Задачи

Фильтрация

Показать фильтрацию

По классам:

По предметам:

По подготовке:

По классам:

По авторам:

Число 26 представить в виде суммы трех положительных слагаемых так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей, если известно, что второе слагаемое больше первого в 3 раза

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: {4;10;12}

Из городов \(A\) и \(B\) одновременно навстречу друг другу выезжает велосипедист и выходит пешеход. Скорость велосипедиста 25 км/ч, скорость пешехода \(x\) км/ч. После встречи они поворачивают назад и возвращаются каждый в свой город, причем велосипедист при этом движется с прежней скоростью, а пешеход увеличивает свою скорость на 1 км/ч. Найти время нахождения в пути пешехода, если расстояние между городами \(s\) км. При каком значении \(х\) это время будет наибольшим?

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \(t=\frac{s(2x+1)}{(25+x)(x+1)}\); \(x_{max}=3\)

Из пункта \(A\) со скоростью \(v\) (км/ч) на прогулку вышел пешеход. Когда он отошел от \(A\) на 6 км, из \(A\) следом за ним выехал велосипедист, скорость которого была на 9 км/ч больше скорости пешехода. Велосипедист догнал пешехода, они повернули назад и вместе возвратились в \(A\) со скорость 4 км/ч. При каком значении \(v\) время прогулки пешехода окажется наименьшим?

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 6

Найти точку графика функции \(y=x^{2}+\frac{1}{2}\), ближайшую к точке \(A\left ( \frac{1}{4};1 \right )\)

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: <0,5;0,75>

Найти наименьшее расстояние от точки\(M (2;0)\) до точек графика функции \(y=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{27(x-2)}}\). Ответ умножить на \(\sqrt{3}\)

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 1

На координатной плоскости рассматривается прямоугольник \(ABCD\), у которого сторона \(AB\) лежит на оси координат, вершина \(C\) на параболе \(y=x^{2}-4x+3\), а вершина \(D\) - на параболе \(y=-x^{2}+2x-2\). При этом абсцисса вершины \(D\) принадлежит отрезку \(\left [ \frac{4}{5};\frac{3}{2} \right ]\). Какое значение должна иметь абсцисса вершины \(D\), чтобы площадь прямоугольника \(ABCD\) была наименьшей?

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 0.8

Определите, является ли последовательность ограниченной сверху, ограниченной снизу, ограниченной: \(x_{n}=\frac{1+3+...+\left ( 2n-1 \right )}{n^{2}+1} \)

Решение №3469: По формуле суммы первых n членов арифметической прогрессии \(1+3+...+\left ( 2n-1 \right )=\frac{1+\left ( 2n-1 \right )}{2}n=n^{2}\). Тогда \(x_{n}=\frac{n^{2}}{n^{2}+1}=1-\frac{1}{n^{2}+1}\). Последовательность \(\left \{ x_{n} \right \} \)ограничена снизу числом 0, а сверху числом 1.

Ответ: NaN

Выясните, является ли последовательность, заданная реккурентно, ограниченной: \(x_{n+1}=\sqrt{3+x_{n}}, x_{1}=4 \)

Решение №3472: Можно доказать с помощью метода математической индукции два утверждения: 1) \(\forall n\in N x_{n+1}> x_{n} и 2) \forall n\in N, n\geqslant 2 x_{n}< 3 \) База индукции очевидна. Переход индукциидоказывает цепочка соотношений \(x_{n+1}=\sqrt{3+x_{n}}> \sqrt{3+x_{n-1}}=x_{n}\), верная в силу свойств корней и индукционного предположения \(x_{n}> x_{n-1}\). 2) База индукции: \(x_{2}=\sqrt{7}< 3\). Переход индукции: В силу индукционного предположения \(x_{n}< 3\), а тогда \(x_{n+1}^{2}=3+x_{n}< 3+3=6\), и следовательно, \(x_{n+1}< 3\). Из первого и второго утверждения следует ограниченность последовательности\(\left \{ x_{n} \right \}.\)

