Задачи

Фильтрация

Показать фильтрацию

По классам:

По предметам:

По подготовке:

По классам:

По авторам:

Докажите, что если последовательность \(\)\left \{ x_{n} \right \} сходится к числу A и последовательность \(\left \{ y_{n} \right \}\) получена перестановкой членов последовательности \(\left \{ x_{n} \right \}\), то и последовательность \(\left \{ y_{n} \right \}\) сходится к числу A.

Решение №13679: Ясно, что для любой окрестности числа A вне этой окрестности находится конечное число членов последовательности или их нет вовсе. Значит, и конечно число членов последовательности \(\left \{ y_{n_{k}} \right \}\), полученных перестановкой членов последовательности \(\left \{ x_{n} \right \} \)

Ответ: NaN

Пусть последовательность \(\left \{ a_{n} \right \}\) положительных чисел такова, что последовательность \(\left \{ n^{2}*a_{n}*a_{n+1} \right \}\) сходитcя. Какие из последовательностей обязательно сходятся (если необязательно сходятся, приведите примеры, если обязательно сходятся, приведите доказательство) \(\left \{ n*a_{n} \right \} \)

Решение №13680: Пусть \(a_{n}=\frac{1}{n}\), тогда последовательность \(\left \{ a_{n} \right \}\) сходится, а если \(a_{n}=\left\{\begin{matrix}1, n=2k-1 \\ \frac{1}{n^{2}}, n=2k \end{matrix}\right.\), то последовательность \(\left \{ a_{n} \right \}\) расходится.

Ответ: Необязательно сходится

Верно ли, что \(\lim n_{\to \propto} x_{n}=+\propto\), если последовательность \(\left \{ x_{n} \right \}\) содержит все натуральные числа?

Решение №13682: Например, \(x_{n}=\left\{\begin{matrix}0, n=2k, \\ \frac{n+1}{2}, n=2k-1. \end{matrix}\right. \)

Ответ: Нет

Верно ли, что \(\lim_{n \to \propto} x_{n}=+\propto\), если все члены последовательности \(\left \{ x_{n} \right \}\) - различные натуральные числа?

Решение №13684: Рассмотрим произвольное число Е > 0. Существует лишь конечное число натуральных чисел, меньших Е, а значит, лишь конечное число членов ,\(x_{n^{1}} x_{n^{2}},....x_{n^{k}}\) последовательности, меньших Е (каждое натуральное число может встретиться в последовательности не более одного раза). Это означает, что, начиная с некоторого номера (большего n_{k}), все члены последовательности будут больше Е. Следовательно, по определению \(\lim_{n \to \propto }x_{n}=+\propto. \)

Ответ: Да

Докажите, что, для того чтобы последовательность \(\left \{ x_{n} \right \}\) была бесконечно большой, необходимо и достаточно, чтобы последовательность \(\left \{ \left | x_{n} \right | \right \}\) была бесконечно малой.

Решение №13685: Пусть \(\left \{ x_{n} \right \}\) - бесконечно малая последовательность. Тогда \(\forall \varepsilon > 0 \exists N_{\varepsilon }\in N: \forall n\geqslant N_{\varepsilon }\left | x_{n} \right |< \varepsilon \), но \(\left | x_{n} \right |< \varepsilon \Leftrightarrow \left \| x_{n} \right \|< \varepsilon \), что и доказывает требуемое

Ответ: NaN

Приведите примеры таких бесконечно малых последовательностей \(\left \{ x_{n} \right \}\) и бесконечно больших последовательностей \(\left \{ y_{n} \right \}\), что \(\lim_{n \to \propto} \left ( x_{n}*y_{n} \right )=0 \)

Решение №13686: \( x_{n}=\frac{1}{n^{2}}; y_{n}=n. \)

Ответ: NaN

Приведите примеры таких бесконечно малых последовательностей\( \left \{ x_{n} \right \}\) и бесконечно больших последовательностей \(\left \{ y_{n} \right \}\), что \(\lim_{n \to \propto} \left ( x_{n}*y_{n} \right )=+\propto \)

Решение №13688: \( x_{n}=\frac{1}{n}; y_{n}=n^{2} \)

Ответ: NaN

Приведите примеры таких бесконечно больших последовательностей \(\left \{ x_{n} \right \} и \left \{ y_{n} \right \}\), что \(\lim_{n \to \propto} \frac{x_{n}}{y_{n}}=0\)

Решение №13690: \( x_{n}=n; y_{n}=n^{3}\)

Ответ: NaN

Приведите примеры таких бесконечно больших последовательностей \(\left \{ x_{n} \right \} и \left \{ y_{n} \right \}\), что \(\lim_{n \to \propto} \frac{x_{n}}{y_{n}}=+\propto \)

Решение №13692: \( x_{n}=n^{3}; y_{n}=n \)

Ответ: NaN

Приведите примеры таких бесконечно больших последовательностей \(\left \{ x_{n} \right \} и \left \{ y_{n} \right \}\), что \(\lim_{n \to \propto} \left ( x_{n}+y_{n} \right )=0\)

Решение №13694: \( x_{n}=\sqrt{n^{2}+1}; y_{n}=-n. \)

Ответ: NaN

Докажите, что сумма двух бесконечно больших последовательностей одного знака есть бесконечно большая последовательность.

Решение №13697: Пусть \(\lim_{n \to \propto} x_{n}=\lim_{n \to \propto} y_{n}=+\propto.\) По определению это означает, что\(\forall \varepsilon > 0 \exists K_{1}\in N: \forall n\geqslant K_{1}x_{n}> \frac{\varepsilon }{2} \forall \varepsilon > 0 \exists K_{2}\in N: \forall n\geqslant K_{2} y_{n}> \frac{\varepsilon }{2}\). Выберем \(K=max \left \{ K_{1}; K_{2} \right \}\), тогда \(\forall \varepsilon > 0 \exists K\in N: \forall n\geqslant K x_{n}+y_{n}> \varepsilon \), что и доказывает утверждение.

Ответ: NaN

Докажите, что произведение двух бесконечно больших последовательностей есть бесконечно большая последовательность (рассмотрите различные сочетания знаков бесконечностей).

Решение №13698: Рассмотрим, например, случай, когда \(\lim_{n \to \propto} y_{n}=-\propto \lim_{n \to \propto} x_{n}=+\propto\). Тогда \(\forall \varepsilon > 0 \exists K_{2}\in N: \forall n\geqslant K_{2} y_{n} < -\varepsilon < -\sqrt{\varepsilon }(-y_{n}> \sqrt{\varepsilon }) \forall \varepsilon > 1 \exists K_{1}\in N:\forall n\geqslant K_{1} x_{n}> \varepsilon > \sqrt{\varepsilon }\). Выберем \(K=max \left \{ K_{1}; K_{2} \right \}\), тогда \(\forall \varepsilon > 1 \exists K\in N: \forall n\geqslant K -x_{n}y_{n}> \varepsilon \),а значит, \(x_{n}y_{n}< -\varepsilon\). Таким образом, последовательность \(\left \{ x_{n}y_{n} \right \}\) бесконечно большая.

Ответ: NaN

Пусть \(\lim_{n \to \propto} x_{n}=A, A\neq 0, \lim_{n \to \propto} y_{n}=\propto \left ( или +\propto ,-\propto \right )\). Докажите, что \(\lim_{n \to \propto} x_{n}y_{n}=\propto \)(соответственно \(+\propto , -\propto A> 0 \)и \(-\propto , +\propto\) при\( A< 0) \)

Решение №13699: Если \(\lim_{n \to \propto} x_{n}=A\), то, начиная с некоторого номера, \(x_{n}> \frac{A}{2}> 0\).Возьмем E> 0. Тогда \(\exists k_{1}\in N: \forall n\geqslant k_{1}x_{n}> \frac{A}{2} \exists k_{2}\in N:\forall n\geqslant k_{2}\left | y_{n} \right |\). Выберем \(k*=max \left \{ k_{1}; k_{2} \right \}\), тогда \(\forall n\geqslant k*\left | x_{n}y_{n} \right |=\left | x_{n} \right |\left | y_{n} \right |> \frac{A}{2}\frac{2E}{A}=E\). В силу произвольного выбора E получим, что \(\lim_{n \to \propto} x_{n}y_{n}=\propto \)

Ответ: NaN

Пусть \( \lim_{n \to \propto} x_{n}=\propto\). Верно ли, что \(\left \{ y_{n} \right \} \lim_{n \to \propto} x_{n}y_{n}=\propto \)

Решение №13700: \Нет, например \(y_{n}=\frac{1}{n^{2}} x_{n}=n\)

Ответ: NaN

Существует ли бесконечно малая последовательность \(\left \{ x_{n} \right \}\), удовлетворяющая условию: \(\forall n\in N 0 < x_{n}< x_{2_{n}}\)

Решение №13703: По условию \(\forall n\in N\) выполнено \(x_{2_{n}}> x_{n}> 0\). Последовательно применяя это неравенство, получаем \(x_{2^{n}}> x_{1}> 0\), т. е. все члены последовательности с номерами, являющимися степенями двойки, будут больше \(x_{1}\). Таким образом, вне окрестности \(\left ( -x_{1}; x_{1} \right )\) окажется бесконечное множество членов последовательности.

Ответ: Нет

Приведите примеры таких бесконечно малых последовательностей \(\left \{ x_{n} \right \} \)и \(\left \{ y_{n} \right \}\), что \(\lim_{n \to \propto} \frac{x_{n}}{y_{n}}=0 \)

Решение №13704: \( x_{n}=\frac{1}{n^{2}}, y_{n}=n. \)

Ответ: NaN

Приведите примеры таких бесконечно малых последовательностей \(\left \{ x_{n} \right \} и \left \{ y_{n} \right \}\), что \(\lim_{ n \to \propto} \frac{x_{n}}{y_{n}}=+\propto \)

Решение №13706: \( x_{n}=\frac{1}{2}, y_{n}=\frac{1}{n^{2}} \)

Ответ: NaN

Пусть \(\lim_{n \to \propto} x_{n}y_{n}=0\). Следует ли отсюда, что: \(\lim_{n \to \propto} x_{n}=\lim_{n \to \propto} y_{n}=0 \)

Решение №13708: Нет, например \(x_{n}=\frac{1}{n^{2}}, y_{n}=\frac{1}{n} \)

Ответ: NaN

Докажите, что из существования пределов \(\lim_{n \to \propto} \left ( \frac{x_{n}}{y_{n}} \right )\) и \(\lim_{n \to \propto }x_{n}\) не следует существования\( \lim_{n \to \propto} y_{n}\). Какое условие нужно добавить , чтобы существовал \(\lim_{n \to \propto} y_{n} \)

Решение №13711: \( x_{n}=\frac{1}{n^{2}}; y_{n}=n \lim_{n \to \propto} \frac{x_{n}}{y_{n}}\neq 0 \)- условия для сходимости \(\left \{ y_{n} \right \}\)

Ответ: NaN

Приведите примеры расходящихся последовательностей \(\left \{ x_{n} \right \} и \left \{ y_{n} \right \}\), для которых сходится последовательность \(\left \{ x_{n}y_{n} \right \} \)

Решение №13714: \( x_{n}=\left ( \left ( -1 \right )^{n} +1\right ) \)

Ответ: NaN

Покажите, что из существования предела суммы двух последовательностей\( \lim_{n \to \propto} \left ( x_{n}+y_{n} \right )\) не ледует существования хотя бы одного из пределов \(\lim_{n \to \propto} x_{n} \)или \(\lim_{n \to \propto} y_{n}\) (приведите соответствующие примеры) \)

Решение №13715: Например, \(\lim_{n \to \propto} \left ( \frac{2n^{2}+n}{3n-1} +\frac{6n^{3}+1}{1-9n^{2}}\right )=\frac{5}{9}\), но последовательности \(\left \{ x_{n} \right \} и \left \{ y_{n} \right \}\) для которых \(x_{n}=\frac{2n^{2}+n}{3n-1}\) и \(y_{n}=\frac{6n^{3}+1}{1-9n^{2}}\), расходятся.

Ответ: NaN

Докажите, что из одновременного существования \( \lim_{n \to \propto} \left ( x_{n}+y_{n} \right )\) и \(\lim_{n \to \propto} x_{n}\) следует существование предела\( \lim_{n \to \propto} y_{n}.\)

Решение №13716: \( \lim_{n \to \propto} \left ( x_{n}+y_{n} \right )-\lim_{n \to \propto} x_{n}=\lim_{n \to \propto} \left ( x_{n}+y_{n}-x_{n} \right )=\lim_{n \to \propto} y_{n} \)

Ответ: NaN

Последовательность \( \left \{ x_{n} \right \}\) сходится , а последовательность \(\left \{ y_{n} \right \}\) расходится. Докажите, что при \(b\neq 0\) последовательность \(\left \{ ax_{n}+bx_{n} \right \}\) расходится.

Решение №13717: Пусть существует \(\lim_{n \to \propto} \left ( ax_{n}+bx_{n} \right ) \), тогда так как \(\exists \lim_{n \to \propto} x_{n}, \exists \lim_{n \to \propto} ax_{n}\). Рассмотрим \(\lim_{n \to \propto} \left ( ax_{n}+bx_{n} \right ) - \lim_{n \to \propto} \left ( ax_{n} \right )=\lim_{n \to \propto} by_{n}=b\lim n \to \propto y_{n}\), следовательно, последовательность \(\left \{ y_{n} \right \} \)сходится, что противоречит условию.

Ответ: NaN

Пусть \(\left \{ x_{n} \right \} и \left \{ y_{n} \right \}\) - бесконечно большие последовательности одного знака. Докажите, что тогда \(\left \{ x_{n}+y_{n} \right \} \)- бесконечно большаая последовательность того же знака. \)

Решение №13719: а) -1; б)\( \frac{1}{2}; в) 0; г) -\frac{1}{2}\)

Ответ: NaN

Известно, что \(\forall n\in N x_{n}\neq 1\) и \(\lim_{n \to \propto} x_{n}=1\). Найдите \(\lim_{n \to \propto} y_{n}\), если: \(y_{n}=\frac{2x_{n}-1}{x_{n}-2} \)

Решение №13720: 5 ;\(\frac{3}{5}\)

Ответ: NaN

Известно, что \(\forall n\in N x_{n}\neq 1\) и \(\lim_{n \to \propto} x_{n}=1\). Найдите \( \lim_{n \to \propto} y_{n}\), если: \(y_{n}=\frac{x_{n}^{2}-3x_{n}+2}{x_{n}^{2}-1}\)

Решение №13724: 1;

Ответ: NaN

Найдите \(\lim_{n \to \propto} x_{n}\), если \(x_{n}=\frac{9+\frac{n}{n+1}}{2+\frac{1}{n}} \)

Решение №13725: \( \frac{\left ( -1 \right )^{n}+\frac{1}{n}}{\frac{1}{n^{2}}-\left ( -1 \right )^{n}}=\frac{1+\frac{\left ( -1 \right )^{n}}{n}}{\frac{\left ( -1 \right )^{n}}{n^{2}}-1} \)

