Задачи

Фильтрация

Показать фильтрацию

По классам:

По предметам:

По подготовке:

По классам:

По авторам:

При возрастании острого угла синус и тангенс этого угла возрастают, а косинус и котангенс убывают. Докажите.

Решение №39962: По определению \(\sin(\alpha) = \fraq{AC}{AB}\); \(\tan(\alpha) = \fraq{BC}{AC}\); \(\cos(\alpha) = \fraq{AC}{AB}\); \(\cot(\alpha) = \fraq{AC}{BC}\). По рисунку видно, что \(B_{1}A > BA\), тогда \(\fraq{AC}{AB} > \fraq{AC}{AB_{1}}\), тогда \(\cos(\alpha) > \cos(\alpha_{1}\) при \(\alpha_{1} > \alpha\). Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: \(\cos(\alpha)^{2} + \sin(\alpha)^{2} = \cos(\alpha_{1})^{2} + \sin(\alpha_{1})^{2} \rightarrow \sin(\alpha_{1})^{2} - \sin(\alpha)^{2} = \cos(\alpha)^{2} - \cos(\alpha_{1})^{2} > 0 \rightarrow \sin(\alpha_{1})^{2} > \sin(\alpha)^{2}\), тогда \(\sin(\alpha_{1}) > \sin(\alpha)\) при \(\alpha_{1} > \alpha\). \(\tan(\alpha) = \fraq{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\), тогда, если \(\fraq{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} < \fraq{\sin(\alpha_{1})}{\cos(\alpha_{1})} \rightarrow \tan(\alpha) < \tan(\alpha_{1})\) при \(\alpha_{1} > \alpha\) и, следовательно \(\cot(\alpha) > \cot(\alpha_{1})\) при \(\alpha_{1} > \alpha\), что и требовалось доказать

Ответ: NaN

Сравните: а) \(\sin(23^\circ)\) и \(\cos(65^\circ)\) б) \(\tan(36^\circ)\) и \(\cot(64^\circ)\)

Решение №39963: а) \(\sin(23^\circ) = \cos(90^\circ - 23^\circ) = \cos(67^\circ) < \cos(65^\circ)\), т.к. \(67^\circ > 65^\circ\); б) \(\tan(36^\circ) = \cot(90^\circ - 36^\circ) = \cot(64^\circ)\)

Ответ: NaN

Вычислите значение выражения \(\tan(15^\circ) \cdot \tan(30^\circ) \cdot \tan(45^\circ) \cdot \tan(60^\circ) \cdot \tan(75^\circ)\)

Решение №39964: \(\tan(15^\circ) \cdot \tan(30^\circ) \cdot \tan(45^\circ) \cdot \tan(60^\circ) \cdot \tan(75^\circ) = \tan(15^\circ) \cdot \tan(30^\circ) \cdot \tan(45^\circ) \cdot \cot(90^\circ - 60^\circ) \times \cot(90^\circ - 75^\circ) = \tan(15^\circ) \cdot \tan(30^\circ) \cdot \tan(45^\circ) \cdot \cot(30^\circ) \cdot \tcot(15^\circ) = \tan(45^\circ) = 1\)

Ответ: NaN

Докажите, что \(\tan(1^\circ) \cdot \tan(2^\circ) \cdot ... \cdot \tan(88^\circ) \cdot \tan(89^\circ) = 1\)

Решение №39965: \(\tan(1^\circ) \cdot \tan(2^\circ) \cdot ... \cdot \tan(44^\circ) \cdot \tan(45^\circ) \cdot \tan(46^\circ) \cdot ... \cdot \tan(88^\circ) \cdot \tan(89^\circ) = \tan(1^\circ) \cdot \tan(2^\circ) \cdot ... \cdot \tan(44^\circ) \cdot \tan(45^\circ) \cdot \cot(45^\circ) \cdot \cot(90^\circ - 46^\circ) \cdot ... \cdot \cot(90^\circ - 88^\circ) \cdot \cot(90^\circ - 89^\circ) = \tan(1^\circ) \cdot \tan(2^\circ) \cdot ... \cdot \tan(44^\circ) \cdot \tan(45^\circ) \cdot \cot(44^\circ) \cdot ... \cdot \cot(2^\circ) \cdot \cot(1^\circ) = \tan(45^\circ) = 1\), что и требовалось доказать.

Ответ: NaN

Высота равнобедренного треугольника, проведенная к боковой сто­роне, равна 6 см. Найдите площадь треугольника, если угол при его основании равен \(75^\circ\).

Решение №39966: По свойству углов равнобедренного треугольника \(\angle BAC = \angle BCA = 75^\circ\), тогда по теореме о сумме углов треугольника: \(\angle ABC = 180^\circ - 75^\circ = 30^\circ\); \(\sin{30^\circ} = \fraq{DC}{BC}\), тогда \(BC = \fraq{DC}{\sin{30^\circ}} = 2DC = 12\) (см). \(BC = АВ\) по определению равнобедренного треугольника, тогда \(АВ = 12\) см; \(S_{ABC} = \fraq{1}{2}AB \cdot DC = \fraq{1}{2} \cdot 12 \cdot 6 = 36 (см^2)\).

Ответ: \(36 (см^2)\).

Найдите площадь равнобедренного прямоугольного треугольника, наименьшая высота которого равна \(a\).