Ответ: NaN

Известно, что последовательность \(\left \{ x_{n} \right \} \)ограничена. Выясните, является ли последовательность\( \left \{ y_{n} \right \}\),обязательно ограниченной,может ли она быть ограниченной, или всегда является неограниченной (если последовательность \(\left \{ y_{n} \right \} \)существует): \(y_{n}=\log x_{n} \)

Решение №3478: Необязательно ограничена. Например, при \(x_{n}=\frac{1}{n} \) получаем последовательность \(y_{n}=-\log n\), которая является неограниченной.

Ответ: NaN

Выясните, является ли последовательность\( \left \{ x_{n} \right \} \)монотонной; монотонной, начиная с некоторого места:\(x_{n}=\frac{\sin \pi x}{n} \)

Решение №3488: При \(x\in \left ( 2k;2k+1 \right )\) убывает; при \(x\in \left ( 2k-1;2k \right \)) возрастает; при \(x\in Z\) является константой, поэтому может быть сочтена как нестрого возрастающей, так и нестрого убывающей. 1) Если \(\sin \pi x> 0\Leftrightarrow 2k< x< 1+2k, k\in Z.\) Тогда \(\forall n\in N x_{n}=\frac{\sin \pi x}{n}> \frac{\sin \pi x}{n+1}=x_{n+1}\), значит, последовательность \(\left \{ x_{n} \right \}\) убывающая. 2) Если \(\sin \pi x< 0\Leftrightarrow 2k+1< x< 2+2k, k\in Z\). Тогда \(\forall n\in N x_{n}=\frac{\sin \pi x}{n}< \frac{\sin \pi x}{n+1}=x_{n+1}\), значит, последовательность \(\left \{ x_{n} \right \}\) убывающая. 3) Если \(x\in Z, то x_{n}=0\)

Ответ: NaN

Докажите, используя определение предела. \(\lim_{n \to \propto} \frac{n^{2}+1}{n^{2}}=1 \)

Решение №3494: \( \lim_{n \to \propto} \frac{n^{2}+1}{n^{2}}=1\Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0 \exists N\varepsilon \in N:\forall n\geqslant N\varepsilon \left | \frac{n^{2}+1}{n^{2}} -1\right |< \varepsilon\) . Рассмотрим неравенство \(\left | \frac{n^{2}+1}{n^{2}} -1\right |< \varepsilon \Leftrightarrow \frac{1}{n^{2}}< \varepsilon \Leftrightarrow n> \frac{1}{\sqrt{\varepsilon }}\), т.е. в качестве \(N_{\varepsilon }\) можно взять \(N_{\varepsilon }=\left [ \frac{1}{\sqrt{\varepsilon }} \right ]+1 \)

Ответ: NaN

Найдите (угадайте), к какому числу сходится поледовательность, и докажите, что это число действительно предел последовательности по определению: \(x_{n}=\frac{1}{2n^{2}+5n} \)

Решение №3498: Докажем, что \(\lim_{n \to \propto} \frac{1}{2n^{2}+5n}=0\). Рассмотрим неравенство \(\left | \frac{1}{2n^{2}+5n} \right |< \varepsilon \Leftrightarrow \frac{1}{2n^{2}+5n}< \varepsilon \Leftrightarrow 2n^{2}+5n> \frac{1}{\varepsilon}\). Так как \(2n^{2}+5n> 2n^{2}\), то решим неравенство \(2n^{2}> \frac{1}{\varepsilon }\), откуда \(n> \sqrt{\frac{1}{2\varepsilon }}\) и в качестве \(N_{\varepsilon } \) можно взять \(N_{\varepsilon }=\left [ \sqrt{\frac{1}{2\varepsilon }} \right ]+1. \)