Ответ: -1

Найдите\( \lim_{n \to \propto} x_{n}\), если \(x_{n}=\frac{n^{3}+27}{n^{4}-15} \)

Решение №13730: \( \lim_{n \to \propto}\left ( \frac{1+2+...+n}{n+2}-\frac{n}{2} \right )=\lim_{n \to \propto}\left ( \frac{\left ( n+1 \right )n}{2\left ( n+2 \right )}-\frac{n}{2} \right )=\lim_{n \to \propto}\frac{-n}{2n+4}=-\frac{1}{2} \)

Ответ: -\frac{1}{2}

Найдите \(\lim_{n \to \propto} x_{n}\), если \(x_{n}= \frac{\sqrt{n^{2}+1}-n}{\sqrt{n^{3}+1}-n\sqrt{n}}\)

Решение №13735: \( \lim_{n \to \propto} \frac{\sqrt{n^{2}+1}-n}{\sqrt{n^{3}+1}-n\sqrt{n}}=\lim_{n \to \propto} \frac{\left ( n^{2}+1-n^{2} \right )\left ( \sqrt{n^{3}+1}+n\sqrt{n} \right )}{\left ( \sqrt{n^{2}+1}+n \right )\left ( n^{3}+1-n^{3} \right )}=\lim_{n \to \propto} \frac{n\left ( \sqrt{n+\frac{1}{n^{2}}}+\sqrt{n} \right )}{n\left ( 1+\frac{1}{n^{2}}+1 \right )}=+\propto \)

Ответ: +\propto

Найдите \(\lim_{n \to \propto} x_{n}\), воспользовавшись свойствами пределов, связанными с неравенствами и арифметическими действиями с пределами. \(x_{n}=\frac{2^{\frac{n}{2}}+\left ( n+1 \right )!}{n\left ( 3^{n}+n \right )!}\)

Решение №13747: \( \frac{2^{\frac{n}{2}}+\left ( n+1 \right )!}{n\left ( 3^{n}+n! \right )}=\frac{\frac{2^{\frac{n}{2}}}{\left ( n+1 \right )!}+1}{\frac{n*3^{n}}{\left ( n+1 \right )!}+\frac{n}{n+1}}\), а так как \(\lim_{n \to \propto}\frac{\frac{2^{\frac{n}{2}}}{\left ( n+1 \right )!}+1}{\frac{n*3^{n}}{\left ( n+1 \right )!}+\frac{n}{n+1}}=1, \lim_{n \to \propto}\frac{2^{\frac{n}{2}}+\left ( n+1 \right )!}{n\left ( 3^{n}+n! \right )}=1. \)

Ответ: 1

Установите сходимость к 0 последовательности \(x_{n}=\frac{n^{P}}{a^{n}}, a> 1, p\in N \)

Решение №13750: Способ 1. Если a> 1, то \(a=1+\alpha , где \alpha > 0\). Откуда \(a^{n}=\left ( 1+\alpha \right )^{n}> C_{n}^{p+1}*\alpha ^{p+1}\ при n> p. Пусть n> 2p. Тогда C_{n}^{p+1}=\frac{n\left ( n-1 \right )...\left ( n-p \right )}{\left ( p+1 \right )!}> \frac{n}{\left ( p+1 \right )!}\left ( \frac{n}{2} \right )^{p}\) (так как \(n-k> \frac{n}{2}\) при \(1\leqslant k\leqslant p\)). Отсюда следует, что \(0< \frac{n^{p}}{a^{n}}< \frac{2^{p}\left ( p+1 \right )!}{\alpha ^{p+1}*n}\), а следовательно, \(\lim_{n \to \propto} \frac{n^{p}}{a^{n}}=0\). ( Поскольку \(\frac{2^{p}\left ( p+1 \right )!}{\alpha ^{p+1}}\) не зависит от n, то \(\lim_{n \to \propto}\frac{2^{p}\left ( p+1 \right )!}{\alpha ^{p}*n}=0)\) Способ 2. Если \(x_{n}=\frac{n^{p}}{a^{n}}, a> 1 \frac{x_{n+1}}{x_{n}}=\frac{\left ( n+1 \right )^{p}*a^{n}}{a^{n+1}*n^{p}}=\frac{1}{a}\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^{p}\rightarrow _{n \to \propto} \frac{1}{a} \frac{1}{a}< 1\). Следовательно, по лемме \(\lim_{n \to \propto} x_{n}=0\). Если \(x_{n}=\frac{\left ( 2n \right )!}{a^{n}}\left ( a> 1 \right ),то \forall n\in N x_{n}> 0 и \frac{x_{n+1}}{x_{n}}=\frac{\left ( 2n+2 \right )!*a^{n!}}{a^{\left ( n+1 \right )!}\left ( 2n \right )!}=\frac{2n+1}{a^{\left ( n-1 \right )n!}}*\frac{2n+2}{a^{n!}}\rightarrow _{n \to \propto} 0\) ( обе бесконечно малые при a> 1, то в силу леммы \)\lim_{n \to \propto} x_{n}=0\). Если \(x_{n}=\frac{4*7*10*...*\left ( 3n+1 \right )}{2*6*10*...*\left ( 4n+2 \right )}> 0\) и \(\forall n\in N \frac{x_{n+1}}{x_{n}}=\frac{3n+4}{4n+6}\rightarrow _{n \to \propto} \frac{3}{4}\), то в силу леммы \(\lim_{n \to \propto} x_{n}=0 \)

Ответ: NaN

Найдите \(\lim_{n \to \propto} n^{\frac{3}{2}}\left ( \sqrt{n+1} +\sqrt{n-1}-2\sqrt{n}\right )\)

Решение №13751: \(\lim_{n \to \propto} n^{\frac{3}{2}}\left ( \sqrt{n+1} +\sqrt{n-1}-2\sqrt{n}\right )=\lim_{n \to \propto}\frac{n^{\frac{3}{2}}\left ( 2n+2\sqrt{n^{2}-1} -4n\right )}{\left ( \sqrt{n+1} +\sqrt{n-1}-2\sqrt{n}\right )}=\lim_{n \to \propto}\frac{2n^{\frac{3}{2}}\left ( \sqrt{n^{2}-1}-n \right )}{\sqrt{n}\left ( \sqrt{1+\frac{1}{n}} +\sqrt{1-\frac{1}{n}}+2\right )}=\lim_{n \to \propto}\frac{-2n}{\left ( \sqrt{1+\frac{1}{n}} +\sqrt{1-\frac{1}{n}}+2 \right )n\left ( \sqrt{1-\frac{1}{n^{2}}+1} \right )}=\frac{-2}{4*2}=-\frac{1}{4} \)

Ответ: -\frac{1}{4}

Докажите, что последовательность \(\left \{ x_{n} \right \}\) сходится: \(x_{n}=\frac{n^{3}}{10^{n}} \)

Решение №13752: Покажем, что последовательность убывает: \(\frac{x_{n+1}}{x_{n}}=\frac{\left ( n+1 \right )^{3}*10^{n}}{10^{n+1}*n^{3}}=\left ( \frac{n+1}{n} \right )^{3}*\frac{1}{10}< 1.\) Так как \(\forall n\in N \frac{n+1}{n}\leqslant 2\), а значит, \(\left ( \frac{n+1}{n} \right )^{3}< 10\). Таким образом \(\forall n\in N x_{n+1}< x_{n}\), т.е. последовательность \(\left \{ x_{n} \right \}\)убывает и ограничена снизу нулем \(\left ( \forall n\in N x_{n}> 0 \right ).\) По теореме Вейерштрасса она имеет предел. Можно показать, как найти этот предел (этого не требуется в задаче). Пусть\(\lim_{n \to \propto} x_{n}=\lim_{n \to \propto} x_{n+1}=a\), имеем \(x_{n+1}=\frac{1}{10}\left ( \frac{n+1}{n} \right )^{3}x_{n}\). Так как \(\lim_{n \to \propto} \left ( \frac{n+1}{n} \right )^{3}=1, a=\frac{1}{10}a\). Значит a=0.

Ответ: NaN

Докажите, что последовательность \(\left \{ x_{n} \right \}\) сходится: \(x_{n}=\frac{2^{n}}{n!} \)

Решение №13753: \( \forall n> 2 \frac{x_{n+1}}{x_{n}}=\frac{2}{n+1}< 1\). Доказательство того, что предел существует, здесь гораздо очевиднее, но зато нет способа его найти. Предельный переход, как в предыдущем пункте, здесь ничего не даёт для поиска предела последовательности \(\left \{ x_{n} \right \}\), равного a

Ответ: NaN

Докажите, что последовательность \(\left \{ x_{n} \right \}\) сходится: \(x_{1}=8, x_{2}=\frac{8}{1}*\frac{11}{7}, ..., x_{n}=\frac{8}{1}*\frac{11}{7}* ...*\frac{3n+5}{6n-5} \)

Решение №13754: \( \forall n\in N \frac{x_{n+1}}{x_{n}}=\frac{3n+8}{6n+1}\). Так как \(\lim_{n \to \propto}\frac{x_{n+1}}{x_{n}}=\frac{1}{2}< 1 \forall n\in N x_{n}> 0\). А можно так:\( \forall n> 8 \frac{3n+8}{6n+1}< \frac{2}{3} \) Значит, при n> 8 последовательность \(\left \{ x_{n} \right \}\) убывает и ограничена снизу нулем. Следовательно, существует \( \lim_{n \to \propto} x_{n} \)

Ответ: NaN

Докажите, что \(\left \{ x_{n} \right \}\) сходится, и найдите \(\lim_{n \to \propto} x_{n} : x_{1}=\sqrt{a}, x_{n+1}=\sqrt{a+x_{n}}\), где \(a> 0\)

