Решение №36139: 30

Ответ: 30

Решение №36140: 70

Ответ: 70

Решение №36141: 30000

Ответ: 30000

Решение №36142: 90000

Ответ: 90000

Решение №36143: 156000

Ответ: 156000

Решение №36144: 6300

Ответ: 6300

Решение №36145: 112

Ответ: 112

Решение №36146: 195

Ответ: 195

Решение №36147: 64800

Ответ: 64800

Решение №36148: 12800

Ответ: 12800

Решение №36149: 140

Ответ: 140

Решение №36150: 150

Ответ: 150

Решение №36151: 1296

Ответ: 1296

Решение №36152: 456

Ответ: 456

Решение №36153: 9

Ответ: 9

Решение №36154: 11

Ответ: 11

Решение №36155: 420

Ответ: 420

Решение №36156: 320

Ответ: 320

Решение №36157: 360

Ответ: 360

Решение №36158: 216

Ответ: 216

Решение №36159: 2300

Ответ: 2300

Решение №36160: 5200

Ответ: 5200

Решение №36161: 4

Ответ: 4

Решение №36162: 12

Ответ: 12

Решение №36163: 47088

Ответ: 47088

Решение №36164: 34026

Ответ: 34026

Решение №36165: 264

Ответ: 264

Решение №36166: 132

Ответ: 132

Решение №36167: 1584

Ответ: 1584

Решение №36168: 3300

Ответ: 3300

Решение №36169: 11

Ответ: 11

Решение №36170: 16

Ответ: 16

Решение №36171: 11

Ответ: 11

Решение №36172: 12

Ответ: 12

Решение №36173: 46

Ответ: 46

Решение №36174: 42

Ответ: 42

Решение №36175: 27

Ответ: 27

Решение №36176: 27

Ответ: 27

Решение №36177: 140

Ответ: 140

Решение №36178: 150

Ответ: 150

Решение №36179: 10

Ответ: 10

Решение №36180: 15

Ответ: 15

Решение №36181: 40

Ответ: 40

Решение №36182: 30

Ответ: 30

Решение №36183: 530000

Ответ: 530000

Решение №36184: 265000

Ответ: 265000

Решение №36185: 11

Ответ: 11

Решение №36186: 13

Ответ: 13

Решение №36187: 64

Ответ: 64

Решение №36188: 31

Ответ: 31

Решение №36189: 32

Ответ: 32

Решение №36190: 44

Ответ: 44

Решение №36191: 42.5

Ответ: 42.5

Решение №36192: 16.5

Ответ: 16.5

Решение №36193: Продавать свёклу более выгодно, поэтому второе поле, где её урожайность выше, следует засадить только свёклой. Доход от её продажи составит \(10 га\cdot 400 ц/га\cdot 11000 руб./ц=44\) млн руб. Урожайность свёклы на первом поле составляет 300 ц/га. Если всё первое поле засеять свёклой, то доход составит \(10 га\cdot 300 ц/га\cdot 11000=33\) млн руб. Если всё первое поле засеять картофелем, то доход составит \(10 га\cdot 400 ц/га \cdot 10000=40\) млн руб. Значит, с единицы площади первого поля доход от картофеля будет больше, чем доход от свёклы, поскольку потери от меньшей стоимости компенсируются более высокой урожайностью. Поэтому всё первое поле следует засеять картофелем. Таким образом, наибольший возможный доход фермера равен \(44+40=84\) млн руб. Ответ. 84.

Ответ: 84

Решение №36194: Пусть в первой шахте х рабочих, а во второй шахте у рабочих заняты на добыче алюминия. Составим таблицу по данным задачи (см. рис. ниже). Алюминия необходимо добывать вдвое больше никеля, поэтому \(5x+10y=2(700-10x-5y)\), откуда \(5x+4y=280\). В силу неотрицательности введённых переменных из условия задачи и последнего равенства следует, что \(x\leq 20\), \(y\leq 70\). Пусть \(a\) — масса сплава. По условию она должна быть втрое больше массы добытого никеля, т. е. \(a=3(700-10x-5y)\). Так как \(5x=280-4y\), после подстановки этого выражения в выражение \(a=3(700-10x-5y)\) и алгебраических преобразований получим, что \(a=3(140+Зy)\). Поскольку наибольшее возможное значение \(y\) равно 70 (при этом \(x=0\)), наибольшее возможное значение массы сплава составляет \(a=3(140+3\cdot 70)=1050\). Таким образом, 70 рабочих второй шахты должны быть заняты на добыче алюминия, а оставшиеся 30 рабочих второй шахты и все 20 рабочих первой шахты должны быть заняты на добыче никеля. При этом они добудут 700 кг алюминия и 350 кг никеля, а масса сплава будет равна 1050 кг. Ответ. 1050.

Ответ: 1050

Решение №36195: Пусть \(x%\) производственных мощностей цеха занято под производство вареников с картофелем, а \((100-x)%\) производственных мощностей цеха занято под производство вареников с грибами. Тогда вареников с картофелем производится \(110\cdot \frac{x}{100}=1,1x\) тонн, а вареников с грибами производится \(80\cdot \frac{100-x}{100}=80-0,8x\) тонн. Согласно условию должны выполняться неравенства \(1,1x\geq 44\), откуда \(x\geq 40\), и \(80-0,8x\geq 44\), откуда \(x\leq 45\). Производство одной тонны вареников с картофелем приносит фабрике 50000 рублей прибыли, а производство одной тонны вареников с грибами — 62000 рублей прибыли. Поэтому прибыль составит \(a=50000\cdot 1,1x+62000(80-0,8x)\), откуда \(a=5400x+4960000\). Поскольку \(40\leq x\leq 45\), наибольшее значение прибыли будет достигаться при \(x=45\) и составит \(a=5400\cdot 45+4960000=5203000\) рублей. Ответ. 5,203.

Ответ: 5.203

Решение №36196: 1. Для первой ценовой линейки доход, который будет приносить бизнесмену 1 кв. м площади одноместного номера, равен \(\frac{3200}{16}=200\) рублей; доход, который будет приносить бизнесмену 1 кв. м площади двухместного номера, равен —190 рублей. Наименьшим общим кратным чисел 16 и 20 является 80. На площади 80 кв. м можно разместить 5 одноместных номеров или 4 двухместных номера. Но квадратный метр одноместного номера приносит больший доход, чем квадратный метр двухместного номера. Поэтому на каждых 80 кв. м площади здания выгоднее разместить 5 одноместных номеров. Поскольку общая площадь равна \(812=80\cdot 10+12\), получим 50 одноместных номеров и 12 кв. м в остатке. Этот остаток нужно использовать исходя из следующих рассуждений. Если к площади одноместного номера добавить 4 кв. м, получим площадь двухместного номера, а двухместный номер приносит больший доход, чем одноместный. Поскольку \(12=4\cdot 3\), нужно 3 одноместных номера заменить двухместными. Таким образом, получим 47 одноместных номеров и 3 двухместных номера. Максимально возможный суточный доход в этом случае составит \(47\cdot 3200+3\cdot 3800=161800\) рублей. 2. Для второй ценовой линейки доход, который будет приносить бизнесмену 1 кв. м площади одноместного номера, равен \(\frac{3040}{16}=190\) рублей; доход, который будет приносить бизнесмену 1 кв. м площади двухместного номера, равен \(\frac{4000}{20}=200\) рублей. Наименьшим общим кратным чисел 16 и 20 является 80. На площади 80 кв. м можно разместить 5 одноместных номеров или 4 двухместных номера. Но квадратный метр двухместного номера в данном случае приносит больший доход, чем квадратный метр одноместного номера. Поэтому на каждых 80 кв. м площади здания выгоднее разместить 4 двухместных номера. Поскольку общая площадь равна \(812=80\cdot 10+12\), получим 40 одноместных номеров и 12 кв. м в остатке. Этот остаток нужно использовать исходя из следующих рассуждений. Если к площади двухместного номера добавить 12 кв. м, получим площадь двух одноместных номеров, а два одноместных номера приносят больший доход, чем один двухместный. Значит, нужно один двухместный номер заменить двумя одноместными. Таким образом, получим 39 двухместных номеров и 2 одноместных номера. Максимально возможный суточный доход в этом случае составит \(2\cdot 3040+39\cdot 4000=162080\) рублей. Ответ. а) 39 двухместных номеров и 2 одноместных номера; б) 162080 рублей.

