Задачи

Фильтрация

Показать фильтрацию

По классам:

По предметам:

По подготовке:

По классам:

По авторам:

Прямая \(AK\) перпендикулярная к плоскости правильного треугольника \(ABC\), а точка \(M\) - чередина стороны \(BC\). Докажите, что \(MK\perp BC\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Отрезок \(AD\) перпендикулярен к плоскости равнобедренного треугольника \(ABC\). Известно, что \(AB=AC\) = 5 см, \(BC\) = 6 см, \(AD\) = 12 см. Найдите расстояния от концов отрезка \(AD\) до прямой \(BC\).

Решение №44247: см

Ответ: 4 и \(4\sqrt{10}\)

Через вершину \(A\) прямоугольника \(ABCD\) проведена прямая \(AK\), перпендикулярная к плоскости прямоугольника. Известно, что \(KD\) = 6 см, \(KB\) = 7 см, \(KC\) = 9 см. Найдите: а) расстояние от точки \(K\) до плоскости прямоугольника \(ABCD\); б) расстояние между прямыми (AK\) и \(CD\).

Решение №44248: см

Ответ: а) 2; б) \(4\sqrt{2}\)

Прямая \(CD\) перпендикулярна к плоскости треугольника \(ABC\). Докажите, что: а) треугольник \(ABC\) является проекцией треугольника \(ABD\) на плоскость \(ABC\); б) если \(CH\) - высота треугольника \(ABC\), то \(DH\) - высота треугольника \(ABD\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Через вершину \(B\) квадрата \(ABCD\) проведена прямая \(BF\), перпендикулярная к его плоскости. Найдите расстояния от точки \(F\) до прямых, содержащих стороны и диагонали квадрата, если \(BF\) = 8 дм, \(AB\) = 4 дм.

Решение №44250: см

Ответ: 8, 8, \(4\sqrt{5}\), \(4\sqrt{5}\), 8, \(6\sqrt{2}\)

Докажите, что прямая \(a\), проведенная в плоскости \(\alpha\) через основание \(M\) наклонной \(AM\) перпендикулярно к ней, перпендикулярна к ее проекции \(HM\) (рис. Geometr-10,11_6.png)

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Прямая \(BD\) перпендикулярна к плоскости треугольника \(ABC\). Известно, что \(BD\) = 9см, \(AC\) = 10 см, \(BC=BA\) = 13 см. Найдите: а) расстояние от точки \(D\) до прямой \(AC\); б) площадь треугольника \(ACD\).

Решение №44252: а) см; б) \(см^{2}\)

Ответ: а) 15; б) 75

Через вершину прямого угла \(C\) равнобедренного прямоугольного треугольника \(ABC\) проведена прямая \(CM\), перпендикулярная к его плоскости. Найдите расстояние от точки \(M\) до прямой \(AB\), если \(AC\) = 4 см, а \(CM\) = \(2\sqrt{7}\) см.

Решение №44253: см

Ответ: 6

Один из катетов прямоугольного треугольника \(ABC\) равен \(m\), а острый угол, прилежащий к этому катету, равен \(\varphi\). Через вершину прямого угла \(C\) проведена прямая \(CD\), перпендикулярная к плоскости этого треугольника, \(CD=n\). Найдите расстояние от точки \(D\) до прямой \(AB\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \(\sqrt{n^{2}+m^{2}sin^{2}\varphi}\)

Прямая \(OK\) перпендикулярна к плоскости ромба \(ABCD\), диагонали которого пересекаются в точке \(O\). а) Докажите, что расстояния от точки \(K\) до всех прямых, содержащих стороны ромба, равны. б) Найдите это расстояние, если \(OK\) = 4,5 дм,\(AC\) = 6 дм,\(BD\) = 8 дм.

Решение №44255: дм

Ответ: б) 5,1

Через вершину \(B\) ромба \(ABCD\) проведена прямая \(BM\), перпендикулярна к его плоскости. Найдите расстояние от точки \(M\) до прямых, содержащих стороны ромба, если \(AB\) = 25 см, \(\angle BAD = 60^{\circ}\), \(BM\) = 12,5 СМ.

Решение №44256: см

Ответ: 12,5; 12,5; 25; 25

Прямая \(BM\) перпендикулярна к плоскости прямоугольника \(ABCD\). Докажите, что прямая, по которой пересекаются плоскости \(ADM\) и \(BCM\), перпендикулярна к плоскости \(ABM\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Концы отрезка \(AB\) лежат на двух параллельных плоскостях, расстояние между которыми равно \(d\), причем (\(d

Решение №44258: см

Ответ: 12

Луч \(BA\) не лежит в плоскости еразвернутого угла \(CBD\). Докажите, что если \(\angle ABC = \angle ABD\), причем \(\angle ABC < 90^{\circ} \), то проекцией луча \(BA\) на плоскость \(CBD\) является биссектриса угла \(CBD\).

Решение №44259: Указание. Использовать перпендикуляры, проведенные из точки \(A\) к прямым \(BC\) и \(BD\) и к плоскости \(CBD\).

Ответ: NaN

Прямая \(MA\) проходит через точку \(A\) плоскости \(\alpha\) и образует с этой плоскостью угол \(\varphi_{0}\neq 90^{\circ} \). Докажите, что \(\varphi_{0}\) является наименьшим из всех углов, которые прямая \(MA\) образует с прямыми, проведенными в плоскости \(\alpha\) через точку \(A\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Наклонная \(AM\), проведенная из точки \(A\) к данной плоскости, равна \(d\). Чему равна проекция этой наклонной на плоскость, если угол между прямой \(AM\) и данной плоскостью равен: а) \(45^{\circ}\); б) \(60^{\circ}\); в) \(30^{\circ}\)?

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: а) \(\frac{d\sqrt{2}}{2}\); б) \(\frac{d}{2}\); в) \(\frac{d\sqrt{3}}{2}\)

Под углом \(\varphi\) к плоскости \(\alpha\) проведена наклонная. Найдите \(\varphi\), если известно, что проекция наклонной вдвое меньше самой наклонной.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \(60^{\circ}\)

Из точки \(A\), удаленной от плоскости \(\gamma\) на расстояние \(d\), проведены к этой плоскости наклонные \(AB\) и \(AC\) под углом \(30^{\circ}\) к плоскости. Их проекции на плоскость \(\gamma\) образуют угол в \(120^{\circ}\). Найдите \(BC\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \(3d\)

Неперпендикулярные плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) пересекаются по прямой \(MN\). В плоскости \(\beta\) из точки \(A\) проведен перпендикуляр \(AB\) к прямой \(MN\) и из той же точки \(A\) проведен перпендикуляр \(AC\) к \(\alpha\). Докажите , что \(\angle ABC\) - линейный угол двугранного угла \(AMNC\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

В тетраэдре \(DABC\) все ребра равны, точка \(M\) - середина ребра \(AC\). Докажите, что \(\angle DMB\) - линейный угол двугранного угла \(BACD\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Двугранный угол равен \(\varphi\). На одной грани этого угла лежит точка, удаленная на расстояние \(d\) от плоскости другой грани. Найдите расстояние от этой точки до ребра двугранного угла.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \(\frac{d}}{sin\varphi}\)

Даны два двугранных угла, у которых одна грань общая, а две другие грани являются различными полуплоскостями одной плоскости. Докажите, что сумма этих двугранных углов равна \(180^{\circ}\)

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Из вершины \(B\) треугольника \(ABC\), сторона \(AC\) которого лежит в плоскости \(\alpha\), проведен к этой плоскости перпендикуляр \(BB_{1}\). Найдите расстояния от точки \(B\) до прямой \(AC\) и до плоскости \(\alpha\), если \(AB\) = 2 см, \(\angle BAC = 150 ^{\circ}\) и двугранный угол \(BACB_{1}\) равен \(45^{\circ}\).

Решение №44268: см

Ответ: 1 и \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

Гипотенуза прямоугольного равнобедренного треугольника лежит в плоскости \(\alpha\), а катет наклонен к этой плоскости под углом \(30^{\circ}\). Найдите угол между плоскостью \(\alpha\) и плоскостью треугольника.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \(45^{\circ}\)

Катет \(AC\) прямоугольного треугольника \(ABC\) с прямым углом \(C\) лежит в плоскости \(\alpha\), а угол между плоскостями \(\alpha\) и \(ABC\) равен \(60^{\circ}\). Найдите расстояние от точки \(B\) до плоскости \(\alpha\), если \(AC\) = 5 см, \(AB\) = 13 см.

Решение №44270: см

Ответ: \(6\sqrt{3}\)

Ребро \(CD\) тетраэдра \(ABCD\) перпендикулярно к плоскости \(ABC\), \(AB\)=\(BC\)=\(AC\)=6, \(BD=3\sqrt{7}\). Найдите двугранные углы \(DACB\), \(DABC\), \(BDCA\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \(90^{\circ}\), \(45^{\circ}\) и \(60^{\circ}\)

Найдите двугранный угол \(ABCD\) тетраэдра \(ABCD\), если углы \(DAB\), \(DAC\) и \(ACB\) прямые, \(AC\)=\(CB\)=5, \(DB= 5\sqrt{5} \).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \(60^{\circ}\)

Докажите, что если все ребра тетраэдра равны, то все его двугранные углы такде равны. Найдите эти углы.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \(cos \alpha = \frac{1}{3}\), \(\alpha \approx 70^{\circ} {32}'\)

Через сторону \(AD\) ромба \(ABCD\) проведена плоскость \(ADM\) так, что двугранный угол \(BADM\) равен \(60^{\circ}\). Найдите сторону ромба, если \(\angle BAD=45^{\circ} \) и расстояние от точки \(B\) до плоскости \(ADM\) равно \(4\sqrt{3}\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \(8\sqrt{2}\)

Докажите, что плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две данные плоскости, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) взаимно перпендикулярны и пересекаются по прямой \(c\). Докажите, что любая прямая плоскости \(\alpha\), перпендикулярная к прямой \(c\), перпендикулярна к плоскости \(\beta\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) взаимно перпендикулярны. Через некоторую точку плоскости \(\alpha\) проведена прямая, перпендикулярная к плоскости \(\beta\). Докажите, что эта прямая лежит в плоскости \(\alpha\).

Решение №44277: Указание. Воспользоваться задаяей 178.

Ответ: NaN

Докажите, что плоскость и не лежащая в ней прямая, перпендикулярные к одной и той же плоскости, параллельны.

Решение №44278: Указание. Воспользоваться задачей 179

Ответ: NaN

Плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) пересекаются по прямой \(a\). Из точки \(M\) проведены перпендикуляры \(MA\) и \(MB\) соответственно к плоскостям \(\alpha\) и \(\beta\). Прямая \(a\) пересекает плоскость \(AMB\) в точке \(C\). Докажите, что \(MC \perp a).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) взаимно перпендикулярны и пересекаются по прямой \(a\). Из точки \(M\) проведены перпендикуляры \(MA\) и \(MB\) к этим плоскостям. Прямая \(a\) пересекает плоскость \(AMB\) в точке \(C\). а) Докажите, что четырехугольник \(ACBM\) является прямоугольником. б) найдите расстояние от точки \(M\) до прямой \(a\), если \(AM=m\), \(BM=n\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \(\sqrt{m^{2}+n^{2}}\)

Плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) пересекаются по прямой \(a\) и перпендикулярны к плоскости \(\gamma\). Докажите, что прямая \(a\) перпендикулярна к плоскости \(\gamma\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Общая сторона \(AB\) треугольников \(ABC\) и \(ABD\) равна 10 см. Плоскости этих треугольников взаимно перпендикулярны. Найдите \(CD\), если треугольники: а) равносторонние; б) прямоугольные равнобедренные с гипотенузой \(AB\).

Решение №44282: см

Ответ: а) \(5\sqrt{6}\); б) \(5\sqrt{2}\)

Прямая \(a\) не перпендикулярна к плоскости \(\alpha\). Докажите, что сущетвует плоскость, проходящая через прямую \(a\) и перпендикулярная к плоскости \(\alpha\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Докажите, что существует, и притом только одна, прямая, пересекающая две данные скрещивающиеся прямые \(a\) и \(b\) перпендикулярная к каждой из них.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда, если его измерения равны: а) 1, 1, 2; б) 8, 9,12; в) \(\sqrt{39}\), 7, 9.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: а) \(\sqrt{2}\); б) 17; в) 13

Ребро куба равно \(a\). Найдите диагональ куба.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \(a\sqrt{3}\)

Найдите расстояние от вершины куба до плоскости любой грани, в которой не лежит эта вершина, если: а)диагональ грани куба равна \(m\); б) диагональ куба равна \(d\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: а) \(\frac{m\sqrt{2}}{2}\); б) \(\frac{d\sqrt{3}}{3}\)

Дан куб \(ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\). Найдите следующие двугранные углы: а)\(ABB_{1}C\); б)\(ADD_{1}B\); в)\(A_{1}BB_[1}K\), где \(K\) - середина ребра \(A_{1}D_{1}\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: а) \(90^{\circ}\); б) \(45^{\circ}\); в) \(tg\varphi =\frac{1}{2}\), \(\varphi \approx 26^{\circ}{34}'\)

Дан куб \(ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\). Докажите, что плоскости \(ABC_{1}\) и \(A_{1}B_{1}C_{1}\) перпендикулярны.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Найдите тангенс угла между диагональю куба и плоскостью одной из его граней.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

В прямоугольном параллелепипеде \(ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\) дано: \(D_{1}B=d\), \(AC=m\), \(AB=n\). Найдите расстояние между: а) прямой \(A_{1}C_{1}\) и плоскостью \(ABC\); б) плоскостями \(ABB_{1}\) и \(DCC_{1}\); в) прямой \(DD_{1}\) и плоскостью \(ACC_{1}\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: а) \(\sqrt{d^{2}-m^{2}}\); б) \(\sqrt{m^{2}-n^{2}}\); в) \(\frac{n\sqrt{m^{2}-n^{2}}}{m}\)

Ребро куба равно \(a\). Найдите расстояние между скрещивающимися прямыми, содержащими: а) диагональ куба и ребро куба; б) диагональ куба и диагональ грани куба.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: а) \(\frac{a\sqrt{2}}{2}\); б) \(\frac{a\sqrt{6}}{2}\)

Найдите измерения прямоугольного параддедепипеда \(ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\), если \(AC_{1}\) = 12 см и диагональ \(BD_{1}\) составляет с плоскостью грани \(AA_{1}D_{1}D\) угол в \(30^{\circ}\), а с ребром \(DD_{1}\) - угол в \(45^{\circ}\).

Решение №44293: см

Ответ: 6, 6, \(6\sqrt{2}\)

Изобразите куб \(ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\) и постройте его сечение плоскостью, проходящей через: а) ребро \(AA_{1}\) и перпендикулярной к плоскости \(BB_{1}D_{1}\); б) ребро \(AB\) и перпендикулярной к плоскости \(CDA_{1}\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Верно ли утверждение: если две прямые в пространстве перпендикулярны к третьей прямой, то эти прямые параллельны? Верно ли это утверждение при условии, что все три прямые лежат в одной плоскости?

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Параллельные прямые \(b\) и \(c\) лежат в плоскости \(\alpha\), а прямая \(a\) перпендикулярна к прямой \(b\). Верно ли утверждение: а) прямая \(a\) перпендикулярна к прямой \(c\); б) прямая \(a\) пересекает плоскость \(\alpha\)?

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Прямая \(a\) перпендикулярна к плоскости \(\alpha\), а прямая \(b\) не перпендикулярна к этой плоскости. Могут ли прямые \(a\) и \(b\) быть параллельными?

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Прямая \(a\) параллельна плоскости \(\alpha\), а прямая \(b\) перпендикулярна к этой плоскости. Верно ли утверждение, что прямые \(a\) и \(b\) взаимно перпендикулярны?

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Прямая \(a\) параллельна плоскости \(\alpha\), а прямая \(b\) перпендикулярна к этой плоскости. Существует ли прямая, перпендикулярная к прямым \(a\) и \(b\)?

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Верно ли утверждение, что все прямые, перпендикулярные к данной плоскости и пересекающие данную прямую, лежат в одной плоскости?

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Могут ли две плоскости, каждая из которых перпендикулярна к третьей плоскости, быть: а) параллельными плоскостями; б) перпендикулярными плоскостями?

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Можно ли через точку пространства провести три плоскости, каждые две из которых взаимно перпендикулярны?

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Диагональ квадрата перпендикулярна к некоторой плоскости. Как расположена другая диагональ квадрата по отношению к этой плоскости?

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Сколько двугранных углов имеет: а) тетраэдр; б) параллелепипед?

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Отрезок \(BM\) перпендикулярен к плоскости прямоугольника \(ABCD\). Докажите, что прямая \(CD\) перпендикулярна к плоскости \(MBC\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN