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: а) -0,6; б) \(-\fraq{2}{\sqrt{5}}\); в) 0.

Найдите \(\cos{\alpha}\) и \(\tan{\alpha}\), если \(\sin{\alpha} = 0,6\) и угол \(\alpha\) тупой.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: -0,8 и -0,75.

Сравните: а) \(\cos{65^\circ}\) и \(\cos{115^\circ}\); б) \(tan{48^\circ}\) и \(\tan{148^\circ}\); в) \(\sin{35^\circ}\) и \(\sin{145^\circ}\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Докажите тождество: а) \(-\tan(180^\circ - \alpha) \cdot \cos{\alpha} = \sin{\alpha}\); б) \(\cos^2{\alpha} + \sin{\alpha}\sin(180^\circ - \alpha) = 1\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Докажите тождество: а) \(\fraq{-\sin{\alpha}}{\cos(180^\circ - \alpha)} = \tan{\alpha}\); б) \(1 - \cos^2{\alpha} = \sin{\alpha}\sin(180^\circ - \alpha)\); в) \(\fraq{\sin(180^\circ - \alpha)}{\sin{\alpha}} = 1\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Найдите тангенс и котангенс угла \(\alpha\), если: а) \(\cos{\alpha} = -\fraq{5}{13}; б) \(\sin{\alpha} = \fraq{8}{17}\), \(90^\circ < \alpha < 180^\circ\); в) \(\sin{\alpha} = -\cos{\alpha}\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: а) \(\tan{\alpha} = -2,4\), \(\cot{\alpha} = -\fraq{5}{12}\); б) \(\tan{\alpha} = -\fraq{8}{15}\), \(\cot{\alpha} = -\fraq{15}{8}\); в) \(\tan{\alpha} = \cot{\alpha} = -1\).

Найдите: а) \(\tan{\alpha}\), если \(\cos{\alpha} = -0,28\); б) \(\cot{\alpha}\), если \(\sin{\alpha} = \fraq{12}{13}\) и угол \(\alpha\) тупой.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: а) \(-\fraq{24}{7}\); б) \(-\fraq{5}{12}\).

(опорная). Докажите, что: а) \(1 + \tan^2{\alpha} = \fraq{1}{\cos^2{\alpha}}\) \((0^\circ \leq \alpha \leq 180^\circ, \alpha \neq 90^\circ)\); б) \(1 + \cot^2{\alpha} = \fraq{1}{\sin^2{\alpha}}\) \((0^\circ < \alpha < 180^\circ)\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Упростите выражение: а) \(1 - \sin(180^\circ - \alpha)\cos(180^\circ - \alpha)\tan(180^\circ - \alpha)\); б) \(1 - \tan(180^\circ - \alpha)\tan{\alpha}\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: а) \(\cos^2{\alpha}\); б) \(\fraq{1}{\cos^2{\alpha}}\).

Упростите выражение: а) \(\tan{\alpha}\cot{\alpha} + \cos{\alpha}\cos(180^\circ - \alpha)\); б) \($(\sin{\alpha} - \cos{\alpha})^2$ - 2\tan(180^\circ - \alpha)\cos^2{\alpha}\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: а) \(\sin^2{\alpha}\); б) 1.

Известно, что \(\tan{\alpha} = -0,75\). Найдите \(\sin{\alpha}\) и \(\cos{\alpha}\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 0,6 и -0,8.

Найдите \(\sin{\alpha}\) и \(\cos{\alpha}\), если \(\cot{\alpha} = -2,4\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \(\fraq{5}{13}\) и \(-\fraq{12}{13}\).

Докажите, что синусы любых двух углов параллелограмма равны.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Докажите, что сумма косинусов всех углов трапеции равна нулю.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Постройте угол \(\alpha\), если: а) \(\sin{\alpha} = \fraq{4}{5}\) и угол \(\alpha\) острый; б) \(\cos{\alpha} = -\fraq{3}{5}\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Найдите \(\sin{\alpha}\) и \(\cos{\alpha}\), если \(\tan{\alpha} + \cot{\alpha} = -2,5\). Сколько решений име­ет задача?