Решение №13757: Выясним сначала, чему может быть равен предел последовательности \(\left \{ x_{n} \right \}\). Пусть \(\lim_{n \to \propto} x_{n}=B, тогда B=\sqrt{B+a}, B^{2}-B-a=0 B=\frac{1+\sqrt{1+4a}}{2} (B> 0)\), так как \(\forall n\in N x_{n}> 0)\). Докажем по индукции, что \(\forall n\in N x_{n}< x_{n+1}< B\). База индукции очевидна. Индукционный переход. Докажем, что \(x_{k}< x_{k+1}< B\), если \(x_{k-1}< x_{k}< B\). Действительно, \(x_{k-1}< x_{k}< B\Leftrightarrow x_{k-1}< \sqrt{a+x_{k-1}}< B\), но в силу монотонности корня и того, что \(x_{k-1}< x_{k}\), выполняется \(\sqrt{a+x_{k-1}}< \sqrt{a+x_{k}=x_{k+1}}< B (так как x_{k}< B \sqrt{a+x_{k}}< \sqrt{a+B}=B)\). Мы доказали, что последовательность \(\left \{ x_{n} \right \}\\) возрастает и ограничена снизу и имеет предел, равный \(\frac{1+\sqrt{1+4a}}{2} \)

Ответ: NaN

Докажите, что \(\left \{ x_{n} \right \}\) сходится, и найдите \(\lim_{n \to \propto} x_{n} : x_{n+1}=\frac{4}{3}x_{n}-x_{n}^{2}, 1) x_{1}=\frac{1}{6}; 2)x_{1}=\frac{1}{2}; x_{3}=\frac{7}{6}\)

Решение №13759: Докажем для случая \(x_{1}=\frac{1}{6}\). Рассмотрим разность \(x_{n+1}-x_{n}=\frac{1}{3x_{n}}-x_{n}^{2}=x_{n}\left ( \frac{1}{3}-x_{n} \right )\). По индукции легко показать, что последовательность \(\left \{ x_{n} \right \}\) возрастает и\(\forall n\in N x_{n}\leqslant \frac{1}{3}\). База индукции \(x_{1}=\frac{1}{6}. Тогда x_{2}-x_{1}=\frac{1}{6}\left ( \frac{1}{3}-\frac{1}{6} \right )=\frac{1}{36}> 0\) и \(x_{2}=x_{1}+\frac{1}{36}=\frac{13}{36}, 0< x_{1}< x_{2}< \frac{1}{3}\). Индукционный переход. Докажем, что \(0< x_{k}< x_{k+1}< \frac{1}{3},если 0< x_{k-1}< x_{k}< \frac{1}{3}\). Так как \(x_{k+1}-x_{k}=x_{k}\left ( \frac{1}{3} -x_{k}\right )> 0\) (по индукционному предположению),\(x_{k+1}> x_{k}\). Если рассмотреть функцию \(g\left ( t \right )=t\left ( \frac{4}{3}-t \right )-\frac{1}{3}; g\left ( t \right )=-\frac{1}{3}\left ( 3t-1 \right )\left ( t-1 \right ), g\left ( t \right )> 0\Leftrightarrow \frac{1}{3}< t< 1\), поэтому \(g\left ( x \right )< 0, x_{k+1}< \frac{1}{3} \)

Ответ: NaN

Выясните, сходится ли последовательность \(\left \{ x_{n} \right \}\) и найдите предел сходящейся последовательности: \(x_{1}\leqslant 1, x_{n+1}=-\sqrt{1-x_{n}}, где n\in N \)

Решение №13760: Докажем, что последовательность \(\left \{ x_{n} \right \} \)убывает и ограничена снизу нулем. \(0\leqslant x_{2}=x_{1}\left ( 1-x_{1} \right )\leqslant x_{1}\leqslant 1\), так как \(0\leqslant x_{1}\leqslant 1\). Легко показать по индукции, что \(0\leqslant x_{k+1}=x_{k}\left ( 1-x_{k} \right )\leqslant x_{k}\) (индукция нужна лишь для доказатнльства неравенства \(x_{k+n}\geqslant 0)\). Тогда пусть \(\lim_{n \to \propto} x_{n}=\lim_{n \to \propto} x_{n+1}=a\). Итак \(a=a-a^{2}\Leftrightarrow a=0. \)

Ответ: NaN

Найдите\( \lim_{n \to \propto} x_{n}, если x_{n}=\left ( \frac{n}{n+1} \right )^{n}\)

Решение №13764: \( \lim_{n \to \propto} \left ( \frac{n}{n+1} \right )^{n}=\lim_{n \to \propto}\frac{1}{\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^{n}}=e^{-1} \)

Ответ: e^{-1}

Дана последовательность\( \left \{ a_{n} \right \}\). Рассмотри последовательности \(x_{n}=a_{2n}, y_{n}=a_{2n-1}, z_{n}=a_{2n+4}, u_{n}=a_{3n}\) Верно ли утверждение, что последовательность\( \left \{ x_{n} \right \}\) сходится, то и последовательность\( \left \{ z_{n} \right \}\) сходится?

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: Нет

Дана последовательность \(\left \{ a_{n} \right \}\). Рассмотри последовательности \(x_{n}=a_{2n}, y_{n}=a_{2n-1}, z_{n}=a_{2n+4}, u_{n}=a_{3n}\). Очевидно, что если последовательность \(\left \{ a_{n} \right \}\) сходится, то и сходятся последовательности \(\left \{ x_{n} \right \} и \left \{ y_{n} \right \}\). Верно ли утверждение: если последовательности \(\left \{ x_{n} \right \} и \left \{ y_{n} \right \}\) сходятся, то и последовательность \(\left \{ a_{n} \right \} \)сходится?

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: Нет, например a_{n}=\left ( -1 \right )^{n}

Найдите формулу общего члена для последовательности \(\left \{ a_{n} \right \}\),заданной рекуррентно: \(a_{1}=1, a_{2}=\frac{3}{2}; a_{n}=a_{n-2}+\frac{3}{2^{n-1}} \)

Решение №13771: Выпишем первых три члена последовательности: \(a_{1}=1=\frac{2^{1}-1}{2^{0}}, a_{2}=\frac{3}{2}=\frac{2^{2}-1}{2^{1}}, a_{3}=\frac{7}{4}=\frac{2^{3}-1}{2^{2}}\). Теперь можно предположить, что \(a_{n}=\frac{2^{n}-1}{2^{n-1}}\). В правильности этой гипотезы можно убедиться, используя метод математической индукции.

Ответ: a_{n}=\frac{2^{n}-1}{2^{n-1}}

Известно, что последовательности \(\left \{ x_{n} \right \}\) и \(\left \{ y_{n} \right \} \)являются ограниченными. Какие из последовательностей \(\left \{ z_{n} \right \}\) обязательно являются ограниченными, какие могут быть ограниченными, а какие всегда являются ограниченными (если последовательность \(\left \{ z_{n} \right \}\) существует):\(z_{n}=\left | x_{n} \right |-\left | y_{n} \right | \)

Решение №13774: Обязательно ограничена.

Ответ: NaN

Известно, что последовательности \(\left \{ x_{n} \right \} и \left \{ y_{n} \right \}\) являются ограниченными. Какие из последовательностей \(\left \{ z_{n} \right \} \)обязательно являются ограниченными, какие могут быть ограниченными, а какие всегда являются ограниченными (если последовательность \(\left \{ z_{n} \right \} \)существует): \(z_{n}=\frac{1}{\sqrt[3]{x_{n}}}+\frac{1}{\sqrt[3]{y_{n}}}\)

Решение №13776: Может быть как ограниченной, так и неограниченной.

Ответ: NaN

Выясните, при каких значениях параметра a последовательность \(\left \{ x_{n} \right \}\), такая что \(x_{1}=a, x_{n+1}=x_{n}^{2}+5x_{n}+4 \), является возрастающей и ограниченной.

Решение №13777: Рассмотрим разность \(x_{n+1}-x_{n}=x_{n}^{2}+4x_{n}+4=\left ( x_{n}+2 \right )^{2}\) . Она положительна, если \(x_{n}=-2\). Если \(x_{2}\neq -2\), то, рассуждая по индукции, получим \(x_{n}\neq -2\). Выясним, когда \(x_{2}=-2: -2=a^{2}+5a+4\Leftrightarrow \left [ \begin{matrix}a=-2 \\ a=-3 \end{matrix} \right \) Значит, при \(a\neq -2 и a\neq -3\) последовательность\(\left \{ x_{n} \right \}\) возрастает. Далее, пусть \(x_{1}=a> -2\). Тогда в силу возрастания последовательности \(\left \{ x_{n} \right \} \)выполнено: \(\forall n\in N x_{n+1}=x_{n}^{2}+5x_{n}+4> -2 \left [ \begin{matrix}x_{n}> -2 \\ x_{n}< -3 \end{matrix} \right \) Однако неравенство \(x_{n}< -3\) не выполняетя при \(n\geqslant 2\), поскольку неравенство \(x^{2}+5x+4< -3\) не имеет решений. Итак, пусть для любых натуральных значений n выполнено \(x_{n}> -2\). Тогда при всех натуральных k выполнено \(x_{k+1}-x_{k}=\left ( x_{k}+2 \right )^{2}> \left ( x_{1}+2 \right )^{2}\), а тогда \(x_{n+1}=x_{n+1}-x_{n}+x_{n}-x_{n-1}+...+x_{2}-x_{1}+x_{1}> x_{1}+n\left ( x_{1}+2 \right )^{2}\). Из неравентва \(x_{n+1}> x_{1}+n\left ( x_{1}+2 \right )^{2}\) ясно, что члены последовательности могут быть сколь угоднобольшими. Если -\(3< x_{1}=a< -2, то -3< x_{n}^{2}+5x_{n}+4< -2\Leftrightarrow x_{n}\in \left ( -3;-2 \right )\). Тем самым последовательность будет ограниченной.

Ответ: \left ( -3;-2 \right )

Можно ли расположить рациональные числа отрезка \(\left [ 0; 1 \right ]\) в сходящуюся последовательность?

Решение №13778: Пусть удалось расположить рациональные числа из отрезка \(\left [ 0; 1 \right ]\) в последовательность, сходящуюся к какому то числу A. Ясно, что в любой \varepsilon - окрестности числа A будет бесконечно много членов последовательности, но вне этой окрестности окажется также бесконечно много членов последовательности, что противоречит геометрическому смыслу предела последовательности (вне любой окрестности должно быть конечное число членов последовательности)

Ответ: Нельзя

Пусть \(\lim_{n \to \propto} =a\). Докажите, что \(\lim_{n \to \propto} \frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{n}=a\). Верно ли обратное?

Решение №13779: Обозначим \(y_{k}=a_{k}-a и S_{n}=\frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{n}\). Тогда \(S_{n}-a=\frac{y_{1}+y_{2}+...+y_{n}}{n}\). Так как \(\lim_{n \to \propto} y_{n}=0, то \forall \varepsilon > 0 \exists N\in N: \forall n\geqslant N\left | y_{n} \right |< \frac{\varepsilon }{2}\). Обозначим \(c=\left | y_{1}+y_{2}+...+y_{N} \right |\). Тогда, если \(n> N\), то \(\left | S_{n}-1 \right |\leqslant \frac{\left | y_{1}+y_{2}+...+y_{N} \right |}{n}+\frac{\left | y_{N+1} \right |+...+\left | y_{n} \right |}{n}< \frac{c}{n}+\frac{\varepsilon }{2}\frac{n-N}{n}\leqslant \frac{c}{n}+\frac{\varepsilon }{2}\). Выберем k* так, чтобы \(\frac{c}{k*}< \frac{\varepsilon }{2}\). Тогда справедливо : \(\forall n\geqslant k*\frac{c}{n}< \frac{\varepsilon }{2}\). Пусть, наконец, \(n_{1}= max \left ( N; k* \right )\). Тогда для всех\(n\geqslant n_{1}\) выполняется неравенство \(\left | S_{n}-a \right |< \varepsilon\) . Следовательно, \(\lim_{n \to \propto} S_{n}=a.\)

Ответ: NaN

Докажите, что не существует предела у последовательности \(a_{n}=\sin n. \)

Решение №13783: Пусть \(A=\lim_{n \to \propto}\sin n\). Тогда \(A=\lim_{n \to \propto}\sin \left ( n+2 \right )\). Отсюда \(\lim_{n \to \propto}\left ( \sin \left ( n+2 \right )-\sin n \right )=0\). Но тогда \(\lim_{n \to \propto} \cos \left ( n+1 \right )=0\), откуда \(\lim_{n \to \propto}\cos n=0\), а тогда \(\lim_{n \to \propto}\sin 2n=0\) и в то же время \(\lim_{n \to \propto}\sin 2n=A\). Но тогда \(\lim_{n \to \propto}\left ( \sin ^{2}n+\cos ^{2}n \right )=0\), что противоречит основному тригонометрическому тождеству.

Ответ: NaN

Приведите пример сходящейся неотрицательной последовательности\( \left \{ a_{n} \right \}\) для которой последовательность \(\left \{ \sqrt[n]{a_{n}} \right \}\) имеет предел, меньший 1 и больший 0.

Решение №13786: \( x_{n}=\left ( \frac{1}{2} \right )^{n} \)

Ответ: NaN

Пусть последовательность \(\left \{ a_{n} \right \} \)ограничена. Может ли последовательность \(\left \{ \sqrt[n]{a_{n}} \right \}\) иметь предел, больший 1?

Решение №13787: Пусть \(\lim_{n \to \propto} \sqrt[n]{a_{n}}=A> 1\). Это значит, что начиная с некоторого номера n_{0}, все члены постедовательности будут больше 1. В дальнейших рассуждениях рассматриваютя члены последовательности с номерами, большими n_{0}. Так как последовательность \(\left \{ a_{n} \right \}\) ограничена, то \(\exists m, M: \forall n\in N m\leqslant a_{n}\leqslant M\), причем \(m\geqslant 1\). Тогда \(\forall n\in N \sqrt[n]{m}\leqslant \sqrt[n]{a_{n}}\leqslant \sqrt[n]{M}\). Перейдем к пределу в неравенстве. А так как \(\lim_{n \to \propto}\sqrt[n]{m}=\lim_{n \to \propto}\sqrt[n]{M}=1\) ,то по теореме о сжатой последовательности получам. что \( \lim_{n \to \propto}\sqrt[n]{a_{n}}=1\), а это противоречит предположению.

Ответ: NaN

Найдите: \(\lim_{n \to \propto}\left ( \frac{2005}{n} \right )^{n}\)

Решение №13788: \( \forall n\geqslant 4010\) верно \(\frac{2005}{n}\leqslant \frac{1}{2}\). Тогда \(0< \left ( \frac{2005}{n} \right )^{n}\leqslant \left ( \frac{1}{2} \right )^{n}\).Перейдем к пределу в неравенствах \(\lim_{n \to \propto}\leqslant \lim_{n \to \propto}\left ( \frac{2005}{n} \right )^{n}\leqslant \lim_{n \to \propto}\left ( \frac{1}{2} \right )^{n}\). Так как крайние пределы равны нулю, то по теореме о сжатой последовательности \(\lim_{n \to \propto}\left ( \frac{2005}{n} \right )^{n}=0. \)

Ответ: 0