Ответ: NaN

Найдите (угадайте), к какому числу сходится поледовательность, и докажите, что это число действительно предел последовательности по определению: \( \frac{1}{2}; 1; \frac{1}{4}; \frac{1}{3}; \frac{1}{8}; \frac{1}{5}; \frac{1}{16}; \frac{1}{7}; ....;\)

Решение №3499: 0

Ответ: 0

Найдите (угадайте), к какому числу сходится поледовательность, и докажите, что это число действительно предел последовательности по определению: \( x_{n}=\left [ \frac{7n+5}{n^{2}+1} \right ] \)

Решение №3502: 0. Действительно, так как при n> 8 выполнено \(0< \frac{7n+5}{n^{2}+1}< 1\), то при n> 8 будет выполняться \(x_{n}=0.\)

Ответ: 0

Верно ли, что \(\lim_{n \to \propto} x_{n}=+\propto\), если все члены последовательноти \(\left \{ x_{n} \right \}\) - натуральные числа?

Решение №3509: Например поледовательность с общим членом \(x_{n}=1. \)

Ответ: Нет

Приведите примеры таких бесконечно малых последовательностей \(\left \{ x_{n} \right \} \) и бесконечно больших последовательностей \(\left \{ y_{n} \right \}\), что \(\lim_{n \to \propto} \left ( x_{n}*y_{n} \right )=B\), где B - конечное число\)

Решение №3513: \( x_{n}=\frac{1}{2n+1}; y_{n}=n. \)

Ответ: NaN

Приведите примеры таких бесконечно малых последовательностей \(\left \{ x_{n} \right \} \)и бесконечно больших последовательностей \(\left \{ y_{n} \right \}\), что \(\lim_{n \to \propto} \left ( x_{n}*y_{n} \right )\) не существует.

Решение №3515: \( x_{n}=\frac{\left ( -1 \right )^{n}}{n}; y_{n}=n. \)

Ответ: NaN

Приведите примеры таких бесконечно больших последовательностей \(\left \{ x_{n} \right \} и \left \{ y_{n} \right \}\), что \(\lim_{n \to \propto} \frac{x_{n}}{y_{n}}=1\)

Решение №3517: \( x_{n}=n-1; y_{n}=n+1\)

Ответ: NaN

Приведите примеры таких бесконечно больших последовательностей \left \{ x_{n} \right \} и \left \{ y_{n} \right \}\), что \(\lim_{ n \to \propto} \frac{x_{n}}{y_{n}}\) не существует.

Решение №3519: \( x_{n}=\left ( -1 \right )^{n}; y_{n}=n \)

Ответ: NaN

Пусть \( \lim_{n \to \propto} x_{n}=\propto\). Верно ли, что \(\lim_{n \to \propto} y_{n}=\propto, \lim_{n \to \propto} \left ( x_{n}+y_{n} \right )=\propto\)

Решение №3529: Нет, например \(x_{n}=\left ( -1 \right )^{n}n y_{n}=\left ( -1 \right )^{n+1}n. Тогда \lim_{n \to \propto} \left ( x_{n}+y_{n} \right )=0 \)

Ответ: NaN

Приведите примеры таких бесконечно малых последовательностей \(\left \{ x_{n} \right \} и \left \{ y_{n} \right \}\), что \(\lim_{ n \to \propto} \frac{x_{n}}{y_{n}}\) не существует.