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \(\sin{\alpha} = \fraq{1}{\sqrt{5}}\), \(\cos{\alpha} = -\fraq{2}{\sqrt{5}}\) или \(\sin{\alpha} = \fraq{2}{\sqrt{5}}\), \(\cos{\alpha} = -\fraq{1}{\sqrt{5}}\).

Найдите \(\tan{\alpha}\), если \(\cos^2{\alpha} - \sin^2{\alpha} = 0,5\). Сколько решений имеет задача?

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \(\fraq{\sqrt{3}}{3}\) или \(-\fraq{\sqrt{3}}{3}\). Указание. Сложите правые и левые части данного равенства и основного тригонометрического тождества.

Расположите углы \(50^\circ\), \(120^\circ\), \(170^\circ\) в порядке возрастания значений их тригонометрических функций: а) косинусов; б) синусов; в) тангенсов.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: а) \(170^\circ\), \(120^\circ\), \(50^\circ\); б) \(170^\circ\), \(50^\circ\), \(120^\circ\); в) \(120^\circ\), \(170^\circ\), \(50^\circ\).

Известно, что \(\alpha\) и \(\beta\) - тупые углы, причем \(\cos{\alpha} > \cos{\beta}\). Сравните: а) \(\sin{\alpha}\) и \(\sin{\beta}\); б) \(\tan{\alpha}\) и \(\tan{\beta}\); в) \(\cot{\alpha}\) и \(\cot{\beta}\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: а) \(\sin{\alpha} > \sin{\beta}\); б) \(\tan{\alpha} < \tan{\beta}\); в) \(\cot{\alpha} \cot{\beta}\).

В прямоугольном треугольнике с острым углом \(30^\circ\) гипотенуза рав­на 6 см. Найдите катеты треугольника.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 3 см и \(3\sqrt{3}\) см.

Высота ромба, проведенная из вершины тупого угла, делит сторону ромба на отрезки длиной 8 см и 9 см. Найдите площадь ромба. Сколько решений имеет задача?

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: Два. \(225 $см^2$\) или \(68\sqrt{13} $см^2$\).

В треугольнике со сторонами \(a\), \(b\), \(c\) определите, является ли угол, противолежащий стороне \(a\), острым, прямым или тупым, если: а) \($а^2$ > $b^2$ + $c^2$\); б) \($а^2$ < $b^2$ + $c^2$\); в) \($а^2$ = $b^2$ + $c^2$\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Могут ли два угла треугольника иметь отрицательные косинусы?

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Назовите наибольший угол треугольника \(АВС\), если \($АВ^2$ > $ВС^2$ + $АС^2$\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Начертите треугольник со сторонами 3 см и 5 см и углом между ними \(120^\circ\). По теореме косинусов вычислите длину наи­большей стороны треугольника. Проверьте полученный результат измерением.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Начертите разносторонний треугольник и измерьте его стороны. а) Вычислите значение выражения \($а^22$ + $b^2$ - $с^2$\), где \(a\), \(b\), \(c\) - длины сторон треугольника, причем \(а < b < c\). б) По результату вычисления определите, является ли наибольший угол треугольника острым, прямым или тупым. Проверьте полу­ченный результат измерением.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Найдите неизвестную сторону треугольника, если две его стороны и угол между ними равны соответственно: а) \(3\sqrt{3}\) см, 11 см и \(30^\circ\); б) 8 см, 15 см и \(60^\circ\); в) 5 см, 16 см и \(120^\circ\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: а) 7 см; б) 13 см; в) 19 см.

Найдите периметр треугольника, если его стороны длиной 7 см и 15 см образуют угол \(60^\circ\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 35 см.

Стороны треугольника равны \(3\sqrt{2}\), 1 и 5. Определите градусную меру наибольшего угла треугольника.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \(135^\circ\).

Докажите, что равнобедренный треугольник с основанием 7 см и бо­ковой стороной 4 см является тупоугольным.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Две стороны треугольника равны 4 и 8. Какое наименьшее целое значение должна иметь длина третьей стороны, чтобы угол между двумя данными сторонами был тупым?

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 9.

Две стороны треугольника равны \(4\sqrt{2}\) см и 1 см, а синус угла между ними равен \(\fraq{\sqrt{2}}{2}\). Найдите третью сторону треугольника. Сколько реше­ний имеет задача?

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 5 см или \(\sqrt{41}\) см.

В треугольнике \(АВС АВ = 6\) см, \(ВС = 5\) см, а косинус внешнего угла при вершине \(В\) равен -0,2. Найдите сторону \(АС\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 7 см.

В параллелограмме найдите длины: а) сторон, если диагонали длиной \(6\sqrt{2}\) см и 14 см пересекаются под углом \(45^\circ\); б) диагоналей, если стороны равны 10 см и 16 см, а один из углов параллелограмма в 2 раза больше другого.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: а) 5 см и \(\sqrt{109}\) см; б) 14 см и \(2\sqrt{129}\) см.

Найдите диагонали ромба с периметром \(4а\) и острым углом \(\alpha\). Ре­шите задачу двумя способами.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \(a\sqrt{2(1 + \cos{\alpha})}\) и \(a\sqrt{2(1 - \cos{\alpha})}\) или, при условии решения без теоремы косинусов, \(2a\cos{\fraq{\alpha}{2}}\) и \(2a\sin{\fraq{\alpha}{2}}\).

Диагональ параллелограмма равна 6 см и образует со стороной длиной 8 см угол \(60^\circ\). Найдите неизвестную сторону и неизвестную диа­гональ параллелограмма.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \(2\sqrt{13}\) см и 14 см.

Не вычисляя углов треугольника, определите его вид (по величине углов), если стороны треугольника равны: а) 2, 3 и 4; б) 7, 24 и 25; в) 6, 10 и 11.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: а) Тупоугольный; б) прямоугольный; в) остроугольный.

Стороны треугольника равны 5 м, 6 м и 7 м. Найдите косинусы углов треугольника и определите его вид (по величине углов).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \(\fraq{1}{5}\), \(\fraq{5}{7}\), \(\fraq{19}{35}\); остроугольный.

В параллелограмме найдите: а) периметр, если диагонали равны 11 см и 17 см, а одна из сто­рон 13 см; б) диагонали, если их длины относятся как \(4 : 7\), а стороны рав­ны 7 см и 9 см.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: а) 38 см; б) 8 см и 14 см.

Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен 34 см, а диагонали 11 см и 13 см.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 8 см и 9 см.

В треугольнике \(АВС \angle А = 90^\circ\), \(АС = 4\) см, \(ВС = 8\) см. На катете \(АС\) вне данного треугольника построен равносторонний треугольник \(ACD\). Найдите длину отрезка \(ВD\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \(4\sqrt{7}\) см.

В параллелограмме \(АВСD \angle А = 60^\circ\), \(АВ = 2\), \(ВС = 4\). Точки \(М\) и \(N\) - середины сторон \(ВС\) и \(CD\) соответственно. Найдите косинус угла \(MAN\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \(\fraq{5\sqrt{7}}{14}\).

Стороны треугольника длиной 10 см и 42 см образуют угол \(120^\circ\). Найдите длину медианы, проведенной из вершины данного угла.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 19 см.

(опорная). В треугольнике со сторонами \(a\), \(b\), \(c\) медиана, проведенная к стороне \(с\), вычисляется по формуле \($m_{c}$ = \fraq{1}{2}\sqrt{2($а^2$ + $b^2$) - $с^2$}\). Докажите.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Если для медиан треугольника \($m_{a}$\), \($m_{b}$\) и \($m_{c}$\) выполняется равенство \($$m_{a}$^2$ + $$m_{b}$^2$ = 5$$m_{c}$^2$\), то данный треугольник - прямоугольный с гипотену­зой \(с\). Докажите. Верно ли обратное утверждение?

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

В трапеции \(АВСD АD \parallel СВ\), \(АD = 8\) см, \(CD = 4\sqrt{3}\) см. Окружность, проходящая через точки \(А\), \(В\) и \(С\), пересекает отрезок \(АD\) в точке \(K\), причем \(\angle АKВ = 60^\circ\). Найдите \(BK\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 4 см. Указание. Докажите, что \(АВСK\) - равнобокая трапеция, и примените теорему косинусов в треугольнике \(АСD\).

В треугольнике \(АВС \angle А = 60^\circ\), \(\angle С = 45^\circ\), \(ВD = 4\) см - высота треугольника. Найдите длины сторон \(АВ\) и \(ВС\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \(\fraq{8\sqrt{3}}{3}\) см, \(4\sqrt{2}\) см.

На окружности отмечены точки \(А\), \(В\), \(С\) и \(D\) так, что угол \(АВС\) в 3 раза меньше угла \(АDС\). Найдите градусные меры этих углов.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \(45^\circ\) и \(135^\circ\).

С помощью теоремы синусов восстановите отношения синусов углов треугольника \(АВС\) в правой части равенства \(ВС : АС : АВ = ...\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Назовите наибольшую и наименьшую стороны треугольника \(АВС\), если \(\sin{В} > \sin{А} > \sin{С}\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

В треугольнике \(АВС \sin{A} = \sin{С}\). Может ли один из углов \(А\) и \(С\) быть тупым? Есть ли в данном треугольнике равные стороны?

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

В треугольнике \(АВС АВ = 6\), \(ВС = 3\). Возможно ли, что \(\sin{А} = 1\)?

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Начертите равнобедренный треугольник с углом при основании \(30^\circ\). Измерьте длины сторон треугольника и вычислите их отношения к си­нусам противолежащих углов. Сравните полученные результаты.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Начертите окружность радиуса 2 см и впишите в нее треугольник с углом \(30^\circ\). Измерьте сторону, противолежащую этому углу, и сравните ее длину с радиусом окружности. Объясните полученный результат.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

В треугольнике \(АВС\) найдите отношения сторон \(АВ : АС\) и \(ВС : АС\), если \(\angle А = 120^\circ\), \(\angle В = 30^\circ\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 1 и \(\sqrt{3}\).

В треугольнике \(АВС\) найдите: а) сторону \(ВС\), если \(АВ = 2\sqrt{2}\) см, \(\angle В = 105^\circ\), \(\angle С = 30^\circ\); б) угол \(А\), если \(АВ = 4\sqrt{2}\) см, \(ВС = 4\) см, \(\angle С = 45^\circ\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: а) 4 см; б) \(30^\circ\).

В треугольнике \(АВС\) найдите: а) сторону \(AС\), если \(АВ = 6\sqrt{2}\) см, \(\angle В = 30^\circ\), \(\angle С = 45^\circ\); б) угол \(B\), если \(АВ = \sqrt{3}\) см, \(AС = \sqrt{2}\) см, \(\angle С = 60^\circ\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: а) 6 см; б) \(45^\circ\).

В треугольнике \(MNK\) сторона \(MN\) вдвое меньше стороны \(NK\), \(\sin{K} = \fraq{1}{4}\). Найдите угол \(M\). Сколько решений имеет задача?

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \(30^\circ\) или \(150^\circ\).

В треугольнике \(MNK \sin{N} : \sin{K} = 1 : 3\). Найдите сторону \(MN\), если \(MK = 3\) м.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 9 м.