Ответ: 39; 162080

Решение №36197: Прямая образует с положительным направлением оси абсцисс острый угол. Поэтому её угловой коэффициент \(k\), равный тангенсу этого угла, положителен. Для его вычисления выберем на прямой две точки, расположенные в узлах сетки. Пусть это будут, например, точки \(А\) и \(В\) (см. рис. ниже). Обозначим буквой \(С\) точку пересечения прямых, проходящих через выбранные точки параллельно осям координат, как показано на рисунке. Поскольку при параллельном переносе одной из двух прямых угол между ней и второй прямой не меняется, искомый угол \(\alpha\) будет равен углу \(АВС\). Но тогда, \(k=tg \alpha =\frac{AC}{BC}=\frac{3}{2}=1,5\). Ответ. 1,5.

Ответ: 1.5

Решение №36198: Прямая, параллельная данной и проходящая через начало координат, очевидно, будет расположена во второй и четвёртой четвертях. Поэтому её угловой коэффициент \(k\), равный в силу параллельности угловому коэффициенту данной прямой, будет отрицателен. Значит, он будет противоположен тангенсу острого угла \(АВС\) (см. рис. ниже), т. е. \(k=- tg \angle ABC\). Поскольку \(tg \angleABC=\frac{AC}{BC}=\frac{1}{4}=0,25\), получаем, что \(k=-0,25\). Ответ. -0,25

Ответ: -0.25

Решение №36199: Угловой коэффициент прямой \(AB\) равен \(-\frac{AO}{OB}=-\frac{12}{20}=-\frac{3}{5}\). 1. Прямая \(y=-\frac{4}{5}x+b\) пересекает ось абсцисс в точке с абсцис \(\frac{5b}{4}\). Модуль углового коэффициента прямой \(y=-\frac{4}{5}x+b\) равен \(\frac{4}{5}\) и больше модуля углового коэффициента прямой \(АВ\), равного \(\frac{3}{5}\). Поскольку оба угловых коэффициента отрицательны, это означает, что угол между прямой \(y=-\frac{4}{5}x+b\) и положительным направлением оси абсцисс будет меньше угла между прямой \(АВ\) и положительным направлением оси абсцисс. Поэтому наибольшее значение \(b\) получим, если прямая \(y=-\frac{4}{5}x+b\) проходит через точку \(В\) (см. рис. ниже). В этом случае \(\frac{5b}{4}=20\), откуда \(b=16\). 2. Прямая \(y=-\frac{2}{5}x+b\) пересекает ось ординат в точке с ординатой \(b\). Модуль углового коэффициента прямой \(y=-\frac{2}{5}x+b\) равен \(\frac{2}{5}\) и меньше модуля углового коэффициента прямой \(АВ\), равного \(\frac{3}{5}\). Поскольку оба угловых коэффициента отрицательны, это означает, что угол между прямой \(y=-\frac{2}{5}+b\) и положительным направлением оси абсцисс будет больше угла между прямой \(АВ\) и положительным направлением оси абсцисс. Поэтому наибольшее значение \(b\) получим, если прямая \(y=-\frac{2}{5}+b\) проходит через точку \(А\) (см. рис. ниже). В этом случае \(b=12\). Ответ. 1) 16; 2) 12.

Ответ: 16; 12

Решение №36200: Пусть прямая \(ВС\) пересекает ось ординат в точке \(Е\). Угловой коэффициент прямой \(АВ\) равен \(-\frac{4}{9}\) угловой коэффициент прямой \(ВС\) равен -1 (объясните почему). 1. Модуль углового коэффициента прямой \(y=-\frac{1}{3}x+b_{1}\) равен \(\frac{1}{3}\): он меньше модуля углового коэффициента прямой \(АВ\) и меньше модуля углового коэффициента прямой \(ВС\). Поэтому если провести прямую \(y=-\frac{1}{3}x+b_{1}\) через точку \(B\), то она пересечёт ось ординат в точке, лежащей ниже точки \(А\) (см. рис. ниже). Следовательно, наибольшее значение \(b_{1}\) получим, если прямая \(y=-\frac{1}{3}x+b_{1}\) проходит через точку \(А\), т. е. если \(b_{1}=9\). 2. Модуль утлового коэффициента прямой \(y=-\frac{7}{9}x+b_{2}\) равен: он больше модуля углового коэффициента прямой \(АВ\) и меньше модуля углового коэффициента прямой \(ВС\). Поэтому если провести прямую \(y=-\frac{7}{9}x+b_{2}\) через точку \(В\), то она пересечёт ось ординат в точке, лежащей выше точки \(А\), но ниже точки \(Е\) (см. рис. ниже). Следовательно, наибольшее значение \(b_{2}\) получим, если прямая \(y=-\frac{7}{9}x+b_{2}\) проходит через точку \(В\). В этом случае \(5=-\frac{7}{9}\cdot 9+b_{2}\) откуда \(b_{2}=12\). 3. Модуль углового коэффициента прямой \(y=-\frac{13}{9}x+b_{3}\) равен \(\frac{13}{9}\): он больше модуля углового коэффициента прямой \(АВ\) и больше модуля углового коэффициента прямой \(ВС\). Поэтому если провести прямую \(y=-\frac{13}{9}x+b_{3}\) через точку \(В\), то она пересечет ось ординат в точке, лежащей выше точки \(Е\) (см. рис. ниже). Следовательно, наибольшее значение \(b_{3}\) получим, если прямая \(y=-\frac{13}{9}x+b_{3}\) проходит через точку \(С\). В этом случае \(0=-\frac{13}{9}\cdot 14+b_[3}\) откуда \(b_{3}=20\frac{2}{9}\). Ответ. 1) \(b_{1}=9\); 2) \(b_{2}=12\); 3) \(b_{3}=20\frac{2}{9}\).

Ответ: 1) \(b_{1}=9\); 2) \(b_{2}=12\); 3) \(b_{3}=20\frac{2}{9}\)

Решение №36201: Обозначим \(b=2x+5y\). Тогда \(y=-\frac{2}{5}x+\frac{b}{5}\). Данные неравенства можно переписать в виде \(y\geq 2x+12\), \(y\geq -\frac{1}{4}x+5\), \(y\leq -\frac{3}{5}x+\frac{45}{5}\). Воспользуемся графическими интерпретациями полученных неравенств. Неравенство вида \(y\geq kx+b\) (соответственно неравенство вида \(y\leq kx+b\)) означает, что ему удовлетворяют все точки \((x; y)\) координатной плоскости \(Оxy\), ордината каждой из которых не меньше (соответственно не больше) ординаты той точки прямой \(y=kx+b\), которая имеет ту же абсциссу. Таким образом, множество всех точек \((x; y)\) координатной плоскости \(Оxy\), координаты каждой из которых удовлетворяют неравенству \(y\geq kx+b\) (соответственно неравенству вида \(y\leq kx+b\)), — это множество всех точек плоскости \(Оxy\), которые расположены выше (соответственно ниже), т. е. над (соответственно под) прямой \(y\geq kx+b\) и на самой этой прямой. Чтобы найти множество всех тех точек координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют каждому из данных неравенств, вычислим координаты точек попарного пересечения прямых \(y=-2x+12\), \(y=-\frac{1}{4}x+5\), \(y=-\frac{3}{5}x+\frac{46}{5}\). Для этого решим уравнения: \(-2x+12=-\frac{3}{5}x+\frac{45}{5}\), откуда \(x=2\), и тогда \(y=-2\cdot 2+12=8\); \(-\frac{1}{4}x+5=-\frac{3}{5}x+\frac{46}{5}\), откуда \(x=12\), и тогда \(y=-\frac{1}{4}\cdot12+5=2\); \(-2x+12=-\frac{1}{4}x+5\), откуда \(x=4\), и тогда \(y=-2\cdot 4+12=4\). Таким образом, точкой пересечения прямых \(y=-2x+12\) и \(y=-\frac{3}{5}x+\frac{46}{5}\) является точка \(А(2;8)\), точкой пересечения прямых \(y=-\frac{1}{4}x+5\) и \)y=-\frac{3}{5}x+\frac{46}{5}\) является точка \(В(12; 2)\), точкой пересечения прямых \(y=-2x+12\) и \(y=-\frac{1}{4}x+5\) является точка \(С(4; 4)\). Искомое множество — треугольник \(АВС\) вместе с внутренней областью. Теперь задачу можно переформулировать так: найти наибольшее и наименьшее значения \(b\), при которых прямая \(y=-\frac{2}{5}x+\frac{b}{5}\) имеет хотя бы одну общую точку с областью координатной плоскости, ограниченной треугольником \(АВС\) (включая стороны треугольника). Прямая \(y=-\frac{2}{5}x+\frac{b}{5}\) пересекает ось ординат в точке с ординатой \(\frac{b}{5}\), а ось абсцисс — в точке с абсциссой \(\frac{b}{2}\). Заметим, что модуль углового коэффициента прямой \(y=-\frac{2}{5}x+\frac{b}{5}\) больше модуля углового коэффициента прямой \(ВС\) (y=-\frac{1}{4}x+5\)), но меньше модуля углового коэффициента прямой \(АВ\) (\(y=-\frac{3}{5}x+\frac{46}{5}\)) и прямой \(ВС\) (y=-2x+12\)). На рис. ниже изображены три положения прямой \(y=-\frac{2}{5}x+\frac{b}{5}\) для случаев, когда она проходит через одну из вершин треугольника \(АВС\). Наибольшее значение \(b\) достигается, если эта прямая проходит через точку \(А\). В этом случае \(b=2\cdot 2+5\cdot 8=44\). Наименьшее значение \(b\), достигается, если эта прямая проходит через точку \(С\). В этом случае \(b=2\cdot 4+5\cdot 4=28\). Ответ. \(max(2x+5y)=44\); \(min(2x+5y)=28\).

Ответ: \(max(2x+5y)=44\); \(min(2x+5y)=28\)

Решение №36202: Обозначим через \(x\) число изделий первого типа, через \(y\) — число изделий второго типа, а через \(a\) — прибыль предприятия. Тогда \(a=300x+200y\), откуда \(y=-\frac{3}{2}x+\frac{a}{200}\). Ду, а условия производства даются системой неравенств \(\left\{\begin{matrix} 3x+2y\leq 150, \\3x+4y\leq 132, \\x\geq 0,\\y\geq 0 \end{matrix}\right.\), где \(x\) и \(y\) — целые числа. На координатной плоскости \(Оxy\) система неравенств задаёт четырёхугольник \(ОАВС\) с внутренней областью, ограниченной осями координат и прямыми \(y=-\frac{5}{2}x+75\) и \(y=-\frac{3}{4}+33\) (см. рис. ниже). Модуль углового коэффициента прямой \(y=-\frac{3}{2}x+\frac{a}{200}\) равен \(\frac{3}{2}\): он больше модуля углового коэффициента прямой \(АВ\), равного \(\frac{3}{4}\), но меньше модуля углового коэффициента прямой \(ВС\), равного \(\frac{5}{2}\). Три различных положения прямой \(y=-\frac{3}{2}x+\frac{a}{200}\) обозначены на рисунке цифрами: положение (1) соответствует значению а\(a=0\), положение (3) соответствует наибольшему возможному значению \(a\), положение (2) соответствует промежуточному между первыми двумя значению \(a\). Прямая \(y=-\frac{3}{2}x+\frac{a}{200}\) пересекает ось абсцисс в точке с абсциссой \(\frac{a}{300}\), а ось ординат — в точке с ординатой \(\frac{a}{200}\) (напомним, что \(a\geq 0\)). Наибольшее значение каждой из этих величин соответствует максимальной прибыли \(a\) и в данном случае достигается, если прямая \(y=-\frac{3}{2}x+\frac{a}{200}\) проходит через точку \(В\) — точку пересечения прямых \(y=-\frac{5}{2}x+75\) и \(y=-\frac{3}{4}x+33\), абсцисса и ордината которой находятся из системы уравнений \(\left\{\begin{matrix} y=-\frac{5}{2}x+75, \\y=-\frac{3}{4}x+33 \end{matrix}\right.\) и равны соответственно 24 и 15. Подставив эти абсциссу и ординату в уравнение прямой \(y=-\frac{3}{2}x+\frac{a}{200}\), находим \(a=10200\). Ответ. 24 изделия первого типа; 15 изделий второго типа; максимальная прибыль равна 10200 д. е.

Ответ: 24; 15; 10200

Решение №36203: Обозначим через \(x\) число стандартных апартаментов, через \(y\) — число апартаментов «люкс», через \(a\) — суточный доход предпринимателя от аренды апартаметов. Тогда \(\left\{\begin{matrix} 40x+80y\leq 700, \\x\geq 0, \\y\geq 0 \end{matrix}\right.\), откуда \(\left\{\begin{matrix} 2x+4y\leq 35, \\x\geq 0, \\y\geq 0 \end{matrix}\right.\), или \(\left\{\begin{matrix} y\leq -\frac{1}{2}x+\frac{35}{4}, \\x\geq 0, \\y\geq 0 \end{matrix}\right.\). При этом \(a=4000x+10000y=10000\left (\frac{2}{5}x+y\right )\). Обозначим \(\frac{a}{10000}\) буквой \(b\). Ясно, что доход \(a\) будет максимальным при максимальном \(b\). Итак \(b=\frac{2}{5}x+y\), откуда \(y=-\frac{2}{5}x+b\). Таким образом, \(y\leq -\frac{1}{2}x+\frac{35}{4}\); \(y=-\frac{2}{5}x+b\); \(x\geq 0\); \(y\geq 0\); \(b\geq 0\). Неравенства \(y\leq -\frac{1}{2}x+\frac{35}{4}\), \(x\geq 0\) задают в первой четверти координатной плоскости \(Оxy\) треугольник \(AOB\) вместе с его внутренней областью, ограниченной прямой \(y=-\frac{1}{2}x+\frac{35}{4}\) и осями координат. Координаты вершин треугольника: \(А\left (0; \frac{35}{4}\right )\), \(O(0; 0)\), \(B\left (\frac{35}{2}; 0\right )\). Целевая прямая \(y=-\frac{2}{5}x+b\) пересекает оси координат в точках \((0; b)\) и \(\left (\frac{5b}{2}; \right )\). Требуется найти максимальное значение \(b\geq \), при котором прямая \(y=-\frac{2}{5}x+b\) будет иметь с указанной областью хотя бы одну общую точку с целочисленными координатами. Поскольку модуль углового коэффициента целевой прямой меньше модуля углового коэффициента прямой \(АВ\), значение \(b\) будет максимальным, если целевая прямая проходит через точку \(A\). Но ордината точки \(A\) не является целым числом, она равна \(\frac{35}{4}=8\frac{3}{4}\). Максимальная целая ордината для точек указанной области равна 8 (см. рис. ниже). Выберем точку \((0; 8)\) в качестве опорной. Тогда уравнением опорной прямой будет \(y=-\frac{2}{5}x+8\). Заметим, что в области, ограниченной осью ординат и прямыми \(y=-\frac{2}{5}x+8\) и \(y=-\frac{1}{2}x+\frac{35}{4}\) (включая эти прямые), окажутся и другие точки с целыми координатами (на рисунке эти точки выделены). Найдём координаты этих точек. Сначала найдём точку пересечения прямых \(y=-\frac{2}{5}x+8\) и \(y=-\frac{1}{2}x+\frac{35}{4}\), решив уравнение \(-\frac{2}{5}x+8=-\frac{1}{2}x+\frac{35}{4}\), откуда \(x=\frac{15}{2}=7,5\). Тогда \(y=-\frac{1}{2}\cdot \frac{15}{2}+\frac{35}{4}=5\). Следовательно, допустимыми ординатами являются 8; 7; 6. Для точек с одинаковыми ординатами наибольшее значение \(b\) будет у той из целевых прямых \(y=-\frac{2}{5}x+b\), которая проходит через точку с большей абсциссой. Найдём соответствующие абсциссы: • если \(y=8\), то \(2x+4\cdot 8\leq 35\), откуда \(x\leq \frac{3}{2}=1\frac{1}[2}\), и максимальным неотрицательным целым решением последнего неравенства является \(x=1\); • если \(y=7\), то \(2x+4\cdot 7\leq 35\), откуда \(x\leq \frac{7}{2}=3\frac{1}{2}\) и максимальным неотрицательным целым решением последнего неравенства является \(x=3\); • если \(y=6\), то \(2x+4\cdot 6\leq 35\), откуда \(x\leq \frac{11}{2}=5\frac{1}{2}\) и максимальным неотрицательным целым решением последнего неравенства является \(x=5\). Вычислим значения целевой функции в найденных точках. Для наглядности приведём результаты вычислений в виде таблицы (см. рис. ниже). Ответ. 84000.

Ответ: 84000

Решение №36204: 1. Обозначим через \(x\) число стандартных номеров, через \(y\) — число номеров «люкс», через \(a\) — суточный доход предпринимателя от аренды номеров. Тогда \(\left\{\begin{matrix} 27x+36y\leq 1100, \\x\geq 0, \\y\geq 0 \end{matrix}\right.\), откуда \(\left\{\begin{matrix} 3x+4y\leq \frac{1100}{9}, \\x\geq 0, \\y\geq 0 \end{matrix}\right.\) или \(\left\{\begin{matrix} y\leq -\frac{3}{4}x+\frac{275}{9}, \\x\geq 0, \\y\geq 0 \end{matrix}\right.\). При этом \(a=3000x+5000y=5000 \left (\frac{3}{5}x+y\right )\). Обозначим \(]frac{a}{5000}\). буквой \(b\). Ясно, что доход \(a\) будет максимальным при максимальном \(b\). Итак \(b=\frac{3}{5}x+y\), откуда \(y=-\frac{3}{5}x+b\) — уравнение целевой прямой. Таким образом, \(y\leq -\frac{3}{4}x+\frac{275}{9}\); \(y=-\frac{3}{5}x+b\); \(x\geq 0\); \(y\geq 0\); \(b\geq 0\). 2. Заметим, что \(\frac{275}{9}=30\frac{5}{9}\). Неравенства \(y-\frac{3}{4}x+30\frac{5}{9}\), \(x\geq 0\), \(y\geq 0\) задают в первой четверти координатной плоскости \(Оxy\) прямоугольный треугольник \(АОВ\) вместе с его внутренней областью, ограниченной прямой \(y=-\frac{3}{4}x+30\frac{5}{9}\) и осями координат. Координаты вершин треугольника: \(A\left (0; 30\frac{5}{9}\right )\), \(O(0; 0)\), \(B\left (40\frac{20}{27}; 0\right )\) (см. рис. ниже). 3. Требуется найти максимальное значение \(b\geq 0\), при котором целевая прямая будет иметь с указанной областью хотя бы одну общую точку с целочисленными координатами. Поскольку модуль углового коэффициента целевой прямой меньше модуля углового коэффициента прямой \(АВ\), значение \(b\) будет максимальным, если целевая прямая проходит через точку \(А\). Но ордината точки \(А\) не является целым числом. Опорной точкой в данном случае будет точка \((0; 30)\), а уравнением опорной целевой прямой — уравнение \(y=-\frac{3}{5}x+30\). 4. Найдём координаты точки пересечения опорной прямой и прямой \(АВ\). Для этого решим уравнение \(-\frac{3}{5}x+30=-\frac{3}{4}x+30\frac{5}{9}\), откуда \(x=\frac{100}{27}=3\frac{19}{27}\). Тогда \(y=-\frac{3}{5}\cdot \frac{100}{27}+30=27\frac{7}{9}\). Следовательно, допустимыми ординатами являются 30, 29, 28. Для точек с одинаковыми ординатами наибольшее значение \(b\) будет у той из целевых прямых \(y=-\frac{3}{5}x+b\), которая проходит через точку с большей абсциссой. 5. Найдём соответствующие абсциссы. Если \(y=30\), то \(27x+36\cdot 30\leq 1100\), откуда \(x\leq \frac{20}{27}\). Единственным неотрицательным целым решением последнего неравенства является \(x=0\). Если \(y=29\), то \(27x+36\cdot 29\leq 1100\), откуда \(x\leq 2\frac{2}[27}\). Максимальным неотрицательным целым решением последнего неравенства является \(x=2\). Если \(y=28\), то \(27x+36\cdot 28\leq 1100\), откуда \(x\leq 3\frac{11}{27}\). Максимальным неотрицательным целым решением последнего неравенства является \(x=3\). 6. Вычислим значения целевой функции в найденных точках. Для наглядности приведём результаты вычислений в виде таблицы (см. рис. ниже). Ответ. 151000

Ответ: 151000

Решение №36205: 1. Пусть \(x\) — число изделий первого типа, \(y\) — число изделий второго типа, \(a\) — прибыль предприятия. Тогда \(a=22000x+26000y\). Обозначим \(\frac{a}{26000}\) буквой \(b\). Тогда \(b=\frac{11}{13}x+y\). Ясно, что доход \(a\) будет максимальным при максимальном \(b\). При этом \(y=-\frac{11}{13}x+b\) — уравнение целевой прямой. Условия производства даются системой неравенств \(\left\{\begin{matrix} 9x+13y\leq 130, \\11x+3y\leq 88, \\x\geq 0, \\y\geq 0 \end{matrix}\right.\), где \(x\) и \(y\) — целые числа. 2. На координатной плоскости \(Оxy\) полученная система неравенств задаёт четырёхугольник \(ОАВС\) с внутренней областью, ограниченнои осями координат и прямыми \(y=-\frac{9}{13}x+10\) и \(y=-\frac{11}[3}x+\frac{88}{3}\) (см. рис. ниже). Прямая \(y=-\frac{11}{13}x+b\) пересекает ось абсцисс в точке с абсциссои \(\frac{13b}{11}\), а ось ординат — в точке с ординатой \(b\) (напомним, что \(b\geq 0\)). Наибольшее значение каждой из этих величин соответствует максимальной прибыли \(a\) и достигается, если прямая \(y=-\frac{11}{13}x+b\) проходит через точку \(В\) — точку пересечения прямых \(y=-\frac{9}{13}x+10\) и \(y=-\frac{11}{3}x+\frac{88}{3}\). Если хотя бы одна из координат точки \(В\) не оудет целой, для решения задачи придётся использовать метод опорных точек. Абсцисса и ордината точки \(В\) находятся из системы уравнений \(\left\{\begin{matrix} y=-\frac{9}{13}x+10, \\y=-\frac{11}{3}x+\frac{88}{3} \end{matrix}\right.\) и равны соответственно 6,5 и 5,5, т. е. не являются целыми. Применим метод опорных точек. Ближайшими к В точками с целыми ординатами являются точки с ординатами 5 и 6. Если \(y=5\), то должны выполняться неравенства \(\left\{\begin{matrix} 9x+13\cdot 5\leq 130, \\11x+3\cdot 5\leq 88 \end{matrix}\right.\), откуда \(\left\{\begin{matrix} x\leq 7\frac{2}{9}, \\x\leq 6\frac{7}{11} \end{matrix}\right.\). Наибольшим целым решением последней системы является \(x=6\). Если \(y=6\), то должны выполняться неравенства \(\left\{\begin{matrix} 9x+13\cdot 6\leq 130, \\11x+3\cdot 6\leq 88\end{matrix}\right.\), откуда \(\left\{\begin{matrix} x\leq 5\frac{7}{9}, \\x\leq 6\frac{4}{11}\end{matrix}\right.\). Наибольшим целым решением последней системы является \(x=5\). Таким образом, в качестве опорных точек будем рассматривать точки \(М(5;6)\) и \(N(6; 5)\). 3. Выберем из найденных опорных точек ту, которая соответствует большему значению целевой функции, т. е. большему значению \(b\). Модуль углового коэффициента прямой \(MN\) равен \(\frac{6-5}{6-5}=1\). Модуль углового коэффициента целевой прямой \(y=-\frac{11{{13}x+b\) равен \(\frac{11}{13}< 1\). Поэтому искомой точкой будет точка \(М\). Найдём уравнение опорной целевой прямой, проходящей через точку \(М(5; 6)\). Для этого подставим координаты точки в уравнение прямой: \(6=-\frac{11}{13}\cdot 5+b\), откуда \(b=\frac{133}{13}=10\frac{3}{13}\). Уравнение опорной целевой прямой: \(y=-\frac{11}{13}x+\frac{133}{13}\). 4. Остаётся установить, будут ли находиться в области, ограниченной найденной опорной прямой (и расположенной не ниже неё) и сторонами многоугольника, другие точки с целочисленными координатами. Если таких точек нет, то оптимальное решение даёт выбранная опорная точка \(М\). Если такие точки есть, оптимальное решение даёт одна из них. Найдём точки пересечения опорной прямой с прямыми \(y=-\frac{9}{13}x+10\) и \(y=-\frac{11}[3}x+\frac{88}{3}\). Для этого решим уравнения \(-\frac{11}{13}x+\frac{133}{13}=-\frac{9}{13}x+10\) и \(-\frac{11}{13}x+\frac{133}{13}=-\frac{11}{3}x+\frac{88}{3}\). Корнем первого уравнения является \(x=\frac{3}{2}\), и тогда \(y=-\frac{9}{13}\cdot \frac{3}{2}+10=\frac{233}{26}=8\frac{25}{26}\). Корнем второго уравнения является \(x=\frac{149}{22}=6\frac{17}{22}\), и тогда \(y=-\frac{11}{3}\cdot \frac{149}{22}+\frac{88}{3}=\frac{9}{2}=4\frac{1}{2}\). Таким образом, в область, ограниченную опорной прямой и прямыми \(y=-\frac{9}{13}x+10}\) и \(y=-\frac{11}{3}x+\frac{88}{3}\) могут попасть только точки с целыми ординатами 5, 6, 7, 8. Исключив уже рассмотренные точки с ординатами 5 и 6, получим всего две точки с целыми ординатами, которые могут оказаться в указанной области. Если \(y=7\), то должны выполняться неравенства \(\left\{\begin{matrix} 9x+13\cdot 7\leq 130, \\11x+3\cdot 7\leq 88, \\11x+13\cdot 7\geq 133 \end{matrix}\right.\), откуда \(\left\{\begin{matrix} x\leq 4\frac{1}{3}, \\x\leq 6\frac{1}{11}, \\x\geq 3\frac{9}{11} \end{matrix}\right.\). Единственным целым решением последней системы является \(x=4\). Если \(y=8\), то должны выполняться неравенства \(\left\{\begin{matrix} 9x+13\cdot 8\leq 130, \\11x+3\cdot 8\leq 88, \\11x+13\cdot 8\geq 133 \end{matrix}\right.\), откуда \(\left\{\begin{matrix} x\leq 2\frac{8}{9}, \\x\leq 5\frac{9}{11}, \\x\geq 2\frac{7}{11} \end{matrix}\right.\). Полученная система не имеет целых решений. Таким образом, области, ограниченной опорной целевой прямой (и расположенной выше неё) и сторонами многоугольника, принадлежит ровно одна точка с целыми координатами \(x=4\) и \(y=7\). Именно эта точка и даёт оптимальное решение задачи. 5. Вычислим значение целевой функции в найденной точке: \(a=2000(11x+13y)=2000(11\cdot 4+13\cdot 7)=270000\). Ответ. 4 изделия первого типа; 7 изделий второго типа; максимальная прибыль равна 270000 д. е.

Ответ: 4; 7; 270000

Решение №36206: Пусть \(a=4x^{2}+9y^{2}\). Из условия задачи следует, что \(Зy=20-2x\). Тогда \(a=4x^{2}+(20-2х)^{2}=8(x^{2}-10x+50)\). Для решения задачи остаётся найти наименьшее значение квадратичной функции \(y=x^{2}-10x+50\). Оно достигается в точке \(x_{0}=\frac{10}{2}=5\) и равно \(5^{2}-10\cdot 5+50=25\). При этом \(a=8\cdot 25=200\). Ответ. 200.

Ответ: 200

Решение №36207: Пусть \(a=2x+Зy\). Тогда \(Зy=a-2x\). Поскольку \(4x^{2}+9y^{2}=50\), получим, что \(4x^{2}+(a-2x)^{2}=50\), откуда \(8x^{2}-4ax+a^{2}-50=0\). Для решения задачи остаётся найти наибольшее и наименьшее значения \(a\), при которых квадратное уравнение \(8x^{2}-4ax+a^{2}-50=0\) имеет хотя бы один корень. Последнее будет выполнено в том и только том случае, если дискриминант \(D\) уравнения неотрицателен, или (что то же) если \(\frac{D}{4}\geq 0\). В данном случае \(\frac{D}{4}=4a^{2}-8(a^{2}-50)=4(100-a^{2})\), откуда \(100-a^{2}\geq 0\), т. е. \(a^{2}\leq 100\), и, значит, \(a\in [-10; 10]\). Поэтому \(min(2x+Зy)=-10\), \(max(2x+Зy)=10\). Ответ. \(min(2x+3y)=-10\), \(max(2x+3y)=10\).

Ответ: \(min(2x+3y)=-10\), \(max(2x+3y)=10\)

Решение №36208: Данное выражение определено при \(-\frac{5}{4}\leq t\leq \frac{31}{4}\), т. е. при \(t\in [-1,25; 7,75]\). Стандартный способ решения задачи основывается на исследовании функции \(a=3\sqrt{4t+5}+4\sqrt{31-4t}\) на отрезке \([-1,25; 7,75]\) с помощью производной. Покажем, как можно решать подобные задачи с помощью векторной алгебры. Введём векторы \(\vec{m}{3; 4}\) и \(\vec{n}{\sqrt{4t+5}; \sqrt{31-4t}}\). Вычислим длины этих векторов: \(|\vec{m}|=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5\), \(|\vec{n}|=\sqrt{(\sqrt{4t+5})^{2}+(\sqrt{31-4t})^{2}=6\). Тогда \(a=\vec{m}\cdot \vec{n}=|\vec{m}|\cdot |\vec{n}|\cdot cos(\widehat{\vec{m}, \vec{n}})\). Поскольку \(cos(\widehat{\vec{m}, \vec{n}})\leq 1\), наибольшее значение \(a\) будет равно \(|\vec{m}|\cdot \vec{n}}|=5\cdot 6=30\). Оно достигается, если \(cos(\widehat{\vec{m}, \vec{n}})=1\), т. е. \(\widehat{\vec{m}, \vec{n}}=0\). Последнее возможно, только если векторы \(\vec{m}\) и \(\vec{n}\) сонаправлены, т. е. если отношения их соответствующих координат равны одному и тому же положительному числу—отношению длин этих векторов: \(\frac{\sqrt{4t+5}}{3}=\frac{\sqrt{31-4t}}{4}=\frac{6}{5}\), откуда \(t=1,99\). Ответ. \(max(3\sqrt{4t+5}+4\sqrt{31-4t}=30\) при \(t=1,99\).

Ответ: 30; 1,99

Решение №36209: Пусть на заводе, расположенном в первом городе, рабочие трудятся \(x^{2}\) часов, а на заводе, расположенном во втором городе,—\(y^{2}\) часов. Тогда за неделю будет произведено \(Зx+4y\) единиц товара, а затраты на оплату труда составят \(500(x^{2}+y^{2})\) рублей. Обозначим \(3x+4y\) через а, т. е. введём целевую функцию. Таким образом, нужно найти наибольшее неотрицательное \(a=Зx+4y\) при условии \(500(x^{2}+y^{2})=5000000\), откуда \(y=\frac{a-3x}{4}\) (или \(y=-\frac{3}{4}x+\frac{a}{4}\)) и \(x^{2}+y^{2}=10000\), где \(0\leq x\leq 100\), \(0\leq y\leq 100\) (объясните почему). Как уже отмечалось, задачу можно решить несколькими способами, три из которых и будут рассмотрены ниже. Первый способ — метод областей: уравнение \(x^{2}+y^{2}=10000\) является уравнением окружности с центром в начале координат и радиусом 100 на плоскости \(Оxy\), а уравнение \(y=-\frac{3}{4}x+\frac{a}{4}\) — уравнением прямой, пересекающей оси координат в точках \(A\left (0; \frac{a}{4}\right )\) и \(B\left (\frac{a}{3}; 0\right )\). Требуется найти наибольшее значение параметра \(a\), при котором прямая \(y=-\frac{3}{4}x+\frac{a}{4}\) имеет с окружностью хотя бы одну общую точку. Ясно, что в силу условий \(x\geq 0\) и \(y\geq 0\) наибольшему значению \(a\) будет отвечать случай касания прямой и окружности в точке \(K\) (см. рис. ниже) первой координатной четверти (указанные условия позволяют рассматривать, вообще говоря, только часть окружность, расположенную в этой четверти). Искомое значение а можно найти, записав площадь \(S\) треугольника \(ОАВ\) двумя разными способами: как полупроизведение катетов \(ОА=\frac{a}{4}\) и \(ОВ=\frac{a}{3}\) и как полупроизведение высоты \(ОК\) (равной радиусу окружности) на гипотенузу \(АВ=\sqrt{ОА^{2}+OB^{2}=\sqrt{\left (\frac{a}{4}\right )^{2}+\left (\frac{a}{3}\right )^{2}}=\frac{5a}{12}\). Отсюда \(\frac{a}{4}\cdot \frac{a}{3}=100\cdot \frac{5a}{12}\) и \(a=500\). Второй способ аналогичен тому, что был использован при решении примера 15, и заключается в подстановке \(y=-\frac{3}{4}x+\frac{a}{4}\) в уравнение \(x^{2}+y^{2}=10000\). После такой подстановки получим квадратное уравнение относительно переменной \(x\). Требуется найти наибольшее значение \(a\), при котором уравнение имеет хотя бы один корень. Это значение находится из условия неотрицательности дискриминанта уравнения. Такой метод решения подобных задач иногда называют методом введения параметра. Приведём решение, выполнив указанную подстановку: \(x^{2}+\left (-\frac{3}{4}x+\frac{a}{4}\right )^{2}=10000\), откуда \(x^{2}+\frac{9}{16}x^{2}-\frac{3}{8}ax+\frac{a^{2}}{16}=10000\). После преобразований получим \(25x^{2}-6ax+a^{2]-160000=0\). Полученное уравнение имеет хотя бы один корень, только если его дискриминант \(D\) неотрицателен, или (что то же) если \(\frac{D}{4}\geq 0\). Поскольку \(]frac{D}{4}=9a^{2]-25(a^{2}-160000)=16(250000-a^{2})\), из условия неотрицательности дискриминанта получаем неравенство \(250000-a^{2}\geq 0\), откуда \(a^{2}\leq 250000\), т. е. \(|a|\leq 500\). Значит, искомым наибольшим значением является \(a=500\). В этом случае \(D=0\) и \(x=\frac{3a}{25}=60\); \(y=-\frac{3}{4}x+\frac{a}{4}=-\frac{3}{4}\cdot 60+\frac{500}{4}=80\). Эти значения, очевидно, удовлетворяют неравенствам \(0\leq x\leq 100\) и \(0\leq y\leq 100\). Третий способ основан на вычислении наибольшего значения функции \(a=Зx+4y\) при условии \(x^{2}+y^{2}=10000\), из которого с учётом неотрицательности всех переменных получим \(y=\sqrt{10000-x^{2}}\), и, значит, \(a=Зx+4\sqrt{10000-x^{2}}\). Найти наибольшее значение полученной функции можно по крайней мере двумя способами: с помощью производной (для этого придётся использовать формулу производной сложной функции) и с помощью неравенства \(\vec{m}\cdot \vec{n}\leq |\vec{m}|\cdot |\vec{n}|\), которое было использовано при решении примера 16 и знак равенства в котором достигается только при условии сонаправленности векторов \(\vec{m}\) и \(\vec{n}\), т. е. при условии равенства отношений их соответствующих координат отношению длин этих векторов. Рассмотрим оба способа. Производная функции \(a=Зx+4\sqrt{10000-x^{2}\) вычисляется, как уже отмечалось, по формуле производной сложной функций: \(a'=3-\frac{4x}{\sqrt{10000-x^{2}}\). Точки экстремума находятся из условия равенства нулю производной: \(3-\frac{4x}{\sqrt{10000-x^{2}}=0\), откуда \(\frac{4x}{\sqrt{10000-x^{2}}=3\). После возведения в квадрат обеих частей последнего равенства получим \(\frac{16x^{2}}{10000-x^{2}}=9\) и \(x^{2}=3600\). С учётом неотрицательности переменной \(x\) находим, что \(x=60\). Если \(x\in (0; 60)\), то \(a'>0\); если \(x\in (60; 100)\), то \(a'<0\). Значит, \(x=60\) — точка максимума, и, поскольку это единственная точка экстремума на промежутке \((0; 100)\), наибольшее значение функции \(a=Зx+4\sqrt{10000-x^{2}\) достигается в этой точке и равно \(3\cdot 60+4\sqrt{10000-60^{2}=3\cdot 60+4\cdot 80=500\). В заключение обзора методов решения этой задачи рассмотрим, как найти наибольшее значение функции (a=3x+4\sqrt{10000-x^{2}\) с помощью векторной алгебры. Введём векторы \(\vec{m}{3; 4}\) и \(\vec{n}{х; \sqrt{10000-x^{2}}\). Тогда \(|\vec{m}|=\sqrt{3^{2}+4^{2}=5\), \(|\vec{n}|=\sqrt{x^{2}+(\sqrt{10000-x^{2}})^{2}}=100\). Поскольку \(a=\vec{m}\cdot \vec{n}=|\vec{m}|\cdot |\vec{n}|\cdot cos(\widehat{\vec{m}, \vec{m}})\leq |\vec{m}|\cdot |\vec{n}|\), получим, что \(a\leq 500\), т. е. наибольшее значение \9a\) равно 500. Как уже отмечалось, оно достигается, если векторы \(\vec{m}{3; 4}\) и \(\vec{n}{x; \sqrt{10000-x^{2}}\) сонаправлены, т. е. если отношения их соответствующих координат равны отношению длин этих векторов: \(\frac{x}{3}=\frac{\sqrt{10000-x^{2}}{4}=\frac{100}{5}\), откуда \(x=60\). Ответ. 500.

Ответ: 500

Решение №36210: Пусть на заводе, расположенном в первом городе, рабочие трудятся \(x\^{2}\) часов, а на заводе, расположенном во втором городе,— \(y^{2}\) часов. Тогда за неделю будет произведено \(x+y\) единиц товара, а затраты на оплату труда составят \(250x^{2}+200y^{2}\) рублей. Обозначим \(x+y\) через \(a\), т. е. введём параметр (целевую функцию). Таким образом, нужно найти наибольшее значение величины \(a=x+y\) при условии \(250x^{2}+200y^{2}=900000\), откуда \(5x^{2}+4y^{2}=18000\). Из равенства \(a=x+y\) находим \(y=a-x\). Тогда \(5x^{2}+4(a-x)^{2}=18000\), где \(x\geq 0\), \(y\geq 0\), \(a\geq 0\). Требуется найти наибольшее значение \(a\), при котором уравнение \(5x^{2}+4(a-x)^{2}=18000\) имеет хотя бы один неотрицательный корень. Полученное уравнение после раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых примет вид \(9x^{2}-8ax+4a^{2}-18000=0\). Последнее уравнение является квадратным. Оно имеет хотя бы один корень, только если его дискриминант \(D\) неотрицателен, или (что то же) если \(\frac{D}{4}\geq 0\). Поскольку \(\frac{D}{4}=16a^{2}-9(4a^{2}-18000)=9\cdot 18000-20a^{2}=20(8100-a^{2})\), из условия неотрицательности дискриминанта получаем неравенство \(8100-a^{2}\geq 0\), откуда \(a^{2}\leq 8100\), т. е. \(|a|\leq 90\). Значит, искомым наибольшим значением является \(a=90\). В этом случае \(D=0\) и \(x=\frac{4a}{9}=40>0\); \(y=a-x=90-40=50>0\). Ответ. 90.

Ответ: 90

Решение №36211: Из условия следует, что ежегодная прибыль \(a\) фирмы (в млн рублей) равна \(px-(0,5x^{2}+x+7)\), т.е. \(a=-0,5x^{2}+(p-1)x-7\). График функции \(a=-0,5x^{2}+(p-1)x-7\) — парабола, ветви которой направлены вниз. Наибольшего значения эта функция достигает в точке \(x_{0}\), являющейся абсциссой вершины параболы, т. е. в точке \(x_{0}=-\frac{p-1}{2\cdot (-0,5)}=p-1\). Тогда наибольшее значение функции \(a=-0,5x^{2}+(p-1)x-7\) будет равно \(\frac{(p-1)^{2}}{2}-7\). Строительство завода окупится не более чем за 3 года, если \(3\cdot \left (\frac{(p-1)^{2}}{2}-7\right )\geq 75\), откуда \((p-1)^{2}\geq 64\), и \((p-9)(p+7)\geq 0\). Множеством решений последнего неравенства является \((-\infty; -7]\cup [9; +\infty)\). Наименьшим неотрицательным (поскольку цена продукции не может быть отрицательной) решением неравенства будет \(p=9\). Ответ. 9.

Ответ: 9

Решение №36212: Пусть на заводе, расположенном в первом городе, рабочие трудятся \(x^{2}\) часов, а на заводе, расположенном во втором городе,— \(y^{2}\) часов. Тогда за неделю будет произведено \(2x+5y\) единиц товара, а затраты на оплату труда составят \(500(x^{2}+y^{2})\) рублей. Обозначим \(500(x^{2}+y^{2})\) через \(a\), т. е. введём параметр (целевую функцию. Таким образом, нужно найти наименьшее значение функции \(а = 500(х2 + у2) при условии \(2x+5y=580\), откуда \(5y=580-2x\). Тогда \(a=500(x^{2}+y^{2})=20(25x^{2}+(5y)^{2})\). Поэтому \(a=20(25x^{2}+(580-2x)^{2})=20(29x^{2}-4\cdot 580x+580^{2})\), где \(0\leq x\leq 290\) (объясните почему). Наименьшего значения а достигает в той же точке, в которой достигает наименьшего значения квадратичная функция \(y=29x^{2}-4\cdot 580x+580^{2}\), т. е. в точке \(x=x_{0}=\frac{4\cdot 580}{2\cdot 29}=40\). В этом случае \(a=20(29\cdot 40^{2}-4\cdot 580\cdot 40+580^{2})=2000(29\cdot 16-58\cdot 16+58^{2})=2000(58^{2}-29\cdot 16)\). Далее, \(2000(58^{2}-58\cdot 8)=2000\cdot 58\cdot (58-8)=2000\cdot 58\cdot 50=58\cdot 100000=5800000. Ответ. 5,8 млн рублей.

Ответ: 5800000

Решение №36213: Поскольку алюминий и никель взаимозаменяемы, а рабочие первой области одинаково эффективно добывают и алюминий, и никель, они могут добывать любой из металлов. За сутки ими будет добыто \(160\cdot 5\cdot 0,1=80\) кг металла. Пусть во второй области алюминий добывают \(t\) рабочих, тогда никель добывают \((160-t)\) рабочих. За сутки они добудут \(\sqrt{5t}\) кг алюминия и \(\sqrt{5(160-t)=\sqrt{800-5t}\) кг никеля. Найдём наибольшее значение функции \(a(t)=\sqrt{5t}+\sqrt{800-5t}\) для натуральных \(t\), не больших 160. Введём векторы \(\vec{m}{1; 1}\) и \(\vec{n}{\sqrt{5t};\sqrt{800-5t}}\). Вычислим длины этих векторов: \(|\vec{m}|=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}\), |\vec{n}|=\sqrt{(\sqrt{5t})^{2}+(\sqrt{800-5t)^{2}}=\sqrt{800}\). Тогда \(a=\vec{m}\cdot \vec{n}=|\vec{m}|\cdot |\vec{n}|\cdot cos(\widehat{\vec{m}, \vec{n}})\). Поскольку \(cos(\widehat{\vec{m}, \vec{n}})\leq 1\), наибольшее значение \(a\) будет равно \(|\vec{m}|\cdot |\vec{n}|=\sqrt{2}\cdot \sqrt{800}=40\). Оно достигается, если \(cos(\widehat{\vec{m}, \vec{n}})=1\), т. е. \(\widehat{\vec{m}, \vec{n}}=0\). Последнее возможно, только если векторы \(\vec{m}\) и \(\vec{n}\) сонаправлены, т. е. если отношения их соответствующих координат равны одному и тому же положительному числу — отношению длин этих векторов: \(\frac{\sqrt{5t}}{1}=\frac{\sqrt{800-5t}}{1}=\frac{\sqrt{800}}{\sqrt{2}}=20\), откуда \(t=80\). Тем самым 80 рабочих второй области следует направить на добычу алюминия и 80 — на добычу никеля. Они добудут 40 кг металла. Совместно рабочие первой и второй области добудут 120 кг металла. Ответ. 120.

Ответ: 120

Решение №36214: Пусть на заводе, расположенном в первом городе, рабочие трудятся \(З6x^{3}\) часов, а на заводе, расположенном во втором городе,—\(y^{3}\) часов. Тогда за неделю будет произведено \(x+y\) единиц изделий, а затраты на оплату труда составят \(200(З6x^{3}+y^{3})\) рублей. Обозначим \(200(З6x^{3}+y^{3})\) через а, т. е. введём параметр (целевую функцию. Таким образом, нужно найти наименьшее значение \(a=200(З6x^{3}+y^{3})\) при условии \(x+y=70\), откуда \(y=70-x\). Тогда \(a=200(З6x^{3}+(70-x))\). Требуется найти наименьшее возможное значение функции функции \(a=200(36x^{3}+(70-x)^{3})\), где \(0\leq x\leq 70\) (объясните почему). Найдём производную функции: \(a'=200(36\cdot Зx^{2}-3\cdot (70-x)^{2})\), откуда \(a'=3\cdot 200(36x^{2}-(70-x)^{2})\). Производная обращается в нуль, если \(36x^{2}-(70-x)^{2}=0\), т. е. если \(\left\[\begin{matrix} 6x=70-x, \\6x=-70+x \end{matrix}\right.\), т. е. \(\left\[\begin{matrix} x=10, \\x=-14 \end{matrix}\right.\). Условию \(0\leq x\leq 70\) удовлетворяет только \(x=10\). Если \(x\in (0; 10)\), то \(a'<0\); если \(x\in(10; 70)\), то \(a'>0\). Значит, \(x=10\) — точка минимума, и, поскольку это единственная точка экстремума на рассматриваемом промежутке, наименьшее значение функции \(a=200(З6x^{3}+(70-x)^{3})\) достигается в этой точке и равно (a=200(36\cdot 10^{3}+(70-10)^{3})=200(6^{2}\cdot 10^{3}+6^{3}\cdot 10^{3})=200\cdot 6^{2}\cdot 10^{3}\cdot 7=50400000. Ответ. 50,4.

Ответ: 50.4

Решение №36215: Пусть на первый объект будет направлено \(x\) рабочих, тогда их суточная зарплата составит \(2x^{2}\) д. е. При этом на второй объект будет направлено \((20-x)\) рабочих, а их суточная заработная плата составит \((20-x)^{2}=x^{2}-40x+400\) д. е. Значит, суточная зарплата всех рабочих составит \(a=Зx^{2}-40x+400\) д. е. Функция \(a=Зx^{2}-40x+400\) является квадратичной, ветви параболы — её графика — направлены вверх. Наименьшего значе­ ния эта функция достигает в точке, являющейся абсциссой вершины ее графика, т. е. в точке \(x_{0}=\frac{20}{3}=6\frac{2}{3}\). Это число не является целым, поэтому на множестве целых неотрицательных чисел функция \(a=Зx^{2}-40x+400\) достигает наименьшего значения в ближайшей к \(x_{0}\) целой точке, т. е. в точке \(x=7\). Следовательно, на первый объект нужно направить 7 рабочих, на второй объект — 13 рабочих, а зарплата всех рабочих составит \(a(7)=3\cdot 7^{2}-40\cdot 7+400=267\) д. е. Ответ. На первый объект нужно направить 7 рабочих, на второй объект —13 рабочих; выплата составит 267 д. е.

Ответ: 7; 13; 267

Решение №36216: Пусть на первый объект будет направлено \(x\) рабочих, тогда их суточная зарплата составит \(7x^{2}\) д. е. При этом на второй объект будет направлено \((35-x)\) рабочих, а их суточная заработная плата составит \(3(35-x)^{2}=Зx^{2}-210x+3675\) д. е. Значит, суточная зарплата всех рабочих составит \(a=10x^{2}-210x+3675\) д. е. Функция \(a=10x^{2}-210x+3675\) является квадратичной, ветви параболы — её графика — направлены вверх. Наименьшего значения эта функция достигает в точке, являющейся абсциссой вершины её графика, т. е. в точке \(x_{0}=\frac{105}{10}=10,5\). Это число не является целым, поэтому на множестве целых неотрицательных чисел функция \(a=10x^{2}-210x+3675\) достигает наименьшего значения в ближайшей к \(x_{0}\) целой точке, т. е. либо в точке \(x=10\), либо в точке \(x=11\). Следовательно, либо на первый объект нужно направить 10 рабочих, а на второй объект — 25 рабочих, либо на первый объект нужно направить 11 рабочих, а на второй объект — 24 рабочих. В любом из этих случаев зарплата всех рабочих составит \(a(10)=10\cdot 10^{2}-210\cdot 10+3675=2575\) д.е. Ответ. На первый объект нужно направить 10 рабочих, а на второй объект — 25 рабочих, либо на первый объект нужно направить 11 рабочих, а на второй объект — 24 рабочих; выплата составит 2575 д.е.

Ответ: 10; 25; 11; 24; 2575

Решение №36217: Пусть на строительство первого дома будет направлено \(x\) рабочих, тогда их суточная зарплата составит \(5x^{2}\) д. е., а суточные накладные расходы — \(4x\) д. е. При этом на строительство второго дома будет направлено \((28-x)\) рабочих, их суточная заработная плата составит \(3(28-x)^{2}=Зx^{2}-168x+2352\) д.е., а суточные накладные расходы — \(3(28-x)\) д. е. Значит, все суточные затраты составят \(a=8x^{2}-167x+2436\) д. е. Функция \(a=8x^{2}-167x+2436\) является квадратичной, ветви параболы — её графика — направлены вверх. Наименьшего значения эта функция достигает в точке, являющейся абсциссой вершины её графика, т. е. в точке \(x_{0}=\frac{167}{16}=10\frac{7}{16}\). Это число не является целым, поэтому на множестве целых неотрицательных чисел функция \(a=8x^{2}-167x+2436\) достигает наименьшего значения в ближайшей к \(x_{0}\) целой точке, т. е. в точке \(x=10\). Следовательно, на первый объект нужно направить 10 рабочих, на второй объект — 18 рабочих, суточные расходы при этом составят \(a(10)=8\cdot 10^{2}-167\cdot 10+2436=1566\) д.е. Ответ. На первый объект нужно направить 10 рабочих, на второй объект—18 рабочих; суточные затраты составят 1566 д. е.

Ответ: 10; 18; 1566

Решение №36218: Пусть на заводе, расположенном в первом городе, рабочие трудятся \(25x^{3}\) часов, а на заводе, расположенном во втором городе, \(9y^{3}\) часов. Тогда за неделю будет произведено \(x+y\) единиц изделий, а затраты на оплату труда составят \(100(25x^{3}+9y^{3})\) д. е. Обозначим \(100(25x^{3}+9y^{3})\) через \(a\), т. е. введём параметр (целевую функцию). Таким образом, нужно найти наименьшее значение функции \(a=100(25x^{3}+9y^{3})\) при условии \(x+y=15\), откуда \(y=15-x\). Тогда \(a=100(25x^{3}+9(15-x)^{3})\). Требуется найти наименьшее возможное значение функции \(a=100(25x^{3}+9(15-x)^{3})\), где \(0\leq x\leq 15\). Найдём производную функции: \(a'=100(25\cdot Зx^{2}-9\cdot 3\cdot (15-x)^{2})\), откуда \(a'=300(25x^{2}-9(15-x^{2})\). Производная обращается в нуль, если \(25x^{2}-9(15-x)^{2}=0\), т. е. если \(\left\[\begin{matrix} 5x=3(15-x),\\5x=-3(15-x)\) \end{matrix}\right.\), т. е. \(\left\[\begin{matrix} x=5\fracP5}{8}, \\x=-22,5 \end{matrix}\right.\). Условию \(0\leq x\leq 15\) удовлетворяет только \(х=5\frac{5}{8}\). Если \(x\in\left (0; 5\frac{5}{8}\right )\), то \(a'<0\); если \(x\in \left (5\frac{5}{8}; 15\right )\), то \(a'>0\). Значит, \(x=5\frac{5}{8}\) — точка минимума, и, поскольку это единственная точка экстремума на рассматриваемом промежутке, наименьшее значение функции \(a=100(25x^{3}+9(15-x)^{3})\) достигается в этой точке. Но \(x=5\frac{5}{8}\) не является целым числом. Поэтому для вычисления наименьшего значения данной целевой функции на множестве целых чисел нужно найти её значения в двух целых точках, между которыми заключена её точка минимума, т. е. в точках 5 и 6. Сделаем это: \(a(5)=100(25\cdot 5^{3}+9(15-5)^{3})=1212500\); \(a(6)=100(25\cdot 6^{3}+9(15-6)^{3})=1196100\). Меньшим из двух найденных чисел является \(a(6)\). Ответ. 1196100.

Ответ: 1196100

Решение №36219: 19.4

Ответ: 19.4

Решение №36220: 29.2

Ответ: 29.2

Решение №36221: 15.9

Ответ: 15.9

Решение №36222: 18.81

Ответ: 18.81

Решение №36223: 3300

Ответ: 3300

Решение №36224: 4500

Ответ: 4500

Решение №36225: В одном классе — 22 девочки, в другом — 3 девочки и 20 мальчиков

Ответ: 22; 3; 20

Решение №36226: В одном классе — 21 мальчик, в другом — 20 девочек и 2 мальчика.

Ответ: 21; 20; 2

Решение №36227: 2,685 млн рублей

Ответ: 2685000

Решение №36228: 53500 руб

Ответ: 53500