Задачи

Фильтрация

Показать фильтрацию

По классам:

По предметам:

По подготовке:

По классам:

По авторам:

Определите, может ли четырехугольник \(ABCD\) быть выпуклым, если: а) точки \(А\) и \(В\) лежат по разные стороны от прямой \(ВС\); б) прямая \(АВ\) пересекает прямую \(CD\); в) прямая \(AB\) пересекает отрезок \(СD\). Выполните рисунки.

Решение №39272: a) \(ABCD\) не является выпуклым, т.к. находится в разных полуплоскостях относительно прямой, содержащей сторону \(ВС\). Ответ: не может. б) \(ABCD\) выпуклый. Ответ: не может. в) Ответ: может.

Ответ: a) Нет; б) да; в) нет.

Найдите стороны четырехугольника, если его периметр равен \(3\) дм, а одна сторона меньше каждой из трех оставшихся на \(2\) см, \(3\) см и \(5\) см соответственно.

Решение №39273: Дано: \(ABCD\) четырехугольник. \(Р = 3\) дм, \(AB < ВС\) на 2 см; \(AB < CD\) на \(3\) см, \(AB < AD\) на \(5\) см. Найти: стороны \(ABCD\). \(Р= 3 дм = 30 см\); \(BС= AB + 2\); \(CD = AB + 3\) \(AD = AB + 5\); \(P = AB + BC + CD + AD\); \(30 = 4AB + 10\); \(AB = \fraq{30 - 10}{4} = 5 (см) \longrigtarrow BC = 7 см\); \(CD = 8 cм\); \(AD = 10 см\). Ответ: \(5 см\), \(7 см\), \(8 см\), \(10 см\).

Ответ: \(5 см\), \(7 см\), \(8 см\), \(10 см\).

Стороны четырехугольника относятся как \(3 : 4 : 5 : 6\). Найдите периметр четырехугольника, если сумма его наибольшей и наименьшей сторон равна \(18\) см

Решение №39274: Дано: \(ABCD\) четырехугольник. \(AB: BC: CD: AD=3:4:5:6\); \(AB + AD = 18 cм\). Найти: \(Р\). Наименьшая сторона - \(Зх\), наибольшая сторона - \(6х\). \(3x + 6x = 18\); \(9x = 18\); \(x = 2 (см) \longrightarrow AB = 6 см\); \(BC = 8 cм\); \(CD = 10 cм\); \(AD = 12 cм\). \(P=AB + BC + CD+ AD = 6 + 8 + 10 + 12 = 36 (см)\). Ответ: \(36 см\)

Ответ: \(36 см\).

Найдите углы четырехугольника, если один из них вдвое меньше второго, на \(20^\circ\) меньше третьего и на \(40^\circ\) меньше четвертого. Ответ дать в градусах, в порядке возрастания

Решение №39275: Дано: \(ABCD\) - четырехугольник. \(\angle D < \angle A\) в 2 раза; \(\angle D < \angleC\) на \(20^\circ\); \( \angleD < \angle B\) на \(40^\circ\). Найти: углы \(ABCD\). По теореме о сумме угловчетырехугольника: \(\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ\); \(\angle D < \angle A\) в 2 paзa \(\longrightarrow \angle A = 2\angle D\); \(\angle D < \angle C\) Ha. \(20^\circ \longrightarrow \angleD + 20^\circ = \angle C\); \(\angle D < \angle B\) на \(40^\circ \longrightarrow \angle D + 40^\circ = \angle B\); \(2 \angle D + \angle D + 40^\circ + \angleD + 20^\circ + \angle D = 360^\circ\); \(5 \angle D +60^\circ = 360^\circ\); \(\angle D= \fraq{360^\circ - 60\circ}{5} = 60^\circ\); \(\angle A = 120^\circ\) ; \(\angle B = 100^\circ\) ; \(\angle C = 80^\circ\). Ответ: \(60^\circ\), \(80^\circ\), \(100^\circ\), \(120^\circ\).

Ответ: 60;80;100;120

Найдите наименьший угол четырехугольника, если суммы его углов, взятых по три, равны \(240^\circ\), \(260^\circ\) и \(280^\circ\).

Решение №39276: Пусть \(\angle K + \angle L + \angle M = 240^\circ\); \(\angle L + \angle M + \angle N = 260^\circ\); \(\angle M + \angle N + \angle K = 280^\circ\). По теореме о сумме углов четырехугольника: \(\angle K + \angle L + \angle M + \angle N = 360^\circ \Rightarrow \angle N = 360^\circ - 240^\circ = 120^\circ\); \(\angle L = 360^\circ - 260^\circ = 100^\circ; \(\angle K = 360^\circ - 280^\circ = 80^\circ\); \(\angle M = 360^\circ - (\angle N + \angle K + \angle L) = 360^\circ - (120^\circ + 100^\circ + 80^\circ) = 60^\circ\).

Ответ: \(60^\circ\).

Если один из углов выпуклого четырехугольника — острый, то в этом четырехугольнике обязательно есть тупой угол. Докажите.

Решение №39277: Предположим, что в четырехугольнике нет тупого угла, т.е. \(\angle L\), \(\angle N\), \(\angle K \leq 90^\circ\). Тогда сумма всех углов четырехугольника меньше \(360^\circ\), что противоречит теореме о сумме углов четырехугольника. Т.е. предположение неверно \(\Rightarrow\) в четырехугольнике обязательно есть тупой угол.

Ответ: Утверждение доказано.

Один из углов выпуклого четырехугольника равен сумме двух дру­ гих углов. Докажите, что данный угол является тупым.

Решение №39278: Предположим, что \(\angle N\) не является тупым, т.е. \(\angle N \leq 90^\circ \Rightarrow \angle L + \angle M \leq 90^\circ\). \(\angle L + \angle N + \angle M \leq 180^\circ\). По теореме о сумме углов четырехугольников: \(\angle L + \angle N + \angle M + \angle K = 360^\circ\); \(\angle K = 360^\circ - (\angle L + \angle N + \angle M) \geq 360^\circ - 180^\circ = 180^circ\). Но т. к. четырехугольник выпуклый, то \(\angle K\) не может быть \(\geq 180^\circ\). Следовательно, предположение неверно \(\Rightarrow \angle D\) - тупой.

Ответ: Утверждение доказано.

Периметры четырехугольников \(АВСD\) и \(АВСD_{1}\) равны. Может ли один из этих четырехугольников быть выпуклым, а другой — невыпук­лым? Ответ подтвердите рисунком.

Решение №39279: \(ABCD\) - выпуклый; \(ABCD_{1}\) - невыпуклый. \(Р_{АBCD} = P_{ABCD_{1}}\).

Ответ: NaN

Периметр четырехугольника \(АВСD\) равен 23 дм. Найдите длину диагонали \(АС\), если периметр треугольника \(АВС\) равен 15 дм, а пери­метр треугольника \(АDС\) равен 22 дм.

Решение №39280: \(P_{ABC} = AB + BC + AC\); \(P_{ADC} = AD + DC + AC\). Сложим почленно: \(Р_{ABC} + P_{ADC} = (AB + BC + AC) + (AD + DC + AC)\); \(P_{ABC} + P_{ADC} = (AB + BC + DC + AD) + 2AC\); \(P_{ABC} + P_{ADC} = P_{ABCD} + 2AC\); \(15 + 22 = 23 + 2AC\); \(АС = (37 - 23) : 2 = 7\) (дм).

Ответ: 7 дм.

В четырехугольнике три угла равны, а четвертый угол меньше их суммы на \(240^\circ\). Найдите углы четырехугольника.

Решение №39281: Пусть \(\angle D = \angle C = \angle B = x^\circ\). Тогда \(\angle A = 3x^\circ - 240^\circ\). По теореме по сумме углов четырехугольника: \(\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ\); \(3x + 3x - 240^\circ = 360^\circ\); \(6x = 600^\circ\); \(x = 100^\circ \Rightarrow \angle D = \angle B = \angle C = 100^\circ\), a \(\angle A = 60^\circ\).

Ответ: \(100^\circ\), \(100^\circ\), \(100^\circ\), \(60^\circ\).

Докажите, что диагонали выпуклого четырехугольника пересе­каются.

Решение №39282: Предположим, что диагонали \(AC\) и \(BD\) не пересекаются \(\Rightarrow\) точки \(А\) и \(В\) лежат в одной полуплоскости относительно \(BD\). Через точки \(В\) и \(С\) проведём прямую. \(\Rightarrow\) Точки \(А\) и \(D\) лежат в разных полуплоскостях относительно прямой \(ВС\). \(\Rightarrow\) Четырехурольник \(ABCD\) находится в разных полуплоскостях относительно прямой \(BC\). \(\Rightarrow\) \(ABCD\) не является выпуклым четырехугольником \(\Rightarrow\) предположение не верно \(\Rightarrow AC\) и \(BD\) пересекаются.

Ответ: Утверждение доказано.

Докажите, что любой отрезок с концами на сторонах выпукло­го четырехугольника лежит во внутренней области этого четырех­угольника.

Решение №39283: Предположим, что \(KL\) не лежит во внутренней области четырехугольника \(\Rightarrow\) существуют точки \(Е\) и \(F\) - точки пересечения \(KL\) со сторонами \(AD\) и \(CD\) четырехугольника \(ABCD\) и \(EF\) лежит вне четырехугольника \(\Rightarrow\) точки \(А\) и \(В\) лежат в разных полуплоскостях относительно прямой \(CD \Rightarrow\) четырехугольник \(ABCD\) не является выпуклым \(\Rightarrow\) предположение не верно. Следовательно, \(KL\) лежит во внутренней области четырехугольника.

Ответ: Утверждение доказано.

В невыпуклом четырехугольнике \(АВСD\) градусной мерой угла при вершине \(В\) считают градусную меру \(\alpha\) угла \(АВС\), если хотя бы одна из внутренних точек отрезков \(СD\) или \(АD\) лежит во внутренней области угла \(АВС\) (см. рис. ниже), или \((360^\circ - \alpha)\), если ни одна внутренняя точка от­резков \(СD\) и \(АD\) не лежит во внутренней области угла \(АВС\) (см. рис. ниже). Докажите, что сумма углов невыпуклого четырехугольника равна \(360^\circ\).

Решение №39284: \(\angle ABC = 60^\circ\). \(\angle B = 360^\circ - \alpha\) (по определению). Рассмотрим \(\Delta ADC\). По теореме о сумме углов треугольника: \(\angle D + \angle DCA + \angle DAC = 180^\circ\). По аксиоме измерения углов: \(\angle DCA = \angle DCB + \angle BCA\); \(\angle DAC = \angle DAB + \angle BAC \Rightarrow \angle D + (\angle DCB + \angle BCA) + (\angle DAB + \angle BAC) = 180^\circ\) (*). Рассмотрим \(\Delta АВС\). По теореме о сумме углов треугольника: \(\angle BAC + \angle BCA + \angle ABC = 180^\circ \Rightarrow \angle BAC + \angle BCA= 180^\circ - \alpha\). Подставим это выражение в (*): \(\angle D + \angle DCB + \angle DAB + 18^\circ - \alpha = 180^\circ \Rightarrow \angle D + \angle DCB + \angle DAB = \alpha\). Добавим \(\angle B\) к обеим частям равенства \(\Rightarrow \angle D + \angle DCB + \angle DAB + \angle B = \alpha + \angle B\); \(\angle B = 360^\circ - \alpha \Rightarrow \angle D + \angle DCB + \angle DAB + \angle B = \alpha + 360^\circ - \alpha \Rightarrow \angle D + \angle A + \angle B + \angle C = 360^\circ\).

Ответ: Утверждение доказано.

Известно, что \(\Delta KMN = \Delta NРK\) (см. рис. ниже). а) Докажите, что \(МK \parallel NP\). б) Найдите угол \(P\), если \(\angle М = 65^\circ\).

Решение №39285: Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: \(\angle PNK = \angle MKN\); \(\angle M = \angle P\). \(\angle PNK\) и \(\angle MKN\) являются внутренними накрест лежащими при прямых \(NP\) и \(МК \Rightarrow\) по признаку параллельности прямых \(NP \parallel MK\). \(\angle M = \angle P \Rightarrow \angle P = 65^\circ\).

Ответ: а) Утверждение доказано. б) \(65^\circ\).

На рис. 6 \(МК\) = \(PN\), \(\angle MKN = \angle PNK\). а) Докажите, что \(MN \parallel КР\). б) Найдите \(MN\), если \(КР = 14 см\).

Решение №39286: Дано: \(MNPK\) - четырехугольник. \(MK = PN\), \(\angle MKN = \angle PNK\), \(KP = 14 см\). Доказать: \(MN \parallel КР\). Найти: \(MN\). Рассмотрим \(\Delta MKN\) и \(\Delta PNK: NK\) общая; \(MK = NP\); \(\angle NKM = \angle KNP \longrightarrow \Delta MKN = \Delta PNK\) (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон и углов, т.е. \(\angle KNM =\angle NKP\( и \(KP = MN\). \(\angle KNM\) и \(\angle NKP\) являются внутренними накрест лежащими при прямых \(MN\) и \(РК \longrightarrow\) по признаку параллельности прямых \(MN \parallel PK\); \(KP = MN = 14 см\).

Ответ: а) Утверждение доказано. б) 14 см.

Четырехугольник \(ABCD\) — параллелограмм. Назовите: а) сторону, параллельную стороне \(BC\); б) сторону, равную стороне \(CD\); в) угол, равный углу \(А\) .

Решение №39287: Дано: \(ABCD\) параллелограмм. a) \(AD \paralllel BC\) (по определению параллелограмма); б) \(AB = CD\) (по свойству сторон паралле-лограмма); в) \(\angle C = \angle A\) (по свойству углов параллелограмма).

Ответ: a) \(AD\); б) \(AB\); в) \(\angle C\).

Верно ли, что любой параллелограмм имеет: а) два угла, сумма которых равна \(180^\circ\); б) два острых и два тупых угла?

Решение №39288: а) Да, верно. Это соседние углы параллелограмма. 6) Нет, не любой.

Ответ: а) Да; б) Нет.

В параллелограмме \(ABCD\) \(\angle В < \angle С\). Сравните углы \(А\) и \(D\) .

Решение №39289: Дано: \(ABCD\) - параллелограмм. \(\angle B < \angle C\). Сравнить углы \(А\) и \(В\). \(\angle B < \angleC\) и \(\angleB = \angle D\), \(\angle A = \angle C\) (по свойству углов парадлелограмма) \(\longrightarrow \angle D < \angle A\). Ответ: \(\angle D < \angle A\).

Ответ: \(\angle D < \angle A\).

В параллелограмме \(ABCD\) \(АВ + СВ > АВ + ВС\) . Сравните стороны \(ВС\) и \(СD\) .

Решение №39290: Дано: \(ABCD\) - параллелограмм. \(AB +DC > AD + BC\). Сравнить стороны \(BC\) и \(CD\). \(AB = DC\); \(AD = BC\) - по свойствву сторон параллелограмма. \(AB + DC > AD +BC \longrightarrow 2DC > 2BC \longrightarrow DC > BC\). Ответ: \(DC > BC\)

Ответ: \(DC > BC\).

Диагонали параллелограмма \(ABCD\) пересекаются в точке \(О\) (см. рис. 12). Назовите: а) отрезок, который является медианой треугольника \(АСD\); б) треугольник, медианой которого является отрезок \(АО\).

Решение №39291: Дано: \(ABCD\) - параллелограмм. a) \(DO\) - медиана \(\Delta ACD\), т. к. \(АО = ОС\) (по свойству диагоналей параллелограмма); б) \(AO\) медиана \(\Delta DAB\), т.к. \(DO = OB\) (по свойству диагоналей параллелограмма).

Ответ: a) \(DO\); б) \(\Delta DAB\).

Проведите две параллельные прямые. Отметьте на одной из них точки \(А\) и \(D\) и проведите через эти точки две другие параллельные прямые, которые пересекают вторую прямую в точках \(B\) и \(C\) соответственно. а) Объясните, почему четырехугольник /(ABCD\) является параллелограммом. б) Измерьте угол \(A\) параллелограмма \(ABCD\). Используя свойства параллелограмма, найдите градусные меры других его углов. Проверьте полученные результаты измерениями. в) Проведите диагональ \(АС\) и обозначьте ее середину — точку \(О\). С помощью линейки проверьте, принадлежит ли эта точка отрезку \(ВD\).

Решение №39292: a) \(а \parallel b\) (по построению), т. е. \(AD \parallel BC\); \(с \parallel d\) (по построению), т.е. \(AB \parallel DC = ABCD\) - параллелограмм по построению; б) \(\angle A = 64^\circ\). По свойству углов параллелограмма \(\angle A = \angle C\), \(\angle C = 64^\circ\), \( \angle B = \angle D\), \ \angle A\) и \(\angle B\) - соседние, т.е. \(\angle A + \angle B = 180^\circ \longrightarrow \angle B = 116^\circ, \angle D = 116^\circ\). в) Да. \(О \in ВР\).

Ответ: a) \(а \parallel b\) (по построению), т. е. \(AD \parallel BC\); \(с \parallel d\) (по построению), т.е. \(AB \parallel DC = ABCD\) - параллелограмм по построению; б) \(\angle A = 64^\circ\). По свойству углов параллелограмма \(\angle A = \angle C\), \(\angle C = 64^\circ\), \( \angle B = \angle D\), \ \angle A\) и \(\angle B\) - соседние, т.е. \(\angle A + \angle B = 180^\circ \longrightarrow \angle B = 116^\circ, \angle D = 116^\circ\). в) Да. \(О \in ВР\).

Начертите треугольник \(ABD\). Проведите через вершины \(B\) и \(D\) прямые, параллельные сторонам \(АВ\) и \(AD\) соответственно. Обозначьте точку \(С\) — точку пересечения этих прямых. а) Объясните, почему четырехугольник \(ABCD\) является параллелограммом. б) Проведите две высоты параллелограмма из вершины \(B\). Равны ли они? в) Измерьте стороны \(АD\) и \(АВ\) и найдите периметр параллелограмма. Каким свойством параллелограмма вы воспользовались?

Решение №39293: a) \(a \parallel AD\) (по построению), т.е. \(AD \parallel BC\) \(b \parallel AB\) - параллелограмм по определению; б) \(ВВ_{1} и BВ_{2} - высоты; BВ_{1} \neq BВ_{2}; в) \(AD = 5,8 см\); \(AB = 3,3 cм\). По свойству сторон параллелограмма: \(AD = BC\); \(AB = CD = P \longrigtarrow 2(AD + AB) = 18,2 (см)\).

Ответ: a) \(a \parallel AD\) (по построению), т.е. \(AD \parallel BC\) \(b \parallel AB\) - параллелограмм по определению; б) \(ВВ_{1} и BВ_{2} - высоты; BВ_{1} \neq BВ_{2}; в) \(AD = 5,8 см\); \(AB = 3,3 cм\). По свойству сторон параллелограмма: \(AD = BC\); \(AB = CD = P \longrigtarrow 2(AD + AB) = 18,2 (см)\).

Начертите в тетради треугольник и проведите через каждую его вершину прямую, параллельную противолежащей стороне. Сколько параллелограммов образовалось на рисунке? Сколько общих вершин имеют любые два из образовавшихся параллелограммов?

Решение №39294: 1) Три параллелограмма: \(AMNK\), \(NKCM\), \(KMNB\). 2) Две общие вершины.

Ответ: 1) Три параллелограмма: \(AMNK\), \(NKCM\), \(KMNB\). 2) Две общие вершины.

Три параллельные прямые пересекаются с двумя другими параллельными прямыми. Сколько параллелограммов образовалось?

Решение №39295: Три параллелограмма: \(ABDC\), \(CDFE\), \(ABFE\).

Ответ: Три параллелограмма: \(ABDC\), \(CDFE\), \(ABFE\).

Найдите периметр параллелограмма \(АВСD\), если сторона \(АD\) равна 12 см и составляет \(\fraq{2}{3}\) стороны АВ.

Решение №39296: \(AD = \fraq{2}{3}AB \Rightarrow AB = \fraq{3}{2}AD = \fraq{3}{2} \cdot 12 = 18\) (см). По свойству сторон параллелограмма: \(AB = DC = 18\) см, \(BC = AD = 12\) см. \(P = 2(AB + BC) = 2 \cdot (18 + 12) = 60\) (см).

Ответ: 60 см.

Периметр параллелограмма равен 24 см. Найдите стороны паралле­лограмма, если: а) одна из них на 2 см больше другой; б) одна из них в три раза меньше другой; в) сумма трех его сторон равна 17 см.

Решение №39297: а) Т.к. противолежащие стороны параллелограмма равны, то данные стороны могут быть только соседними. Пусть \(KL\) больше \(LM\) на 2 см, т.e. \(KL = LM + 2\). \(KL = MN\), \(LM = KN\) - по свойству сторон параллелограмма. \(P = KL + LM + MN + NK = LM + 2 + LM + LM + 2 + LM\); \(24 = 4LM + 4\); \(LM = (24 - 4) : 4 = 5\) (см). \(LM = KN = 5\) см, \(KL = MN = 7\) cм. б) Т.к. противолежащие стороны параллелограмма равны, то данные стороны могут быть только соседними. Пусть \(LM\) меньшо \(MN\) в 3 раза, т.е. \(MN = 3LM\). \(KL = MN\), \(LM = KN\) - по свойству сторон параллелограмма. \(P = KL + LM + MN + NK = 3LM + LM + 3LM + LM\); \(24 = 8LM \Rightarrow LM = 3 (см) = KN \Rightarrow MN = KL = 9\) (см). в) \(KL + LM + MN = 17\); \(KL + LM + MN + NK = 24 \Rightarrow 17 + NK = 24\), т.e. \(NK = 7\) (см). По свойству сторон параллелограмма: \(NK = LM = 7\) (см); \(KL = MN\); \(LK + LM + MN = 17\); \(2KL + 7 = 17\); \(KL = (17 - 7) : 2 = 5\) (см).

Ответ: а) 5 см, 5 см, 7 см, 7 см; б) 3 см, 9 см, 3 см, 9 см; в) 5 см, 7 см, 5 см, 7 см.

Найдите углы параллелограмма, если: а) один из них равен \(110^\circ\); б) один из них на \(70^\circ\) меньше другого; в) сумма двух его углов равна \(90^\circ\); г) диагональ образует с его сторонами углы \(30^\circ\) и \(45^\circ\).

Решение №39298: a) Пусть \(\angle A = 110^\circ\); \(\angle A = \angle C\); \(\angle B = \angle D\) (по свойству углов параллелограмма) \(\Rightarrow \angle C = 110^\circ\). Поскольку сумма соседних углов \(180^\circ\), то \(\angle A + \angle B = 180^\circ \Rightarrow \angle B = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ\); \(\angle B = \angle D = 70^\circ\). б) Поскольку противолежащие углы равны, то данные углы могут быть только соседними. Пусть \(\angle A\) больше \(\angle B\) на \(70^\circ\), т. е. \(\angle A = х \Rightarrow \angle B = х + 70^\circ\). По свойству соседних углов параллелограмма \(\angle A + \angle B = 180^\circ\); \(x + x + 70^\circ = 180^\circ\); \(2x = 110^\circ\); \(x = 55^\circ\); \(\angle A = 55^\circ \Rightarrow \angle B = 55^\circ + 70^\circ = 125^\circ\). По свойству противолежащих углов: \(\angle C = \angle A\), \(\angle D = \angle B\). в) Поскольку сумма соседних углов \(180^\circ\), то данные углы могут быть только противолежащими. Пусть \(\angle A + \angle C = 90^\circ\). Тогда по свойству углов параллелограмма \(\angle А = \angle C = 90 : 2 = 45^\circ\). \(\angle A\) и \(\angle B\) - соседние \(\Rightarrow \angle A + \angle B = 180^\circ \Rightarrow \angle B = 135^\circ\); \(\angle D = \angle B = 135^\circ\). г) Поскольку \(30^\circ + 45^\circ < 90^\circ\), то диагональ выходит из вершины острого угла. По аксиоме измерения углов \(\angle BAD = \angle BAC + \angle CAD = 30^\circ + 45^\circ = 75^\circ\). \(\angle BAD\) и \(\angle B\) - соседние \(\Rightarrow \angle B + \angle A = 180^\circ \Rightarrow \angle B = 105^\circ\). По свойству углов параллелограмма: \(\angle B = \angle D = 105^\circ\); \(\angle A = \angle C = 75^\circ\).

Ответ: a) \(110^\circ; 70^\circ; 110^\circ; 70^\circ\); б) \(55^\circ; 125^\circ; 55^\circ; 125^\circ\); в) \(45^\circ; 135^\circ; 45^\circ; 135^\circ\); г) \(105^\circ; 75^\circ; 105^\circ; 75^\circ\).

Найдите углы параллелограмма, если: а) один из них прямой; б) градусные меры двух его углов относятся как 2 : 7; в) разность двух его углов равна \(40^\circ\); г) сумма трех его углов равна \(330^\circ\).

Решение №39299: Пусть дан параллелограмм \(ABCD\). a) Пусть \(\angle A\) - прямой. Тогда по свойству углов параллелограмма \(\angle C = \angle A = 90^\circ\). Поскольку сумма двух соседних углов равна \(180^\circ\), то \(\angle A + \angle B = 180^\circ \Rightarrow \angle B = 90^\circ\). \(\angle B = \angle D = 90^\circ\). б) Поскольку противолежащие углы параллелограмма равны, то данные углы могут быть только соседними. T.e. \(\angle A : \angle B = 2 : 7 \Rightarrow\) если градусная мера \(\angle A = 2х\), то градусная мера \(\angle В = 7х\). T.к. \(\angle A\) и \(\angle B\) соседние, то \(\angle А + \angle B = 180^\circ\); \(2x + 7x = 180^\circ\); \(x = 180 : 9 = 20^\circ \Rightarrow \angle A = 40^\circ\); \(\angle B = 140^\circ\). По свойству противолежащих углов параллелограмма \(\angle C = \angle A = 40^\circ\); \(\angle B = \angle D = 140^\circ\). в) Т.к. противолежащие углы параллелограмма равны, то данные углы - соседние. Пусть \(\angle B - \angle A = 40^\circ \Rightarrow \angle B = \angle A + 40^\circ\). Сумма соседних углов \(180^\circ\), т.e. \(\angle B + \angle A = 180^\circ\); \(2\angle A + 40^\circ = 180^\circ\); \(\angle A = 70^\circ\). По свойству углов параллелограмма \(\angle C = \angle A = 70^\circ\); \(\angle B = \angle D = 110^\circ\). г) Пусть \(\angle A + \angle B + \angle C = 330^\circ\). По теореме о сумме углов четырехугольника \(\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ \Rightarrow \angle D = 360^\circ - (\angle A + \angle B + \angle C) = 30^\circ\). T.к. сумма соседних углов равна \(180^\circ\), то \(\angle D + \angle A = 180^\circ \Rightarrow \angle A =150^\circ\). По свойству углов параллелограмма \(\angle A = \angle C = 150^\circ\); \(\angle B = \angle D = 30^\circ\).

Ответ: a) \(90^\circ; 90^\circ; 90^\circ; 90^\circ\); б) \(40^\circ; 140^\circ; 40^\circ; 140^\circ\); в) \(70^\circ; 110^\circ; 70^\circ; 110^\circ\); г) \(30^\circ; 150^\circ; 30^\circ; 150^\circ\).

Точка пересечения диагоналей параллелограмма удалена от двух его вершин на 5 см и 8 см. Найдите длины диагоналей параллелограмма.

Решение №39300: Пусть дан параллелограмм \(ABCD\). T. \(O\) - пересечение его диагоналей. \(\Rightarrow\) т. \(О\) удалена на 5 cм и 8 см от двух соседних вершин. Пусть это вершины \(В\) и \(С\), т.е. \(BO = 5\) cм, \(CO = 8\) см. По свойству диагоналей параллелограмма \(AO = ОС\); \(BO = OD\). T.к. \(DO = BO = 5\) см, a \(AO = CO = = 8\) см \(\Rightarrow BD = 10\) см, \(AC = 16\) см.

Ответ: 16 см и 10 см.

В четырехугольнике \(АВСD\) \(АВ \parallel СD\), \(\angle АDВ = \angle CBD\). Докажите по определению, что \(АВСD\) — параллелограмм.

Решение №39301: \(\angle ADB\) и \(\angle CBD\) являются внутренними накрест лежащими при прямых \(AD\) и \(ВС\) и секущей \(BD\). T.к. \(\angle ADB = \angle CBD\), то \(AD \parallel ВС\) по признаку параллельных прямых. \(AB \parallel CD\) по условию. Т.е. в четырехугольнике \(ABCD\) противолежащие стороны попарно параллельны \(\Rightarrow ABCD\) - параллелограмм по определению.

Ответ: Утверждение доказано.

В четырехугольнике \(VХУZ\) \(VХ \parallel YZ\), \(\angle V + \angle X = 180^\circ\). Докажите по определению, что \(VХУZ\) — параллелограмм.

Решение №39302: \(\angle V\) и \(\angle X\) являются внутренними односторонними при прямых \(XY\) и \(VZ\) и секущей \(VX\). T.к. \(\angle V + \angle X = 180^\circ\), то прямые \(XY\) и \(VZ\) параллельны по признаку параллельных прямых. \(VX \parallel YZ\) - по условию. В четырехугольнике \(VXYZ\) противолежащие стороны попарно параллельны. \(\Rightarrow VXYZ\) - параллелограмм по определению.

Ответ: Утверждение доказано.

На плоскости даны три точки, не лежащие на одной прямой. По­стройте параллелограмм, тремя вершинами которого являются данные точки. Сколько решений имеет задача?

Решение №39303: Решение 1 Параллелограмм со сторонами \(АС\) и \(АВ\). 1) Проведем \(а \perb AB\), \(b \perb a\), причем т. \(C \in b\). 2) Проведем \(c \perb AC\), \(d \perb c\), причем т. \(B \in d\) \(b \cap d = D \Rightarrow ABCD\) - параллелограмм по определению. Решение 2 Параллелограмм со сторонами \(АВ\) и \(ВС\). 1) Проведем \(а \perb BC\), \(b \perb a\), причем т. \(A \in b\). 2) Проведем \(c \perb AB\), \(d \perb c\), причем т. \(C \in d\). \(b \cap d = D \Rightarrow ABCD\) - параллелограмм по определению. Решение 3 Параллелограмм со сторонами \(АС\) и \(СВ\). 1) Проведем \(а \perb AC\), \(b \perb a\), причем т. \(B \in b\). 2) Проведем \(c \perb CB\), \(d \perb c\), причем т. \(A \in d\). \(b \cap d = D \Rightarrow ABCD\) - параллелограмм по определению.

Ответ: 3 решения.

Сколько различных параллелограммов можно образовать из двух равных разносторонних треугольников, прикладывая их друг к другу?

Решение №39304: 1. Прикладывая сторонами \(ВС\) и \(В_{1}С_{1}\). 2. Прикладывая сторонами \(АВ\) и \(A_{1}B_{1}\). 3. Прикладывая сторонами \(АС\) и \(A_{1}С_{1}\).

Ответ: Три.

Периметр параллелограмма \(АВСD\) равен 14 дм, а периметр тре­угольника \(АВС\) — 10 дм. Найдите длину диагонали \(АС\).

Решение №39305: \(P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD\). По свойству сторон параллелограмма \(АВ = CD\); \(BC = AD \Rightarrow P_{ABCD} = (AB + BC) \cdot 2 \Rightarrow AB + BC = 14 : 2 \Rightarrow AB + BC = 7\) (дм). \(P_{ABC} = AB + BC + AC\); \(7 + AC = 10 \Rightarrow АС = 3\) (дм).

Ответ: 3 дм.

Сумма трех сторон параллелограмма равна \(15\) м, а сумма трех других его сторон — \(18\) м. Найдите периметр параллелограмма.

Решение №39306: Дано: параллелограмм; сумма трех его сторон \(15 м\), сумма трех других \(18 см\). Найти:\(Р_{KLMN}\) Пусть дан параллелограми \(KLMN\); \(KL + LM + MN = 15 cм\); \(MN + LM + NK = 18 см\). По свойству сторон параллелограмма \(KL = MN\); \(LM = KN \lobgrightarrow 2MN + LM = 15\); \(MN + 2LM = 18\). Прибавим почленно два выражения \(\longrightarrow 3MN + 3ML = 33 \longrightarrow MN + ML = 11 (м.)\). \(P_{KLMN} = KL + LM + MN + NK\), т.к. \(KL = MN\) и \(LM = KN\), то \(P_{KLMN} = (MN + MI) \cdot 2= 22 (M)\). Ответ: \(22 м\).

Ответ: 22 м.

Найдите углы параллелограмма, если: а) биссектриса одного из его углов пересекает сторону под углом \(35^\circ\); б) высота параллелограмма образует с одной из его сторон угол \(42^\circ\).

Решение №39307: a) \(CF - биссектриса \angle C\); \(\angle CFD = 35^\circ\); б) \(BH\) - высота; \(\angle АВН = 42^\circ\). Найти: углы параллелограмма. a) \(AD \parallel ВC\) (по определению параллелограмма). \(CF\) - секущая \(\longrightarrow \angle BCF = \angle CFD\) (как внутренние накрест лежащие) \(\longrightarrow \longrightarrow \angle BCF = 35^\circ\) Т.к. \(CF\) - биссектриса \(\angleC\), то \(\angle C = 2\angle BCF = 70^\circ\) \(\angle C\) и \(\angle D\) - соседние \(\longrightarrow \angle C + \angleD = 180^\circ \longrightarrow \angle D = 110^\circ\). По свойству углов параллелограмма \(\angle C = \angle A = 70^\circ\); \(\angle B = \angle D = 110^\circ\). б) Рассмотрим \(\Delta ABH\): по теореме о сумме углов треугольника \(\angle A + \angle ABH +\angle BHA = 180^\circ\); \(\angle A + 42^\circ + 90^\circ = 180^\circ \longrightarrow \angle A = 48^\circ. \(\angle A\) и \(\angle ABC\) - соседние \longrightarrow \angle A + \angle ABC = 180^\circ \longrightarrow \angle ABC = 132^\circ\). По свойству углов параллелограмма: \(\angle C = \angle A = 48^\circ\); \(\angle B = \angle D = 132^\circ\).

Ответ: a) \(70^\circ\); \(110^\circ\); \(70^\circ\); \(110^\circ\); б) \(48^\circ\); \(132^\circ\); \(48^\circ\); \(132^\circ\).

Найдите углы параллелограмма, если: а) все его стороны равны, а диагональ образует с одной из сторон угол \(25^\circ\); б) высота параллелограмма, проведенная из вершины тупого угла, делит данный угол в отношении \(1:3\).

Решение №39308: а) Дано: \(ABCD\) - параллелограмм; \(AB = BC = CD = AD\); \(\angle BAC = 25^\circ\) Найти: углы параллелограмма. Рассмотрим \(\Delta ABC\) и \(\Delta ADC : AB = AD\), \(BC = CD\), \(AC\) - общая \(\longrightarrow \Delta ADC = \Delta ABC\) по трем сторонам. \(\Delta ABC\) \(\Delta ADC\) - равнобедренные (по определению) \(\longrightarrow \angle BAC = \angle BCA\); \(\angle CAD = \angle ACD\). Из равенства треугольников \(\Delta ABC\) и \(\Delta ADC\) следует равенство соответствующих)углов \(\longrightarrow \angle BAC = \angle ACD\); \(\angle BCA = \angle CAD\ \longrightarrow \angle BAC = \angle CAD\). T. e. \(\angle BAD = \angle BAC \cdot 2 = 50^\circle\). Поскольку \(\angle A и \angle B\) - соседние, то \(\angle A + \angle B = 180^\circ \longrightarrow \angle В= 130^\circ\). По свойству углов параллелограмма \(\angle A = \angle C = 50^\circ\); \(\angle B = \angle D = 130^\circ\). б) Дано: \(KLMN\) - параллелограмм; \(LH\) - высота. \(\angle KLH : \angle HLM=1:3\). Найти: углы параллелограмма. \(LH\) - высота \(\longrightarrow \angle LHN = \angle HLM = 90^\circ\). Пусть градусная мера \(\angle KLH = х\), тогда градусная мера \(\angle HLM = 3х\). T.к. \(\angle HLM = 90^\circ\) то \(3x = 90^\circ\); \(х = 30^\circ\). T. e. \(\angle KLH = 30^\circ\). По теореме о сумме углов треугольника: в \(\Delta KLH: \angle LKH + \angle KLH+\angle LHK= 180^\circ \longrightarrow \angle K = 60^\circ\). Поскольку \(\angle K\) и \(\angle L\) - соседние, то \(\angle K + \angle L = 180^\circ \longrightarrow \angle L = 120^\circ\). Пo свойству углов параллелограмма \(\angle K = \angle M = 60^\circ\); \(\angle L = \angle N = 120^\circ\).

Ответ: а) \(130^\circ\); \(50^\circ\); \(130^\circ\); \(50^\circ\); б) \(60^\circ\); \(120^\circ\); \(60^\circ\); \(120^\circ\).

Биссектриса угла \(В\) параллелограмма \(ABCD\) делит сторону \(ВС\) в отношении \(1 : 4\), начиная от точки \(В\). Найдите периметр параллелограмма, если \(ВС = 15 см\). Сколько решений имеет задача? Ответ обоснуйте.

Решение №39309: Дано: \(ABCD\) - параллелограмм; \(DF\) - биссектриса \(\angle D\). \(BF: FC = 1 : 4\); \(BC = 15 см\). Найти: \(P_{ABCD}\) Пусть \(BF = х\) см, тогда \(FC = 4х\) см \(\longrightarrow BC = BF + FC = 5x\), т. к. \(5x = 15 \longrightarrow x = 3 (см) \longrightarrow FC = 12 см\). \(BC \paralle AD\) (по определению параллелограмма), \(FD\) секущая, \(\angle CFD\) и \(\angle FDA\) - внутренние накрест лежащие \(\longrightarrow \angle CFD = \angleFDA\) (по свойству углов при параллельных прямых) \(\longrightarrow \Delta FCD\) - равнобедренный по признаку равнобедренного треугольника. T.e. \(FC = CD = 12 см.\) По свойству сторон параллелограмма \(AB = CD = 12 см\); \(BC = AD = 15 см\). \(P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD = 54 (см)\). Ответ: \(54 см\).

Ответ: 54 см.

Биссектриса угла параллелограмма делит его сторону на отрезки длиной \(5\) см и \(6\) см. Найдите периметр параллелограмма. Сколько решений имеет задача?

Решение №39310: Дано: параллелограмм, биссектриса делит сторону на отрезки длиной \(5 см\) и \(6 см\). Найти: периметр. Сколько решений имеет задача? Пусть дан параллелограмм \(ABCD\); \(BF\) - биссектриса. Возможны два случая: 1) \(AF = 5 cм\); \(FD = 6 см\); 2) \(AF = 6 cм\); \(FD = 5 cм\). \(\angle AFB = \angle FBC\) как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых \(AD\) и \(ВС\) и секущей \(BF\). \(BF\) - биссектриса \(\angle B = \angle ABF = \angle CBF\). равнобедренный по признаку равнобедренного треугольника \(\ АВ = AF. AD = AF + FD = 11 см\). 1) \(AF = АВ = 5 см\). По свойству сторон параллелограмма \(AB = CD = 5 cм\), \(AD = BC = 11 cм\).(P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD = 32 см\) 2) \(AF = 6 см \longrightarrow AB = 6 см\). По свойству сторон параллелограмма \(АВ = DC = 6 см\), \(AD = ВC = 11 см\). \(P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD = 34 см\). Если биссектриса проведена из вершины тупого угла, получим те же случаи. Ответ: \(32 см\) и \(34 см\). Два случая.

Ответ: \(32 см\) и \(34 см\). Два случая.

Любой отрезок с концами на противолежащих сторонах параллелограмма, проходящий через точку пересечения его диагоналей, делится этой точкой пополам. Докажите.

Решение №39311: Дано: \(KLMN\) - параллелограмм; т. \(O\) - пересечение его диагоналей. \(АВ\) - отрезок: т. \(O \in AB\); \(A \in LM\); \(B \in KN\). Доказать: \(АО = ОB\). Рассмотрим \(\Delta КОВ\) и \(МОA: КО = ОМ\) (по свойству диагоналей параллелограмма). \(\angle KOB = \angle MOA\) (как вертикальные), \(\angle AMO = \angle BKO\) (как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых \(LM\) и \(KN\) и секущей \(КМ\)) \(\longrightarrow \Delta КОВ = \Delta МОА\) по стороне и прилежащим к ней углам. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих элементов: \(АO = OB\), т.е. т. \(О\) - середина \(АВ\).

Ответ: Утверждение доказано.

Из вершин тупых углов \(B\) и \(D\) параллелограмма \(ABCD\) проведены перпендикуляры \(ВА_{1}\) и \(DC_{1}\) к сторонам \(AD\) и \(BC\) соответственно. Докажите, что четырехугольник \(А_{1}ВС_{1}В\) — параллелограмм,

Решение №39312: Дано: \(ABCD\) параллелограмм; \(BA_{1} \perp AD\); \(DC_{1} \perp BC\). Доказать: \(A_{1}BC_{1}D\) - параллелограмм. \(AD \parallel ВС\) по определению параллелограмма. \(DC_{1} \perp BC \longrightarrow DC_{1} \perp AD. BA_{1} \perp AD; DC_{1} \perp AD \longrightarrow BA_{1} \parallel DC_{1}\) по свойству двух прямых, перпендикулярных третьей. T.e. \(A_{1}D \parallel BC_{1}\) и \(BA_{1} \parallel DC_{1} \longrightarrow A_{1}BC_{1}D\) - параллелограмм по определению.

Ответ: Утверждение доказано.

По данным рис. 14 докажите, что четырехугольник \(ABCD\) — параллелограмм.

Решение №39313: Дано: \(ABCD\) - четырехугольник; \(ME \in AB\); \(N \in BC\); \(K \in CD\); \(P \in AD\); \(\angle MKD= \angle BMK; \angle CNP = \angle NPA\). Доказать: \(ABCD\) - параллелограмм. \(\angle BMK = \angle MKD\) и являются внутренними накрест лежащими при прямых \(АВ\) и \(CD\) и секущей \(МК \longrightarrow AB \parallel CD\) по признаку параллельности прямых. \(\angle CNP = \anglr APN\) и являются внутренними накрест лежащими при прямых \(ВС\) и \(AD\) и секущей \(NP, \longrightarrow AD \parallel ВC\) по признаку параллельных прямых. \(AB \parallel CD\) и \(AD \parallel BC \longrightarrow ABCD\) - параллелограмм по определению.

Ответ: Утверждение доказано.

Через точку, принадлежащую стороне равностороннего треугольника, проведены прямые, параллельные двум другим его сторонам. Определите периметр образовавшегося параллелограмма, если периметр треугольника равен \(18 см\).

Решение №39314: Дано: \(\Delta ABC\)- равносторонний. \(K \in BC; KL \parallel AC; AB \parallel КМ. P_{ABC} = 18 см\). Найти: \(P_{ALKM}\) \(\Delta АВС\) - равносторонний \(\longrightarrow \angle A = \angle B = \angle C\). \(\angle AC \longrightarrow \angle BLK = \angle А\) как соответственные при \(LK \parallel AC\) и секущей \(AB\); \(\angle BKL = \angle C\) как соответсвенные три \(LK \parallel AC\) и секущей \(ВС \longrightarrow \Delta LBK\) и \(\Delta MKC\) - равносторонние = \(BK = LK\); \(КС = КМ\). По свойству сторон параллелограмма \(LK = AM; KM = AL\). \(P_{ALKM} = LK + KM + AM + AL = 2(LK +KM) =2(BK + KC) = 2BC\). Т. к. \(\Delta ABC\) - равносторонний, то \(P_{ABC} = 3 AB = 18 см \longrightarrow BC = AB = АС = 6 (см) \longrightarrow P_{ALKM} = 12 (см)\). Ответ: \(12 см\).

Ответ: \(12 см\).

В параллелограмме \(ABCD\) биссектрисы углов \(А\) и \(D\) делят сторону \(ВС\) на отрезки длиной \(5 см\), \(3 см\) и \(5 см\). Найдите периметр параллелограмма. Сколько решений имеет задача?

Решение №39315: Дано: \(ABCD\) - параллелограмм. Биссектрисы углов \(А\) и \(D\) делят \(ВС\) на отрезки \(5 см\), \(3 см\), \(5 см\). Найти: \(Р\). \(BC \parallel AD; АЕ\) - секущая \(\longrightarrow \angle EAD= \angle BEA\) (как внутренние накрест лежащие). \(BC \parallel AD; DF\) - секущая \(\longrightarrow \angle DFC= \angle FDA\) (как внутренние накрест лежащие). \(AE\) - биссектриса \(\angle A \longrightarrow \angle BAE = \angle EAD, \longrightarrow \angle BAE = \angle BEA, \longrightarrow \Delta ABE\) - равнобедренный по признаку равнобедренного треугольника \(\longrightarrow АВ = ВЕ\). \(DF\) - биссектриса \( \angle D \longrightarrow \angle FDC= \angle FDA \longrightarrow \angle DFC = \angle FDC, \longrightarrow \Delta FCD\) - равнобедренный по признаку равнобедренного треугольника. \(\longrightarrow FC = CD\). Случай 1: \(BE = FE + FE = 8см\) \(AB = BE = 8 см\) \(BC = BF + FE + EC = 13 см\) Случай 2: \(DE = 5 см\) \(AB = BE = 5 см\) \(BC = BE + EF + FC = 13 см\) По свойству сторон параллелограмма \(AB = DC\); \(BC = AD\). \(P_{ABCD} = AB + BC + DC + AD = 2(AB + BC)\). Случай 1: \(P = 2 \cdot (8 + 13) = 42 см\) Случай 2: \(P = 2 \cdot (5+13) = 36 см\). Ответ: \(42 см\) или \(36 см\). Два случая.

Ответ: \(42 см\) или \(36 см\). Два случая.

Найдите углы параллелограмма, если его диагональ перпендикуляр­на одной из сторон и равна половине другой стороны.

Решение №39316: Рассмотрим \(\Delta KLM (\angle L = 90^\circ)\): катет \(LN\) равен \(\fraq {1}{2}KN\), \(KN\) - гипотенуза \(\Rightarrow \angle K = 30^\circ\). \(\angle K\) и \(\angle L\) - соседние углы параллелограмма, т.е. \(\angle K + \angle L = 180^\circ \Rightarrow \angle L = 150^\circ\). По свойству углов параллелограмма: \(\angle K = \angle M = 30^\circ\), \(\angle L = \angle N = 150^\circ\).

Ответ: \(30^\circ; 150^\circ; 30^\circ; 150^\circ\).

Найдите углы параллелограмма, который делится диагональю на два равнобедренных прямоугольных треугольника (рассмотрите два случая).

Решение №39317: Случай 1 \(\Delta ABD (\Delta ABD = 90^\circ)\): \(AB = BD \Rightarrow \angle BAD = \angle BDA\) (по свойству равнобедренного треугольника). Поскольку сумма углов треугольника \(180^\circ\), то \(\angle BAD = (180^\circ - 90^\circ) : 2 = 45^\circ\). \(\angle BAD\) и \(\angle ABC\) - соседние углы параллелограмма, \(\Rightarrow \angle BAD + \angle ABC = 180^\circ\), \(\Rightarrow \angle АВС = 135^\circ\). По свойству углов параллелограмма \(\angle A = \angle C\); \(\angle B = \angle D\), т.e. \(\angle C = 45^\circ\); \(\angle D = 135^\circ\). Случай 2 \(\angle C = 90^\circ\). Поскольку сумма соседних углов параллелограмма \(180^\circ\), то \(\angle D = 90^\circ\). По свойству углов параллелограмма \(\angle C = \angle A = 90^\circ\); \(\angle B = \angle D = 90^\circ\).

Ответ: Случай 1: \(45^\circ; 35^\circ; 45^\circ; 135^\circ\). Случай 2: все по \(90^\circ\).

(опорная). Биссектрисы двух соседних углов параллелограмма перпендикулярны, а биссектрисы двух противолежащих углов парал­лельны или лежат на одной прямой. Докажите.

Решение №39318: Дано: \(ABCD\) параллелограмм. Доказать: 1 биссектрисы \(\angle A\) и \(\angle В\) перпендикулярны; 2) биссектрисы \(\angle В\) и \(\angle D\) - параллельны или совпадают. 1) Пусть биссектрисы углов \(А\) и \(В\) пересекаются в т. \(К\). T. к. \(АК\) - биссектриса \(\angle A\), то \(\angleBAK = \fraq{1}{2} \angle A\); \(ВК\) -биссектриса \(\angle B\), то \(\angle ABK = \fraq{1}{2}\angle B\). Поскольку \(\angle A\) и \(\angle B\) - соседние углы параллелограмма, то \(\angle А + \angle B = 180^\circ\). \(\fraq{1}{2} \angle A + \fraq{1}{2} \angle B = \fraq{1}{2} (\angle A = \angle B) = \fraq{1}{2}(\angle A + \angle B\) = \fraq{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ\) т.е. \(\angle BAK + \angle ABK = 90^\circ\) Рассмотрим \(\Delta ABK\): по теореме о сумме углов треугольника: \(\angle ABK + \angle BKA + \angle KAB = 180^\circ, 90^\circ + \angle BKA = 180^\circ \longrightarrow \angle BKA = 90^\circ\), т. e. \(BK \perp AK\) 2) По свойству углов параллелограмма \(\angle B = \angle D\). \(BK\) биесектриса \(\angle B\); \(DE\) биесектриса \(\angle D \longrightarrow \angle ABK = \angle KBC = \angle EDC = \angle EDA. BC\parallel AD, DE\) - секущая, \(\longrightarrow \angle EDA = \angle CED\) - как внутренние накрест лежащие. \(\longrightarrow \angle CED = \angle CBK\). \(\angle CED\) и \(\angle CBK\) являются соответственными при прямых \(ВК\) и \(DE\) и секущей \(BC\). T. к. \(\angle CED = \angle CBK\), то \(BK \parallel DE\) по признаку параллельных прямых. Биссектрисы углов \(В\) и \(D\) совпадут тогда и только тогда, когда диагональ \(BD\) является биссектрисой угла \(В\).

Ответ: Утверждение доказано.

(опорная). Угол между высотами параллелограмма, проведен­ными из одной вершины, равен углу параллелограмма при соседней вершине. Докажите.

Решение №39319: Рассмотрим четырехугольник \(BH_{1}DH_{2}\): по теореме о сумме углов четырехугольника \(\angle H_{1}BH_{2} + \angle BH_{2}D + \angle D + \angle BH_{1}D = 360^\circ\), т. к. \(ВН_{1}\) и \(ВН_{2}\) - высоты, то \(\angle BH_{1}D = \angle BH_{2}D = 90^\circ\), \(\Rightarrow \angle H_{1}BH_{2} + 90^\circ + \angle D + 90^\circ = 360^\circ\); \(\angle H_{1}BH_{2} + \angle D = 180^\circ\), \(\Rightarrow \angle H_{1}BH_{2} = 180^\circ - \angle D\). \(\angle A и \angle D\) - соседние углы параллелограмма, \(\Rightarrow \angle A + \angle D = 180^\circ\), \(\Rightarrow 180^\circ - \angle D = \angle A\). \(\Rightarrow \angle H_{1}BH_{2} = 180^\circ - \angle D = \angle A\).

Ответ: Утверждение доказано.

Если диагональ делит четырехугольник на два равных треугольника, то такой четырехугольник является параллелограммом. Верно ли это утверждение? Ответ обоснуйте.

Решение №39320: Утверждение не верно. Напр., на рис. \(\Delta АВС = \Delta ADВ\), но четырехугольник \(ABCD\) не является параллелограммом (его стороны попарно непараллельны).

Ответ: Нет.

Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то все его сто­ роны равны. Докажите. Сформулируйте и докажите обратное утвер­ ждение.

Решение №39321: Рассмотрим \(\Delta AОВ\), \(\Delta CОВ\), \(\Delta COD\) и \(\Delta AОD\): \(\angle AOB = \angle DOA = \angle DOC = \angle BOC = 90^\circ\) (т. к. \(BD \perb AC\)). \(AO = OC\), \(CO = OD\) по свойству диагоналей параллелограмма \(\Rightarrow \Delta АОВ = \Delta CОВ = \Delta COD = \Delta AОD\) по двум катетам. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон, т. e. \(AB = BC = CD = AD\). Обратное утверждение: если все стороны параллелограмма равны, то его диагонали перпендикулярны. Рассмотрим \(\Delta АОВ\) и \(\Delta СОВ\): \(АО = ОС\) (по свойству диагоналей параллелограмма), \(BO\) - общая, \(АВ = ВС \Rightarrow \Delta AОВ = \Delta СОВ\) по трем сторонам. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов \(\Rightarrow \angle BOA = \angle BOC\). \(\angle BOA\) и \(\angle BOC\) - смежные, \(\Rightarrow \angle BOA + \angle BOC = 180^\circ \Rightarrow \angle BOA = \angle BOC = 90^\circ \Rightarrow BD \perb AC\).

Ответ: Утверждение доказано.

Докажите, что прямая, проходящая через середины боковых сторон равнобедренного треугольника, параллельна его основанию.

Решение №39322: \(\Delta АВС\) - равнобедренный \((AB = ВС) \Rightarrow \angle A = \angle C\) (по свойству равнобедренного треугольника). \(E\) - середина \(AB \Rightarrow AE = EB\); \(F\) - cepeдина \(BC \Rightarrow BF = FC\). T. к. \(AB = BC\), то \(AE = EB = BF = FC\), \(\Rightarrow \Delta EBF\) - равнобедренный по определению. \(\Rightarrow \angle BEF = \angle BFE\) (по свойству равнобедренного треугольника). В \(\Delta АВС\) по теореме о сумме углов треугольника \(\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ\); \(\Rightarrow \angle A = (180^\circ - \angle B) : 2\). B \(\Delta EBF\) по теореме о сумме углов треугольника \(\angle BEF + \angle B + \angle BFE = 180^\circ \Rightarrow \angle BEF = (180^\circ - \angle B) : 2\). T. e. \(\angle BEF = \angle A\). \(\angle BEF\) и \(\angle A\) являются соответственными при прямых \(АС\) и \(EF\) и секущей \(AB\), \(\Rightarrow AC \parallel EF\) по признаку параллельных прямых.

Ответ: Утверждение доказано.

В четырехугольнике \(АВСD\) \(АВ = СD\). Какие соотношения необхо­димо добавить к условию, чтобы по данным задачи доказать, что четы­рехугольник \(АВСD\) - параллелограмм? Выскажите предположение.

Решение №39323: Предположения: 1) \(AB = CD\), \(AB \parallel CD \Rightarrow ABCD\) - параллелограмм. 2) \(AB = CD\); \(BC = AD \Rightarrow ABCD\) - параллелограмм.

Ответ: Предположения: 1) \(AB = CD\), \(AB \parallel CD \Rightarrow ABCD\) - параллелограмм. 2) \(AB = CD\); \(BC = AD \Rightarrow ABCD\) - параллелограмм.

Диагонали четырехугольника \(DEFK\) пересекаются в точке \(O\), причем \(DО = ОF\), \(ЕО = ОК\). Назовите параллельные стороны четырехуголь­ника и объясните, почему они параллельны.

Решение №39324: \(DE \parallel FK\) и \(EF \parallel DK\), т. к. \(DEFK\) - параллелограмм по признаку о диагоналях. Из определения параллелограмма следует \(DE \parallel FK\) и \(EF \parallel DK\).

Ответ: \(DE \parallel FK\) и \(EF \parallel DK\), т. к. \(DEFK\) - параллелограмм по признаку о диагоналях. Из определения параллелограмма следует \(DE \parallel FK\) и \(EF \parallel DK\).

В четырехугольнике \(KLMN\) \(KL \parallel MN\) и \(KL = MN\). Назовите рав­ные углы четырехугольника и объясните, почему они равны.

Решение №39325: \(KLMN\) - параллелограмм по признаку о двух сторонах. По свойству углов параллелограмма \(\angle K = \angle M\), \(\angle L = \angle N\).

Ответ: \(KLMN\) - параллелограмм по признаку о двух сторонах. По свойству углов параллелограмма \(\angle K = \angle M\), \(\angle L = \angle N\).

В четырехугольнике \(PRSQ\) \(РR = SQ\) , \(PQ = RS\) . Найдите сумму углов \(R\) и \(S\).

Решение №39326: Дано: \(PQRS\) - четырехугольник; \(PQ = RS\); \(QR = PS\). Найти: \(\angle R+ \angle S\). \(PQ = RS\); \(QR= PS \longrightarrow PQRS\) - параллелограмм по признаку о противолежащих сторонах. \(\angle R\) и \(\angle S\) - соседние углы параллелограмма \(\longrrightarrow \angle R + \angle S = 180^\circ\).

Ответ: \(180^\circ\).

В четырехугольнике \(ABCD\) \(AB \parallel CD\). Какое соотношение между сторонами четырехугольника необходимо добавить к условию задачи, чтобы доказать, что \(ABCD\)— параллелограмм? Приведите все возможные варианты ответа.

Решение №39327: \(ABCD\) - четырехугольник.\(AB \parallel CD\) 1) \(AB \parallel CD\) и \(BC \parallel AD \longrightarrow ABCD\) - параллелограмм по определению. 2) \(AB \parallel CD\) и \(AB = CD = ABCD\) - параллелограмм по признаку.

Ответ: \(ABCD\) - четырехугольник.\(AB \parallel CD\) 1) \(AB \parallel CD\) и \(BC \parallel AD \longrightarrow ABCD\) - параллелограмм по определению. 2) \(AB \parallel CD\) и \(AB = CD = ABCD\) - параллелограмм по признаку.

В четырехугольнике \(ABCD\) \(\angle А = 30^\circ\), \(\angle С = 50^\circ\). Может ли данный четырехугольник быть параллелограммом? Какая особенность параллелограмма (свойство или признак) используется для решения этой задачи?

Решение №39328: Дано: \(ABCD\) - четырехугольник. \(\angle A = 30^\circ\); \(\angle C = 60^\circ\). Данный четырехугольник не может быть параллелограммом, т. к. противолежащие углы \(ABCD\) не равны. Противоречит свойству параллелограмма - необходимому условию.

Ответ: Дано: \(ABCD\) - четырехугольник. \(\angle A = 30^\circ\); \(\angle C = 60^\circ\). Данный четырехугольник не может быть параллелограммом, т. к. противолежащие углы \(ABCD\) не равны. Противоречит свойству параллелограмма - необходимому условию.

Поставьте вместо точек слова «необходимо», «достаточно» или «необходимо и достаточно», чтобы полученное утверждение было верным: а) для того чтобы четырехугольник был параллелограммом, ..., чтобы его диагонали точкой пересечения делились пополам; б) для того чтобы два угла были смежными, ..., чтобы их сумма была равна \(180^\circ\); в) для того чтобы прямые \(AB\) и \(CD\) были параллельными, ..., чтобы четырехугольник \(ABCD\) был параллелограммом

Решение №39329: a) Для того, чтобы четырехугольник был параллелограммом, необходимо и достаточно, чтобы его диагонали точкой пересечения делились пополам. б) Для того, чтобы два угла были смежными, необходимо, чтобы их сумма была равна \(180^\circ\) в) Для того, чтобы прямые \(АВ\) и \(CD\) были параллельными, достаточно, чтобы четырехугольник \(ABCD\) был параллелограммом.

Ответ: a) Для того, чтобы четырехугольник был параллелограммом, необходимо и достаточно, чтобы его диагонали точкой пересечения делились пополам. б) Для того, чтобы два угла были смежными, необходимо, чтобы их сумма была равна \(180^\circ\) в) Для того, чтобы прямые \(АВ\) и \(CD\) были параллельными, достаточно, чтобы четырехугольник \(ABCD\) был параллелограммом.

Проведите две параллельные прямые. Отложите на одной из них отрезок \(АD\), а на другой прямой — отрезок \(ВС\), равный \(AD\), так, чтобы отрезки \(AB\) и \(CD\) не пересекались. Постройте отрезки \(AB\) и \(CD\). а) Объясните, почему четырехугольник \(ABCD\) является параллелограммом. б) Отметьте точку \(M\) такую, чтобы четырехугольник \(АВDM\) был параллелограммом. Лежат ли точки \(М\) , \(C\) и \(D\) на одной прямой?

Решение №39330: a) \(AD \parallel BC\) и \(AD = BC = ABCD\) - параллелограмм по признаку о двух сторонах. б) лежат на одной прямой.

Ответ: a) \(AD \parallel BC\) и \(AD = BC = ABCD\) - параллелограмм по признаку о двух сторонах. б) лежат на одной прямой.

Начертите треугольник \(АВС\) и проведите его медиану \(ВО\). На луче \(ВО\) постройте отрезок \(OD\), равный \(ВО\). Соедините точку \(D\) с точками \(А\( и \(С\). а) Объясните, почему четырехугольник \(ABCD\) является параллелограммом. б) Отметьте точку \(M|) такую, чтобы четырехугольник \(ABDM\) был параллелограммом. Лежат ли точки \(M\) , \(C\) и \(D\) на одной прямой?

Решение №39331: a) \(BO = OD\); \(AO = OC \longrightarrow ABCD\) - параллелограмм по признаку о диагоналях. б) Точки \(D\), \(C\), \(M\) - лежат на одной прямой.

Ответ: a) \(BO = OD\); \(AO = OC \longrightarrow ABCD\) - параллелограмм по признаку о диагоналях. б) Точки \(D\), \(C\), \(M\) - лежат на одной прямой.

Диагонали четырехугольника \(ABCD\) пересекаются в точке \(О\) . Является ли данный четырехугольник параллелограммом, если \(АО = 4 см\), \(ОС = 40 мм\), \(ВD = 1,2 дм\), \(ОD = 6 см\)? Ответ обоснуйте.

Решение №39332: Дано: \(ABCD\) четырехугольник. \(АО = 4 см\), \(OC = 40 мм\), \(BD = 1,2 дм\), \(OD = 6 см\). Доказать: \(ABCD\) - параллелограмм. \(OC = 40 мм = 4 см\), \(AO= 4 см,\longrightarrow AO = OC\). \(BD = 1,2 дм = 12 см\); \(OD = 6 см, = BO = 6 См, \longrightarrow BO = OD \longrightarrow ABCD\) - параллелограмм по признаку о диагоналях.

Ответ: Утверждение доказано. Параллелограмм по признаку о диагоналях.

По данным рис. 19 докажите, что четырехугольник \(ABCD\) - параллелограмм.

Решение №39333: a) Дано: \(ABCD\) - четырехугольник. \(\angle BAC = \angle DCA\); \(\angle BCA = \angle DAC\). Доказать: \(ABCD\) - параллелограмм. Рассмотрим \(\angle ABC\) и \(\Delta CDA: \angle BCA = \angle DAC\); \(\angle BAC = \angle DCA\); \(AC\) - общая \(\longrightarrow \Delta ABC = \Delta CDA\) по стороне и двум прилежащим к ней углам. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов и сторон, т. е. \(AB = CD\), \(BC = DA \longrightarrow\) четырехугольник \(ABCD\) - параллелограмм по признаку о противолежащих сторонах. б) Дано: \(ABCD\) четырехугольник. \(\angle CBD = \angle ADB\); \(BC = AD\). Доказать: \(ABCD\) - параллелограмм. Рассмотрим \(\Delta ABD\) и \(\Delta CDB: \angle ADB = \angle CBD; AD = BC\). \(BD\) общая. \(\longrightarrow \Delta ABD = \Delta CDB\) по двум сторонам и углу между ними. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон, т. е. \(AB = CD\), \(BC = DA \longrightarrow ABCD\) - параллелограмм по признаку о противолежащих сторонах.

Ответ: Утверждение доказано.

По данным рис. 20 докажите, что четырехугольник \(ABCD\) - параллелограмм.

Решение №39334: а) Дано: \(ABCD\) - четырехугольник. \(\Delta АОВ = \Delta COD\). Доказать: \(ABCD\) - параллелограмм. Из равенства треугольников \(АОВ\) и \(COD\) следует равенство соответствующих сторон \(\longrightarrow AO = OC\); \(BO = OD \longrightarrow ABCD\) параллелограмм по признаку о диагоналях. б) Дано: \(ABCD\) четырехугольник. \(\angle ABD = \angle CDB\); \(\angle BCA = \angle CAD\). Доказать: \(ABCD\) - параллелограмм. \(\angle ABD\) и \(\angle CDB\) являются внутренними накрест лежащими при прямых \(АВ\) и \(CD\) и секущей \(BD\) т. к. \(\angle ABD = \angle CDB\), то \(AB \parallel CD\) по признаку параблельных прямых. \(\angle BCD\) и \(\angle CAD\) являются внутренними накрест лежащими при прямых \(ВС\) и \(AD\) и секущей \(AC\). T. к. \(\angle BCD = \angle CAD\), то \(BC \parallel AD\) по признаку параллельных прямых. Т. к. \(AB \parallel CD\) и \(ВС \parallel AD\), то четырехугольник \(ABCD\) параллелограмм по определению.

Ответ: Утверждение доказано.

В четырехугольнике \(ABCD\) стороны \(AB\) и \(CD\) параллельны. Найдите периметр четырехугольника, если \(АВ = СВ = 9 см\), \(АВ = 4 см\).

Решение №39335: Дано: \(ABCD\) - четырехугольник. \(AB \parallel CD\); \(AB = CD = 9 cм\); \(AD = 4 cм\). Найти: \(Р\) T. к. \(AB \parallel CD\) и \(AB= CD\), то невырех угольник \(ABCD\) параллелограмм по признаку о двух сторонах \)\longrightarrow BC = AD = 4 см\). \(P_{ABCD} = (AB + BC) \cdot 2 = 26 cм\). Ответ: \(26 см\).

Ответ: 26 см.

В четырехугольнике \(АВСD\) \(АВ = СD\), \(АD = ВС\). Найдите углы четырехугольника, если угол \(А\) втрое больше угла \(B\).

Решение №39336: \(AB = CD\); \(AD = BC \Rightarrow\) по признаку о противолежащих сторонах \(ABCD\) - параллелограмм. \(\angle A\) и \(\angle B\) - соседние углы параллелограмма. Пусть градусная мера \(\angle B\) равна \(x\), тогда градусная мера \(\angle A = 3x\), \(\Rightarrow х + 3x = 180^\circ\), \(\Rightarrow x = 45^\circ\), т. e. \(\angle B = 45^\circ\), \(\angle A = 135^\circ\). По свойству противолежащих углов параллелограмма \(\angle B = \angle D = 45^\circ\); \(\angle A = \angle C = 135^\circ\).

Ответ: \(45^\circ; 135^\circ; 45^\circ; 135^\circ\).

Диагонали параллелограмма \(АВСD\) пересекаются в точке \(О\). Точ­ки \(B_{1}\) и \(D_{1}\) - середины отрезков \(ВО\) и \(DО\) соответственно. Докажите, что четырехугольник \(АВ_{1}СD_{1}\) - параллелограмм.

Решение №39337: По свойству параллелограмма \(ABCD\): \(BO = OD\); \(AO = OC\). T. к. т. \(B_{1}\) - середина \(ВО\) и т. \(D_{1}\) - середина \(DО\), то \(BB_{1} = B_{1}O = OD_{1} = D_{1}O\). Т. е. в четырехугольнике \(AB_{1}CD\): \(B_{1}O = OD_{1}\) и \(АО = OC\) и т. \(O\) - точка пересечения диагоналей \(\Rightarrow AB_{1}CD_{1}\) - параллелограмм по признаку параллелограмма о диагоналях.

Ответ: Утверждение доказано.

Докажите, что отрезок, соединяющий середины противолежащих сторон параллелограмма, делит данный параллелограмм на два четырех­угольника, которые также являются параллелограммами.

Решение №39338: По свойству параллелограмма \(ABCD\): \(AD = BC\). Т. к. \(Е\) - середина \(ВС\), а \(F\) - середина \(AD \Rightarrow BE = EC = AF = FD\). По определению параллелограмма \(ABCD\): \(BC \parallel AD \Rightarrow BE \parallel AF\) и \(EC \parallel FD\). T. к. \(BE \parallel AF\) и \(BE = AF\), то четырехугольник \(ABEF\) - параллелограмм по признаку о двух сторонах. T. к. \(EC \parallel FD\) и \(EC = FD\), то четырехугольник \(ECDF\) - параллелограмм по признаку о двух сторонах.

Ответ: Утверждение доказано.

В техническом черчении используют механическую рейсшину (см. рис. ниже). Объясните, как с помощью этого инструмента построить че­тыре вершины параллелограмма.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Объясните, почему ось \(CD\), на которой закреплена лампа (см. рис. ниже), всегда остается вертикальной.

Решение №39340: \(ABCD\) - параллелограмм \(\Rightarrow CD \parallel AB\) и \(BC = AD\), \(AB = CD\). Т. к. ось \(АВ\) - закреплена вертикально, то \(CD\) - тоже расположена вертикально. При попытке изменить положение лампы меняться будут только углы соединения, а длины останутся прежними. T. e. \(AB = CD\) и \(BC = AD\), \(\Rightarrow\) четырехугольник \(ABCD\) останется параллелограммом. \(\Rightarrow CD \parallel AB\), \(\Rightarrow CD\) останется в вертикальном положении.

Ответ: \(ABCD\) - параллелограмм \(\Rightarrow CD \parallel AB\) и \(BC = AD\), \(AB = CD\). Т. к. ось \(АВ\) - закреплена вертикально, то \(CD\) - тоже расположена вертикально. При попытке изменить положение лампы меняться будут только углы соединения, а длины останутся прежними. T. e. \(AB = CD\) и \(BC = AD\), \(\Rightarrow\) четырехугольник \(ABCD\) останется параллелограммом. \(\Rightarrow CD \parallel AB\), \(\Rightarrow CD\) останется в вертикальном положении.

По данным рис. 23 докажите, что четырехугольник \(АВСD\) - параллелограмм.

Решение №39341: \(\angle CBD\) и \(\angle ADB\) - внутренние накрест лежащие при прямых \(ВС\) и \(AD\) и секущей \(BD\). T. к. \(\angle CBD = \angle ADB \Rightarrow BC \parallel AD\) по признаку параллельных прямых. Рассмотрим \(\Delta ВОС\) и \(\Delta AOD\): \(\angle BOC = \angle DOA (как вертикальные). \(\angle CBO = \angle ADO\) (по условию). Т. к. сумма углов треугольника \(180^\circ\) и у треугольников \(BOC\) и \(DOA \angle BOC = \angle DOA\) и \(\angle CBO = \angle ADO\), то \(\angle BCO = \angle DAO\). \(AO = OC\) (по условию) \(\Rightarrow \Delta BOC = \Delta DOA\) по стороне и двум прилежащим к ней углам. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих элементов \(\Righatrrow BC = AD\). В четырехугольнике \(ABCD\): \(BC \parallel AD\) и \(BC = AD \Rightarrow ABCD\) - параллелограмм по признаку о двух сторонах. б) Проведем диагональ \(АС\). По свойству диагоналей параллелограмма \(AECF\): \(EO = OF\), \(AO = OC\). \(BO= BE + EO\); \(DO = FD + FO\), т. e. \(BE = FD\) и \(EO = OF \Rightarrow BO = OD\). В четырехугольнике \(ABCD\) т. \(О\) - точка пересечения диагоналей и \(BO = OD\), \(AO = OC \Rightarrow ABCD\) - параллелограмм по признаку о диагоналях.

Ответ: Утверждение доказано.

По данным рис. 24 докажите, что четырехугольник \(АВСD\) - парал­лелограмм.

Решение №39342: Рассмотрим \(\Delta АВС\) и \(\Delta CDA\): \(\angle B = \angle D\); \(\angle BCA = \angle CAD \Rightarrow \angle BAC = \angle DCA\). \(AC\) - общая\(\Rightarrow \Delta АВС = \Delta CDA\) по стороне и двум прилежащим к ней углам. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих элементов: \(BC = AD\), \(AB = CD\). В четырехугольнике \(ABCD\): \(AB = CD\), \(BC = AD \Rightarrow ABCD\) - параллелограмм по признаку о противолежащих сторонах.

Ответ: Утверждение доказано.

В параллелограмме \(АВСD\) биссектрисы углов \(В\) и \(D\) пересекают диагональ \(АС\) в точках \(Е\) и \(F\) соответственно. Докажите, что четырех­угольник \(ВЕDF\) - параллелограмм.

Решение №39343: \(ABCD\) - параллелограмм \(\Rightarrow\) по свойству параллелограмма \(\angle B = \angle D\), \(AB = DC\), \(BC = AD\). T. к. \(BE\) и \(DF\) - биссектрисы \(\angle В\) и \(\angle D\), то \(\angle ABE = \angle EBC = \angle CDF = \angle FDA\). По определению параллелограмма \(AB \parallel DC\). \(AC\) - секущая \(\Rightarrow \angle BAC = \angle DCA\) как внутренние накрест лежащие. Рассмотрим \(\Delta АВЕ\) и \(\Delta CDE\): \(AB = CD\), \(\angle ABE = \angle CDF\). \(\angle BAE = \angle DCF \Rightarrow \Delta ABE = \Delta CDE\) по стороне и прилежащим к ней углам. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих элементов. \(\Rightarrow EB = FD\) и \(AE = FC\). Рассмотрим \(\Delta BCF\) и \(\Delta DAE\): \(\angle BCF = \angle DAF\) (как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых \(ВС\) и \(AD\) и секущей \(АС\)). \(BC = AD\), \(AE = FC\), \(\Rightarrow \Delta BCF = \Delta DAE\) по двум сторонам и углу между ними. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих элементов. \(\Rightarrow BF = DE\). В четырехугольнике \(BEDF\): \(BE = DF\) и \(BF = EF \Rightarrow BEDF\) - параллелограмм по признаку о противолежащих сторонах.

Ответ: Утверждение доказано.

Диагонали параллелограмма \(АВСD\) пересекаются в точке \(О\). Дока­жите, что середины отрезков \(АО\), \(ВО\), \(СО\) и \(DО\) являются вершинами другого параллелограмма.

Решение №39344: По свойству параллелограмма \(ABCD\): \(AO = OC\) и \(BO = OD\). T. к. т. \(A_{1}\) - середина \(AO\), \(B_{1}\) - середина \(BO\), \(C_{1}\) - середина \(CO\), \(D_{1}\) - середина \(DO\), то \(AA_{1} = A_{1}O = OC_{1} = C_{1}C\), \(BB_{1} = B_{1}O = OD_{1} = D_{1}D\). В четырехугольнике \(А_{1}В_{1}С_{1}D_{1} : В_{1}O = OD_{1}\) и \(А_{1}O = ОС_{1}\) и т. \(О\) является точкой пересечения диагоналей \(\Rightarrow A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\) - параллелограмм по признаку о диагоналях.

Ответ: Утверждение доказано.

На рис. 25 четырехугольник \(KLMN\) является параллелограммом. Докажите, что четырехугольник \(АВСD\) тоже является параллело­граммом.

Решение №39345: а) По свойству параллелограмма \(KLMN\): \(LM = KN\) и \(KL = MN\). По определению параллелограмма \(LM \parallel KN\) и \(KL \parallel MN\). \(LM = LT + TM\), \(KN = KR + RN\), т. к. \(LM = KN\) и \(KR = TM\), то \(LT = RN\). Т. е. в четырехугольнике \(LTNR\): \(LT \parallel NR\) и \(LT = NR\), \(\Rightarrow \(LTNR\) - параллелограмм по признаку о двух сторонах \(\Rightarrow\) по определейию параллелограмма \(LR \parallel TN \Rightarrow AB \parallel CD\). \(KL = KE + EL\), \(MN = NF + FM\). T. к. \(KL = MN\) и \(LE = NF\), то \(KE = FM\). Т. е. в четырехутольнике \(KEMF\): \(КЕ \parallel MF\) и \(KE = MF \Rightarrow KEMF\) - параллелограмм по признаку о двух сторонах \(\Rightarrow\) по определению парадлелограмма \(ME \parallel KF \Rightarrow BC \parallel AD\). В четырехугольнике \(ABCD\): \(AB \parallel CD\) и \(BC \parallel AD \Rightarrow ABCD\) - параллелограмм по определению. б) По свойству параялелограмма \(KLMN\): \(\angle M = \angle K\). T. к. \(\angle TML = \angle RKN \Rightarrow \angle TMN = \angle RKL\). По определению параллелограмма \(KLMN\): \(LM \parallel KN\) и \(KL \parallel NM\). \(\angle LKR\) и \(\angle KRN\) - внутренние накрест лежащие при параллельных прямых \(KL\) и \(MN\) и секущей \(KR \Rightarrow \angle LKR = \angle KRN\). \(\Rightarrow \angle KRN = \angle TMN\). \(\angle TMN\) и \(\angle KRN\) - соответственные при прямых \(ТМ\) и \(KR\) и секущей \(MN\). T. к. \(\angle TMN = \angle KRN\), то \(TM \parallel KR\) по признаку параллельных прямых \(\Rightarrow BC \parallel AD\). T. e. \(LE \parallel FN\) и \(LE = FN \Rightarrow FLEN\) - параллелограмм. По определению параллелограмма \(FLEN\): \(FL \parallel EN \Rightarrow AB \parallel DC\). В четырехугольнике \(ABCD\): \(AB \parallel CD\) и \(BC \parallel AD \Rightarrow ABCD\) - параллелограмм по определению.

Ответ: Утверждение доказано.

По данным рис. 26 докажите, что четырехугольник \(АВСD\) — параллелограмм.

Решение №39346: а) Дано: \(AECF\) параллелограмм. \(EK = FM\), \(LC = AN\). Доказать: \(ABCD\) - параллелограмм. По определению параллелограмма \(AECF: EC AF\) и \(AE \parallel CF \longrightarrow AN \parallell LC\) и \(KA \parallel CM\). T. к. \(LC \parallel AN\) и \(LC = AN\), то \(ALCN\) - параллелограмм по признаку о двух сторонах. По определению параллелограммa \(ALCN \longrightarrow AL \parallel CN \longrightarrow \(AB \parallel CD\). По свойству цараллелограмма \(АЕСF: AE = CF\) и т.к. \(KE = MF\), то \(AK = CM\). Т. к. \(АК = CМ\) т.к. \(AK /parallel CM\), то \(AKCM\) - параллелограмм по признаку о двух сторонах. По определению параллелограмма \(AKCM: KC \parallel AM \longrightarrow BC \parallel AD\). В четырехугольнике \(ABCD: AB \parallel CD\), \(BC \parallel AD \longrightarrow ABCD\) - параллелограмм по определению. б) Дано: \(KLMN\) - параллелограмм. \(\angle KLF = \angle ENM\); \(\angle LRK= \angle NTM\). Доказать: \(ABCD\) параллелограмм. Доказательство: По свойству параллелограмма \(KLMN\): \(\angle L = \angle N\) и \(LM = KN\), \(KL = MN\). т. к. \(\angle KLF = \angle MNE\), то \(\angle FLM = \angle ENK\). По определению параллелограмма \(LM \parallel KN\). \(\angle KFL\) и \(\angle FLM\) - внутренние накрест лежащие при \(LM \parallel KN\) и секущей \(LF \longrightarrow \angle KFL = \angle FLM \longrightarrow \angle LFK = \angle ENK\). \(\angle LFK\) и \(\angle ENK\) являются соответственными при прямых \(LF\) и \(NE\) и секущей \(KN \longrightarrow LF \parallel NE\) по признаку параллельных прямых, \(\longrightarrow AB \parallel CD\). Рассмотрим \(\Delta KLP\) и \(\Delta TWM: \angle LPK = \angle MTN, \angle KLM = \angle MNT \longrightarrow \angle LKP = \angle NMT\). \(KL = MN\). \(\longrightarrow \Delta LKP = \Delta NMT\) по стороне и прилежащим к ней углам. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих элементов, т. е. \(LP = TN\). T. к. \(LM = KN\) и \(LP = TN\), то \(KT = PM\). В четырехугольнике \(КРМТ: КТ \paralle РМ\) и \(КТ = PM, \longrightarrow КРМТ\) - параллелограмм. По определению параллелограмма \(KPMT: KP \parallel MT \longrightarrow BC \parallel AD\). В четырехугольнике \(ABCD: AB \parallel CD, BC \parallel AD, \longrightarrow ABCD\) - параллелограми по определению.

Ответ: Утверждение доказано.

Если в четырехугольнике противолежащие углы попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм. Докажите.

Решение №39347: Дано: \(ABCD\) - четырехугольник. \(\angle A\ = \angle C),\(\angle B = \angle D\) Доказать: \(ABCD\) - параллелограмм. По теореме о сумме углов четырехугольника: \(\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ\). T. к. \(\angle A = \angle C\), \(\angle B = \angle D\), то \(2(\angle A + \angle B) = 360^/circ\), \(\angle A + \angle B = 180^\circ\). \(\angle A\) и \(\angle В\) являются внутренними односторонними углами при прямых \(AD\) и \(ВЕ\) всекущей \(АВ\), т. к. \(\angle A + \angle B = 180^\circ\), то \(AD \parallel ВС\) по признаку параллельных прямых. \(\angle B = \angle D \longrightarrow \angle A + \angle D = 180^/circ\). \(\angle A\) и \(\angle D) являются внутренними односторонними при прямых \(АВ\) и \(DC\) и секущей \(AD\), T. к. \(\angle A + \angle B = 180^\circ\), то \(AB \parallel DC\) по признаку параллельных прямых. В четырехугольнике \(ABCD: AB \parallel CD\),\(AD \parallel BC \longrightarrow ABCD\) -параллелограмм по определению.

Ответ: Утверждение доказано.

Внутри данного угла \(А\) отмечена точка \(О\). Постройте отрезок с концами на сторонах угла, серединой которого является точка \(О\).

Решение №39348: Дано: \(\angle A\), т. \(О\) - внутри угла. 1) Построить \(BD\): т. \(О\) - середина \(BD\) и точки \(D\), \(В\) лежат на сторонах угла. 2) Проведем луч \(АО\). На луче \(АO \)от т. \(О\) отложим отрезок \(OC = OA\). 3) Через т. \(С\) проведем прямые параллельные сторонам угла получим \(ABCD\) - параллелограмм. \(\longrightarrow BD\) - искомый отрезок. Доказательство: точки \(В\) и \(D\) принадлежат сторонам угла. \(BO = OD\) (по свойству диагоналей параллелограмма).