Решение №39967: По признаку \(\Delta BDC\) и \(\Delta ADB\) - равнобедренные, тогда \(BC = a\sqrt{2}\); \(AB = a\sqrt{2}\); \(S = \fraq{1}{2}AB \cdot BC\); \(S = \fraq{1}{2}a\sqrt{2} \cdot a\sqrt{2} = a^2\).

Ответ: \(a^2\).

Можно ли решить прямоугольный тре­угольник по двум сторонам; по двум углам?

Решение №39968: По двум сторонам можно, третья сторона находится по теореме Пифагора. А по двум углам - нельзя, т. к. существует бесконечно много подобных треугольников с данными углами, но разными сторонами.

Ответ: По двум сторонам можно, третья сторона находится по теореме Пифагора. А по двум углам - нельзя, т. к. существует бесконечно много подобных треугольников с данными углами, но разными сторонами.

В прямоугольном треугольнике \(KMN\) (см. рис. ниже) известны катет \(MN\) и угол \(K\). Выразите через них второй катет и гипотенузу треугольника.

Решение №39969: \(KM = \fraq{a}{\tan{\alpha}}\); \(KN = \fraq{a}{\sin{\alpha}}\).

Ответ: \(KM = \fraq{a}{\tan{\alpha}}\); \(KN = \fraq{a}{\sin{\alpha}}\).

Пользуясь рис. 181, определите, какие из данных утверждений верны: а) \(KN = \fraq{MN}{\sin \alpha}; б) \(MK = KN\sin \alpha\); в) \(KN = MN\tan \alpha\); г) \(MN = \fraq{KM}{\cot \alpha}\).

Решение №39970: а) верно; б) неверно, \(MK = KN\cos{\alpha}\); в) неверно, \(KN = \fraq{MN}{\sin{\alpha}}\); г) верно.

Ответ: а) верно; б) неверно; в) неверно; г) верно.

Начертите прямоугольный треугольник и измерьте в нем гипоте­нузу и острый угол. Решите этот треугольник. Проверьте полученные результаты измерениями.

Решение №39971: \(\alpha = 40^\circ\); \(c = 5,1\) см. \(\beta = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ\); \(a = c \cdot \sin{\alpha} = 5,1 \cdot \sin{40^\circ} \approx 3,3\) (см); \(b = c \cdot \cos{alpha} = 5,1 \cdot \cos{40^\circ} \approx 3,9\) (см).

Ответ: \(\alpha = 40^\circ\); \(c = 5,1\) см; \(\beta = 50^\circ\); \(a \approx 3,3\) см; \(b \approx 3,9\) см.

Начертите прямоугольный треугольник и измерьте его катеты. Ре­шите этот треугольник. Проверьте полученные результаты измерениями.

Решение №39972: \(a = 4\) см; \(b = 3,5\) см. \(c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{4^2 + 3,5^2} = \sqrt{16 + 12,25} \approx 5,3\) (см); \(\sin{\alpha} \approx \fraq{a}{c} \approx \fraq{4}{5,3} \approx 0,75 \Rightarrow \alpha \approx 49^\circ\); \(\sin{\beta} = \fraq{b}{c} \approx \fraq{3,5}{5,3} \approx 0,66 \Rightarrow \beta \approx 41^\circ\).

Ответ: \(a = 4\) см; \(b = 3,5\) см; \(c \approx 5,3\) см; \(\alpha \approx 49^\circ\); \(\beta \approx 41^\circ\).

В прямоугольном треугольнике катет длиной 7 см является прилежащим к углу \(60^\circ\). Найдите гипотенузу треугольника.

Решение №39973: \(c = \fraq{a}{\cos{\beta}}\); \(c = \fraq{7}{\cos{60^\circ}} = 2 \cdot 7 = 14\) (см).

Ответ: 14 см.

Найдите длину трассы киевского фуни­кулера, если разность высот между нижней и верхней станциями равна 75 м, а синус угла наклона трассы к горизонту составляет \(\fraq{25}{74}\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \(a = c\sin{\alpha}; \(a = 20 \cdot 0,6 = 12\) (см); \(b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{20^2 - 12^2} = \sqrt{256}= 16\) (см).

В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 8 см, а один из ка­тетов - \(4\sqrt{2}\) см. Найдите острые углы треугольника.

Решение №39975: \(\sin{\alpha} = \fraq{a}{c} = \fraq{4\sqrt{2}}{8} = \fraq{\sqrt{2}}{2}\); \(\alpha = 45^\circ\); \(\beta = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ\).

Ответ: \(45^\circ\), \(45^\circ\).

Решите прямоугольный треугольник по катету и острому углу: а) \(с = 8\), \(\alpha = 30^\circ\); б) \(с = 10\), \(\alpha = 42^\circ\).

Решение №39976: a) \(с = 8\) см; \(\alpha = 30^\circ\). \(b = c\cos{\alpha} = 8\cos{30^\circ} = 8 \cdot \fraq{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}\) (см); \(a = c\sin{\alpha} =8\sin{30^\circ} = 8 \cdot \fraq{1}{2} = 4\) (см); \(\beta = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\). б) \(с = 10\) см; \(\alpha = 42^\circ\). \(b = c\cos{\alpha} = 10\cos{42^\circ} \approx 7,4\) (см); \(a = c\sin{\alpha} = 10\sin{42^\circ} \approx 6,7\) (см); \(\beta = 90^\circ - 42^\circ = 48^\circ\).

Ответ: a) \(\beta = 60^\circ\), \(a = 4\), \(b = 4\sqrt{3}\); б) \(\beta = 48^\circ\), \(a \approx 6,7\), \(b \approx 7,4\).

Решите прямоугольный треугольник по катету и острому углу: а) \(a = 2\), \(\beta = 45^\circ\); б) \(a = 4\), \(\alpha = 18^\circ\).

Решение №39977: a) \(а = 2\) см; \(\beta = 45^\circ\). \(c = \fraq{a}{\cos{\beta}} = \fraq{2}{\cos{45^\circ}} = 2\sqrt{2}\) (см); \(b = a = 2\) (см); \(\alpha = \beta = 45^\circ\). б) \(a = 4\) см; \(\alpha = 18^\circ\). \(c = \fraq{a}{\sin{\alpha} = \fraq{4}{\sin{18^\circ} \approx 12,9\) (см); \(b = \fraq{a}{\tg{\alpha} = \fraq{4}{\tg{18^\circ} \approx 12,3\) (см); \(\beta = 90^\circ - 18^\circ = 72^\circ\).

Ответ: a) \(\alpha = 45^\circ\), \(b = 2\), \(c = 2\sqrt{2}\); б) \(\beta = 72^\circ\), \(c \approx 12,94\), \(b \approx 12,31\).

Решите прямоугольный треугольник, если: а) \(c = 12\), \(\alpha = 28^\circ\); б) \(a = 48), \(\beta = 40^\circ\).

Решение №39978: a) \(c = 12\) см; \(\alpha = 28^\circ\). \(a = c\sin{\alpha} = 12\sin{28^\circ} \approx 5,6\) см; \(b = c\cos{\alpha} = 12\cos{28^\circ} \approx 10,6\) см; \(\beta = 90^\circ - 28^\circ = 62^\circ\). б) \(a = 8\) см; \(\beta = 40^\circ\). \(c = \fraq{a}{\cos{\beta}} = \fraq{8}{\cos{40^\circ}} = 10,4\) (см); \(b = a\tan{\beta} = 8\tan{40^\circ} = 6,7\) (см); \(\alpha = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ\).

Ответ: a) \(\beta = 62^\circ\), \(a \approx 5,63\), \(b \approx 10,6\) см; б) \(\alpha = 50^\circ\), \(c \approx 10,44\), \(b \approx 6,71\).

Решите прямоугольный треугольник по гипотенузе и катету: а) \(с = 9\sqrt{2}\), \(а = 9\); б) \(с = 25\), \(а = 24\).

Решение №39979: a) \(c = 9\sqrt{2}\) см; \(а = 9\) см. \(\sin{\alpha} = \fraq{a}{c} = \fraq{9}{9\sqrt{2}} = \fraq{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \alpha = 45^\circ\); \(\beta = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ\); \(b = а = 9\) см. б) \(c = 25\) см; \(a = 24\) см. \(\sin{\alpha} = \fraq{24}{25} = 0,96\); \(\alpha \approx 74^\circ\); \(\beta \approx 90^\circ - 74^\circ = 16^\circ\); \(b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{25^2 - 24^2} = \sqrt{49} = 7\) (см).

Ответ: a) \(b = 9\), \(\alpha = \beta = 45^\circ\); б) \(b = 7\), \(\alpha \approx 74^\circ\), \(\beta \approx 16^\circ\).

Решите прямоугольный треугольник по двум катетам: а) \(а = 6\sqrt{3}\), \(b = 6\); б) \(а = 9\), \(b = 40\).

Решение №39980: a) \(а = 6\sqrt{3}\) см; \(b = 6\) см. \(c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{36 \cdot 3 + 36} = \sqrt{144} = 12\) (см); \(\sin{\alpha} = \fraq{a}{c} = \fraq{6\sqrt{3}}{12} = \fraq{\sqrt{3}}{2}\); \(\alpha = 60^\circ\); \(\sin{\beta} = \fraq{b}{c} = \fraq{6}{12} = \fraq{1}{2}\); \(\beta = 30^\circ\). б) \(а = 9\) см; \(b = 40\) см. \(c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{81 \cdot 1600} = 41\) (см); \(\sin{\alpha} = \fraq{a}{c} = \fraq{9}{41} \approx 0,22\); \(\alpha \approx 13^\circ\); \(\sin{\beta} = \fraq{b}{c} = \fraq{40}{41} \approx 0,98\); \(\beta \approx 77^\circ\).

Ответ: a) \(c = 12\), \(\alpha = 60^\circ\), \(\beta = 30^\circ\); б) \\(c = 41\), \(\alpha \approx 13^\circ\), \(\beta \approx 77^\circ\).

Решите прямоугольный треугольник, если: а) \(а = 6\), \(с = 10\); б) \(а = 5\), \(b = \sqrt{11}\).

Решение №39981: a) \(а = 6\) см; \(с = 10\) см. \(b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8\) (см); \(\sin{\alpha} = \fraq{a}{c} = \fraq{6}{10} = 0,6\); \(\alpha \approx 37^\circ\); \(\sin{\beta} = \fraq{b}{c} = \fraq{8}{10} = 0,8\); \(\beta \approx 53^\circ\). б) \(а = 5\) см; \(b = \sqrt{11}\) см. \(c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{25 + 11} = \sqrt{36} = 6\) (см); \(\sin{\alpha} = \fraq{a}{c} = \fraq{5}{6}\); \(\alpha \approx 56^\circ\); \(\sin{\beta} = \fraq{b}{c} = \fraq{\sqrt{11}}{6}\); \(\beta \approx 34^\circ\).

Ответ: a) \(b = 8\), \(\alpha \approx 37^\circ\), \(\sin{\beta} \approx 53^\circ\); б) \(c = 6\), \(\alpha \approx 56^\circ\), \(\sin{\beta} \approx 34^\circ\).

Отрезок \(BD\) - высота прямоугольного треугольника \(АВС\), прове­денная к гипотенузе. Докажите, что \(AD\tan A = DC\tan C\).

Решение №39982: \(\tan{A} = \fraq{BD}{AD} \Rightarrow BD = AD \cdot \tan{A}\); тогда \(\tan{C} = \fraq{BD}{DC} \Rightarrow BD = \tan{C} \cdot DC\); \(\tan{C} \cdot DC = \tan{A} \cdot AD\), что и требовалось доказать.

Ответ: NaN

Отрезок \(BD\) - высота прямоугольного треугольника \(АВС\), проведенная к гипотенузе. Докажите, что \(\fraq{BD}{\sin A} = AC\cos A\).

Решение №39983: \(\sin{A} = \fraq{BD}{AB}\); тогда \(AB = \fraq{BD}{\sin{A}}. С другой стороны, \(\cos{A} = \fraq{AB}{AC}\), тогда \(AB = AC \cdot \cot{A}\); следовательно, \(\fraq{BD}{\sin{A}} = AC \cdot \cos{A}\), что и требовалось доказать.

Ответ: NaN

Диагональ прямоугольника равна 10, а угол между диагоналя­ми \(40^\circ\). Найдите стороны прямоугольника.

Решение №39984: \(\Delta АОВ\) - равнобедренный, т. к. \(АО = OB\) (свойство диагоналей прямоугольника), тогда: \(\angle OBA = \angle BAO = 90^\circ - \fraq{\alpha}{2} = 70^\circ\). \(b = DA = BD\sin{\angle DBA} = 10\sin{70^\circ} \approx 9,4\) (см); \(a = AB = BD\cos{\angle DBA} = 10\cos{70^\circ} \approx 3,4\) (см).

Ответ: \(\approx 9,4\); \(\approx 3,4\).

Синус угла при основании равнобедренного треугольника равен \(\fraq{8}{17}\), а высота, проведенная к основанию, - 16 см. Найдите основание треугольника.

Решение №39985: \(\sin{\alpha} = \fraq{BH}{AB}\), тогда \(AB = \fraq{BH}{\sin{\alpha} = \fraq{16}{8} \cdot 17 = 34\) (см). \(AH = \sqrt{AB^2 - BH^2} = \sqrt{34^2 - 16^2} = \sqrt{900} = 30\) (см). По свойству высоты равнобедренного треугольника \(ВН\) - медиана, тогда \(AC = 2АН\); \(АС = 2 \cdot 30 = 60\) (см).

Ответ: 60 см.

Диагонали ромба равны 10 см и 24 см. Найдите углы ромба.

Решение №39986: По свойству диагоналей ромба: \(AO = OC = AC : 2\); \(BO = OD = BD : 2\); \(AC\) и \(BD\) - биссектрисы, тогда: \(\tan{\fraq{\alpha}{2}} = \fraq{d_{1}}{2} : \fraq{d_{2}}{2} = \fraq{d_{1}}{d_{2}} = \fraq{10}{24} = \fraq{5}{12}\); \(\fraq{\alpha}{2} \approx 23^\circ\); \(\alpha = \angle BCD = \angle BAD \approx 45^\circ\); \(\angle ADC = \angle ABC \approx 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ\).

Ответ: \(\approx 45^\circ\); \(\approx 135^\circ\).

Отрезок \(BD\) - высота прямоугольного треугольника \(АВС\), прове­денная к гипотенузе. Решите треугольник \(АВС\), если: а) \(BD = 4\sqrt{3}\), \(\angle DBC = 60^\circ\); б) \(АО = 9\), \(\angle С = 10^\circ\).

Решение №39987: a) \(BD =4\sqrt{3}\) (см); \(\angle DBC = 60^\circ\). \(BC = \fraq{BD}{\cos{\angle DBC}} = \fraq{4\sqrt{3} \cdot 2}{\sqrt{3}} = 8\) (см); \(\angle DCB = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ\); \(AB = BC\tan{30^\circ} = 8 \cdot \fraq{1}{\sqrt{3}} = \fraq{8\sqrt{3}}{3}\) (см); \(\angle BAD = 60^\circ\). б) \(AD = 9\) см; \(\angle C = 10^\circ\). \(\angle A = 90^\circ - \angle C = 90^\circ - 10^\circ = 80^\circ\); \(AB = \fraq{AD}{\cos{\angle A}} = \fraq{9}{\cos{80^\circ}} \approx 52\) (см); \(AC = \fraq{AB}{\cos{\angle A}} \approx \fraq{52}{\cos{80^\circ}} \approx 298\) (см); \(BC = AC\cos{10^\circ} \approx 298\cos{10^\circ\) \approx 294\) (см).

Ответ: a) \(AB = 8\), \(BC = 8\sqrt{3}\), \(AC = 16\), \(\angle A = 60^\circ\), \(\angle C = 30^\circ\); б) \(BC = \approx 294\), \(AB \approx 52\), \(AC \approx 298\), \(\angle A = 80^\circ\).

Отрезок \(BD\) - высота прямоугольного треугольника \(АВС\), про­веденная к гипотенузе. Решите треугольник \(АВС\), если \(BD = 3\), \(DС = 4\).

Решение №39988: \(BD = 3\) см; \(DC = 4\) см. \(BC = \sqrt{BD^2 + DC^2} = 5\) (см); \(\sin{\angle C} = \fraq{BD}{BC} = \fraq{3}{5}\); \(\angle C \approx 37^\circ\); \(\angle A = 90^\circ - \angle C \approx = 53^\circ\); \(AC = \fraq{BC}{\cos{\angle C}} = \fraq{5}{\cos{37^\circ}} \approx 6,3\) (см); \(AB = AC\sin{\angle C} \approx 6,3 \cdot \fraq{3}{5} \approx 3,8\) (см).

Ответ: \(AB \approx 3,8\) (см); \(BC = 5\) (см); \(AC = \approx 6,3\) (см); \(\angle A \approx = 53^\circ\); \(\angle C \approx 37^\circ\).

Основания прямоугольной трапеции равны 8 и 12, а тупой угол - \(110^\circ\). Найдите боковые стороны трапеции.

Решение №39989: \(\angle CDH = 180^\circ - 110^\circ - 70^\circ\); \(\angle HCD = 90^\circ - 70^\circ = 20^\circ\); \(HD = AD - BC = 12 - 8 = 4\) (см); \(CD = \fraq{HD}{\cos{\angle CDH}} = \fraq{4}{\cos{70^\circ}} \approx 11,7\) (см); \(BA = CH = HD \tan{\angle CDH} = 4\tan{70^\circ\) \approx 11\) (см).

Ответ: \(\approx 11,7\) см; \(\approx 11\) см.

В равнобокой трапеции угол при основании равен \(135^\circ\), меньшее основание и боковая сторона - соответственно 8 и 10. Найдите среднюю линию трапеции.

Решение №39990: \(\angle ABB_{1} = \angle ABC - 90^\circ = 135^\circ - 90^\circ = 45^\circ\); тогда \(\angle BAB_{1} = 45^\circ\) и \(\Delta АВB_{1}\) - равнобедренный; \(AB_{1} = AB\cos{45^\circ} = 10 \cdot \fraq{1}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}\) (см). Тогда \(AD = BC + 2AB_{1} = 8 + 10\sqrt{2}\), \(MN = \fraq{AD + BC}{2} = \fraq{16 + 10\sqrt{2}}{2} = 8 + 5\sqrt{2} \approx 15\) (см).

Ответ: \(\approx 15\) см.

Тень от столба высотой 11 м равна 4,4 м. Выразите в градусах высоту Солнца над горизонтом.

Решение №39991: \(\tan{\alpha} = \fraq{h}{a} = \fraq{11}{4,4} = \fraq{10}{4} = 2,5\); \(\alpha \approx 68^\circ\).

Ответ: \(\approx 68^\circ\).

Неподалеку от австралийского города Катумба расположена самая крутая (по наклону трассы) горная железная дорога \(Katoomba Scenic Railway\). Ее длина составляет 415 м, а высота подъема - 321 м. Найдите угол наклона трассы.

Решение №39992: \(с = 415\) м; \(h = 321\) м. \(\sin{\alpha} = \fraq{h}{c} = \fraq{321}{415} \approx 0,78\); \(\alpha \approx 51^\circ\).

Ответ: \(\approx 50^\circ\).

Решите прямоугольный треугольник по сумме катетов \(m\) и острому углу \(\alpha\).

Решение №39993: \( \begin{equation*} \begin{cases} \(a = c\sin{\alpha}\); \(b = c\cos{\alpha}\); \end{cases} \end{equation*} \) \(m = a + b = c(\sin{\alpha} + \cos{\alpha})\); \(c = \fraq{m}{\sin{\alpha} + \cos{\alpha}}\); \(a = \fraq{m\sin{\alpha}}{\sin{\alpha} + \cos{\alpha}}\); \(b = \fraq{m\cos{\alpha}}{\sin{\alpha} + \cos{\alpha}}\).

Ответ: \(c = \fraq{m}{\sin{\alpha} + \cos{\alpha}}\); \(a = \fraq{m\sin{\alpha}}{\sin{\alpha} + \cos{\alpha}}\); \(b = \fraq{m\cos{\alpha}}{\sin{\alpha} + \cos{\alpha}}\);

Решите прямоугольный треугольник по разности острых углов \(\varphi\) и гипотенузе \(c\).

Решение №39994: \(\alpha + \beta = 90^\circ \Rightarrow \beta = 90^\circ - \alpha\); тогда \(\alpha - \beta = \alpha - 90^\circ + \alpha = 2\alpha - 90^\circ = \varphi\); \(\alpha = \fraq{90^\circ + \varphi}{2}\); \(\beta = \fraq{90^\circ - \varphi}{2}\); тогда \(a = c\sin{\alpha} = c\cos{\fraq{\varphi}{2}}\); \(b = c\sin{\fraq{\varphi}{2}}\).

Ответ: \(a = c\sin{\alpha} = c\cos{\fraq{\varphi}{2}}\); \(b = c\sin{\fraq{\varphi}{2}}\).

Высота прямоугольного треугольника делит гипотенузу в отноше­нии \(1 : 3\). Найдите острые углы треугольника.

Решение №39995: Пусть \(a_{c} = х\); \(b_{c} = 3х\). Высота \(h\), проведенная к гипотенузе: \(h = \sqrt{a_{c}b_{c}}\), тогда \(\tan{\beta} = \fraq{h}{a_{c}}\); \(4\tan{\alpha} = \fraq{h}{b_{c}}\); \(\tan{\beta} = \fraq{\sqrt{3}x}{x} = \sqrt{3}\); \(\beta = 60^\circ\) и \(\tan{\alpha} = \fraq{1}{\sqrt{3}}\); \(\alpha = 30^\circ\).

Ответ: \(30^\circ\) и \(60^\circ\).

На рис. 182 показан способ измерения высоты предмета, основание которого недоступно. Найдите эту высоту, если \(АВ = d\), \(\angle CAD = \alpha\), \(\angle CBD = \beta\).

Решение №39996: Пусть \(CD = h\), a \(BD = x\), тогда \(\tan{\beta} = \fraq{h}{x}\); \(\tan{\alpha} = \fraq{h}{x + AB} = \fraq{h}{x + d}\); \(x = \fraq{h}{\tan{\beta}}\) и \(x = \fraq{h}{\tan{\alpha}} - d \Rightarrow d = \fraq{h}{\tan{\alpha}} - \fraq{h}{\tan{\beta}} = h \cdot \cot{\alpha} - h\cdot \cot{\beta} \Rightarrow h = \fraq{d}{\cot{\alpha} - \cot{\beta}}\).

Ответ: \(\fraq{d}{\cot{\alpha} - \cot{\beta}}\).

Катеты прямоугольного треугольника рав­ны 30 и 40. Найдите угол между медианой и высо­той, проведенными к гипотенузе.

Решение №39997: \(AC = c = \sqrt{a^2 + b^2} = 50\) (см). Пусть \(AD = х\), тогда \(DC = 50 - х\). Пусть \(BD = h\); \(h = \fraq{ab}{c} = \fraq{30 \cdot 40}{50} = 24\) (см); \(h^2 = x(50 - х) \Rightarrow x^2 - 50x + 576 = 0; \(D_{1} = 625 - 576 = 49\); \(x = 25 \pm 7\); \(x_{1} = 32\) (см); \(x_{2} = 18\) (см). \(АМ = 50 : 2 = 25\) (см); тогда \(DM = AM - AD = 25 - 18 = 7\) (см); \(\tan{\angle DBM} = \fraq{DM}{DB} = \fraq{7}{24} \approx 0,29 \angle DBM \approx 16^\circ\).

Ответ: \(\angle DBM \approx 16^\circ\).

Стороны параллелограмма равны \(4\sqrt{2}\) см и 8 см, а острый угол \(45^\circ\). Найдите высоты и площадь параллелограмма.

Решение №39998: \(h_{a} = b\sin{45^\circ} = \fraq{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}\) (см); \(h_{b} = a\sin{45^\circ} = \fraq{4\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 4\) (см); \(S = h_{b} \cdot b = 4 \cdot 8 = 32 (см^2)\).

Ответ: \(h_{a} = 4\sqrt{2}\) (см); \(h_{b} = 4\) (см); \(S = 32 (см^2)\).

Радиус окружности, вписанной в ромб с острым углом \(\alpha\), равен \(r\). Найдите сторону и площадь ромба.

Решение №39999: По свойству диагоналей ромба \(АС\) - биссектриса \(\agnle BCD = \alpha\), тогда: \(\fraq{r}{OC} = \sin{\fraq{\alpha}{2}}\); \(OC = \fraq{d_{1}}{2} = \fraq{r}{\sin{\fraq{\alpha}{2}}}\); \(\angle OBC = 90^\circ - \fraq{\alpha}{2}\), тогда \(ОВ = \fraq{d_{2}}{2} = \fraq{r}{\sin{(90^\circ - \fraq{\alpha}{2})}} = \fraq{r}{\cos{\fraq{\alpha}{2}}}\), \(S = \fraq{d_{1}d_{2}}{2} = \fraq{2r^2}{\sin{\fraq{\alpha}{2}} \cdot \cos{\fraq{\alpha}{2}}} = \fraq{4r^2}{\sin{\alpha}}\); \(AB = \fraq{OB}{\cos{\fraq{\alpha}{2}}} = \fraq{d_{1}}{2\cos{\fraq{\alpha}{2}}} = \fraq{r}{\sin{\fraq{\alpha}{2}}\cos{\fraq{\alpha}{2}}} = \fraq{2r}{\sin{\alpha}}\).

Ответ: \(S = \fraq{4r^2}{\sin{\alpha}}\); \(AB = \fraq{2r}{\sin{\alpha}}\).

Сторона треугольника равна 10, а прилежащие к ней углы - \(30^\circ\) и \(45^\circ\). Найдите другие стороны треугольника.

Решение №40000: \(ah_{a} = ab \sin{\gamma} = ac\sin{\beta}\); \(bh_{b} = ba\sin{\gamma} = bc \sin{\alpha}\); \(\alpha = 180^\circ - 30^\circ - 45^\circ = 105^\circ\), тогда: \(a\sin{\gamma} = c\sin{\alpha} \Rightarrow c = a \cdot \fraq{\sin{\gamma}}{\cos{\alpha}} = 10 \cdot \fraq{\sin{45^\circ}}{\sin{105^\circ}} \approx 7,3\) (см). \(b = a \cdot \fraq{\sin{\beta}}{\sin{\alpha}} \Rightarrow b = 10 \cdot \fraq{\sin{30^\circ}}{\sin{105^\circ}} \approx 5,2\) (см).

Ответ: \(b \approx 5,2\) см; \(c \approx 7,3\) см.

Если два прямоугольных треугольни­ка имеют равные гипотенузы, то синусы их острых углов пропорциональны противоле­жащим катетам, а косинусы острых углов - прилежащим катетам. Докажите.

Решение №40001: \( \begin{equation*} \begin{cases} \(\sin{\alpha_{1}} = \fraq{a_{1}}{2}\); \(\sin{\alpha_{2}} = \fraq{a_{2}}{2}\); \end{cases} \end{equation*} \) \(\fraq{\sin{\alpha_{1}}}{\sin{\alpha_{2}} = \fraq{a_{1}}{a_{2}}\); \( \begin{equation*} \begin{cases} \(\cos{\alpha_{1}} = \fraq{b_{1}}{c}\); \(\cos{\alpha_{2}} = \fraq{b_{2}}{c}\); \end{cases} \end{equation*} \) \(\fraq{\cos{\alpha_{1}}}{\cos{\alpha_{2}} = \fraq{b_{1}}{b_{2}}\), что и требовалось доказать.

Ответ: NaN

Биссектриса, проведенная из верши­ны острого угла \(\alpha\) прямоугольного треугольника, равна \(l\). Найдите гипотенузу треугольника.

Решение №40002: По определению биссектрисы угол между \(l\) и \(h\) равен \(\fraq{\alpha}{2}\), тогда: \(h = l\cos{\fraq{\alpha}{2}}\); \(c = h\cos{\alpha} = l \cdot \fraq{\cos{\alpha}}{\cos{\fraq{\alpha}{2}}}\).

Ответ: \(l \cdot \fraq{\cos{\alpha}}{\cos{\fraq{\alpha}{2}}}\).

Ступеньки эскалатора харьковского ме­трополитена имеют ширину 40 см и высоту 30 см. Определите угол наклона эскалатора.

Решение №40003: \(\tan{\alpha} = \fraq{h}{d} = \fraq{30}{40} = \fraq{3}{4}\); \(\alpha \approx 37^\circ\).

Ответ: \(37^\circ\).

На расстоянии 700 м от точки отрыва самолета от земли расположены деревья вы­сотой 24 м. Под каким углом должен под­ниматься самолет, чтобы не задеть деревья?

Решение №40004: \(\tan{\alpha} = \fraq{h}{l} = \fraq{24}{700} = \fraq{6}{175}\); \(\alpha = 2^\circ\).

Ответ: Угол должен быть не меные \(2^\circ\).

Докажите, что катеты прямоугольного треугольника и высота, проведенная к гипотенузе, связаны соотношением \(\fraq{1}{h_{c}^2} = \fraq{1}{a^2} + \fraq{1}{b^2}\).

Решение №40005: \(\fraq{h_{c}}{a} = \sin{\beta}\) и \(\fraq{h_{c}}{b} = \cos{\beta}\); по основному тригонометрическому тождеству: \(\sin^2{\beta} + \cos^2{\beta} = 1\) тогда \(\fraq{h_{c}^2}{a^2} + \fraq{h_{c}^2}{b^2} = 1 \Rightarrow \fraq{1}{a^2} + \fraq{1}{b^2} + \fraq{1}{h_{c}^2}\).

Ответ: NaN

В равнобедренном треугольнике косинус угла при вершине равен \(a\). Найдите тангенс угла между основанием и высотой, проведенной к боко­вой стороне.

Решение №40006: \(\tan{\beta} = \fraq{\sin{\beta}}{\cos{\beta}} = \fraq{\cos{(90^\circ - \beta)}}{\sin{(90^\circ - \beta)}} = \fraq{\cos{\beta}}{\sin{\beta}} = \fraq{a}{\sqrt{1 - a^2}}\).

Ответ: \(\fraq{a}{\sqrt{1 - a^2}}\).

В треугольнике \(АВС АВ = ВС\), а высота \(АЕ\) в два раза меньше высоты \(BD\). Найдите косинус угла при основании треугольника.

Решение №40007: Найти: \(\cos{C} - ?\). \(\sin{C} = \fraq{AE}{AC} = 2 \cdot \fraq{BD}{AC}\); \(\tan{C} = \fraq{BD}{DC}\). По определению \(\Delta АВС\) - равнобедренный \(\Rightarrow\) по свойству высоты \(DC = AC : 2 \Rightarrow \tan{C} = \fraq{BD}{AC}\), тогда \(\fraq{\sin{C}}{\tan{C}} = \cos{C} = 1\).

Ответ: \(\cos{C} = 1\).

Две окружности, расстояние между центрами которых равно \(d\), ка­саются внешним образом. Найдите радиусы этих окружностей, если угол между их общими внешними касательными равен \(2\alpha\).

Решение №40008: \(\Delta CDK = \Delta EDK\) и \(\Delta BDA = \Delta FDA\) по трем сторонам, тогда \(\angle BDA = \angle ADF = \fraq{\angle BDF}{2}\); \(\angle BDA = \alpha\). \( \begin{equation*} \begin{cases} \(CK = KD\sin \alpha\); \(AB = AD\sin \alpha\); \end{cases} \end{equation*} \) но \(AD = AK + KD = d + KD \Rightarrow\) \( \begin{equation*} \begin{cases} \(CK = KD\sin \alpha\); \(AB = d\sin \alpha + KD\sin \alpha\); \end{cases} \end{equation*} \) \(\Rightarrow AB - CK = d\sin \alpha\). Пусть \(AB = R_{1}\), \(CK = R_{2}\). Тогда \(AO = R_{1}\) и \(OK = R_{2}\), но \(AO + OK =d\). Следовательно: \( \begin{equation*} \begin{cases} \(R_{1} - R_{2} = d\sin{\alpha}\); \(R_{1} + R_{2} = d\); \end{cases} \end{equation*} \) \( \begin{equation*} \begin{cases} \(R_{1} = \fraq{1}{2}d(\sin{\alpha} +1)\); \(R_{2} = \fraq{1}{2}d(1 - \sin{\alpha})\). \end{cases} \end{equation*}. \)

Ответ: \(R_{1} = \fraq{1}{2}d(\sin{\alpha} +1)\); \(R_{2} = \fraq{1}{2}d(1 - \sin{\alpha})\).

Найдите \(\sin 75^\circ\).

Решение №40009: \(\sin 75^\circ = \cos(90^\circ - 75^\circ) = \cos 15^\circ\); \(\sin 30^\circ = 2\sin 15^\circ\cos 15^\circ = \fraq{1}{2}\); \((\fraq{1}{4})^2 = \cos^2 15^\circ \cdot (1 - \cos^2 15^\circ); \(\cos^4 15^\circ - \cos^2 15^\circ + \fraq{1}{16} = 0\); \(D = 1 - \fraq{1}{4} = \fraq{3}{4}\); \(\cos^2 15^\circ = (1 + \fraq{\sqrt{3}}{2}) \cdot \fraq{1}{2} = \fraq{1}{2} + \fraq{\sqrt{3}}{4} \Rightarrow \sin{75^\circ} = \sqrt{\fraq{1}{2} + \fraq{\sqrt{3}}{4}}\).

Ответ: \(\sqrt{\fraq{1}{2} + \fraq{\sqrt{3}}{4}}\).

Отрезки \(BB_{1}\) и \(CC_{1}\) - высоты остроугольного треугольни­ка \(АВС\), в котором \(\angle А = \alpha\). Найдите площадь треугольника \(АB_{1}C_{1}\), если площадь треугольника \(АВС\) равна \(S\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Сторона угла \(alpha\), отложенного от положительной полуоси оси \(Ох\) в направлении против часовой стрелки, пересекает тригонометриче­скую окружность в точке \(М\). а) Назовите координаты точки \(М\), если \(\alpha = 90^\circ\). б) Определите величину угла \(\alpha\), если \(М(\fraq{\sqrt{2}}{2};\fraq{\sqrt{2}}{2})\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Определите, является ли угол \(\alpha (0^\circ < \alpha < 180^\circ)\) острым, прямым или тупым, если: а) \(\cos{\alpha} = 0\); б) \(\sin{\alpha} \cdot \cos{\alpha} < 0\); в) \(\tan{\alpha} > 0\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Может ли косинус тупого угла быть равным 0,01; -0,8; -3? Может ли косинус тупого угла быть равным синусу того же угла?

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Дан острый угол \(\beta\), причем \(\sin{\beta} = n\), \(\cos{\beta} = m\). Найдите синус и ко­синус угла \((180^\circ - \beta)\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Верно ли, что: а) синусы смежных углов - противоположные числа; б) тангенсы смежных углов - противоположные числа?

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

В прямоугольной системе координат на тригонометрической окруж­ности отметьте точку \(М\), соответствующую углу \(120^\circ\). а) Проведите из точки \(М\) перпендикуляры к осям координат. Опре­делите координаты оснований этих перпендикуляров. б) Отметьте на тригонометрической окружности точку \($M_{1}$\), соответ­ствующую острому углу, синус которого равен синусу \(120^\circ\). Измерьте этот острый угол и обоснуйте полученный результат.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

В прямоугольной системе координат на тригонометрической окруж­ности отметьте точку \(М\), соответствующую углу \(150^\circ\). а) Определите координаты \(x\) и \(y\) точки \(М\). Какая из координат больше? б) Вычислите значение выражения \($х_{2}$ + $у_{2}$\). Обоснуйте полученный результат.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

С помощью формул приведения для углов \((180^\circ - \alpha)\) вычислите си­нус, косинус и тангенс углов \(120^\circ\) и \(135^\circ\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

С помощью формул приведения и тригонометрических таблиц (каль­кулятора) вычислите: а) \(\sin{160^\circ}\); б) \(\cos{115^\circ}\); в) \(\tan{95^\circ}\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Определите все значения \(\alpha\) от \(0^\circ\) до \(180^\circ\), для которых выполняется равенство: а) \(\sin{\alpha} = \fraq{\sqrt{3}}{2}\); б) \(\cos{\alpha} = -0,5\); в) \(\tan{\alpha} = -1\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: а) \(60^\circ\) и \(120^\circ\); б) \(120^\circ\); в) \(135^\circ\).

С помощью формул приведения и таблиц значений тригонометрических функций (см. Справочные материалы на с. 237-238) найдите: а) \(\sin{\alpha}\) и \(\tan{\alpha}\), если \(\alpha = 170^\circ\); б) острый и тупой углы, синусы которых равны 0,643.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: а) \(\approx 0,174\) и \(\approx -0,176\); б) \(\approx 40^\circ\) и \(\approx 140^\circ\).