Решение №3534: \(x_{n}=\frac{\left ( -1 \right )^{n}}{n}, y_{n}=\frac{1}{n} \)

Ответ: NaN

Пусть \(\lim n \to \propto x_{n}y_{n}=0\). Следует ли отсюда, что: хотя бы один из пределов \(\lim_{n \to \propto} x_{n} или \lim_{n \to \propto} y_{n} \)

Решение №3536: Нет, например \(x_{n}=\left\{\begin{matrix}n, n=2k \\ \frac{1}{n^{2}}, n=2k-1 \end{matrix}\right. y_{n}=\left\{\begin{matrix}\frac{1}{n^{2}}, n=2k \\ n, n=2k-1 \end{matrix}\right.\) Тогда \(x_{n}y_{n}=\frac{1}{n}\)

Ответ: NaN

Докажите, что из существования предела частного двух последовательностей \(\lim_{n \to \propto} \left ( \frac{x_{n}}{y_{n}} \right ) \) не следует существования хотя бы одного из пределов \(\lim_{n \to \propto} x_{n} \)или\( \lim_{n \to \propto} y_{n}\)

Решение №3537: \( x_{n}=\left ( -1 \right )^{n}, y_{n}=\left ( -1 \right )^{n}n\)

Ответ: NaN

Докажите, что из существования пределов\( \lim_{n \to \propto} \left ( \frac{x_{n}}{y_{n}} \right )\) и \(\lim_{n \to \propto} y_{n} \)следует существование \(\lim_{n \to \propto} x_{n}\)

Решение №3539: \( \lim_{n \to \propto} \frac{x_{n}}{y_{n}}*\lim n \to \propto y_{n}=\lim_{n \to \propto} \frac{x_{n}*y_{n}}{y_{n}}=\lim_{n \to \propto} x_{n} \)

Ответ: NaN

Приведите примеры расходящихся последовательностей \(\left \{ x_{n} \right \} \)и \(\left \{ y_{n} \right \}\), для которых сходится последовательность \(\left \{ x_{n}+y_{n} \right \} \)

Решение №3540: \( x_{n}=n+1, y_{n}=-n \)

Ответ: NaN

Известно, что \(\forall n\in N x_{n}\neq 1\) и \(\lim_{n \to \propto} x_{n}=1\). Найдите \(\lim_{n \to \propto} y_{n}\), если: \(y_{n}=\frac{x_{n}-1}{x_{n}^{2}-1}\)

Решение №3548: \(\frac{1}{3}; -1\)

Ответ: NaN

Найдите \(\lim n_{\to \propto} x_{n}\), если \(x_{n}=\frac{3+0.5^{n}}{0.3^{n}+5}\)

Решение №3552: \( \lim_{n \to \propto} \frac{3^{n}}{5+3^{n+1}}=\lim_{n \to \propto} \frac{1}{5\left ( \frac{1}{3} \right )^{n}+3}=\frac{1}{3} \)

Ответ: \frac{1}{3}

Найдите\( \lim_{n \to \propto} x_{n}\), если \(x_{n}=\sqrt[3]{n^{3}+2n^{2}}-n\)

Решение №3568: \( \lim_{n \to \propto} \left ( \sqrt[3]{n^{3}+2n^{2}-n} \right )=\lim_{ n \to \propto} \frac{n^{3}+2n^{2}-n^{3}}{\sqrt[3]{\left ( n^{3}+2n^{2} \right )^{2}}+\sqrt[3]{n^{6}+2n^{5}}+n^{2}}=\lim_{n \to \propto} \frac{2n^{2}}{n^{2}\left ( \sqrt[3]{\left ( 1+\frac{2}{n} \right )^{2}}+\sqrt[3]{1+\frac{2}{n}}+1 \right )}=\frac{2}{3} \)

Ответ: \frac{2}{3}

Найдите \(\lim_{n \to \propto} x_{n}\), воспользовавшись свойствами пределов, связанными с неравенствами и арифметическими действиями с пределами. \(x_{n}=\sqrt[n]{2^{n}-n^{2}} \)

Решение №3575: При n> 7 верно неравенство (доказываемое по индукции)\(2^{n-1}\leqslant 2^{n}-n^{2}< 2^{n}-n^{2}< 2^{n}\Leftrightarrow \sqrt[n]{2^{n-1}}\leqslant \sqrt[n]{2^{n}-n^{2}}< \sqrt[n]{2^{n}}, \lim_{n \to \propto} \sqrt[n]{2^{n-1}}=\lim_{n \to \propto}\sqrt[n]{2^{n}}=2. \)

Ответ: 2

Докажите, что \(\left \{ x_{n} \right \}\) сходится, и найдите \(\lim_{n \to \propto} x_{n} : x_{1}=\sqrt[k]{5}, x_{n+1}=\sqrt[k]{5x_{n}}, где k\in N\)

Решение №3584: Найдем искомый предел из уравнения \(A^{k}=5A\) ( так как \(x_{n+1}^{k}=5x_{n}\)). Откуда A=0 или \(A=\sqrt[k-1]{5}\). Так как последовательность \(\left \{ x_{n} \right \} \) возрастает и \(x_{1}=\sqrt[k]{5}> 1,то A=\sqrt[k-1]{5}\). Докажем возрастание и ограниченность последовательности \(\left \{ x_{n} \right \}\) по индукции. Так как \(x_{n+1}< x_{n}\) по индукционному предположению , \(то x_{n}=\sqrt[k]{5x_{n-1}}< \sqrt[k]{5x_{n}}=x_{n+1}\). Кроме того, \(x_{n+1}=\sqrt[k]{5x_{n}}< \sqrt[k]{5A}=A. \)

Ответ: NaN

Пусть последовательность задана в виде\( \forall n\in N x_{n+1}=f\left ( x_{n} \right )\), причем f - возрастающая функция. Докажите, что если \(x_{1}\leqslant x_{2}, то \left \{ x_{n} \right \} \)- возрастающая последовательность.

Решение №3589: \( x_{1}\leqslant x_{2}=f\left ( x_{1} \right ) \leqslant f\left ( x_{2} \right )=x_{3}\leqslant ...\leqslant x_{n}=f\left ( x_{n-1} \right )\leqslant f\left ( x_{n} \right )=x_{n+1} \) в силу возрастания функции f. Тогда последовательность \(\left \{ x_{n} \right \} \)- возрастающая (не строго).

Ответ: NaN

Дана последовательность \(\left \{ a_{n} \right \}\). Рассмотри последовательности \(x_{n}=a_{2n}, y_{n}=a_{2n-1}, z_{n}=a_{2n+4}, u_{n}=a_{3n} \) Верно ли утверждение, что последовательность \(\left \{ z_{n} \right \}\) сходится, то и последовательность\( \left \{ x_{n} \right \}\) сходится?

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: Да

Известно, что последовательности \(\left \{ x_{n} \right \}\) и \(\left \{ y_{n} \right \} \)являются ограниченными. Какие из последовательностей\( \left \{ z_{n} \right \} \)обязательно являются ограниченными, какие могут быть ограниченными, а какие всегда являются ограниченными (если последовательность \(\left \{ z_{n} \right \}\) существует):\(z_{n}=\ln x_{n}+y_{n} \)

Решение №3599: Может быть как ограниченной, так и неограниченной.

Ответ: NaN

Известно, что последовательности \(\left \{ x_{n} \right \} \)и \(\left \{ y_{n} \right \}\) являются ограниченными. Какие из последовательностей \(\left \{ z_{n} \right \}\) обязательно являются ограниченными, какие могут быть ограниченными, а какие всегда являются ограниченными (если последовательность \(\left \{ z_{n} \right \}\) существует): \(z_{n}=\frac{\sin x_{n}}{\sin y_{n}}\)

Решение №3601: Может быть как ограниченной, так и неограниченной.

