Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Решение №40835: Пусть стороны \(AB\) и \(CD\) четырехугольника АВСD параллельны, а его диагонали пересекаются в точке \(О\). По условию одна из диагоналей данного четырехугольника делит другую пополам. Будем считать, что \(ВО = ОD\). Углы \(АВО\) и \(СDО\) должны быть равны, поскольку они накрест лежащие при двух параллельных и секущей \(ВD\). Кроме того, углы \(АОВ\) и \(СОD\) равны как вертикальные. Значит, треугольники \(АОВ\) и \(СОD\) равны по второму признаку. Поэтому \(АО = СО\). Но тогда обе диагонали нашего четырехугольника делят друг друга пополам. Значит, он должен быть параллелограммом по 3 признаку. Ответ: данный четырехугольник является параллелограммом.

Ответ: NaN

Решение №40836: Обозначим середины сторон \(ВС\) и \(AD\) параллелограмма \(AВСD\) буквами \(К\) и \(Е\). Противоположные стороны параллелограмма равны по свойству, поэтому \(ВС = АD\). Половины же равных сторон также равны, значит, \(ВК = ЕD\). Но эти отрезки лежат на параллельных прямых \(ВС\) и \(АD\). Значит, две стороны четырехугольника \(ЕВКD\) параллельны и равны, поэтому он должен быть параллелограммом по 4 признаку. Отсюда сразу следует, что прямые \(ВЕ\) и \(КD\) должны быть параллельны друг другу. Теперь рассмотрим четырехугольник \(АМСN\), где точки \(М\) и \(N\) – середины сторон \(АВ\) и \(СD\). Он также будет параллелограммом по 4 признаку. Отсюда следует, что прямые \(АN\) и \(СМ\) параллельны. Но тогда точки пересечения четырех отрезков из условия задачи образуют четырехугольник, противоположные стороны которого лежат на параллельных прямых. Значит, он параллелограмм по определению. Ч. т. д.

Ответ: NaN

Решение №40837: Обозначим наш параллелограмм как \(АЕFK\), а величину угла \(АЕF\) за \(\alpha\). Поскольку по свойству параллелограмма его противоположные углы равны, то угол \(АКF\) также равен \(\alpha\). Вы помните, что все углы равностороннего треугольника равны \(60^{\circ}\)? Тогда можно через \(\alpha\) выразить угол \(АЕВ\). Он будет равен \(360^{\circ} – 60^{\circ} – \alpha = 300^{\circ} – \alpha\). Тому же будет равен и угол \(АКС\). Отрезки \(АЕ\) и \(KF\) равны как стороны параллелограмма. Но треугольник \(KFC\) равносторонний, поэтому \(КF = СК\). Значит, \(АЕ = СК\). Точно также можно доказать, что \(ВЕ = АК\). Давайте теперь посмотрим на треугольники \(АЕВ\) и \(АКС\). Они равны по первому признаку. Действительно, их углы \(АЕВ\) и \(АКС\) равны, сторона \(АЕ = СК\) и \(ВЕ = АК\). Значит, \(АВ = AС\). Вычислим теперь угол \(ВFC\). Он складывается из углов двух равносторонних треугольников и угла параллелограмма при вершине \(F\). Но этот угол параллелограмма равен \(180^{\circ} – \alpha\). Значит, угол \(ВFC = 60^{\circ} + (180^{\circ} – \alpha) + 60^{\circ} = 300^{\circ} – \alpha\). Получается, что треугольник \(ВFC\) также равен треугольникам \(АЕВ\) и \(АКС\) по двум сторонам и углу между ними. Отсюда следует, что \(АВ = ВС = АС\), то есть треугольник \(АВС\) равносторонний. Ч. т. д.

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Решение №40876: Давайте сделаем дополнительное построение: проведем прямую \(ВМ\) через вершину \(В\) параллелограмма и точку \(М\) – середину его стороны \(АD\). Пусть эта прямая пересечет прямую \(СD\) в точке \(К\). Тогда мы получим равные треугольники \(АВМ\) и \(DКМ\). В самом деле, их углы \(ВАD\) и \(АDК\) будут равны как накрест лежащие при параллельных, а углы при вершине \(М\) будут равны, поскольку они вертикальные. Сторона \(АМ\) будет равна стороне \(МD\), ведь точка \(М\) была нами выбрана не случайно. Значит, эти два треугольника будут равны по второму признаку. Но тогда уже понятно, как разрезать наш параллелограмм на две нужные части – это можно сделать по отрезку \(ВМ\). Отрезанный треугольник \(АВМ\) встанет на место равного ему треугольника \(DКМ\), и вместе они составят один большой треугольник \(ВКС\). Такое разрезание не единственно. Точно также можно провести нужный разрез через любую другую вершину параллелограмма и середину противоположной от нее стороны.

Ответ: NaN

Решение №40877: Сделаем то же дополнительное построение, которое нам помогло в первой задаче: продлим отрезок \(АМ\) до пересечения с прямой \(ВС\) в точке \(К\). Тогда треугольники \(АМD\) и \(КМС\) будут равны по второму признаку, поскольку \(DM = СМ\), их углы при вершине \(М\) вертикальные, а углы при вершинах \(D\) и \(С\) равны как накрест лежащие при параллельных. Значит, должно быть \(СК = АD = а\). Но противоположные стороны параллелограмма равны, поэтому \(ВС = АD = а\). Кроме того, угол \(СКМ = 30^{\circ}\). Давайте теперь вспомним, что расстояние от точки до прямой – это длина отрезка перпендикуляра, опущенного из нее на эту прямую. Пусть \(ВН\) – нужный нам перпендикуляр. А теперь рассмотрим прямоугольный треугольник \(ВКН\). Поскольку он имеет угол \(30^{\circ}\), то по свойству такого треугольника его противоположный катет должен быть равен половине гипотенузы. Значит, \(ВН = \frac{1}{2} ВК = \frac{1}{2} (2a) = a\). Таким образом, расстояние от точки \(B\) до прямой \(АМ\) равно стороне \(ВС\) данного нам параллелограмма. Ч. т. д.

Ответ: NaN

Решение №40878: Сделаем дополнительное построение: продолжим отрезок \(МК\) до пересечения с прямой \(АD\)\( в точке \(Е\). Вы видите на чертеже равные треугольники? Конечно, это треугольники \(КМС\) и \(ЕМD\)! Но увидеть их мало, нужно еще доказать их равенство. Давайте это сделаем. Углы \(КСМ\) и \(ЕDМ\) равны как накрест лежащие при параллельных прямых и секущей \(СD\). Углы \(КМС\) и \(ЕМD\) равны как вертикальные. Значит, треугольники \(КМС\) и \(ЕМD\) действительно равны по второму признаку. Отсюда следует, что \(КМ = МЕ\) и \(DE = СК = b\). Посмотрите теперь на треугольник \(АКЕ\): отрезок \(АМ\) в нем является и медианой и высотой. Вот где нам пригодился данный в условии прямой угол! Значит, этот треугольник равнобедренный и \(АК = АЕ\). Отрезок \(АК\) был очень неудобным для вычисления, а длину отрезка \(АЕ\) легко найти: \(АЕ = АD + DE = a + b + b = 2a + b\). В последнем равенстве мы воспользовались тем, что стороны \(АD и ВС\) у параллелограмма равны \(a + b\). Ответ: \(2a + b\).

Ответ: NaN

Решение №40879: Попробуем вписать в данный угол параллелограмм так, чтобы точка \(О\) оказалась на пересечении его диагоналей. Поскольку диагонали параллелограмма делят друг друга пополам, то одна из них как раз даст нам положение нужной нам прямой. Обозначим вершину данного угла буквой \(М\) и соединим ее с точкой \(О\). Теперь сделаем дополнительное построение: продлим отрезок \(МО\) на свою длину за точку \(О\) и построим точку \(К\) так, что \(МО = ОК\). Если через точку \(К\) провести прямые \(АК\) и \(ВК\), каждая из которых параллельна стороне нашего угла, то получится параллелограмм \(МАКВ\). А теперь проведем его диагональ \(АВ\) – она разделится нашей точкой \(О\) пополам по свойству параллелограмма. Ясно, что эта прямая \(АВ\) – искомая. Данное построение можно провести для любой точки \(О\) внутри угла. А сколько нужных прямых можно провести через данную нам точку \(О\)? Приведенное нами построение однозначно. Но, возможно, существуют и другие способы построить нужную прямую. Как же это выяснить? Попробуем рассуждать от противоположного. То есть, предположим, что нам удалось построить две нужные прямые\(АВ\) и \(A_{1}B_{1}\) через одну точку \(О\). Давайте рассмотрим тогда четырехугольник \(AA_{1}BB_{1}\). Его диагонали делят друг друга пополам, поэтому он должен быть параллелограммом по признаку. Но тогда его стороны \(AA_{1}\) и \(BB_{1}\) должны быть параллельны, а ведь они пересекаются в точке \(М\). Мы получили противоречие. Значит, второй такой прямой \(A_{1}B_{1}\) не может быть. Ответ: нужная прямая всегда существует и единственна.

Ответ: NaN

Решение №40880: Пусть четырехугольнике \(АВСD\) углы при вершинах \(В\) и \(D\) равны, а соединяющая их диагональ \(ВD\) пересекает другую его диагональ \(АС\) в ее середине – точке \(М\). Сразу найти на этом чертеже равные треугольники не получится – для этого не хватает данных. Давайте опять рассуждать от противоположного. Предположим, что наш четырехугольник не обязательно параллелограмм. Тогда его диагональ \(ВD\) не должна делиться точкой \(М\) пополам. Допустим, например, что \(ВМ < DM\). Сделаем теперь дополнительное построение: отложим от точки \(М\) на отрезке \(МD\) отрезок, равный \(ВМ\). То есть, возьмем точку \(D_{1}\) так, что \(ВМ = МD_{1}\) . Тогда четырехугольник \(АВСD_{1}\) будет параллелограммом по третьему признаку. Значит, его угол \(АD_{1}С\) будет равен углу \(АВС\). По условию углы при вершинах \(В\) и \(D_{1}\) равны, поэтому получается, что угол \(АDС\) равен углу \(АD_{1}С\). А этого не может быть, поскольку тогда сумма углов невыпуклого четырехугольника \(АDСD_{1}\) будет больше, чем \(360^{\circ}\). Мы получили противоречие. Значит, отрезки \(ВМ\) и \(DМ\) на самом деле равны. Но тогда четырехугольник \(АВСD\) параллелограмм по признаку. То есть, признак Пети верен. Ответ: признак верен.

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN