Решение №15843: ОДЗ: \( 0< x\neq 1 \) Перепишем уравнение в виде \( \left ( 3^{\log _{3}} \right )^{\log _{3}}+x^{\log _{3}}=162\Leftrightarrow x^{\log _{3}}+x^{\log _{3}}=162\Leftrightarrow x^{\log _{3}}=81\Leftrightarrow \log _{3}^{2}x=4 \) Тогда \( \left ( \log _{3}x \right )_{1}=-2 \), или \( \left ( \log _{3}x \right )_{2}=2 \), откуда \( x_{1}=\frac{1}{9}, x_{2}=9 \)

Ответ: \( \frac{1}{9}; 9 )\

Решение №15844: ОДЗ: \( x> 0 \) Перейдем к основанию 3. Тогда \( \left | 2\log _{3}x-2 \right |-\left | \log _{3}x-2 \right |=2 \) Раскрывая модули получим три случая: \( \left\{\begin{matrix} \log _{3}x< 1, & & \\ -2\log _{3}x+2+\log _{3}x-2=2 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \log _{3}x< 1, & & \\ \log _{3}x=-2 & & \end{matrix}\right. \Rightarrow x_{1}=3^{-2}=\frac{1}{9}; \left\{\begin{matrix} 1\leq \log _{3}x< 2, & & \\ 2\log _{3}x-2+\log _{3}x+2=2 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 1\leq \log _{3}x< 2, & & \\ \log _{3}x=2 & & \end{matrix}\right. \log _{3}x=2 \), не подходит так как \( \log _{3}x< 2 . \left\{\begin{matrix} \log _{3}x\geq 2, & & \\ 2\log _{3}x-2-\log _{3}x+2=2 & & \end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix} \log _{3}x\geq 2, & & \\ \log _{3}x=2 & & \end{matrix}\right. \Rightarrow x_{2}=3^{2}=9 \)

Ответ: \( \frac{1}{9}; 9 )\

Решение №15845: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} 0< a\neq 1, & & \\ 0< x\neq 1. & & \end{matrix}\right. \) Перейдем к основанию \( a \)Получаем \( \frac{3\log_{a}x-2}{\log_{a}^{2}x}=2\log_{a}x-3 \Leftrightarrow 2\log_{a}^{3}x-3\log_{a}^{2}x-3\log_{a}x+2=0 \), т.к. \( \log_{a}x\neq 0 \) Далее имеем \( 2\left ( \log_{a}^{3}x \right )-3\log_{a}x\left ( \log_{a}x+1 \right )=0 \Leftrightarrow 2\left ( \log_{a}x+1 \right \)left ( \log_{a}^{2}x-\log_{a}x+1 \right )-3\log_{a}x\left ( \log_{a}x+1 \right )=0 \Leftrightarrow \left ( \log_{a}x+1 \right \)left ( 2\log_{a}^{2}x-5\log_{a}x+2 \right )=0 \), откуда \( \log_{a}x+1=0 \), или \( 2\log_{a}^{2}x-5\log_{a}x+2=0 \) Из первого уравнения \( \log_{a}x=-1, x_{1}=\frac{1}{a} \) Из второго уравнения \( \log_{a}x=\frac{1}{2} \), или \( \log_{a}x=2 \), откуда \( x_{2}=\sqrt{a}, x_{3}=a^{2} \)

Ответ: \( \frac{1}{a}; \sqrt{a}; a^{2} )\

Решение №15846: \( \log _{\sqrt{3}}\sqrt[6]{a}=\frac{1}{6}*2\log _{3}a=\frac{1}{3\log _{a}3}= \frac{1}{\log _{a}27} = \frac{1}{b} \)

Ответ: \( \frac{1}{b} )\

Решение №15847: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} x-y> 0 & & & \\ x+y> 0 & & & \\ 0< xy\neq 1 & & & \end{matrix}\right. \) Имеем \( \left\{\begin{matrix} x-y=xy & & \\ x+y=1 & & \end{matrix}\right. \Rightarrow y=1-x, x-\left ( 1-x \right )-x\left ( 1-x \right )=0, x^{2}+x-1=0 \), откуда \( x_{1}=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}, x_{2}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}, y_{1}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}, y_{2}=\frac{3-\sqrt{5}}{2} \) Тогда с учетом ОДЗ имеем \( x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}, y=\frac{3-\sqrt{5}}{2} \)

Ответ: \( \frac{-1+\sqrt{5}}{2}; \frac{3-\sqrt{5}}{2} )\

Решение №15848: ОДЗ: \( 0< x\neq 1 \) Из условия имеем \( \log _{2}3+\log _{2}x=x^{\frac{\log _{3}4}{\log _{3}x}} \Leftrightarrow \log _{2}3+\log _{2}x=x^{\log _{x}4} \Rightarrow \log _{2}3+\log _{2}x=4, \log _{2}3x=4 \), откуда \( 3x=16, x=\frac{16}{3} \)

Ответ: \( \frac{16}{3} )\

Решение №15849: ОДЗ: \( x-4> 0, x> 4 \) Решая это уравнение как биквадратное относительно \( \log _{2}\left ( x-4 \right ) \), имеем \( \left ( \log _{2}\left ( x-4 \right ) \right )_{1}=-2; \left ( \log _{2}\left ( x-4 \right ) \right )_{2}=2; \left ( \log _{2}\left ( x-4 \right ) \right )_{3}=-3; \left ( \log _{2}\left ( x-4 \right ) \right )_{4}=3 \), откуда \( x_{1}=\frac{17}{4}, x_{2}=8, x_{3}=\frac{33}{8}, x_{4}=12 \)

Ответ: \( \frac{17}{4}, \frac{33}{8}, 8, 12 )\

Решение №15850: \( \log _{30}8=\frac{\log _{2}8}{\log _{2}30}=\frac{3}{\log _{2}\left ( 2*5*3 \right )}=\frac{3}{1+\log _{2}5+\log _{2}3} . \lg _{5}=\frac{\log _{2}5}{\log _{2}10}=\frac{\log _{2}5}{\log _{2}\left ( 2*5 \right )}=\frac{\log _{2}5}{1+\log _{2}5}=a; \log _{2}5=\frac{a}{1-a}. \lg _{3}=\frac{\log _{2}5}{\log _{2}10}=\frac{\log _{2}3}{\log _{2}\left ( 2*5 \right )}=\frac{\log _{2}3}{1+\log _{2}5}=\frac{\log _{2}3}{1+\frac{1}{1-a}}=\frac{\left (1-a \right \)log _{2}3}{1}=b; \log _{2}3=\frac{b}{1-a} \) Таким образом, \( \log _{30}8=\frac{3}{1+\frac{a}{1-a}+\frac{b}{1-a}}=\frac{3\left ( 1-a \right )}{1+b} \)

Ответ: \( \frac{3\left ( 1-a \right )}{1+b} )\

Решение №15851: ОДЗ: \( 3-4x^{2}> 0 \Leftrightarrow -\frac{\sqrt{3}}{2}< x< \frac{\sqrt{3}}{2} \) Из условия \( 5^{\log _{5}\left ( 3-4x^{2} \right )}+1.5x\log _{2^{-3}}2^{2}=0 \Leftrightarrow 3-4x^{2}-x=0 \Leftrightarrow 4x^{2}+x-3=0 \), откуда \( x_{1}=-1, x_{2}=\frac{3}{4}; x_{1}=-1 \) не подходит по ОДЗ.

Ответ: \( \frac{3}{4} )

Решение №15852: ОДЗ: \( x^{2}-4\geq 0\Leftrightarrow x\epsilon \left ( -\infty ; -2 \right ]\cup \left [ 2; \infty \right ) \) Запишем уравнение в виде \( 2^{x+\sqrt{x^{2}-4}}-\frac{5}{2}*2^{\frac{x+\sqrt{x^{2}-4}}{2}}-6=0 \) Решая его как квадратное относительно \( 2^{\frac{x+\sqrt{x^{2}-4}}{2}} \), имеем \( 2^{\frac{x+\sqrt{x^{2}-4}}{2}}=-\frac{3}{2} \) (нет решений), или \( 2^{\frac{x+\sqrt{x^{2}-4}}{2}}=2^{2} \Rightarrow \frac{x+\sqrt{x^{2}-4}}{2}=2, \sqrt{x^{2}-4}=4-x \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^{2}-4=16-8x+x^{2}, & & \\ 4-x\geq 0, & & \end{matrix}\right. \), откуда \( x=\frac{5}{2} \)

Ответ: \( \frac{5}{2} )\

Решение №15853: Имеем \( \left ( \frac{3}{5} \right )^{x}\left ( \frac{25}{9} \right )^{-2x^{2}+24}=\left ( \frac{3}{5} \right )^{-2x^{2}+x+24}=\left ( \frac{3}{5} \right )^{9}, -2x^{2}+x+24=9, 2x^{2}-x-15= 0 \), откуда \( x_{1}=-\frac{5}{2}, x_{2}=3 \)

