Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, геометрические неравенства, Неравенства для элементов треугольника,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38282: Воспользуйтесь тем, что \(A_{1}B_{1} < A_{1}C + CB_{1}\).
Ответ: Утверджение доказано.
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, геометрические неравенства, Неравенства для элементов треугольника,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38283: Если вершина \(А\) внутреннего треугольника \(АВС\) не лежит на стороне внешнего, то продолжите сторону \(АВ\) внутреннего треугольника за вершину \(А\) до пересечения со стороной внешнего треугольника в некоторой точке \(D\). Периметр треугольника \(DBC\) больше периметра треугольника \(АВС\). Эту операцию можно повторить и получить треугольник, все вершины которого лежат на сторонах внешнего треугольника.
Ответ: Утверджение доказано.
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, геометрические неравенства, Неравенства для элементов треугольника,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38284: Докажите, что \(АВСМ\) и \(BCDM\) - параллелограммы. Достройте треугольник \(АВМ\) до параллелограмма \(АВС_{1}М\). Периметры треугольников \(ВС_{1}М\) и \(АВМ\) равны, поэтому равны периметры треугольников \(ВС_{1}М\) и \(ВСМ\). Следовательно, точки \(С_{1}\) и \(С\) совпадают, так как иначе один из треугольников \(ВС_{1}М\) и \(ВСМ\) лежал бы внутри другого и периметр внешнего треугольника был бы больше периметра внутреннего. Поэтому \(АВСМ\) - параллелограмм. Аналогично \(BCDM\) - параллелограмм.
Ответ: Утверджение доказано.
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, геометрические неравенства, Неравенства для элементов треугольника,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38285: Сложите неравенства \(AC < AB + BC\) и \(AC < AD + DC\).
Ответ: Утверджение доказано.
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, геометрические неравенства, Неравенства для элементов треугольника,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38286: Воспользуйтесь тем, что диагональ четырёхугольника меньше половины его периметра.
Ответ: Утверджение доказано.
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, геометрические неравенства, Неравенства для элементов треугольника,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38287: Пусть \(М\) и \(N\) - середины сторон \(АВ\) и \(CD\), \(К\) - cepeдина стороны \(ВС\). Тогда \(2MK = AC\), \(2NK = BD\) и \(MN < MK + NK\).
Ответ: Утверджение доказано.
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, геометрические неравенства, Неравенства для элементов треугольника,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38288: Отметьте на луче \(BN\) точку \(E\) так, что \(BE = 2BN\) (рис. 208).Тогда четырёхугольник \(BCED\) - параллелограмм, а отрезок \(MN\) - средняя линия треугольника \(АВЕ\). Поэтому \(MN = \frac{1}{2}AE \leq \frac{1}{2}(ВС + AD)\).
Ответ: Утверджение доказано.
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, геометрические неравенства, Неравенства для элементов треугольника,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38289: Пусть точка \(M\) - середина отрезка \(AB\). Тогда \(\angle ACM < \angle A\) и \(\angle BCM < \angle B\), поэтому \(\angle C < \angle A + \angle B\).
Ответ: Утверджение доказано.
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, геометрические неравенства, Неравенства для элементов треугольника,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38290: Воспользуйтесь тем, что \(\angle ADB = \frac{1}{2} \angle B + \angle C > \angle ABD\).
Ответ: Утверджение доказано.
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, геометрические неравенства, Неравенства для элементов треугольника,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38291: Отложите на стороне \(ВА\) отрезок \(ВС_{1}\), равный \(ВС\). Тогда \(\angle AC_{1}D > \angle C_{1}DB = \angle CDB > \angle A\).
Ответ: Утверджение доказано.
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, геометрические неравенства, Неравенства для элементов треугольника,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38292: Проведите прямую через точку \(А\) и центр окружности. Эта прямая пересекает окружность в точках \(C\) и \(D\); для определённости считайте, что \(АС < АD\). Пусть точка \(В\) отлична от точек \(С\) и \(D\). Тогда угол \(CBD\) прямой, поэтому угол \(ABD\) тупой и, следовательно, \(AD > АВ\). Угол \(BCD\) острый, поэтому угол \(АСВ\) тупой и, следовательно, \(АВ > АС\).
Ответ: NaN
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, геометрические неравенства, Неравенства для элементов треугольника,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38293: Проведите прямую через точку \(А\) и центр \(О\) окружности. Эта прямая пересекает окружность в точках \(С\) и \(D\); для определённости считайте, что \(АС < AD\). Пусть точка \(В\) отлична от точек \(С\) и \(D\). Тогда \(\angle BCA = \angle CBO > \angle CBA\) и \(\angle BDA = \angle DBO < \angle DBA\), поэтому \(AB > AC\) и \(AB < AD\).
Ответ: \(AB > AC\) и \(AB < AD\).
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, геометрические неравенства, Неравенства для элементов треугольника,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38294: Предположите, что \(ВС < \frac{1}{2}AB\). Тогда \(AC < BC < \frac{1}{2}AB\). Поэтому \(ВС + АС < АВ\).
Ответ: Утверджение доказано.
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, геометрические неравенства, Неравенства для элементов треугольника,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38295: Достройте треугольник \(АВС\) до параллелограмма \(ABCD\).
Ответ: NaN
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, геометрические неравенства, Неравенства для элементов треугольника,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38296: Воспользуйтесь тем, что \(\angle ABD = 90^\circ + \frac{1}{2} (\angle B - \angle A)\).
Ответ: Утверджение доказано.
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, геометрические неравенства, Неравенства для элементов треугольника,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38297: Предположим, что на аэродроме \(О\) приземлилось по крайней мере 6 самолётов. Тогда можно выбрать аэродромы \(А\) и \(В\) так, что: 1\) самолёты из \(А\) и \(В\) приземлились в \(О\); 2\) угол \(АОВ\) не превосходит \(\frac{360^\circ}{6} = 60^\circ\). Из 1\) следует, что \(АО < АВ\) и \(ВО < ВА\), а из 2\) следует, что сторона \(AB\) треугольника \(АОВ\) не больше одной из сторон \(АO\) и \(ВО\).
Ответ: Утверджение доказано.
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, геометрические неравенства, Неравенства для элементов треугольника,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38298: Пусть \(AB = АС\) и \(\angle BAC = 20^\circ\). Отметьте на стороне \(АВ\) точку \(D\) так, что \(BD = BC\) (рис. 209). Тогда \(AD > CD > ВС\).
Ответ: Утверджение доказано.
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, геометрические неравенства, Неравенства для элементов треугольника,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38299: Приложите друг к другу три равных равнобедренных треугольника с углом \(20^\circ\) при вершине, как показано на рисунке 210. Тогда \(AB = AE < AC + CD + DE = 3AC\).
Ответ: Утверджение доказано.
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, геометрические неравенства, Неравенства для элементов треугольника,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38300: Внешний угол \(ВКС\) больше угла \(А\), поэтому \(ВК < ВС = АВ\).
Ответ: Утверджение доказано.
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, геометрические неравенства, Неравенства для элементов треугольника,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38301: Пусть для определённости \(angle AMB \geq \angle AMC\). Тогда угол \(АМВ\) прямой или тупой, поэтому \(AB > AM\).
Ответ: Утверджение доказано.
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, геометрические неравенства, Неравенства для элементов треугольника,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38302: Пусть внутри треугольника \(АВС\) расположен отрезок \(MN\) и прямая \(MN\) пересекает стороны треугольника в точках \(Р\) и \(Q\). Тогда \(MN \leq PQ\). Пусть точки \(Р\) и \(Q\) лежат на сторонах \(АВ\) и \(АС\). Тогда отрезок \(PQ\) меньше отрезка \(QA\) или отрезка \(QB\), а отрезок \(QB\) меньше отрезка \(ВА\) или отрезка \(ВС\).
Ответ: Утверджение доказано.
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, геометрические неравенства, Неравенства для элементов треугольника,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38303: Сначала продолжите отрезок так, чтобы оба его конца лежали на сторонах многоугольника или в его вершинах. Если конец \(Q\) отрезка \(PQ\) лежит на стороне \(АВ\), то отрезок \(PQ\) меньше одного из отрезков \(PA\), \(PB\), \(АВ\).
Ответ: Утверджение доказано.
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, геометрические неравенства, Неравенства для элементов треугольника,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38304: См. рисунок 211.
Ответ: Может.
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, прямоугольные треугольники, теорема Пифагора,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38305: По теореме Пифагора \(с^2 - ВН^2 = АН^2 = b^2 - (а - ВН)^2\). Поэтому \(BH = \frac{c^2-b^2+a^2}{2a}\).
Ответ: \(BH = \fraq{$c^2$-$b^2$+$a^2$}{2a}\)
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, прямоугольные треугольники, теорема Пифагора,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38306: По теореме Пифагора \(с^2 - ВН^2 = АН^2 = b^2 - (а + ВН)^2\). Поэтому \(BH = \frac{b^2-a^2-c^2}{2a}\).
Ответ: \(BH = \fraq{$b^2$-$a^2$-$c^2$}{2a}\).
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, прямоугольные треугольники, теорема Пифагора,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38307: Воспользуйтесь тем, что \(АН^2 = АВ^2 - ВН^2\) и выразите \(ВН\) по формулам из задач 16.1 и 16.2.
Ответ: NaN
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, прямоугольные треугольники, теорема Пифагора,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38308: Пусть медианы, проведённые из вершин \(А\) и \(В\), равны \(3m\) и \(3n\). Тогда \(с^2 = 4(m^2 + n^2)\), \(a^2= 4(4m^2 + n^2)\) и \(b^2 = 4(m^2 + 4n^2)\).
Ответ: Утверджение доказано.
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, прямоугольные треугольники, теорема Пифагора,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38309: По теореме Пифагора \(AP^2 + BQ^2 + CR^2 = (AM^2 - PM^2) + (BM^2 - QM^2) + (CM^2 - RM^2)\) и \(PB^2 + QC^2 + RA^2 = (BM^2 - PM^2) + (CM^2 - QM^2) + (AM^2 - RM^2)\). Эти выражения равны.
Ответ: Утверджение доказано.
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, прямоугольные треугольники, теорема Пифагора,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38310: Треугольники \(ACX\) и \(BDX\) прямоугольные, поэтому \(AX^2 + CX^2 = AC^2 = 4R^2\) и \(BX^2 + DX^2 = BD^2 = 4R^2\), где \(R\) радиус окружности.
Ответ: Утверджение доказано.
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, прямоугольные треугольники, теорема Пифагора,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38311: Достройте прямоугольный треугольник до квадрата, сторона которого равна сумме катетов \(рис. 212\).
Ответ: NaN
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, прямоугольные треугольники, теорема Пифагора,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38312: Постройте на большем катете внешним образом квадрат, сторона которого равна разности катетов \(рис. 213\).
Ответ: NaN
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, прямоугольные треугольники, теорема Пифагора,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38313: Пусть \(C\) - основание перпендикуляра, проведённого из точки \(M\) к прямой \(AB\). Тогда \(AM^2 = AC^2 + MC^2\) и \(BM^2 = BC^2 + MC^2\). Поэтому \(AM^2 - BM^2 = АС^2 - ВС^2\).
Ответ: Утверджение доказано.
