Решение №35839: В конце 8-го дня

Ответ: В конце 8-го дня

Решение №35840: 17,75 км

Ответ: 17.75

Решение №35841: а) 8 км/ч; б) 360 рублей

Ответ: 8; 360

Решение №35842: В конце 4-го года

Ответ: В конце 4-го года

Решение №35843: \(\frac{35}{289}

Ответ: \(\frac{35}{289}<p<\frac{33}{256}\)

Решение №35844: \(\frac{47}{529}

Ответ: \(\frac{47}{529}<m<\frac{45}{484}\)

Решение №35845: 13

Ответ: 13

Решение №35846: \(\frac{256}{51}

Ответ: \(\frac{256}{51}<a<\frac{289}{54}\)

Решение №35847: Обозначим через \(x\), \(y\) и \(z\) время (в минутах), которое было потрачено на выполнение первого, второго и третьего заданий соответственно. Учитывая, что 6 часов 28 минут = 388 минут, 5 часов 56 минут = 356 минут, получим систему уравнений: \(\left\{\begin{matrix} x+z=388,\\y+z=356, \\y=\frac{x+z}{2} \end{matrix}\right.\), \(\left\{\begin{matrix} x+z=388,\\y+z=356, \\x+z=2y \end{matrix}\right.\). Тогда из первого и третьего уравнений системы получим \(2y=388\) и \(y=194\). Время (в минутах), затраченное на выполнение всех трёх заданий, равно \(x+y+z=(x+z)+y=2y+y=3\cdot y=582\). В заключение отметим, что 582 минуты = 9 часов 42 минуты. Ответ: 9 часов 42 минуты.

Ответ: 9 часов 42 минуты

Решение №35848: Введём обозначения. Пусть первоначально владелец магазина купил \(n\) мониторов по цене \(x\) рублей, а продал их в марте по цене \(y\) рублей. По условию прибыль составила \(n(y-x)=40000\) рублей. На вырученные деньги предприниматель купил \(\frac{ny}{x}\) мониторов и получил \(\frac{ny}{x}(y-x)\) рублей прибыли, что по условию составило 48000 рублей. Решим полученную систему уравнений: \(\left\{\begin{matrix} n(y-x)=40000, \\\frac{ny}{x}(y-x)=48000 \end{matrix}\right.\) Разделив второе уравнение на первое, получим: \(\frac{y}{x}=1,2\). Подставив выражение \(y=1,2x\) в первое уравнение системы, придём к равенству \(n(1,2x-x)=40000\); \(0,2nx=40000\); \(nx=200000\). На первую покупку предприниматель потратил 200000 рублей. Ответ: 200000 рублей.

Ответ: 200000

Решение №35849: 1-й способ Предположим, что требуемое возможно. Заметим, что 3 тонны — это 3000 килограммов. Рассмотрим ситуацию, когда машина уже заполнена соответствующим образом. Обозначим количество 160-килограммовых бочек через к, а количество 210-килограммовых — через \(n\). При этом \(k\), \(n\geq 0\) — целые числа. Тогда \(160k+210n=3000\). Сократим обе части этого уравнения на 10, получим: \(16k+21n=300\). Ясно, что \(21n\leq 300\) (иначе \(16k+ 21n\geq 21n>300\)). Таким образом, \(n\leq 14\frac{2}{7}\); \(n\leq 14\), так как \(n\) — целое. Перебирая все целые значения \(n\) от 0 до 14, отберём те, для которых \(k=\frac{300-21n}{16}\) тоже является целым числом. Получим единственное \(n=12\), при котором \(k=3\). (При использовании на экзамене подобного способа решения следует подробно рассматривать все шаги перебора.) 2-й способ Как и в предыдущем способе решения, предположим, что требуемое возможно, и рассмотрим ситуацию, когда машина уже заполнена соответствующим образом. Обозначим количество 160-килограммовых бочек через \(k\), а количество 210-килограммовых — через \(n\). При этом \(k, n\geq 0\) — целые числа. Тогда \(160k+210n=3000\) и \(16k+21n=300\), откуда \(n\geq 14\). Ясно, что \(21n=300-16k=4(75-4k)\), откуда \(21n\) должно делиться на 4 и не должно делиться на 8 (так \(75-4k\) — нечётное число). Значит, либо \(n=4\), либо \(n=12\). При \(n=4\) получим: \(16Аk=300-84\), \(k=\frac{27}{2}\) — не является целым. При \(n=12\) получим: \(16k=300-12\cdot 21\), \(k=3\) — является целым. Значит, \(n=12\), \(k=3\). Ответ: Да, 12 по 210 кг и 3 по 160 кг.

Ответ: Да, 12 по 210 кг и 3 по 160 кг.

Решение №35850: Пусть в отделе «А» работает \(k\) сотрудников, а в отделе «Б» — 771 сотрудников. Тогда, согласно первому предложению условия, \(k+m>48\). Утверждение «Если число сотрудников отдела „Б" увеличить на 12, то оно более чем в два раза превысит число сотрудников отдела „А“ во введённых обозначениях примет вид \(m+12>2k\). Наконец, утверждение «Если число сотрудников отдела „Б“ увеличить втрое, то оно превысит удвоенное количество сотрудников отдела „А“, но не более чем на 47» запишем в виде \(0<3m-2k<47\). Таким образом, мы пришли к системе: \(\left\{\begin{matrix} k+m>48, \\2k-m<12, \\3m-2k>0, \\3m-2k\leq 47 \end{matrix}\right.\). Из первого неравенства этой системы следует, что \(k>48-m\), а из второго, что \(k<6+\frac{m}{2}\). Отсюда \(6+\frac{m}{2}>\48-m\) и \(m>28\). Из четвёртого неравенства системы \(2k\geq 3m-47\) \(k\geq \frac{3m}{2}-23,5\). Следовательно, \(6+\frac{m}{2}>\frac{3m}{2}-23,5\) и, значит, \(m<29,5\). Таким образом, \(m=29\). При \(m=29) получаем: \(\left\{\begin{matrix} k+29>48, \\2k-29<12, \\3\cdot 29-2k>0, \\3\cdot 29-2k\leq 47 \end{matrix}\right.\), \(\left\{\begin{matrix} k>19, \\k<20,5, \\k<43,5, \\k\geq 20 \end{matrix}\right.\), \(k=20\). Следовательно, количество сотрудников \(k+m=20+29=49\). Ответ: 49.

Ответ: 49

Решение №35851: Допустим, за лето в автомастерской починили \(L\) легковых автомобилей, \(G\) грузовиков и \(M\) микроавтобусов. По смыслу задачи \(L\), \(G\), \(M\) — целые числа, причём \(L>0\), \(G>0\) и \(M>0\). Согласно условию, \(G=12L\); \(L>M\);\(G+L+M=40\). Но тогда \(12L+L+M=40\) и, следовательно, \(13L<40\), откуда \(L\leq 3\). При \(L=1\) из формулы \(13L+M=40\) получим \(M=27\), и неравенство \(L>M\) не выполняется. При \(L=2\) из формулы \(13L+M=40\) получим \(M=14\), и неравенство \(L>M\) не выполняется. При \(L=3\) из формулы \(13L+M=40\) получим \(M=1\), и неравенство \(L>M\) выполняется. Таким образом, за лето был отремонтирован 1 микроавтобус. Ответ: 1.

Ответ: 1

Решение №35852: Магазин приобрёл товар у последнего посредника по цене \(\frac{405}{1,2}=337,5\) (рублей). Таким образом, за счёт посредников между производителем и магазином цена возросла в \(\frac{337,5}{25}=13,5\) раз. Пусть \(k\) посредников увеличивали цену в 1,5 раза, \(n\) посредников — в 2 раза. Тогда \(1,5^{k}\cdot 2n=13,5\), \(\left (\frac{3}{2}\right )^{k}\cdot 2^{n}=\frac{27}{2}\), откуда \(3^{k}\cdot 2^{n-k}=З^{3}\cdot 2^{-1}\). Учитывая, что числа 3 и 2 взаимно простые, получаем, что \(k=3\), \(n-k=-1), то есть \(k=3\), \(n=2\). Отсюда общее число посредников между магазином и производителем равно \(n+k=5\). Ответ: 5

Ответ: 5

Решение №35853: Пусть изначально суммарный вклад составлял \(y\) миллионов рублей, из них \(x\) миллионов рублей — первого вкладчика. Тогда его доля составляла \(\frac{x}{y}\). После того как первый добавил 4 млн рублей, суммарно вклад составил \((y+4)\) млн рублей, из них \((x+4)\) — первого вкладчика. Тогда его доля возросла до \(\frac{x+4}{y+4}\). По условию \(\frac{x+4}{y+4}-\frac{x}{y}=0,06\), откуда \(4(y-x)=0,06y(y+4)\). После того как он снова добавил 4 млн рублей, общая сумма вклада стала равна \((y+8)\) млн рублей, из них \((x+8)\) — первого вкладчика. Тогда \(\frac{x+8}{y+8}-\frac{x+4}{y+4}=0,02\), откуда \(4(y-x)=0,02(y+4)(y+8)\). Таким образом, \(0,06y(y+4)=0,02(y+4)(y+8)\), \(6y=2(y+8)\), \(y=4\). Из условия \(4(y-x)=0,06y(y+4)\) получим: \(4(4-x)=0,06\cdot 4\cdot (4+4)\), откуда \(4-x=0,06\cdot 8\) и \(x=3,52\). Если тот же вкладчик добавит ещё \(k\) млн рублей, то его доля составит При найденных значениях \(x\) и \(y\) решим относительно \(k\) уравнение \(frac{x+8+k}{y+8+k}-\frac{x+8}{y+8}=0,03\); \(\frac{11,52+k}{12+k}-\frac{11,52}{12}=0,03\); \(\frac{11,52+k}{12+k}-0,96=0,03\); \(11,52+k=0,99(12+k)\); \(11,52+k=11,88+0,99k\); \(0,01k=0,36\); \(k=36\). Таким образом, для того, чтобы достичь требуемого, вкладчик должен добавить 36 млн рублей. Ответ: 36000000 рублей.

Ответ: 36000000

Решение №35854: 1700 единиц продукции

Ответ: 1700

Решение №35855: 45 роботов и 65 машин

Ответ: 45; 65

Решение №35856: 6 часов 21 минута

Ответ: 6 часов 21 минута

Решение №35857: 4 часа 21 минута

Ответ: 4 часа 21 минута

Решение №35858: 0.6

Ответ: 0.6

Решение №35859: 9000000 рублей

Ответ: 9000000

Решение №35860: 12 магазинов

Ответ: 12

Решение №35861: 60 деталей

Ответ: 60

Решение №35862: 35 килограммов

Ответ: 35

Решение №35863: 30 килограммов

Ответ: 30

Решение №35864: 9 двухрублевых монет

Ответ: 9

Решение №35865: 7 человек

Ответ: 7

Решение №35866: 500000 рублей

Ответ: 500000

Решение №35867: 104 сотрудника

Ответ: 104

Решение №35868: 13 мешков

Ответ: 13

Решение №35869: 10 монет или 13 монет

Ответ: 10; 13

Решение №35870: 3 монеты

Ответ: 3

Решение №35871: 105000 рублей

Ответ: 105000

Решение №35872: 9 ящиков

Ответ: 9

Решение №35873: 6 этажей

Ответ: 6

Решение №35874: 140 килограммов

Ответ: 140

Решение №35875: 6 посредников

Ответ: 6

Решение №35876: 1071 аудиоплеер

Ответ: 1071

Решение №35877: 2 пятирублевые монеты

Ответ: 2

Решение №35878: 5 вертолетов

Ответ: 5

Решение №35879: 20 кустов хрена и 17 - сельдерея

Ответ: 20; 17

Решение №35880: 9 человек

Ответ: 9

Решение №35881: 0.35

Ответ: 35

Решение №35882: В \(1\frac{3}{10}\) раза

Ответ: \(1\frac{3}{10}\)

Решение №35883: В \(1\frac{1}{3}\) раза

Ответ: \(1\frac{1}{3}\)

Решение №35884: Воспользуемся формулой \(S=S_{0}\left (1+\frac{r}{100}\cdot \frac{m}{365}\right ), где \(S_{0}=100000\), \(r=12\), а \(m=30\) (поскольку в сентябре 30 дней). Получим \(S=100000\left (1+0,12\cdot \frac{30}{365}\right )\). Число в скобках с точностью до 7 знаков после запятой равно 1,0098630, поэтому \(S=100986,30\) (т. е. 100986 рублей 30 копеек). Ответ. 100986,30.

Ответ: 100986.3

Решение №35885: Пусть \(S_{0}\) — сумма вклада. Тогда по условиям первого депозита вкладчик через год получит \(1,13\cdot S_{0}\), а по условиям второго депозита он получит \((1,03)^{4}\cdot S_{0}=1,12550881\cdot S_{0}\), т. е. прибавка составит примерно 12,55%, а значит, первый вклад выгоднее. Ответ. Первый.

Ответ: Первый

Решение №35886: Пусть \(S_{0}\) — сумма кредита. Тогда \(\delta=\frac{16(4+1)}{200}S_{0}=0,4\cdot S_}{0}\). Значит, сумма всех выплат составит \(0,4\cdot S_{0}+S_{0}=1,4\cdot S_{0}\), т. е. окажется на 40 % больше суммы кредита. Ответ. 40.

Ответ: 40

Решение №35887: Пусть сумма кредита равна \(S_{0}\), годовые составляют \(k%\), число лет кредита равно \(n\). Тогда сумма \(\delta\) выплат по процентам равна \(\delta=\frac{k(n+1)}{200}S_{0}\). а) По условию сумма процентов равна сумме кредита. Следовательно, \(\frac{k(n+1)}{200}S_{0}=S_{0}\), откуда \(k(n+1)=200\). Поскольку \(k=10\), получим, что \(n=19\). б) Сумма \(l\) ежемесячного платежа по предложенной банком схеме находится по формуле, \(l=\frac{S_{0}(k(n+1)+200)}{240n}\), откуда \(S_{0}=\frac{2400nl}{k(n+1)+200}\). Так как \(k=10\), \(n=19\), \(l=30000\), находим, что \(S_{0}=\frac{2400nl}{400}=6nl=6\cdot 19\cdot 30000=3420000\) рублей. Ответ. а) 19; б) 3420000.

Ответ: 19; 3420000

Решение №35888: Пусть сумма кредита равна \(S_{0}\). По условию долг перед банком по состоянию на 15-е число должен уменьшаться до нуля равномерно, т. е. на \(\frac{1}{19}\) часть, поэтому суммы долга за каждый месяц (до начисления процентов) составят (в порядке убывания) \(S_{0}, \frac{18S_{0}}{19}, ..., \frac{2S_{0}}{19}, \frac{S_{0}}{19}\). Первого числа каждого месяца долг возрастает на \(r%\), поэтому последовательность размеров платежей по процентам будет следующей: \(\frac{r}{100}\cdot S_{0}\), \(\frac{r}{100}\cdot \frac{18S_{0}}{19}\), ..., \(\frac{r}{100}\cdot \frac{2S_{0}}{19}\), \(\frac{r}{100}\cdot \frac{S}{19}\). Ежемесячный платёж состоит из фиксированной суммы \(\frac{S_{0}}{19}\) и суммы платежа по процентам. Ежемесячные платежи составят соответственно \(\frac{S_{0}}{19}+\frac{r}{100}\cdot S_{0}\), \(\frac{S_{0}}{19}+\frac{r}{100}\cdot \frac{18S_{0}}{19}\), ..., \(\frac{S_{0}}{19}+\frac{r}{100}\cdot \frac{2S_{0}}{19}\), \(\frac{S_{0}}{19}+\frac{r}{100}\cdot \frac{S}{19}\). Общая сумма выплат будет равна \(S=S_{0}+\frac{rS_{0}}{1900}\frac{1+19}{2}\cdot 19=S_{0}+\frac{rS_{0}}{10}\), откуда \(S=S_{0}+\frac{rS_{0}}{1900}\frac{1+19}{2}\cdot 19=S_{0}+\frac{rS_{0}}{10}\). По условию \(S=1,3S_{0}\). Следовательно, \(1,3S_{0}=S_{0}+\frac{rS_{0}}{10}\), откуда \(\frac{r}{10}+10=1,3\), и \(r=3\). Ответ. 3

Ответ: 3

Решение №35889: Найдём сумму платежей по процентам в каждом из месяцев кредитования. Сумма процентов в рублях за июль составит \(\delta_{1}=109500\cdot 0,24\cdot \frac{31}{365}=2232\). Сумма процентов в рублях за август составит \(\delta_{2}=(109500-18250)\cdot 0,24\cdot \frac{31}{365}=1860\). Сумма процентов в рублях за сентябрь составит \(\delta_{2}=(109500-18250\cdot 2)\cdot 0,24 \cdot \frac{30}{365}=1440\). Сумма процентов в рублях за октябрь составит \(\delta_{4}=(109500-18250\cdot 3)\cdot 0,24\cdot \frac{31}{365}=1116\). Сумма процентов в рублях за ноябрь составит \(\delta_{5}=(109500-18250\cdot 4)\cdot 0,24\cdot \frac{30}{365}=720\). Сумма процентов в рублях за декабрь составит \(\delta_{6}=(109500-18250\cdot 5)\cdot 0,24\cdot \frac{31}{365}=372\). Таким образом, сумма всех выплат в рублях по процентам (переплата) составит \(\delta=\delta_{1}+...+\delta_{6}=2232+1860+1440+1116+720+372=7740\), а общая сумма выплат: \(S=109500+7740=117240\). Ответ. 117240.

Ответ: 117240

Решение №35890: В данном случае (для схемы с аннуитетными платежами) \(p=\frac{0,24}{12}=0,02\). Тогда сумма ежемесячного платежа составляет \(x=\frac{0,02\cdot (1,02)^{6}}{(1,02)^{6}-1}\cdot 109500\approx 0,1785258\cdot 109500\approx 19548,58\) руб. и сумма всех выплат равна \(S=6x=6\cdot 19548,58=117291,48\) руб., т. е. переплата составляет \(\delta=117291,48-109500=7791,48\) руб. Ответ. 117291,48

Ответ: 117291.48

Решение №35891: Пусть \(S_{0}\) — сумма кредита, \(x\) — сумма ежегодной выплаты. Запишем суммы долга по истечении каждого платёжного периода: \(S_{1}=1,1S_{0}-x\); \(S_{2}=1,1S_{1}-x=(1,1)^{2}S_{0}-1,1x-x\); \(S_{3}=1,1S_{2}-x=(1,1)^{3}S_{0}-(1,1)^{2}x-1,1x-x\). Поскольку по истечении последнего платёжного периода долг равен 0, имеем \(S_{3}=0\), т. е. \((1,1)^{3}S_{0}-(1,1)^{2}x-1,1x-x=0\), откуда \(((1,1)^{2}+1,1+1)x=(1,1)^{3}S_{0}\), т. е. \(3,31x=1,331S_{0}\). Так как \(x=2662000\), получаем, что \(S_{0}=\frac{3,31\cdot 2662000}{1,331}=3,31\cdot 2000000=6620000\). Ответ. 6620000.

Ответ: 6620000

Решение №35892: Пусть кредит планируется взять на \(n\) лет. Долг перед банком (в млн рублей) по состоянию на июль должен уменьшаться до нуля равномерно, т. е. на \(\frac{1}{n}\)-ю часть, поэтому суммы долга за каждый месяц (до начисления процентов) составят (в порядке убывания) \(16, 16-\frac{16}{n}=\frac{16(n-1)}{n}\, ..., \frac{16\cdot 2}{n}, \frac{16}{n}\). По условию каждый январь долг возрастает на 25 %, поэтому последовательность размеров платежей по процентам будет следующей: \(16\cdot 0,25=4\), \(\frac{16(n-1)}{n}\cdot 0,25=\frac{4(n-1}{n\), ..., \(\frac{20\cdot 2}{n}\cdot 0,25=\frac{4\cdot 2}{n}\), \(\frac{20}{n}\cdot 0,25=\frac{4}{n}\). Ежегодный платеж состоит из фиксированной суммы \(\frac{16}{n}\) и суммы платежа по процентам, поэтому ежегодные платежи составят соответственно \(\frac{16}{n}+4\), \(\frac{16}{n}+\frac{4(n-1)}{n}\), ..., \(\frac{16}{n}+\frac{4\cdot 2}{n}\), \(\frac{16}{n}+\frac{4}{n}\). Общая сумма \(S\) всех выплат составит \(S=16+4+\frac{4(n-1)}{n}+...+\frac{4}{n}\). Вынесем за скобки общий множитель всех слагаемых правой части последнего равенства начиная со второго: \(S=16+\frac{4}{n}(n+(n-1)+...+1)\). Сумму в скобках находим как сумму арифметической прогрессии: \(S=16+\frac{4}{n}\cdot \frac{n+1}{2}\cdot n=16+2(n+1)=2n+18\). По условию \(S=38\), откуда \(2n+18=38\) и \(n=10\). Ответ. 10.

Ответ: 10

Решение №35893: По условию долг перед банком (в млн рублей) по состоянию на июль должен уменьшаться до нуля равномерно, т. е. на \(\frac{1}{9}\) часть, поэтому суммы долга за каждый год (до начисления процентов) составят (в порядке убывания) 4,5, 4, ..., 1, 0,5. По условию каждый январь долг возрастает на \(r\) %. поэтому последовательность размеров платежей по процентам будет следующей: \(4,5\cdot \frac{r}{100}\), \(4\cdot \frac{r}[100}\), ..., \(0,5\cdot \frac{r}{100}\). Ежемесячный платёж состоит из фиксированной суммы \(\frac{4,5}{9}=0,5\) и суммы платежа по процентам. Следовательно, наибольший платёж составит \(0,5+4,5\cdot \frac{r}{100}\) млн рублей, а наименьший платёж составит \(0,5+0,5\cdot \frac{r}{100}\) млн рублей. Получаем \(0,5+4,5\cdot \frac{r}{100}\leq 1,4\), откуда \(r\leq 20\), и \(0,5+0,5\cdot \frac{r}[100}\geq 0,6\), откуда \(r\geq 20\). Следовательно, \(r=20\). Ответ. 20.

Ответ: 20

Решение №35894: Ясно, что чем больше месячные выплаты, тем быстрее будет выплачен долг. Значит, срок кредита будет минимален в том случае, когда величина выплаты будет равна 220 тыс. рублей. Составим таблицу, в первом столбце которой будем указывать долг на первое число месяца, а во втором — долг в том же месяце, но уже после выплаты. Для упрощения расчётов будем сохранять только два знака после запятой, представляя суммы долга в тыс. рублей (см. рис. ниже). Заметим, что в последний месяц выплата составит менее 220 тыс. руб. Из таблицы видно, что минимальный срок кредита в условиях задачи составляет 6 месяцев. Ответ. 6.

Ответ: 6

Решение №35895: Заметим, что за 4 месяца Александр Сергеевич выплатит 1,1 млн рублей. Таким образом, он не покроет долг с процентами. Каждый месяц долг увеличивается не более чем на \(1100 000\cdot 0,01=11000\) рублей. Значит, за пять месяцев Александр Сергеевич должен будет выплатить не более \(1100 000+5\cdot 11000=1155000\) рублей, что меньше, чем \(5\cdot 275000=1375000\) рублей. Таким образом, Александр Сергеевич сможет выплатить кредит за 5 месяцев. Ответ. 5.

Ответ: 5

Решение №35896: Первый

Ответ: Первый

Решение №35897: Первый

Ответ: Первый

Решение №35898: В течении восьмого года

Ответ: В течении восьмого года