Ответ: \( -\frac{5}{2}, 3 )\

Решение №15854: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} x\neq 1 & & \\ x\neq \frac{7}{3} & & \end{matrix}\right.\) Перепишем уравнение в виде \( 2^{\frac{3x-9}{3x-7}}*2^{-\frac{3x-1}{3x-3}}=2^{0}, 2^{\frac{3x-9}{3x-7}-\frac{3x-1}{3x-3}}=2^{0} \), откуда \( \frac{3x-9}{3x-7}-\frac{3x-1}{3x-3}=0\Rightarrow x=\frac{5}{3} \)

Ответ: \( \frac{5}{3} )\

Решение №15855: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} 1-x> 0, & & \\ 1-x\neq 1, 0\neq x< 1 & & \end{matrix}\right \) Из условия \( \log _{1-x}\frac{3}{2}=0.5\Leftrightarrow \frac{3}{2}=\sqrt{1-x}\Rightarrow \frac{9}{4}=1-x \), откуда \( x=-\frac{5}{4} \)

Ответ: \( -\frac{5}{4} )\

Решение №15856: ОДЗ: \( 0< x\neq 1 \) Из условия \( 5^{\frac{1}{x-\sqrt{x}}}*5^{-\frac{1}{\sqrt{x}}}=5^{\frac{2}{3}}, 5^{\frac{1}{x-\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{x}}}=5^{ \frac{ 2}{ 3}} \) Отсюда \( \frac{1}{x-\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{2}{3}, 2\left ( \sqrt{x} \right )^{2}+\sqrt{x}-6=0 \) Решив это уравнение как квадратное относительно \( \sqrt{x} \), Найдем \( \sqrt{x}=-2, \varnothing \); или \( \sqrt{ x}= \frac{ 3}{ 2} \), откуда \( x= \frac{9}{ 4} \)

Ответ: \( \frac{9}{4} )\

Решение №15857: ОДЗ: \( 0< x\neq 1 \) Логарифмируя второе уравнение системы по основанию 4, имеем \( \log _{4}x^{y}, \log _{4}4^{6}. y\log _{4}x=6 \) Отсюда \( \left\{\begin{matrix} y=1+\log _{4}x, & & \\ y\log _{4}x=6 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left ( 1+\log _{4}x \right \)log _{4}x=6, \log _{4}^{2}x+\log _{4}x-6=0 \), откуда, решая это уравнение как квадратное относительно \( \log _{4}x \), найдем \( \left ( \log _{4}x \right )_{1}=-3, \left ( \log _{4}x \right )_{2}=2, x_{1}=\frac{1}{64}, x_{2}=16 \) Тогда \( y_{1}=-2, y_{2}=3\)

Ответ: \( \left ( \frac{1}{64}; -2 \right ), \left ( 16; 3 \right ) )\

Решение №15858: \( \log _{2}2x^{2}+\log _{2}x*x^{\log _{x}\left ( \log _{2}x+1 \right )}+\frac{1}{2}\log _{4}^{2}x^{4}+2^{-3\log _{1/2}\log _{2}x}=\log _{2}2+\log _{2}x^{2}+\log _{2}x*\left ( \log _{2}x+1 \right )+2\log _{2}^{2}x+2^{\log _{2}\log _{2}^{3}x}=1+2\log _{2}x+\log _{2}^{2}x+\log _{2}x+2\log _{2}^{2}x+\log _{2}^{3}x=\log _{2}^{3}x+3\log _{2}^{2}x+3\log _{2}x+1=\left ( \log _{2}x+1 \right )^{3} \)

Ответ: \( \left ( \log _{2}x+1 \right )^{3} )\

Решение №15859: ОДЗ: \( 0< \sin x< 1 \) Так как \( 1-\cos 2x=2\sin ^{2}x \), то имеем \( 3\log _{2}^{2}\sin x+\log _{2}2\sin ^{2}x-2=0 \Leftrightarrow 3\log _{2}^{2}\sin x+2\log _{2}\sin x-1=0 \) Решая это уравнение как квадратное относительно \( \log _{2}\sin x \), получим \( \log _{2}\sin x=\frac{1}{3} \), или \( \log _{2}\sin x=-1 \), откуда \( \sin x=\sqrt[3]{2} \) (нет решений), или \( \sin x=\sqrt[1]{2} \) Тогда \( x=\left ( -1 \right )^{n}\frac{\pi }{6}+\pi n, n\epsilon Z \)

Ответ: \( \left ( -1 \right )^{n}\frac{\pi }{6}+\pi n )\, \( n\epsilon Z )\

Решение №15860: Разделив второе уравнение заданной системы на первое, получим \( \frac{3^{x}*4^{y}}{2^{x}*3^{y}}=\frac{12}{6}, \frac{3^{x-y}}{2^{x-2y}}=2, 3^{x-y}=2^{1+x-2y} \) Это равенство возможно, когда \( \left\{\begin{matrix} x-y=0, & & \\ 1+x-2y=0 & & \end{matrix}\right. \Rightarrow x=y, 1+y-2y=0, y=1 \) Тогда \( x=y=1 \)

Ответ: \( \left ( 1; 1 \right ) )\

Решение №15861: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} x> 0 & & \\ y+x\neq 0 & & \end{matrix}\right. \) Из первого уравнения системы \( 3^{y+2x}=3^{4}, y+2x=4, y=4-2x \) Из второго уравнения системы \( \lg \frac{\left ( y+x \right )^{2}}{x}=\lg 9 \), откуда \( \frac{\left ( y+x \right )^{2}}{x}=9 \) Тогда исходная система приобретает вид \( \left\{\begin{matrix} y=4-2x & & \\ \left ( y+x \right )^{2}=9x & & \end{matrix}\right.\Rightarrow x^{2}-17x+16=0 \), откуда \( x_{1}=1, x_{2}=16 \) Тогда \( y_{1}=2, y_{2}=-28 \)

Ответ: \( \left ( 1; 2 \right ), \left ( 16; -28 \right ) )\

Решение №15862: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} x> 0, & & \\ y> 0. & & \end{matrix}\right. \) Имеем \( \left\{\begin{matrix} xy=36, & & \\ x+y=20, & & \end{matrix}\right. \), откуда \( \left\{\begin{matrix} x_{1}=2, & & \\ y_{1}=18; & & \end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix} x_{2}=18, & & \\ y_{2}=2. & & \end{matrix}\right.

Ответ: \( \left ( 2; 18 \right ),\left ( 18; 2 \right ) )\

Решение №15863: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} x> 0 & & \\ y> 0 & & \end{matrix}\right. \) Из первого уравнения системы имеем \( 3^{2\sqrt{x}-\sqrt{y}}=3^{4}, 2\sqrt{x}-\sqrt{y}=4, \sqrt{y}=2\sqrt{x}-4 \) Из второго уравнения системы получим \( \sqrt{xy}=30, \sqrt{x}*\sqrt{y}=30 \) Система принимает вид\( \left\{\begin{matrix} \sqrt{y}=2\sqrt{x}-4 & & \\ \sqrt{x}*\sqrt{y}=30 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left ( \sqrt{x} \right )^{2}-2\sqrt{x}-15=0 \), откуда \( \sqrt{x}=5 \), или \( \sqrt{x}=-3 \), (не подходит). Тогда \( \sqrt{y}=6 \) Следовательно, \( x=25, y=36 \)

Ответ: \( \left ( 25; 36 \right ) )\

Решение №15864: Перепишем систему уравнений в виде \( \left\{\begin{matrix} \left ( 3^{x}-2^{y/2} \right \)left ( 3^{x}+2^{y/2} \right )=725, & & \\ 3^{x}-2^{y/2}=25 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3^{x}+2^{y/2}=29, & & \\ 3^{x}-2^{y/2}=25 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3^{x}=27, & & \\ 2^{y/2}=2, & & \end{matrix}\right. \), откуда \( \left\{\begin{matrix} x=3, & & \\ y=2. & & \end{matrix}\right. \)

Ответ: \( \left ( 3; 2 \right ) )\

Решение №15865: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} 0< x\neq 1, & & & \\ y> 0, & & & \\ \log _{1/9}\frac{x}{y}> 0\Rightarrow 0< \frac{x}{y}< 1 & & & \end{matrix}\right. \) Из первого уравнения системы \( xy=x^{4} \) или с учетом ОДЗ \( y=x^{3} \) Из второго уравнения имеем \( \log _{1/9}\frac{x}{y}=1, \frac{x}{y}=\frac{1}{9} \) Исходная система переписывается в виде \( \left\{\begin{matrix} y=x^{3} & & \\ \frac{x}{y}=\frac{1}{9} & & \end{matrix}\right. \Rightarrow \frac{x}{x^{3}}=\frac{1}{9} \), откуда с учетом с ОДЗ \( x=3, y=27 \)

