Решение №38642: При повороте на \(60^\circ\) с центром \(А\), переводящем вершину \(В\) в вершину \(С\), точка \(М\) переходит в некоторую точку \(М_{1}\) , а точка \(С\) - в точку \(D\). Равенство \(МА^{2} = MB^{2} + MO^{2}\) эквивалентно равенству \(M_{1}M^{2} = M_{1}C^{2} + MC^{2}\) T. e. тому, что \(MCM_{1} = 90^\circ\). Поэтому \(\angle MCB + \angle MBC = \angle MCB + \angle M_{1}CD = 120^\circ - 90^\circ = 30^\circ\) , т. е. \(\angle BMC = 150^\circ\). Искомое множество лежащая внутри треугольника дуга окружности, из которой отрезок \(ВС\) виден под углом \(150^\circ\)

Ответ: NaN

Решение №38643: Рассмотрите поворот на \(60^\circ\) с центром \(А\), переводящий точки \(С\) и \(С_{1}/) в точки \(В_{1}\) и \(В\). При этом повороте точки \(А_{1}\) и \(В\) переходят в некоторые точки \(А_{2}\) и \(В_{2}\) (рис. 273). Отрезок \(С_{1}А_{1}\) переходит в отрезок \(ВА_{2}\). Отрезки \(ВА_{1}\) и \(В_{1}A_{2}\), равны и параллельны, поэтом середины отрезков \(ВА_{2}\) и \(A_{1}B_{1}\) совпадают

Ответ: NaN

Решение №38644: Пусть \(O_{1}\) и \(O_{2}\) - центры симметрии, \(А\) точка, не лежащая на прямой \(O_{1}O_{2}\). Далее, при симметрии относительно точки \(O_{1}\), точка \(А\) переходит в точку \(A_{1}\) при симметрии относительно точки \(O_{2}\) точка \(A_{1}\) переходит в точку \(A_{2}\), а при симметрии относительно точки \(O_{2}\) точка \(O_{1}\) переходит в точку О (рис. 274). Тогда четырёхугольник \(AА_{2}OO_{2}\) - параллелограмм.

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38645: Для двух разных порядков получаются параллельные переносы в противоположных направлениях

Ответ: NaN

Решение №38646: Пусть \(l_{1}\), и \(l_{2}\) - параллельные оси симметрии, точка \(О_{1}\) равноудалена от прямых \(l_{1}\) и \(l_{2}\), точки \(О\) и \(О_{1}\) симметричны точке \(О_{1}\) относительно прямых \(l_{1}\) и \(l_{2}\) точка \(Х\) не лежит на прямой \(O_{1}O_{2}\) точка \(X_{1}\), симметрична точке \(Х\) относительно прямой \(l_{1}\) точка \(X_{2}\) симметрична точке \)X_{1}\) относительно прямой \(l_{1}\) (рис. 275). Тогда четырёхугольник \(XX_{2}O_{2}O\) - параллелограмм.

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38647: Для двух разных порядков получаются параллельные переносы в противоположных направлениях.

Ответ: NaN

Решение №38648: Пусть оси симметрии \(l_{1}\) и \(l_{2}\) перпендикулярны, \(О\) - точка их пересечения. Далее, точка \(А\) не лежит на прямых \(l_{1}\) И \(l_{2}\), точка \(A_{2}\) симметрична точке \(А_{1}\) относительно прямой \(l_{1}\) точка \(A_{2}\) симметрична точке \(А_{1}\) относительно прямой \(l_{2}\) (рис. 276). Тогда угол \(АА_{1}A_{2}\) прямой и точка \(O\)- чередин гипотенузы прямоугольного треугольника \(AA_{1}A_{2}\)

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38649: Воспользуйтесь задачей 24.41.

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38650: Последовательное выполнение трёх симметрий: сначала относительно прямой \(m\), затем относительно прямой \(l\) и потом снова относительно прямой \(m\) - является симметрией относительно прямой \(n\) (рис. 277).

Ответ: NaN

Решение №38651: Если оси симметрии \(l\) и \(m\) не перпендикулярны, то прямая \(n\), симметричная относительно \(m\), является третьей осыо симметрии.