Ответ: NaN

Найдите \(\lim_{n \to \propto} x_{n}\), если \(x_{n}= \frac{\sqrt[3]{n}-\sqrt[3]{n+1}}{\sqrt[4]{n+1}+\sqrt[4]{n}}\)

Решение №3606: \( \lim_{n \to \propto}\frac{\sqrt[3]{n}-\sqrt[3]{n+1}}{\sqrt[4]{n+1}+\sqrt[4]{n}}=\lim_{n \to \propto}\frac{\left ( n-n-1 \right )\left ( \sqrt[4]{n+1}-\sqrt[4]{n} \right )\left ( \sqrt{n+1}+\sqrt{n} \right )}{\left ( \sqrt[3]{n^{2}}+\sqrt[3]{n^{2}+n}+\sqrt[3]{\left ( n+1 \right )^{2}} \right )\left ( n+1-n \right )}=\lim_{n \to \propto}\frac{-n^{\frac{1}{4}}\left ( \sqrt[4]{1+\frac{1}{n}}-1 \right )n^{\frac{1}{2}}\left ( \sqrt{1+\frac{1}{n}}+\sqrt{1} \right ) }{n\frac{2}{3}\left ( \sqrt[3]{1}+\sqrt[3]{1+\frac{1}{n}}+\sqrt[3]{1+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^{2}}} \right )}=0\)

Ответ: 0

При каких значениях параметра a последовательность \(x_{n}=\sqrt{an^{2}+bn+2}-n, n\in N\), имеет конечный предел?

Решение №3607: 1) Если \(a\neq 0, то \lim_{n \to \propto}\sqrt{an^{2}+bn+2}-n=\lim n \to \propto\frac{an^{2}+bn+2-n^{2}}{\sqrt{an^{2}+bn+2}+n}=\lim_{n \to \propto}\frac{\left ( a-1 \right )n^{2}+bn+2}{n\left ( \sqrt{a+\frac{b}{n}+\frac{2}{n^{2}}+1} \right )}=A\) Ясно, что если \(a=1\), то \(A=\frac{b}{2}\), еcли \(a> 1\), то \(A=+\propto \), и если \(a< 1, A=-\propto\) .Тогда \(\lim_{n \to \propto} x_{n}=1 при b=2\) 2) Если a=0. Тогда при всех значениях b имеем \(\lim_{n \to \propto}\left ( \sqrt{bn+2}-n \right )=-\propto \)

Ответ: 1

Пусть \(\lim_{n \to \propto} a_{n}=a, a> 0\). Докажите, что \(\lim_{n \to \propto}\sqrt[n]{a_{n}}=1 \)

Решение №3610: \( \lim_{n \to \propto} \sqrt[n]{a}=1\) при a> 0. Пусть \(\lim_{n \to \propto} \sqrt[n]{a}=A> 0\). Из определения предела следует, что, начиная с некоторого n,выполнено неравенство \(\frac{A}{2}< a_{n}< \frac{3A}{2}, откуда \sqrt[n]{\frac{A}{2}}< \sqrt[n]{a_{n}}< \sqrt[n]{\frac{3A}{2}}\). По теореме о сжатой последовательности получаем \(\lim_{n \to \propto} \sqrt[n]{a}=1 .\)

Ответ: NaN

Приведите пример сходящейся неотрицательной последовательности \(\left \{ a_{n} \right \}\), для которой последовательность\(\left \{ \sqrt[n]{a_{n}} \right \}\) расходится.

Решение №3611: \(x_{n}=\left\{\begin{matrix}\left ( \frac{1}{2} \right )_{n}, n=2k \\ \left ( \frac{1}{3} \right )^{n}, n=2k-1 \end{matrix}\right. \)

Ответ: NaN

Докажите, что последовательность \(\left \{ x_{n} \right \}\) сходится: \(x_{n}=1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{3}}+...+\frac{1}{n^{n}} \)

Решение №3621: Так как \(\forall n\in N x_{n+1}-x=\frac{1}{\left ( n+1 \right )^{n+1}}> 0\), то последовательность \(\left \{ x_{n} \right \}\) возрастает. Кроме того \(\forall n\in N x_{n}< 1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+...+\frac{1}{2^{n}}=\frac{1}{2}+\left ( \frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+...+\frac{1}{2^{n}} \right )< \frac{3}{2}\). То есть последовательность \(\left \{ x_{n} \right \}\) ограничена сверху.

Ответ: NaN

Вычислите при каком значении \(x_{1}\) сходится последовательность\( x_{n+1}=x_{n}^{3}+\frac{3}{4}x_{n} \)

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: x_{1}\in \left [ -\frac{1}{2};\frac{1}{2} \right ]

Исследуйте на сходимость последовательность\( x_{1}=-3, x_{n+1}=1+\frac{6}{x_{n}} \)

Решение №3629: Выпишем несколько первых членов последовательности: \(x_{1}=-3; x_{2}=-1; x_{3}=-5; x_{4}=-\frac{1}{5}; x_{5}=-29; x_{6}=\frac{23}{29}; x_{7}=1+\frac{6*29}{23}\). Таким образом, процесс переходит в первую четверть \(\left ( x_{k}> 0 \right )\), а сначала хотелось сказать, что он расходится. Далее получим, что \(\forall n\geqslant 6\left ( x_{n}> 0 \right ) \)последовательность \(\left \{ x_{2n} \right \} \)возрастающая и ограничена сверху, а последовательность \(\left \{ x_{2n+1} \right \}\) убывающая и ограничена снизу \(\left ( n\geqslant 3 \right ), \lim_{n \to \propto} x_{n}=3. \)

Ответ: NaN

Исследуйте на сходимость последовательность \(x_{1}=\frac{6}{7}, x_{n+1}=4-\frac{3}{x_{n}}\)

Решение №3631: Как обычно, мешает разрыв. Было бы хорошо сказать, что функция возрастает и последовательность \(\left \{ x_{n} \right \}\) возрастает. Но всё не так: \(x_{2}=\frac{1}{2}; x_{3}=-2; x_{4}=\frac{11}{2}; x_{5}=3\frac{5}{11}; x_{6}=3\frac{5}{38}\). При \(n\leqslant 4\) последовательность \(\left \{ x_{n} \right \}\) убывает. Значение ппредела получается из уравнения \(a=4-\frac{3}{a}\Leftrightarrow \left [ \begin{matrix}a-3 \\ a=1 \end{matrix} \right \) Но \(\lim_{n \to \propto} x_{n} =3 \), и это, вообще говоря, надо доказать.

Ответ: NaN

Пусть последовательность \(\left \{ a_{n} \right \} \)сходится, а последовательность \(\left \{ b_{n} \right \} \)ограничена, причем при всех натуральных n выполнено неравенство\( b_{n+1}-b_{n}\geqslant a_{n+1}-a_{n}\). Докажите, что последовательность \( \left \{ b_{n} \right \}\) сходится.

Решение №3641: Приведённое неравенство равносильно тому, что последовательность\( \left \{ b_{n}-a_{n} \right \}\) возрастает. Будучи разностью двух ограниченных, эта последовательность ограничена, а тогда она сходится. Таким образом, поскольку \(b_{n}=a_{n}+\left ( b_{n}-a_{n} \right )\), то последовательность \(\left \{ b_{n} \right \}\) сходится как сумма двух сходящихся последовательностей.

Ответ: NaN

Последовательность \(\left \{ x_{n} \right \}\) задана формулой \(x_{n}=nx_{n-1}+2, x_{0}=c.\) При каких значениях параметра c последовательность сходится?

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: c=2-2e

Докажите, что \(\forall n\in N: \frac{1}{n}-\frac{1}{n^{2}}< \ln \left ( 1+\frac{1}{n} \right )< \frac{1}{n} \)

Решение №3651: Левая часть данного неравенства получается логарифмированием по основанию e обеих частей неравенства задания в. Правая часть неравенства получается логарифмированием по основанию e неравенства \(\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^{n}< e\)

Ответ: NaN