Ответ: \( \left ( 3; 27 \right ) )\

Решение №15866: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} x-2y> 0, & & \\ 3x+2y> 0. & & \end{matrix}\right. \) Имеем \( \left\{\begin{matrix} 2^{3+\frac{x-y}{2}}=2^{3-y}, & & \\ \log _{3}\left ( x-2y \right \)left ( 3x+2y \right )=3 & & \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} 3+\frac{x-y}{2}=3-y, & & \\ \left ( x-2y \right \)left ( 3x+2y \right )=27, & & \end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix} x=-y, & & \\ y^{2}=9 & & \end{matrix}\right. \), откуда, учитывая ОДЗ, получаем \( x=3 y=-3 \)

Ответ: \( \left ( 3; -3 \right ) )\

Решение №15867: Из условия \( \left ( 2^{\frac{x+y}{6}} \right )^{2}+2^{\frac{x+y}{6}}-6=0 \) Решая это уравнение как квадратное относительно \( 2^{\frac{x+y}{6}} \), имеем \( 2^{\frac{x+y}{6}}=-3, \varnothing \); или \( 2^{\frac{x+y}{6}}=2 \), откуда \( \frac{x+y}{6}=1, x+y=6 \) Из второго уравнения системы \( x^{2}-6yx+5y^{2}=0 \), решая его как квадратное относительно \( x \), имеем \( x_{1}=y, x_{2}=5y \) Исходная система эквивалентна двум системам:\( \left\{\begin{matrix} x+y=6, & & \\ x=y; & & \end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix} x+y=6, & & \\ x=5y; & & \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x_{1}=3 & & \\ y_{1}=3 & & \end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix} x_{2}=5 & & \\ y_{2}=1 & & \end{matrix}\right. \)

Ответ: \( \left ( 3; 3 \right )\left ( 5; 1 \right ) )\

Решение №15868: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} 0< x\neq 1 & & \\ 0< y\neq 1 & & \end{matrix}\right. \) Из первого уравнения системы имеем: \( 2\log _{y}^{2}x-5\log _{y}x+2=0 \), откуда, решая это уравнения как квадратное относительно \( \log _{y}x \), найдем \( \left ( \log _{y}x \right )_{1}=\frac{1}{2} \), или \( \left ( \log _{y}x \right )_{2}=2 \) Отсюда \( x_{1}=\sqrt{y}, x_{2}=y^{2} \) Из второго уравнения системы найдем \( y^{3/2}=27, y_{1}=9 \) Подставляя значение \( x_{2}=y^{2} \), найдем \( y_{2}^{3}=27, y_{2}=3 \) Учитывая ОДЗ, имеем \( \left\{\begin{matrix} x_{1}=3, & & \\ y_{1}=9; & & \end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix} x_{2}=9, & & \\ y_{1}=3. & & \end{matrix}\right. \)

Ответ: \( \left ( 3; 9 \right ) , \left ( 9; 3 \right ) )\

Решение №15869: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} x> 0, & & \\ y> 0. & & \end{matrix}\right.\) Перейдем к основанию 2. Имеем \( \left\{\begin{matrix} \log _{2}x+\frac{1}{2}\log _{2}y=4 & & \\ \frac{1}{2}\log _{2}x+\log _{2}y=5 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2\log _{2}x+\log _{2}y=8 & & \\ \log _{2}x+2\log _{2}y=10 & & \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} \log _{2}x^{2}y=8, & & \\ \log _{2}xy^{2}=10 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^{2}y=2^{8} & & \\ xy^{2}=2^{10} & & \end{matrix}\right. \) Из первого уравнения системы \( y=\frac{2^{8}}{x^{2}} \) Из второго уравнения \( x*\left ( \frac{2^{8}}{x^{2}} \right )^{2}=2^{10}, x^{3}=2^{6} \), откуда \( x=4, y=16 \)

Ответ: \( \left ( 4; 16 \right ) )\

Решение №15870: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} 2x-y> 0, & & \\ y+2x> 0. & & \end{matrix}\right. \) Из первого уравнения системы получаем \( \left ( 2^{\frac{x-y}{2}} \right )^{2}-2.5*2^{\frac{x-y}{2}}+1=0 \) Решая это уравнение как квадратное относительно \( 2^{\frac{x-y}{2}} \), найдем \( \left ( 2^{\frac{x-y}{2}} \right )_{1}=2^{-1} \), или \( \left ( 2^{\frac{x-y}{2}} \right )_{2}=2 \), откуда \( \left ( x-y \right )_{1}=-2 \), или \( \left ( x-y \right )_{2}=2 \) Из второго уравнения системы получаем \( \lg 10\left ( 2x-y \right )=\lg 6\left ( 2x+y \right ) \), откуда \( 10\left ( 2x-y \right )=6\left ( 2x+y \right ), x=2y \) Таким образом, исходная система эквивалента системам уравнений: \left\{\begin{matrix} x-y=-2 & & \\ x=2y & & \end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix} x-y=2 & & \\ x=2y & & \end{matrix}\right. \), откуда: \( \left\{\begin{matrix} x_{1}=-4 & & \\ y_{1}=-2 & & \end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix} x_{2}=4 & & \\ y_{2}=2 & & \end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix} x_{1}=-4 & & \\ y _{1}=-2 & & \end{matrix}\right. \) ( не подходит по ОДЗ).

Ответ: \( \left ( 4; 2 \right ) )\

Решение №15871: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} x> 0, & & \\ y> 0. & & \end{matrix}\right. \) Перепишем первое уравнение системы в виде \( \log _{4}x=\log _{2}y^{2} \Rightarrow \frac{1}{2}\log _{2}x=\log _{2}y, \log _{2}x=\log _{2}y^{2}, x=y^{2} \) Из второго уравнения системы имеем \( y^{4}-2y^{2}-8=0 \), откуда с учетом ОДЗ, \( y=0 \) Тогда \( x=4 \)

Ответ: \( \left ( 4; 2 \right ) )\

Решение №15872: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} x+y> 0 & & \\ x-y> 0 & & \end{matrix}\right. \) Из условия \( \left\{\begin{matrix} \lg \left ( x^{2}+y^{2} \right )=\lg 20 & & \\ \lg \left ( x^{2}-y^{2} \right )=\lg 12 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}=20 & & \\ x^{2}-y^{2}=12 & & \end{matrix}\right. \) Отсюда \( x^{2}=16 \), откуда \( x_{1,2}=\pm 4. y^{2}=4 , y_{1,2}=\pm 2 \) Следовательно, \left\{\begin{matrix} x_{1}=4, & & \\ y_{1}=2; & & \end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix} x_{2}=4 & & \\ y_{2}=-2 & & \end{matrix}\right. Остальные решения не удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: \( \left ( 4; 2 \right ), \left ( 4; -2 \right ) )\

Решение №15873: ОДЗ: \( x-4y> 0 \) Из условия \( \left\{\begin{matrix} 8^{\log _{9}\left ( x-4y \right )}=8^{\circ} & & \\ \left ( 2^{x-2y} \right )-7*2^{x-2y}-8=0 . & & \end{matrix}\right. \) Из первого уравнения системы имеем \( \log _{9}\left ( x-4y \right )=0 \), откуда \( x-4y=1 \) Решая второе уравнение системы как квадратное относительно \( 2^{x-2y} \), получаем \( 2^{x-2y}=-1,\varnothing ; 2^{x-2y}=2^{3} \), откуда \( x-2y=3 \) Исходная система принимает вид \( \left\{\begin{matrix} x-4y=1, & & \\ x-2y=3 & & \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=5, & & \\ y=1. & & \end{matrix}\right. \)

Ответ: \( \left ( 5; 1 \right ) )\

Решение №15874: ОДЗ: \( 0< x\neq 1 \) Логарифмируя первое и второе уравнения ситемы по основанию получаем \( \left\{\begin{matrix} \log _{5}x^{2y^{2}-1}=\log _{5}5, & & \\ \log _{5}x^{2y^{2}+2}=\log _{5}125, & & \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} \left ( 2y^{2}-1 \right \)log _{5}x=1 & & \\ \left ( y^{2}+2 \right \)log _{5}x=3 & & \end{matrix}\right. \Rightarrow \log _{5}x=\frac{1}{2y^{2}-1} \) Из второго уравнения системы имеем \( \frac{y^{2}+2}{2y^{2}-1}=3. y^{2}=1 \), откуда \( y=\pm 1 \) Тогда \( \log _{5}x=1 \), т.е. \( x=5\)

Ответ: \( \left ( 5; 1 \right ), \left ( 5; -1 \right ) )\

Решение №15875: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} 0< x\neq 1 & & \\ 0< y\neq 1 & & \end{matrix}\right. \) Из первого уравнения имеем: \( \log _{y}x+\frac{1}{\log _{y}x}-2=0, \log _{y}^{2}x-2\log _{y}x+1=0, \left ( \log _{y}x-1 \right )^{2}=0 \), откуда \( \log _{y}x=1, x=y \) Из второго уравнения системы имеем \( y^{2}-y-20=0 \), откуда \( y_{1}=-4, y_{2}=5; y_{1}=-4 \) не подходит по ОДЗ. Тогда \( x=y=5 \)