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38652: Если фигура имеет ровно две оси симметрии, то эти оси взаимно перпендикулярны.

Ответ: NaN

Решение №38653: Пусть точка \(X_{1}\) симметрична точке \(Х\) относительно прямой \(ОА\), точка \(Х_{2}\), симметрична точке \(Х_{1}\), относительно прямой \(ОВ\) и точка \(Х_{1}\) лежит внутри угла \(АОВ\). Если угол \(АОВ\) острый, то \(\angle XOX_{2} = 2 \angle AOB\) (рис.278, a), если угол \(AOB\) тупой, то \(\angle XOX_{2} = 360^\circ - 2 \angle AOB\) (рис. 278, б).

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38654: Для двух разных порядков получаются повороты в прогивоположных направлениях. Повороты на \(180^/circ\) в противоположных направлениях совпадают.

Ответ: NaN

Решение №38655: Середины сторон квадрата являются вершинами другого квадрата. При гомотетии с коэффициентом 2 и центром в данной точке середины сторон квадрата переходят в точки, симметричные данной точке относительно них.

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38656: Точка \(С\) переходит в точку пересечения медиан треугольника \(АВС\) при гомотетии с коэффициентом \(\frac{1}{3}\) и центром в середине стороны \(АВ\).

Ответ: NaN

Решение №38657: При гомотетии с центром в точке пересечения диагоналей четырёхугольника и коэффициентом \(\frac{3}{2}\) точки пересечения медиан указанных треугольников переходят в середины сторон четырёхугольника. Середины сторон четырёхугольника являются вершинами прямоугольника (задача 13.8).

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38658: Пусть продолжения боковых сторон \(АВ\) и \(CD\) трапеции \(ABCD\) пересекаются в точке \(Р\), а её диагонали - в точке \(О\). При гомотетии с центром \(Р\), переводящей отрезок \(ВС\) в отрезок \(AD\), точка \(М\) переходит в точку \(N\), поэтому точка \(Р\) лежит на прямой \(MN\). При гомотетии с центром \(О\), переводящей отрезок \(ВС\) в отрезок \(DA\), точка \(М\) переходит в точку \(N\), поэтому точка \(O\) тоже лежит на прямой \(MN\). Замечание. Другое решение приведено в указании к задаче 17.13.

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38659: При гомотетии с коэффициентом \(-\frac{1}{2}\) и центром в точке пересечения медиан треугольника верщина треугольника переходит в середину противоположной стороны. Поэтому прямая, содержащая биссектрису треугольника, переходит в прямую, проходящую через середину стороны параллельно биссектрисе противолежащего угла.

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38660: При гомотетии с центром \(М\) и коэффициентом \(-2\) прямые \(РА_{1}\), \(РB_{1}\) и \(РC_{1}\) переходят в прямые \(l_a\), \(l_b\) и \(l_c\), поэтому точка \(Q\) является образом точки \(Р\) при этой гомотетии.

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38661: Одна окружность переходит в другую при гомотетии с центром \(К\).

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38662: Одна окружность переходит в другую при гомотетии с центром \(К\).

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38663: При гомотетии, переводящей первую окружность во вторую, вторая окружность переходит в третью. Квадрат коэффициента этой гомотетии равен \(\frac{18}{2} = 9\).

Ответ: NaN

Решение №38664: При гомотетии с коэффициентом \(\frac{1}{3}\) и центром в середине стороны \(АВ\) точка \(С\) переходит в точку пересечения медиан треугольника \(АВС\).

Ответ: NaN

Решение №38665: Пусть прямая \(АВ\) пересекает окружность радиуса \(r\) в точке \(С\). Квадрат отрезка касательной равен \(BA \cdot BC\), \(BC = BA + AC\) и \(AC = \frac{r}{R}a\).

Ответ: NaN

Решение №38666: Пусть прямая \(АВ\) пересекает окружность радиуса \(r\) в точке \(С\). Квадрат отрезка касательной равен \(BA \cdot BC\), \(BC = BA - AC\) и \(AC = \frac{r}{R}a\).

Ответ: NaN

Решение №38667: Из свойств биссектрисы и теоремы синусов получите \(AK : KD = AP : DP = \sin{D} : \sin{A}\) и \(AL: LB = AQ : BQ = \sin{B} : \sin{A}\). Сумма углов \(В\) и \(D\) равна \(180^\circ\), поэтому \(\sin{B} = \sin{D}\). Следовательно, \(AK : KD = AL : LB\), поэтому рассматриваемые окружности гомотетичны.

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38668: Проведите прямую, соединяющую центры окружностей, и рассмотрите диаметры, перпендикулярные этой прямой. Они являются основаниями трапеции. Центр одной гомотетии - точка пересечения диагоналей этой трапеции, центр другой гомотетии - точка пересечения продолжений боковых сторон.

Ответ: NaN

Решение №38669: При гомотетии с коэффициентом \(-2\) и центром в точке \(М\) точки \(А_{1}\), \(B_{1}\) и \(C_{1}\) переходят в вершины треугольника. Поэтому при этой гомотетии ортоцентр треугольника \(А_{1}B_{1}C_{1}\) переходит в ортоцентр \(Н\) треугольника \(АВС\). Но ортоцентр треугольника \(А_{1}B_{1}C_{1}\) - это центр \(O\) описанной около треугольника \(АВС\) окружности.

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38670: Треугольник \(ВСВ_{2}\) прямоугольный, поэтому его медиана \(В_{2}А_{1}\) равна половине гипотенузы \(ВС\). Следовательно, диагонали или боковые стороны трапеции с основаниями \(A_{1}C_{1}\) и \(В_{1}В_{2}\) равны. Поэтому эта трапеция равнобедренная и около неё можно описать окружность. Следовательно, точка \(В_{2}\) лежит на окружности, описанной около треугольника \(А_{1}В_{1}С_{1}\). Аналогично точки \(А_{2}\) и \(С_{2}\), лежат на этой окружности.

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38671: Окружность \(S\) проходит через точки \(А_{1}\) и \(А_{2}\), поэтому её центр лежит на серединном перпендикуляре к отрезку \(А_{1}А_{2}\). Три таких серединных перпендикуляра пересекаются в середине отрезка \(ОН\). Окружность \(S\) переходит в окружность, описанную около треугольника \(АВС\), при гомотетии с коэффициентом \(-2\) и центром \(М\), поэтому радиус окружности \(S\) равен половине радиуса описанной окружности.

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38672: Для каждого из этих треугольников окружность Эйлера проходит через середины отрезков \(AB\), \(ВС\), \(СА\), \(АН\), \(ВН\) и \(СН\).

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38673: Для остроугольного треугольника \(АВС\) точки \(А_{2}\) и \(А_{3}\) лежат по разные стороны от прямой \(B_{3}C_{3}\) и \(\angle B_{3}A_{2}C_{3} = \angle B_{3}HC_{3} = 180^\circ - \angle B_{3}A_{3}C_{3}\). Треугольники \(АВС\), \(НВС\), \(АНС\) и \(АВН\) имеют общую окружность Эйлера, и один из этих треугольников остроугольный.

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38674: Пусть искомый отрезок равен \(х\). Основания подобных трапеций пропорциональны, поэтому \(а : х = х : b\).

Ответ: \(x = $\sqrt{ab}$\)

Решение №38675: Выполнив предварительно гомотетию, можно считать, что стороны трапеций соответственно равны. Отложим на основаниях \(AD\) и \(A_{1}D_{1}\) отрезки \(АЕ\) и \(A_{1}E_{1}\), равные \(ВС\). Треугольники \(CDE\) и \(C_{1}D_{1}E_{1}\) равны по трём сторонам.

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38676: Преобразованием подобия можно совместить сторону одного данного четырёхугольника со стороной другого так, чтобы углы при этих сторонах тоже совместились. Рассмотрите четырёхугольники \(ABCD\) и \(ABC_{1}D_{1}\) с общей стороной \(АВ\) и общими углами с вершинами \(А\) и \(В\); диагонали четырёхугольников пересекаются в точках \(О\) и \(О_{1}\) (рис. 279). Стороны \(CD\) и \(C_{1}D_{1}\) параллельны или совпадают. Предположите, что они не совпадают и, для определённости, \(AC_{1} > AC\). Тогда \(\angle ABC_{1} > \angle ABC и \(\angle BAD_{1} > \angle BAD\), поэтому \(\angle AO_{1}B < \angle AOB\), что противоречит условию.

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38677: Пусть \(R\) - радиус данной окружности, \(О\) - её центр. Центр искомой окружности лежит на окружности радиуса \(|R \pm r|\) с центром \(О\) и на примой, параллельной данной прямой и удалённой от неё на расстояние \(р\) (таких прямых две).

Ответ: NaN

Решение №38678: Центр данной окружности лежит на серединиом дерпеждикуляре к отрезку \(АВ\) и на прямой, проходящей через точку \(В\) перпендикулярно к прямой \(l\).

Ответ: NaN

Решение №38679: Середины всех хорд данной окружности, имеющих заданную длину, лежат на окружности с тем же центром, что и данная окружность. К этой окружности нужно провести касательную, параллельную данной прямой.

Ответ: NaN

Решение №38680: Середины хорд данной окружности, имещих заданную длину. лежат на окружности с тем же центром. К этой окружности нужно провести касательную из данной точки.

Ответ: NaN

Решение №38681: Пусть \(O\) центр данной окружности, \(АВ\) хорда, проходящая через точку \(Р\), \(М\)- середина хорды \(АВ\). Тогда \(|AP - BPI= 2PM\). Угол \(РМО\) прямой, поэтому точка \(М\) лежит на окружности \(S\) с диаметром \(ОР\). Постройте окружность \(S\) и проведите её хорду \(РМ\) так, что \(PM = \frac{a}{2}\) (таких хорд две). Искомая хорда лежит на прямой \(РМ\).

Ответ: NaN

Решение №38682: Множество точек, из которых данная окружность радиуса \(R\) c центром \(О\) видна под углом \(2\alpha\), это окружность с центром \(О\), радиус которой равен гипотенузе прямоугольного треугольника, в котором против угла \(\alpha\) лежит катет длины \(R\).

Ответ: NaN

Решение №38683: Построим середину \(А_{1}\) данного отрезка \(ВС\). Точка \(C_{1}/) это точка пересечения окружности радиуса \(m_{c}\), с центром \(С\) и дуги окружности, из которой отрезок \(ВА_{1}\) виден под углом, равным данному углу \(А\).

Ответ: NaN

Решение №38684: Постройте сначала отрезок \(СС_{1} = m_{c}\)и центр \(О\) окружности, из которой отрезок \(СС_[1}\) виден под данным углом \(А\) (таких точек две, мы выбираем любую из них). Затем постройте точку \(М\), в которой пересекаются медианы треугольника \(АВС\) (эта точка делит отрезок СС, в отношении 2 : 1). Точка \(В_{1}\) это точка пересечения окружности, построенной на отрезке \(СО\) как на диаметре, и окружности радиуса с центром \(М\)

Ответ: NaN

Решение №38685: Постройте на прямой \(l\) отрезок длины \(а\) и рассмотрите образы окружности \(S_{1}\), при двух параллельных переносах, переводящих концы отрезка друг в друга. Искомая прямая проходит через точку пересечения окружности \(S_{2}\) и образа окружности \(S_{1}\).

Ответ: NaN

Решение №38686: Пусть \(O_{1}\) и \(O_{2}\) - проекции центров окружностей \(S_{1}\) и \(S_{2}\) на прямую \(l\). Рассмотрите образ окружности \(S_{1}\) при параллельном переносе, переводящем точку \(O_{1}\) в точку \(О_{2}\). Искомая прямая проходит через точку пересечения этого образа и окружности \(S_{2}\).

Ответ: NaN

Решение №38687: Предположите, что точка /(Х\) построена. Рассмотрите параллельный перенос, переводящий точку \(Е\) в точку \(F\). Этот параллельный перенос задан, поэтому можно построить точку \(А_{1}\), в которую точка \(А\) переходит при этом переносе (рис. 280). Углы \(A_{1}FB\) и \(АХВ\) равны, поэтому угол \(A_{1}FB\) известен, Точка \(F\) - это точка пересечения отрезка \(CD\) и дуги окружности, иа которой отрезок \(А_{1}В\) виден под таким же углом, как и отрезок \(АВ\) из точек заданной окружности.

Ответ: NaN

Решение №38688: Предположите, что четырёхугольник \(ABCD\) построен. Рассмотрите параллельный перенос, при котором точка \(С\) переходит в точку \(В\). Пусть точка \(D\) при этом переносе переходит в точку \(D_{1}\) (рис. 281). В треугольнике \(ABD_{1}\) известны стороны \(AB = а\) и \(BD_{1} = b\) и угол между ними, поэтому его можно построить. Затем постройте лучи \(AD\) и \(ВС\) и проведите через точку \(D_{1}\) прямую, параллельную прямой

Ответ: NaN

Решение №38689: Предположите, что точки \(М\) и \(N\), в которых прямая \(l\) пересекает окружность \(S_{2}\) построены. Пусть \(O_{1}\) и \(O_{2}\) - центры окружностей \(S_{1}\) и \(S_{2}\); \(O`_{1}\) - образ точки \(О_{1}\), при параллельном переносе, переводящем точку \(М\) в точку \(N\), \(S`_{1}\), - образ окружности \(S_{1}\), при этом переносе. Проведём касательные \(АР\) и \(AQ\) к окружностям \(S`_{1}\) и \(S_{2}\) Тогда \(AQ^{2} = AM \cdot AN - AP^{2}\), а значит, \(O`_{1}A^{2} = AP^{2} + R^{2}\), где \(R\) - радиус окружности \(S`_{1}\). Отрезок \(АР\) можно построить, поэтому можно построить и огрезок длины \(АО`_{1}\). Точка \(О`_{1}\ это точка пересечения окружности радиуса \(АО`_{1}\), с центром \(А\) и окружности, диаметром которой служит отрезок \(О_{1}О_{2}\).

Ответ: NaN

Решение №38690: Предположите, что точки \(Р\) и \(Q\) лежат на окружностях \(S_{1}\) и \(S_{2}\) соответственно и точка \(А\) лежит на отрезке \(PQ\). Проведите из центров \(O_{1}\) и \(О_{2}\) окружностей \(S_{1}\) и \(S_{2}\) перпендикуляры \(O_{1}М\) и \(O_{2}N\) к прямой \(PQ\). Рассмотрите параллельный перенос, переводящий точку \(М\) в точку \(N\). Пусть \(С\) - образ точки \()_{1}\), при этом переносе. Треугольник \(O_{1}CO_{2}\) прямоугольный, и \(O_{1}C = MN = \frac{PQ}{2}\). Следовательно, чтобы построить прямую \(PQ\), для которой \(PQ = а\), нужно построить треугольник \(O_{1}СO_{2}\) с заданной гипотенузой \(O_{1}O_{2}\) и катетом \(O_{1}C = \frac{a}{2}\) а затем провести через точку \(А\) прямую, параллельную \(O_{1}С\).

Ответ: NaN

Решение №38691: Рассмотрите точку пересечения данной окружности и прямой, симметричной данной прямой относительно точки \(А\).

Ответ: NaN

Решение №38692: Рассмотрите точки пересечения угла \(АВС\) и угла, симметричного ему относительно точки \(D\).

Ответ: NaN

Решение №38693: Рассмотрите точку пересечения большей окружности и окружности, симметричной меньшей окружности относительно её произвольной точки.

Ответ: NaN

Решение №38694: Рассмотрите окружность, симметричную одной из данных окружностей относительно точки \(А\).

Ответ: NaN

Решение №38695: Пусть точка \(A_{1}\) симметрична точке \(А\) относительно прямой \(l\) (рис. 282). Тогда точка \(М\) пересечения прямых \(A_{1}В\) и \(l\) искомая. Действительно, если \(M_{1}\) - любая другая точка прямой \(l\), то \(AM_{1} + M_{1}B = A_{1}M_{1} + M_{1}B >A_{1}B = A_{1}M + MB = AM + МВ\).

Ответ: NaN

Решение №38696: Предположите, что треугольник \(АВС\) построен. Пусть точка \(С_{1}\) симметрична точке \(С\) относительно серединного перпендикуляра к стороне \(АВ\), точка \(В_{1}\) симметрична точке \(В\) относительно прямой \(СС_{1}\). Для определённости считайте, что \(AC < BC\) (рис. 288). Тогда \(\angle ACB_{1} = \angle ACC_{1} + \angle C_{1}CB = 180^\circ - \angle A + \angle C_{1}CB = 180^\circ - (\angle A - \angle B)\). Прямоугольный треугольник \(АВВ_{1}\) можно построить по катетам \(АВ\) и \(BB_{1} = 2h\). Точку \(С\) постройте как точку пересечения серединного перпендикуляра к отрезку \(ВВ_{1}\) и дуги окружности, из которой отрезок \(АВ_{1}\) виден под углом \(180^/circ - (\angle A - \angle В)\).

Ответ: NaN

Решение №38697: Предположите, что треугольник \ABC\) построен. Рассмотрите точки \(D_{1}\) и \(E_{1}\) симметричные точкам \(D\) и \(Е\) относительно прямых \(b\) и \(a\) (рис. 284). Искомые точки \(А\) и \(В\) - это точки пересечения прямой \(D_{1}Е_{1}\) с прямыми \(a\) и \(b\); точка \(С\) это точка пересечения прямых \(АЕ\) и \(BD\). Если точки \(D_{1}\) и \(E_{1}\) совпадают, то через точку \(D_{1}\) можно провести любую прямую, пересекающую лучи \(OA\) и \(ОВ\).

Ответ: NaN

Решение №38698: Рассмотрите точки \(М\) и \(N\), симметричные точке \(А\) относительно прямых \(b\) и \(c\) (рис. 285). Прямая \(MN\) пересекает прямые \(b\) и \(c\) в искомых точках \(B\) и \(C\).

Ответ: NaN

Решение №38699: Предположите, что треугольник \(АВС\) построен. Пусть \(АА_{1}\), \(ВВ_{1}\) и \(СС_{1}\) - его медианы, \(M\) точка их пересечения, \(М_{1}\) - точка, симметричная точке \(М\) относительно точки \(A_{1}\). Тогда \(ММ_{1} = \frac{2}{3}AA_{1}\), \(МС = \frac{2}{3}CC_{1}\) и \(M_{1}C = \frac{2}{3} BB_{1}\), поэтому треугольник \(ММ_{1}С\) можно построить. Точка \(А\) симметрична точке \(М_{1}\) относительно точки \(М\), а точка \(В\) симметрична точке \(С\) относительно середины отрезка \(ММ_{1}\).

Ответ: NaN

Решение №38700: Высоты \(h_{a}\), \(h_{b}\), \(h_{c}\) треугольника обратно пропорциональны сторонам \(а\), \(b\), \(c\). Поэтому стороны искомого треугольника с точностью до пропорциональности равны \(\frac{1}{\(h_{a}\)}\), \(\frac{1}{\(h_{b}\)}\), \(\frac{1}{\(h_{c}\)}\). Постройте сначала треугольник со сторонами \(d\), \(\frac{dh_{a}}{h_{b}}\), \(\frac{dh_{a}}{h_{c}}\) где \(d\) - произвольный отрезок, затем постройте одну из его высот и найдите коффициент подобия исходного треугольника построенному.

Ответ: NaN

Решение №38701: Сначала отметьте на стороне \(АВ\) произвольную точку \(К_{1}\) и постройте квадрат \(K_{1}L_{1}M_{1}N_{1}\) так, чтобы вершины \(L_{1}\) и \(M_{1}\), лежали на стороне \(ВС\), а затем постройте требуемый квадрат с помощью гомотетии с центром \(В\).

Ответ: NaN