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, прямоугольные треугольники, теорема Пифагора,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38314: Согласно задаче 16.9 для всех точек \(М\), лежащих на прямой, перпендикулярной прямой \(АВ\), величина \(АМ^2 - BM^2\) постоянна. Поэтому достаточно проверить, что для разных точек \(С\) прямой \(АВ\) величина \(АС^2 - ВС^2\) принимает разные значения. Pacсмотрим сначала случай, когда точки \(В\) и \(С\) лежат по одну сторону от середины \(О\) отрезка \(АВ\). В этом случае \(АС^2 - ВС^2 = (AO + OC)^2 - (ВО - ОС)^2 = 4АO \cdot ОС\). Если же точки \(В\) и \(С\) лежат по разные стороны от точки \(О\), то \(АС^2 - ВС^2 = -4AO \cdot ОС\).
Ответ: Утверджение доказано.
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, прямоугольные треугольники, теорема Пифагора,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38315: Треугольник с катетами 12 и 9 \(и гипотенузой 15\) и треугольник с катетами 12 и 5 \(и гипотенузой 13\).
Ответ: Треугольник с катетами 12 и 9 \(и гипотенузой 15\) и треугольник с катетами 12 и 5 \(и гипотенузой 13\).
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, прямоугольные треугольники, теорема Пифагора,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38316: Для тупоугольного треугольника приложите треугольники из задачи 16.11 так, чтобы они лежали по одну сторону от общего катета \(рис. 214\). Для остроугольного треугольника приложите треугольники из задачи 16.11 так, чтобы они лежали по разные стороны от общего катета \(рис. 215\). Наибольший угол полученного треугольника лежит против стороны 15; этот угол острый.
Ответ: NaN
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38317: а\) Соответственные углы треугольников \(ОА_{1}В_{1}\) и \(ОA_{2}В_{2}\) равны, поэтому эти треугольники подобны. б\) Две стороны треугольника \(ОА_{1}В_{1}\) пропорциональны сторонам треугольника \(ОА_{2}В_{2}\), а углы, заключённые между этими сторонами, равны. Следовательно, эти треугольники подобны и \(\angle OA_{1}B_{1}\) = \(\angle OA_{2}B_{2}\).
Ответ: Утверджение доказано.
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38318: Воспользуйтесь тем, что \(А_{1}В_{1} : А_{2}В_{2} = OB_{1} : OB_{2} = B_{1}C_{1} : B_{2}C_{2}\).
Ответ: Утверджение доказано.
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38319: Согласно задаче 17.1 \(BC : AD = BO : OD\). Из равенства \(BO = PD\) следует, что \(BO: OD = DP : PB = DE : EA = DE : ВC\). Следовательно, \(BC^2 = DE \cdot AD = \(AD - BC\) \cdot AD = AD^2 - BC \cdot AD\).
Ответ: Утверджение доказано.
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38320: Отметьте на стороне \(АС\) точку \(А_{2}\) так, что \(А_{1}А_{2} \parallel ВВ_{1}\) \(рис. 216\). Тогда \(В_{1}А_{2} = frac{qm}{m + n}\), поэтому, получаем \(AO: OA_{1} = AB_{1} : B_{1}A_{2} = p: frac{qm}{m + n} = frac{p}{q} \cdot \(1+frac{n}{m}\)\).
Ответ: NaN
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38321: Пусть \(O\) - точка пересечения продолжений боковых сторон трапеции, \(L\) - точка пересечения прямых \(l\) и \(CD\) \(рис. 217\). Тогда \(OL: OC = OA: OK\) и \(OC : OD = OB : ОА\), поэтому \(OL : OD = ОB : OK\). Следовательно, \(BL \parallel KD\).
Ответ: Утверджение доказано.
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38322: Рассмотрим середину \(A_{2}\) отрезка \(A_{1}B\). Из равенств \(CA_{1} : A_{1}A_{2} = CP : PC_{1}\) и \(А_{1}А_{2} : А_{1}В = 1: 2\) следует, что \(CA_{1} : А_{1}В = СР : 2РC_{1}\). Аналогично \(СВ_{1} : В_{1}А = СР : 2РС_{1}\).
Ответ: Утверджение доказано.
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38323: Пусть прямая, параллельная основаниям \(AD\) и \(ВС\) трапеции \(ABCD\), пересекает боковые стороны \(АВ\) и \(CD\) в точках \(М\) и \(N\), а диагонали \(АС\) и \(BD\) - в точках \(К\) и \(L\) \(рис. 218\). Тогда \(МК : ВС = AM : AB = DN: DC = NL : BC\), поэтому \(MK = NL\).
Ответ: Утверджение доказано.
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38324: Точки \(М\) и \(N\) делят отрезки \(BL\) и \(СК\) в равных отношениях, поскольку \(BM : ML = BC : AL = BC : KD = CN : NK\).
Ответ: Утверджение доказано.
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38325: Выберите на диагонали \(АС\) точки \(В_{1}\) и \(D_{1}\) так, что \(BB_{1} \parallel EF\) и \(DD_{1} \parallel EF\) \(рис. 219\). Треугольники \(ABB_{1}\) и \(CDD_{1}\) равны по стороне и прилежащим к ней углам, поэтому \(AB_{1} = CD_{1}\). Следовательно, \(\frac{AB}{AE} + \frac{AD}{AF} = \frac{AB_{1}}{AG} + \frac{AD_{1}}{AG} = \frac{CD_{1} + AD_{1}}{AG} = \frac{AC}{AG}\).
Ответ: Утверджение доказано.
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38326: Отметьте на стороне \(AC\) точку \(M\) так, что \(AM : MC = AK : KB = BL : LC\). Тогда \(КМ \parallel ВС\) и \(LM \parallel AB\).
Ответ: Утверджение доказано.
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38327: Проведите через точки \(А\) и \(D\) прямые, параллельные прямой \(МС\). Они пересекают прямые \(CD\) и \(АВ\) в точках \(Е\) и \(G\), а прямую \(BN\) в точках \(Q\) и \(R\) (рис. 220). Отрезки \(BP\), \(PQ\) и \(QR\) равны, и точка \(N\) - середина отрезка \(QR\).
Ответ: 2 к 1
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38328: Отметьте на стороне \(AD\) точку \(F\) так, что \(BF \parallel CD\). Пусть \(E\) - точка пересечения отрезков \(MN\) и \(BF\) (рис. 221). Тогда \(ME = \frac{q(a - b)}{p+q}\), поэтому \(MN = ME + EN = \frac{q(a - b)}{p+q} + b = \frac{qa+pb}{p+q}\).
Ответ: NaN
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38329: Пусть \(O\) - точка пересечения диагоналей трапеции, \(P\) - точка пересечения продолжений боковых сторон, \(M\) - середина одного из оснований. Тогда прямая \(РМ\) проходит через середину \(N\) другого основания и прямая \(ОМ\) тоже проходит через точку \(N\). Поэтому точки \(O\) и \(P\) лежат на прямой \(MN\).
Ответ: Утверджение доказано.
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38330: Пусть \(Р\) - точка пересечения прямых \(АВ\) и \(КN\). Прямые \(KL\), \(КА\) и \(КР\) высекают на параллельных прямых пропорциональные отрезки, поэтому \(LA = AP\) (рис. 222).
Ответ: Утверджение доказано.
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38331: Точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон. Пусть \(а\) - расстояние от точки \(А_{1}\) до прямых \(АС\) и \(АВ\), \(b\) - расстояние от точки \(В_{1}\) до прямых \(АВ\) и \(ВС\). Далее, \(А_{1}М : В_{1}М = р : q\). Тогда расстояния от точки \(М\) до прямых \(АС\) и \(ВС\) равны \(\frac{qa}{p+q}\) и \(\frac{pb}{p+q}\) соответственно. Согласно задаче 17.12 расстояние от точки \(М\) до прямой \(АВ\) равно \(\frac{qa+pb}{p+q}\).
Ответ: Утверджение доказано.
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38332: Рассмотрите прямоугольный треугольник, катет которого - высота треугольника, а гипотенуза - сторона треугольника. Для биссектрисы и медианы рассмотрите один из двух треугольников, на которые они разделяют треугольник.
Ответ: Утверджение доказано.
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38333: Проведите биссектрису \(AD\) треугольника \(ABC\). Тогда \(\Delta ABC \sim \Delta CAD\), поэтому \(AB : AC = AC : (AB - AC)\).
Ответ: Утверджение доказано.
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38334: Прямоугольные треугольники \(АВС\) и \(DAB\) подобны, поэтому \(АВ : ВС = AD : АВ\).
Ответ: NaN
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38335: Пусть отрезки \(АС_{1}\) и \(СА_{1}\) пересекаются в точке \(К\). Из подобия пар треугольников \(АКА_{1}\) и \(С_{1}КС\), \(АВА_{1}\) и \(СВС_{1}\) следует, что \(АК : C_{1}K = AA_{1} : C_{1}C = BA_{1} : BC_{1}\), поэтому \(ВК \parallel AA_{1}\).
Ответ: Утверджение доказано.
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38336: Из равенства \(\angle A + \angle B = 90^\circ - \frac{\angle A}{2}\) следует, что \(\angle C = 90^\circ + \frac{\angle A}{2}\). Поэтому на стороне \(АВ\) можно отметить точку \(D\) так, что \(AD = AC\). При этом \(\angle ACD = 90^\circ - \frac{\angle A}{2}\) и \(\angle DCB = \angle C - \angle ACD = \angle A\). Следовательно, \(\Delta ABC \sim \Delta CBD\) и \(BC : BD = AB: CB\), т. e. \(BC : (AB - AC) = AB : CB\).
Ответ: Утверджение доказано.
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38337: Из подобия прямоугольных треугольников \(ABF\) и \(EDA\) следует, что \(AB : AE = AD : AE = BF : AF\). Поэтому \(\frac{AB^2}{AE^2} + \frac{AB^2}{AF^2} = \frac{BF^2}{AF^2} + \frac{AB^2}{AF^2} = 1\).
Ответ: Утверджение доказано.
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38338: Пусть проведённая прямая пересекает стороны угла с вершиной \(О\) в точках \(А\) и \(В\). Отметим на отрезках \(ОA\) и \(ОВ\) точки \(К\) и \(L\) так, что \(РК \parallel OB\) и \(PL \parallel OA\) (рис. 223). Тогда \(OKPL\) - ромб; обозначим длину его стороны буквой \(р\). Из подобия треугольников \(АКР\) и \(PLB\) получаем \((а - р): р = = р : (b - p)\).
Ответ: Утверджение доказано.
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38339: Проведите через точку \(А\) прямую, параллельную стороне \(ВС\). Прямые \(ВО\) и \(СО\) пересекают её в некоторых точках \(В_{2}\) и \(С_{2}\) (рис. 224). Из подобия треугольников следует, что \(\frac{AB_{1}}{B_{1}C} + \frac{AC_{1}}{C_{1}B} = \frac{AB_{2}}{BC} + \frac{AC_{2}}{BC} = \frac{C_{2}B_{2}}{BC} = \frac{AO}{OA_{1}}\).
Ответ: Утверджение доказано.
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38340: Прямоугольные треугольники \(АСА_{1}\) и \(ВСВ_{1}\) с общим углом \(C\) подобны, поэтому \(СА_{1} : СВ_{1} = CA : СВ\).
Ответ: Утверджение доказано.
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38341: Пусть \(АА_{1}\), \(BB_{1}\) и \(CC_{1}\) - высоты треугольника \(ABC\), \(K\), \(L\), \(M\) и \(N\) - основания перпендикуляров, проведённых из точки \(В_{1}\) к сторонам и высотам (рис. 225). Из задачи 17.24 следует, что прямые \(KN\), \(KL\) и \(MN\) параллельны одной и той же прямой.
Ответ: Утверджение доказано.