Ответ: \( \left ( 5; 5 \right ) )\

Решение №15876: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} x> 0, & & \\ y> 0. & & \end{matrix}\right. \) Из первого уравнения системы уравнений имеем \( x^{2}+y^{2}=100 \) Из второго уравнения системы найдем \( \log _{2}\frac{x}{16}=\log _{2}\frac{3}{y} \), откуда \( \frac{x}{16}=\frac{3}{y}, x=\frac{48}{y} \) Далее получаем \( \left ( \frac{48}{y} \right )^{2}+y^{2}-100=0, y^{4}-100y^{2}+2304=0 \), откуда \( y_{1,2}=\pm 6, y_{3,4}=\pm 8; y_{2}=-6 , y_{4}=-8 \) не подходят по ОДЗ. Тогда \( x_{1}=8, x_{2}=6 \)

Ответ: \( \left ( 8; 6 \right ), \left ( 6; 8 \right ) )\

Решение №15877: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} 0< x+y\neq 1, & & \\ 2x-y\neq 0. & & \end{matrix}\right. \) Логарифмируя оба уравнения по основанию 10, имеем \( \left\{\begin{matrix} \lg \left ( x+y \right )*2^{y-2x}=\lg \left ( \frac{5}{2} \right )^{2} & & \\ \lg \left ( x+y \right )^{\frac{1}{2x-y}}=\lg 5 & & \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} \lg \left ( x+y \right )+\left ( y-2x \right \)lg 2=2\left ( \lg 5-\lg 2 \right ), & & \\ \frac{\lg \left ( x+y \right )}{2x-y}=\lg 5 & & \end{matrix}\right. \) Из второго уравнения системы получаем \( \lg \left ( x+y \right )=\left ( 2x-y \right \)lg 5 \), тогда\left ( 2x-y \right \)lg 5+\left ( y-2x \right \)lg 2=2\left ( \lg 5-\lg 2 \right ), \left ( 2x-y \right \)left ( \lg 5-\lg 2 \right )=2\left ( \lg 5-\lg 2 \right ), 2x-y=2 \) Исходная система принимает вид \( \left\{\begin{matrix} 2x-y=2, & & \\ \lg \left ( x+y \right )=2\lg 5, & & \end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix} 2x-y=2, & & \\ x+y=25 & & \end{matrix}\right.\), откуда \( \left\{\begin{matrix} x=9, & & \\ y=16. & & \end{matrix}\right.\)

Ответ: \( \left ( 9; 16 \right ) )\

Решение №15878: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} x-y> 0, & & \\ x+y> 0. & & \end{matrix}\right. \) Имеем: \( \left\{\begin{matrix} 10^{1+\lg \left ( x+y \right )}=\lg 50, & & \\ \lg \left ( x^{2}-y^{2} \right )=\lg 20 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 1+\lg \left ( x+y \right )=\lg 50, & & \\ x^{2}-y^{2}=20 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+y=5, & & \\ \left ( x-y \right \)left ( x+y \right )=20 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+y=5, & & \\ x-y=4, & & \end{matrix}\right. \), откуда \( x=\frac{9}{2}, y=\frac{1}{2} \)

Ответ: \( \left (\frac{9}{2}; \frac{1}{2} \right ) )\

Решение №15879: Проведите из центра \(О\) окружности перпендикуляр \(ОМ\) к хорде. Тогда точка \(М\) — середина хорды, а расстояние от центра окружности до хорды равно \(ОМ\). Точка \(С\) пересечения хорды и диаметра делит хорду на отрезки длиной 5 и 11, поэтому \(СМ = З\) (рис. ниже). Треугольник \(СОМ\) равнобедренный прямоугольный, поэтому \(ОМ = СМ = З\).

Ответ: NaN

Решение №15880: Проведите из центра \(О\) окружности перпендикуляр \(ОМ\) к хорде. Тогда точка \(М\) — середина хорды, а расстояние от центра окружности до хорды равно \(ОМ\). Точка \(С\) пересечения хорды и диаметра делит диаметр на отрезки длиной 5 и 13, поэтому \(СО = 4\) (рис. ниже). Катет \(ОМ\) прямоугольного треугольника \(СОМ\) лежит против угла \(30^{\circ}\) , поэтому \(ОМ = \frac{1}{2} CO=2\)

Ответ: NaN

Решение №15881: Пусть \(М\) и \(N\) — середины хорд \(АВ\) и \(CD\), \(О\) — центр окружности, \(ОМ = ОN\) . Тогда прямоугольные треугольники \(АОМ\) и \(CON\) равны по гипотенузе и катету (рис. ниже).