Ответ: Дано: \(\angle A\), т. \(О\) - внутри угла. 1) Построить \(BD\): т. \(О\) - середина \(BD\) и точки \(D\), \(В\) лежат на сторонах угла. 2) Проведем луч \(АО\). На луче \(АO \)от т. \(О\) отложим отрезок \(OC = OA\). 3) Через т. \(С\) проведем прямые параллельные сторонам угла получим \(ABCD\) - параллелограмм. \(\longrightarrow BD\) - искомый отрезок. Доказательство: точки \(В\) и \(D\) принадлежат сторонам угла. \(BO = OD\) (по свойству диагоналей параллелограмма).

Точка \(М\) расположена внутри угла \(А\) , вершина которого недоступна (см. рис. ниже). Постройте луч с началом в точке \(М\), направленный в точку \(А\) .

Решение №39349: Построение: 1) Проведем через т. \(М\) прямые, параллельные сторонам угла. \(\longrightarrow\) т. \(В\) и т. \(С \longrightarrow MBAC\) - параллелограмм. \(ВС\) - диагональ. 2) Разделим отрезок \(ВС\) пополам = т. \(О\) - точка пересечения диагоналей. 3) Проведем луч \(МО\) - искомый. Доказательство: т. к. \(АВМС\) - параллелограмм, то луч \(МО\) направлен вдоль диагонали, т. е. на т. \(А\).

Ответ: NaN

Высоты треугольника \(АВС\), проведенные из вершин \(А\) и \(В\), пересекаются в точке \(О\), причем \(АО = ВО\) . Докажите, что треугольник \(АВС\) равнобедренный.

Решение №39350: Дано: \(\Delta АВС\). \(АН\) и \(ВК\) - высоты. т. \(О\) - пересечение высот. \(АО = ОВ\). Доказать: \(\Delta АВС\) - равнобедренный. Рассмотрим \(\Delta АОК\) и \(\Delta ВОН\): \(\angle AOK = \angle BOH\) (как вертикальные), \(\angle OHB = \angle OKA = 90^\circ\) \(AO = OB \longrightarrow \Delta AOK = \Delta BOH\)по гипотенузе и острому углу) Из равенства треугольников следует равенство соответствующих элементов. T. e. \(\angle KAO = \angle HBO\). Рассмотрим \(\Delta АОВ: АО = ОВ \longrightarrow \Delta АОВ\) - равнобедренный, \(\longrightarrow\) по свойству равнобедренного треугольника \(\angle OAB = \angle OBA\). \( \angle KAB = \angle KAH + \angle HAB\) и \( \angle HBA = \angle HBO + \angle OBA\). T. к. \(\angle OAB = \angle OBA\) и \(\angle KAO = \angle HBO\), то \(\angle KAB = \angle HBA, \longrightarrow \Delta ACB\) - равнобедренный по признаку равнобедренного треугольника.

Ответ: Утверждение доказано.

Прямоугольные треугольники \(АВС\) и \(DСВ\) имеют общий катет \(ВС\), а гипотенузы \(АС\) и \(ВО\) параллельны. Докажите, что \(\Delta АВС = \Delta DСВ\).

Решение №39351: Дано: \(\Delta АВС (\angle B = 90^\circ)\); \(\angle C = 90^\circ\). \(AC \parallel BD\). Доказать: \(\Delta АВС = \Delta DCB\). \(AB \perp BC\) и \(CD \perp BC \longrightarrow AB \parallel CD\). \(AC \parallel BD\) - по условию. В четырехугольнике \(ABDC: \parallel CD\) и \(AC \parallel BD \longrightarrow ABDC\) -параллелограмм по определению. По свойству параллелограмма: \(BA = DC\) и \(BD = AC \longrightarrow \Delta АВС = \Delta DCB\) по гипотенузе и катету.

Ответ: Утверждение доказано.

Назовите виды параллелограммов, у которых: а) все углы равны; б) все стороны равны; в) диагонали равны; г) диагонали перпендикулярны.

Решение №39352: а) Прямоугольник и квадрат. б) Прямоугольник и квадрат. в) Ромб и квадрат. г) Ромб и квадрат.

Ответ: а) Прямоугольник и квадрат. б) Прямоугольник и квадрат. в) Ромб и квадрат. г) Ромб и квадрат.

Диагонали ромба \(АВСD\) пересекаются в точке \(О\) (см. рис. 31). Назовите: а) биссектрису треугольника \(АВD\); б) высоту треугольника \(АВС\); в) медиану треугольника \(ВСD\)

Решение №39353: Дано: \(ABCD\) - ромб (см. рис. ниже). a) \(АО\); б) \(BO\); в) \(CO\).

Ответ: a) \(АО\); б) \(BO\); в) \(CO\).

В прямоугольнике \(АВСD\) \(АВ = 8 см\), \(ВС = 5 см\). Найдите: а) расстояние от точки \(С\) до стороны \(АD\); б) расстояние между прямыми \(АВ\) и \(СD\).

Решение №39354: Дано: \(ABCD\) - прямоугольник. \(АВ = 8 см\), \(ВС = 5 см\). Найти: а) расстояние от т. \(С\) до \(AD\); б) расстояние от \(АВ\) до \(CD\). По свойству прямоугольника: \(AB = CD\) и \(BC = AD\). а) Расстояние от точки до прямой - это длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую \(Rightarrow\) расстояние от т. \(С\) до \(AD\) равно \(CD = 8 см\). б) Расстояние между двумя прямыми это длина общего перпендикуляра расстояние между \(АВ\) и \(CD\) равно \(ВС =5 см\).

Ответ: а) \(8 см\); б) \(5 см\).

Диагонали квадрата \(АВСD\) пересекаются в точке \(О\). Назовите все равные треугольники, которые образуются при пересечении диагоналей. Определите вид этих треугольников.

Решение №39355: Дано: \(ABCD\) - квадрат; т. \(О\) - пересечение диагоналей. По свойствам квадрата \(АС \perp BD\), \(BO = OC = OD = OA. \longrightarrow \Delta BOC = \Delta COD = \Delta DOA = \Delta АОВ\) (по двум катетам). Данные треугольники: 1) прямоугольные (т. к. \(\angle AOB = \angle BOC = \angle COD = \angle DOA = 90^\circ\); 2) равнобедренные (т. к. \(BO = OC = OD = OA\)).

Ответ: \(\Delta BOC = \Delta COD = \Delta DOA = \Delta АОВ\) - треугольники прямоугольные и равнобедренные.

Может ли диагональ прямоугольника быть равной его стороне? Мо­жет ли диагональ ромба быть равной его стороне?

Решение №39356: 1) Диагональ прямоугольника не может быть равной его стороне. Т. к. в \(\Delta ACD (\angle D = 90^\circ)\) гипотенуза не равна катету. 2) Меньшая диагональ ромба может быть равной его стороне, но только при условии, что острый угол ромба равен \(60^\circ\).

Ответ: 1) Не может. 2) Меньшая диагональ ромба может быть равной его стороне, но только при условии, что острый угол ромба равен \(60^\circ\).

Может ли прямоугольник быть ромбом? В каком случае?

Решение №39357: Прямоугольник может быть ромбом в том случае, если его стороны равны (т. е. если этот прямоугольник - квадрат).

Ответ: Может.

Приведите контрпримеры, опровергающие приведенные неверные утверждения: а) четырехугольник, который имеет два прямых угла, - прямо­угольник; б) четырехугольник с перпендикулярными диагоналями - ромб; в) четырехугольник с равными диагоналями - прямоугольник; г) четырехугольник, диагонали которого перпендикулярны и рав­ны, - квадрат.

Решение №39358: a) \(\angle B = \angle D = 90^\circ\), но \(ABCD\) не является прямоугольником. б) Диагонали \(LN \perp KM\), но \(KLMN\) не является ромбом. в) \(BD = AC\), но \(ABCD\) не является прямоугольником. г) \(SQ \perp RP\) и \(SQ = RP\), но \(PQRS\) не является квадратом.

Ответ: a) \(\angle B = \angle D = 90^\circ\), но \(ABCD\) не является прямоугольником. б) Диагонали \(LN \perp KM\), но \(KLMN\) не является ромбом. в) \(BD = AC\), но \(ABCD\) не является прямоугольником. г) \(SQ \perp RP\) и \(SQ = RP\), но \(PQRS\) не является квадратом.

Начертите две перпендикулярные прямые, которые пересекаются в точке \(О\) . На одной из прямых отложите по разные стороны от точки \(О\) равные отрезки \(ОА\) и \(ОС\), а на второй прямой — равные отрезки \(ОВ\) и \(ОD\). Соедините точки \(А\), \(В\), \(С\) и \(D\). а) Измерьте стороны четырехугольника \(АВСD\), определите его вид. б) Измерьте угол \(А\) четырехугольника \(АВСD\). Используя свойства этого четырехугольника, найдите градусные меры других его углов. Проверьте полученные результаты измерениями. в) Измерьте углы \(ADB\) и \(CDB\). Выделите цветом все пары равных углов между диагоналями и сторонами четырехугольника.

Решение №39359: a) \(AB = 2,9\) см; \(AD = 2,9\) см; \(ВС = 2,9\) см; \(CD = 2,9\) см \(\Rightarrow ABCD\) - ромб по определению. б) \(\angle B = 58^\circ\). T. к. \(\angle A\) и \(\angle B\) - соседние углы параллелограмма, то \(\angle B + \angle A = 180^\circ \Rightarrow \angle A = 122^\circ\). Противолежащие углы ромба равны \(\Rightarrow \angle B = \angle D = 58^\circ\); \(\angle A = \angle D = 122^\circ\). в) \(\angle ADB = 29^\circ\); \(\angle CDB = 29^\circ\).

Ответ: a) \(AB = 2,9\) см; \(AD = 2,9\) см; \(ВС = 2,9\) см; \(CD = 2,9\) см \(\Rightarrow ABCD\) - ромб по определению. б) \(\angle B = 58^\circ\). T. к. \(\angle A\) и \(\angle B\) - соседние углы параллелограмма, то \(\angle B + \angle A = 180^\circ \Rightarrow \angle A = 122^\circ\). Противолежащие углы ромба равны \(\Rightarrow \angle B = \angle D = 58^\circ\); \(\angle A = \angle D = 122^\circ\). в) \(\angle ADB = 29^\circ\); \(\angle CDB = 29^\circ\).

Начертите прямоугольный треугольник \(ABD\) с гипотенузой \(BD\). Про­ведите через вершины \(В\) и \(D\) прямые, параллельные сторонам \(АD\) и \(АВ\) соответственно. Обозначьте точку \(С\) - точку пересечения этих прямых. а) Измерьте стороны четырехугольника \(ABCD\) и определите его вид. б) Проведите диагональ \(АС\). Измерьте и сравните длины диагона­лей четырехугольника. в) Отметьте на прямых \(ВС\) и \(АD\) точки \(С_{1}\) и \(D_{1}\) так, чтобы четырехугольник \(АВС_{1}D_{1}\) был квадратом.

Решение №39360: a) \(AB = DC = 3\) см; \(BC = AD = 6\) cм. \(ABCD\) - прямоугольник. б) \(BD = AC = 6\) см. в) \(AB = BC_{1} = AD_{1}\) - по построению \(\Rightarrow ABC_{1}D_{1}\) - квадрат.

Ответ: a) \(AB = DC = 3\) см; \(BC = AD = 6\) cм. \(ABCD\) - прямоугольник. б) \(BD = AC = 6\) см. в) \(AB = BC_{1} = AD_{1}\) - по построению \(\Rightarrow ABC_{1}D_{1}\) - квадрат.

Найдите периметр прямоугольника \(АВСD\), если \(АС = 15\) см, а пе­риметр треугольника \(АВС\) равен 36 см.

Решение №39361: \(P_{ABC} = AB + BC + AC\); \(AB + BC + 15 = 36 \Rightarrow AB + BC = 21\) (cм). По свойству прямоугольника \(AB = CD\) и \(AD = BC\), \(\Rightarrow P_{ABCD} = (AB + BC) \cdot 2 = 42\) (cм).

Ответ: 42 см.