Ответ: NaN

Решение №15882: Пусть \(М\) и \(N\) — середины хорд \(АВ\) и \(CD\), \(О\) — центр окружности. Тогда прямоугольные треугольники \(АОМ\) и \(CON\) равны по гипотенузе и катету (рис. 131), поэтому прямоугольные треугольники \(РОМ\) и \(PON\) тоже равны по гипотенузе и катету.

Ответ: NaN

Решение №15883: Центр окружности, точка пересечения хорд и середины хорд являются вершинами прямоугольника.

Ответ: NaN

Решение №15884: Расстояние от середины хорды до точки пересечения хорд равно 2, поэтому центр окружности, точка пересечения хорд и середины хорд являются вершинами квадрата, сторона которого равна 2.

Ответ: NaN

Решение №15885: Пусть стороны \(АВ\) и \(ВС\) треугольника \(АВС\) равны и точка \(М\) — середина основания \(АС\). Тогда \(\angle AMB = 90^{\circ}\) , поэтому точка \(М\) лежит на окружности с диаметром \(АВ\).

Ответ: NaN

Решение №15886: Пусть окружность с диаметром \(АВ\) проходит через середину \(М\) стороны \(АС\). Тогда \(ВМ\) — высота треугольника и его медиана. Треугольник, в котором медиана является высотой, равнобедренный.

Ответ: NaN

Решение №15887: Пусть окружность с диаметром \(АС\) пересекает стороны \(АВ\) и \(ВС\) в точках \(D\) и \(Е\), причём \(АD = СЕ\). Тогда прямоугольные треугольники \(АСЕ\) и \(CAD\) равны по гипотенузе и катету, поэтому \(\angle A = \angle C\).

Ответ: NaN

Решение №15888: Прямоугольные треугольники \(ADM\) и \(AND\) равны по гипотенузе и острому углу.

Ответ: NaN

Решение №15889: Все диаметры окружности равны, поэтому хорду \(АВ\) можно сравнить с диаметром \(АС\). Если хорда \(АВ\) отлична от диаметра, то диаметр \(АС\) — гипотенуза прямоугольного треугольника, а хорда \(АВ\) — его катет.

Ответ: NaN

Решение №15890: Отрезок \(СК\) перпендикулярен гипотенузе \(АВ\).

Ответ: NaN

Решение №15891: Пусть окружность, построенная на катете \(АС\) прямоугольного треугольника \(АВС\) как на диаметре, проходит через середину \(М\) гипотенузы \(АВ\). Тогда угол \(АМС\) прямой, поэтому медиана \(СМ\) совпадает с высотой. Следовательно, треугольник \(АВС\) равнобедренный .

Ответ: NaN

Решение №15892: Точка \(D\) основание высоты, проведённой из вершины \(А\).

Ответ: NaN

Решение №15893: Точки \(А_{1}\) и \(В_{1}\) лежат на окружности, диаметром которой служит отрезок \(АВ\).

Ответ: NaN

Решение №15894: Проведите из середины гипотенузы перпендикуляры к катетам (рис. ниже). Они разбивают прямоугольный треугольник на прямоугольник и два равных прямоугольных треугольника. Каждую из этих трёх фигур можно накрыть кругом диаметром \(\frac{c}{2}\).

Ответ: NaN

Решение №15895: Непересекающиеся хорды разбивают круг на З части, а пересекающиеся на 4.

Ответ: NaN

Решение №15896: Если хорды попарно не пересекаются, то они разбивают круг на 4 части. Если две хорды пересекаются, а третья их не пересекает, то они разбивают круг на 5 частей. Если две хорды пересекаются, а третья либо пересекает только одну из них, либо проходит через их точку пересечения, то они разбивают круг на 6 частей. Если хорды попарно пересекаются и все точки пересечения различны в трёх разных точках, то они разбивают круг на 7 частей.

Ответ: NaN

Решение №15897: Число частей наибольшее в том случае, когда хорды попарно пересекаются и все точки пересечения различны, а наименьшее в том случае, когда хорды попарно не пересекаются.

Ответ: NaN

Решение №15898: Число частей наибольшее, когда окружности попарно пересекаются и все точки пересечения различны

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN