Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Текстовые задачи Задачи на проценты. Задачи на сплавы и смеси ОГЭ Текстовые задачи Задачи на проценты. Задачи на сплавы и смеси
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Текстовые задачи, задачи на проценты, Задачи на концентрацию, задачи с разными методами решения,
Задача в следующих классах: 7 класс 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 1
Задача встречается в следующей книге: Е.Д.Куланин, В.П. Норин, С.Н. Федин, Ю.А. Шевченко, 3000 задач конкурсных задач по математике . - 5 езд. , испр. - М.: Айрис-пресс, 2003. - 624 с.: ил.
Пока решения данной задачи,увы,нет...
Ответ: 46
Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Текстовые задачи Задачи на проценты. Задачи на сплавы и смеси ОГЭ Текстовые задачи Задачи на проценты. Задачи на сплавы и смеси
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Текстовые задачи, Основы элементарной алгебры, задачи на проценты, Задачи на концентрацию, Многочлены, квадратный трехчлен, Квадратные уравнения, Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций,
Задача в следующих классах: 8 класс
Сложность задачи : 1
Задача встречается в следующей книге: Е.Д.Куланин, В.П. Норин, С.Н. Федин, Ю.А. Шевченко, 3000 задач конкурсных задач по математике . - 5 езд. , испр. - М.: Айрис-пресс, 2003. - 624 с.: ил.
Пока решения данной задачи,увы,нет...
Ответ: 100
Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Текстовые задачи Задачи на проценты. Задачи на сплавы и смеси ОГЭ Текстовые задачи Задачи на проценты. Задачи на сплавы и смеси
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Текстовые задачи, Основы элементарной алгебры, задачи на проценты, Задачи на концентрацию, Многочлены, квадратный трехчлен, Квадратные уравнения, Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций,
Задача в следующих классах: 8 класс
Сложность задачи : 1
Задача встречается в следующей книге: Е.Д.Куланин, В.П. Норин, С.Н. Федин, Ю.А. Шевченко, 3000 задач конкурсных задач по математике . - 5 езд. , испр. - М.: Айрис-пресс, 2003. - 624 с.: ил.
Пока решения данной задачи,увы,нет...
Ответ: 2
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Текстовые задачи, Задачи «на части» и «на уравнивание», задачи на проценты, Задачи на концентрацию,
Задача в следующих классах: 6 класс
Сложность задачи : 1
Задача встречается в следующей книге: Е.Д.Куланин, В.П. Норин, С.Н. Федин, Ю.А. Шевченко, 3000 задач конкурсных задач по математике . - 5 езд. , испр. - М.: Айрис-пресс, 2003. - 624 с.: ил.
Пока решения данной задачи,увы,нет...
Ответ: {9:35}
Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Текстовые задачи Задачи на проценты. Задачи на сплавы и смеси ОГЭ Текстовые задачи Задачи на проценты. Задачи на сплавы и смеси
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Текстовые задачи, Задачи «на части» и «на уравнивание», задачи на проценты, Задачи на концентрацию,
Задача в следующих классах: 6 класс
Сложность задачи : 1
Задача встречается в следующей книге: Е.Д.Куланин, В.П. Норин, С.Н. Федин, Ю.А. Шевченко, 3000 задач конкурсных задач по математике . - 5 езд. , испр. - М.: Айрис-пресс, 2003. - 624 с.: ил.
Пока решения данной задачи,увы,нет...
Ответ: 9
Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Текстовые задачи Задачи на проценты. Задачи на сплавы и смеси ОГЭ Текстовые задачи Задачи на проценты. Задачи на сплавы и смеси
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Текстовые задачи, Задачи «на части» и «на уравнивание», задачи на проценты, Задачи на концентрацию,
Задача в следующих классах: 6 класс
Сложность задачи : 1
Задача встречается в следующей книге: Е.Д.Куланин, В.П. Норин, С.Н. Федин, Ю.А. Шевченко, 3000 задач конкурсных задач по математике . - 5 езд. , испр. - М.: Айрис-пресс, 2003. - 624 с.: ил.
Пока решения данной задачи,увы,нет...
Ответ: 3
Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Уравнения (С1) Уравнения смешанного типа
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 2
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №17656: Из условия \( 3*5^{2x}-2*5^{x}=1, 3*5^{2x}-2*5^{x}-1 =0 \) Решая это уравнение как квадратное относительно \( 5^{x} \), получаем \( 5^{x}=-\frac{1}{3}, \varnothing \); или \( 5^{x}=1 \), откуда \( x = 0 \)
Ответ: 0
Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Уравнения (С1) Уравнения смешанного типа
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 2
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №17657: ОДЗ: \( 3-x> 0, x< 3 x \) Перепишем уравнение в виде \( 3\lg \left ( 3-x \right )=\lg \left ( 27-x^{3} \right ), \lg \left ( 3-x \right )^{3}=\lg \left ( 27-x^{3} \right ) \) Тогда \( \left ( 3-x \right )^{3}=27-x^{3}\Rightarrow x^{2}-9x=0 \), откуда \( x_{1}=0, x_{2}=9; x_{2}=9 \) не подходит по ОДЗ.
Ответ: 0
Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Уравнения (С1) Уравнения смешанного типа
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 2
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №17658: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} 9-2^{x}> 0 & & \\ 3-x> 0 & & \end{matrix}\right.x< 3 \) Имеем \( \log _{2}\left ( 9-2x \right )=3-x, 9-2x=2^{3-x}. 2^{2x}-9*2^{x}+8=0 \) Решая это уравнение как квадратное относительно \( 2^{x} \), имеем \( \left ( 2^{x} \right )_{1}=1 \), или \( \left ( 2^{x} \right )_{2}=8 \), откуда \( x_{1}=0, x_{2}=3; x_{2}=3\) не подходит по ОДЗ.
Ответ: 0
Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Уравнения (С1) Уравнения смешанного типа
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №17659: \( \log _{a+b}m+\log _{a-b}m-2\log _{a+b}m*\log _{a-b}m=\log _{a+b}m+\frac{\log _{a+b}m}{\log _{a+b}\left ( a-b \right )}-2\frac{\log _{a+b}m*\log _{a+b}m}{\log _{a+b}\left ( a-b \right )}=\log _{a+b}m*\left ( 1+\frac{1}{\log _{a+b}\left ( a-b \right )}-\frac{2\log _{a+b}m}{\log _{a+b}\left ( a-b \right )} \right )=\frac{\log _{a+b}m\left ( \log _{a+b}\left ( a-b \right ) \right )+1-2\log _{a+b}m}{\log _{a+b}\left ( a-b \right )} \) Так как \( m=\sqrt{a^{2}-b^{2}} \), то имеем \( \frac{\log _{a+b}\sqrt{a^{2}-b^{2}}\left ( \log _{a+b}\left ( a-b \right )+1-2\log _{a+b}\sqrt{a^{2}-b^{2}} \right )}{\log _{a+b}\left ( a-b \right )}=\frac{\log _{a+b}\sqrt{a^{2}-b^{2}}\left ( \log _{a+b}\left ( a-b \right )+1-\log _{a+b}\left ( a-b \right )-1 \right )}{\log _{a+b}\left ( a-b \right )}=\frac{\log _{a+b}\sqrt{a^{2}-b^{2}}*0}{\log _{a+b}\left ( a-b \right )}=0 \)
Ответ: 0
Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Текстовые задачи Задачи на проценты. Задачи на сплавы и смеси ОГЭ Текстовые задачи Задачи на проценты. Задачи на сплавы и смеси
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Текстовые задачи, задачи на проценты, Задачи на концентрацию, задачи с разными методами решения,
Задача в следующих классах: 7 класс 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 1
Задача встречается в следующей книге: Е.Д.Куланин, В.П. Норин, С.Н. Федин, Ю.А. Шевченко, 3000 задач конкурсных задач по математике . - 5 езд. , испр. - М.: Айрис-пресс, 2003. - 624 с.: ил.
Пока решения данной задачи,увы,нет...
Ответ: 9
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Текстовые задачи, задачи на проценты, Задачи на концентрацию, задачи с разными методами решения,
Задача в следующих классах: 7 класс 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 1
Задача встречается в следующей книге: Е.Д.Куланин, В.П. Норин, С.Н. Федин, Ю.А. Шевченко, 3000 задач конкурсных задач по математике . - 5 езд. , испр. - М.: Айрис-пресс, 2003. - 624 с.: ил.
Пока решения данной задачи,увы,нет...
Ответ: {0.96,1.92,9.12}
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Текстовые задачи, задачи на проценты, Задачи на концентрацию, задачи с разными методами решения,
Задача в следующих классах: 7 класс 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 1
Задача встречается в следующей книге: Е.Д.Куланин, В.П. Норин, С.Н. Федин, Ю.А. Шевченко, 3000 задач конкурсных задач по математике . - 5 езд. , испр. - М.: Айрис-пресс, 2003. - 624 с.: ил.
Пока решения данной задачи,увы,нет...
Ответ: {30,60}
Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Текстовые задачи Задачи на проценты. Задачи на сплавы и смеси ОГЭ Текстовые задачи Задачи на проценты. Задачи на сплавы и смеси
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Текстовые задачи, задачи на проценты, Задачи на концентрацию, задачи с разными методами решения,
Задача в следующих классах: 7 класс 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 2
Задача встречается в следующей книге: Е.Д.Куланин, В.П. Норин, С.Н. Федин, Ю.А. Шевченко, 3000 задач конкурсных задач по математике . - 5 езд. , испр. - М.: Айрис-пресс, 2003. - 624 с.: ил.
Пока решения данной задачи,увы,нет...
Ответ: 5
Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Текстовые задачи Задачи на проценты. Задачи на сплавы и смеси ОГЭ Текстовые задачи Задачи на проценты. Задачи на сплавы и смеси
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Текстовые задачи, задачи на проценты, Задачи на концентрацию, задачи с разными методами решения,
Задача в следующих классах: 7 класс 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 1
Задача встречается в следующей книге: Е.Д.Куланин, В.П. Норин, С.Н. Федин, Ю.А. Шевченко, 3000 задач конкурсных задач по математике . - 5 езд. , испр. - М.: Айрис-пресс, 2003. - 624 с.: ил.
Пока решения данной задачи,увы,нет...
Ответ: 12
Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Текстовые задачи Задачи на проценты. Задачи на сплавы и смеси ОГЭ Текстовые задачи Задачи на проценты. Задачи на сплавы и смеси
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Текстовые задачи, задачи на проценты, Задачи на концентрацию, задачи с разными методами решения,
Задача в следующих классах: 7 класс 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 1
Задача встречается в следующей книге: Е.Д.Куланин, В.П. Норин, С.Н. Федин, Ю.А. Шевченко, 3000 задач конкурсных задач по математике . - 5 езд. , испр. - М.: Айрис-пресс, 2003. - 624 с.: ил.
Пока решения данной задачи,увы,нет...
Ответ: 90
Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Текстовые задачи Задачи на проценты. Задачи на сплавы и смеси ОГЭ Текстовые задачи Задачи на проценты. Задачи на сплавы и смеси
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Текстовые задачи, задачи на проценты, Задачи на концентрацию, задачи с разными методами решения,
Задача в следующих классах: 7 класс 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 1
Задача встречается в следующей книге: Е.Д.Куланин, В.П. Норин, С.Н. Федин, Ю.А. Шевченко, 3000 задач конкурсных задач по математике . - 5 езд. , испр. - М.: Айрис-пресс, 2003. - 624 с.: ил.
Пока решения данной задачи,увы,нет...
Ответ: {5,20}
Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Текстовые задачи Задачи на проценты. Задачи на сплавы и смеси ОГЭ Текстовые задачи Задачи на проценты. Задачи на сплавы и смеси
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Текстовые задачи, задачи на проценты, Задачи на концентрацию, задачи с разными методами решения,
Задача в следующих классах: 7 класс 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 1
Задача встречается в следующей книге: Е.Д.Куланин, В.П. Норин, С.Н. Федин, Ю.А. Шевченко, 3000 задач конкурсных задач по математике . - 5 езд. , испр. - М.: Айрис-пресс, 2003. - 624 с.: ил.
Пока решения данной задачи,увы,нет...
Ответ: 200
Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Текстовые задачи Задачи на проценты. Задачи на сплавы и смеси ОГЭ Текстовые задачи Задачи на проценты. Задачи на сплавы и смеси
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Текстовые задачи, задачи на проценты, Задачи на концентрацию, задачи с разными методами решения,
Задача в следующих классах: 7 класс 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 1
Задача встречается в следующей книге: Е.Д.Куланин, В.П. Норин, С.Н. Федин, Ю.А. Шевченко, 3000 задач конкурсных задач по математике . - 5 езд. , испр. - М.: Айрис-пресс, 2003. - 624 с.: ил.
Пока решения данной задачи,увы,нет...
Ответ: Нет
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 2
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №17669: Из условия имеем: \( \left( x+2y \right )^{2}-2x*2y=12xy , \left ( x+2y \right )^{2}=16xy \) Прологарифмировав обе части полученного равенства по основанию 10, получим: \( \lg \left ( x+2y \right )^{2}=\lg 16xy , 2\lg \left ( x+2y \right )=\lg 16+\lg x+\lg y , 2\lg \left ( x+2y \right )=4\lg 2+\lg x+\lg y , \lg \left ( x+2y \right )-2\lg 2= 0.5\left ( \lg x +\lg y \right ) \)
Ответ: \( \lg \left ( x+2y \right )^{2}=\lg 16xy , 2\lg \left ( x+2y \right )=\lg 16+\lg x+\lg y , 2\lg \left ( x+2y \right )=4\lg 2+\lg x+\lg y , \lg \left ( x+2y \right )-2lg2= 05\left ( \lg x +\lg y \right ) )\
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №17670: \( \frac{\log _{a}b-\log _{\sqrt{a}/b^{3}}\sqrt{b}}{\log _{a/b^{4}}b-\log _{a/b^{6}b}\div \log _{b}\left ( a^{3}b^{-12} \right )=\frac{\log _{a}b-\frac{\log _{a}\sqrt{b}}{\log _{a}\frac{\sqrt{a}}{b^{3}}}}{\frac{\log _{a}b}{\log _{a}\frac{a}{b^{4}}}-\frac{\log _{a}b}{\log _{a}\frac{a}{b^{6}}}}\div \frac{\log _{a}a^{3}*b^{-12}}{\log _{a}b}=\frac{\log _{a}b-\frac{\frac{1}{2}\log _{a}b}{{\frac{1}{2}-3\log _{a}b}}}{\frac{{\log _{a}b}}{1-4{\log _{a}b}}-\frac{{\log _{a}b}}{1-6{\log _{a}b}}}*\frac{\log _{a}b}}{3-12{\log _{a}b}}=\frac{-3{\log _{a}^{2}b\left ( 1-4\log _{a}b \right \)left ( 1-6\log _{a}b \right )}}{\left (-6\log _{a}^{2}b+4\log _{a}^{2}b \right \)left ( \frac{1}{2}-3\log _{a}b \right )}*\frac{\log _{a}b}{3\left ( 1-4\log _{a}b \right )}=\log _{a}b \)
Ответ: \( \log _{a}b )\
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №17671: ОДЗ: \( x> 0 \) Перейдем к основанию 10. Имеем \( \lg x+2\lg x+3\lg x+...+10\lg x=5.5, \left ( 1+2+3+...+10 \right \)lg x=5.5 \) В скобках сумма членов арифметической прогрессии \( S_{n} \) с \( a_{1}=1, d=1, a_{n}=10, n=10:S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}n=\frac{1+10}{2}*10=55 \) Тогда \( 55\lg x=5.5 \Leftrightarrow \lg x=\frac{1}{10} \), откуда \( x=\sqrt[10]{10} \)
Ответ: \( \sqrt[10]{10} )\
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 2
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №17672: ОДЗ: \( 0< x\neq 1 \) Имеем \( 3*2^{2\log _{x}2}-23*2^{\log _{x}2}-8=0 \) Решая уравнение как квадратное относительно \( 2\log _{x}2 \), найдем \( 2\log _{x}2=-\frac{1}{3}, \varnothing \); или \( 2\log _{x}2=8 \), откуда \( \log _{x}2=3, x=\sqrt[3]{2} \)
Ответ: \( \sqrt[3]{2} )\
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 2
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №17673: ОДЗ: \( x> 0 \) Из условия \( \log _{2}\sqrt[3]{2}=\log _{2}2^{\frac{1}{3}}=\frac{1}{3}, \log _{2}^{2}x-3\log _{2}x+\frac{2}{3}\log _{2}x+\frac{2}{3}=0, 3\log _{2}^{2}x-7\log _{2}x+2=0 \) Решая уравнение как квадратное относительно \( \log _{2}x \), имеем \( \left ( \log _{2}x \right )_{1}=\frac{1}{3} \), или \( \left ( \log _{2}x \right )_{2}=2 \), откуда \( x_{1}=\sqrt[3]{2}, x_{2}=4 \)
Ответ: \( \sqrt[3]{2}; 4 )\
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 2
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №17674: ОДЗ: \( 0< x\neq 1 \) Перепишем уравнение в виде \( \frac{1}{2}\log _{x}2-\frac{1}{4}\log _{x}^{2}2=3-\log _{x}2-1,\log _{x}^{2}2-6\log _{x}2+8=0 \) Решая это уравнение как квадратное относительно \( \log _{x}2 \), найдем \( \log _{x}2=2, \log _{x}2=4 \), откуда \( x^{2}=2 , x^{4}=2 \) Тогда \( x_{1}=-\sqrt{2}, x_{2}=\sqrt{2}, x_{3}=-\sqrt[4]{2}, x_{4}=\sqrt[4]{2}, x_{1}=-\sqrt{2}, x_{3}=-\sqrt[4]{2} не подходят по ОДЗ.
Ответ: \( \sqrt[4]{2}; \sqrt{2} )\
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №17675: ОДЗ: \( 0< x\neq 1 \) Перейдем к основанию \( 6-\left ( 1+4*9^{\circ} \right \)log _{7}x=\frac{1}{\log _{7}x} \Leftrightarrow 5\log _{7}^{2}x-6\log _{7}x+1=0 \) Решая это уравнение как квадратное относительно \( \log _{7}x \), получим \( \left ( \log _{7}x \right )_{1}=\frac{1}{5} \), или \( \left ( \log _{7}x \right )_{2}=1 \), откуда \( x_{1}=\sqrt[5]{7}, x_{2}=7 \)
Ответ: \( \sqrt[5]{7}; 7 )\
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 2
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №17676: Из условия \( \left\{\begin{matrix} \log _{a}x\geq 0, & & & \\ 0< a\neq 1, & & & \\ 0< x\neq 1 & & & \end{matrix}\right. \sqrt{\log _{a}x}+\frac{1}{\sqrt{\log _{a}x}}-\frac{10}{3}=0 \Rightarrow 3\left ( \sqrt{\log _{a}x} \right )^{2}-10\sqrt{\log _{a}x}+3=0 \) Решая это уравнение как квадратное относительно \( \sqrt{\log _{a}x} \), получаем \( \left ( \sqrt{\log _{a}x} \right )_{1}=\frac{1}{3}, \left ( \log _{a}x \right )_{1}=\frac{1}{9} \), откуда \( x_{1}=\sqrt[9]{a} \), или \( \left ( \sqrt{\log _{a}x} \right )_{2}=3, \left ( log_{a}x \right )_{2}=9 \), откуда \( x_{2}=a^{9} \)
Ответ: \( \sqrt[9]{a} ; a^{9}, 0< a\neq 1 )\
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 2
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №17677: Имеем \( \frac{9^{x^{2}}}{9}-36*\frac{3^{x^{2}}}{27}+3=0, 3^{2x^{2}}-12*3^{x^{2}}+27=0 \) Решив уравнение как квадратное относительно \( 3^{ x^{2}} \), получим \( 3^{ x^{2}}= 3 \), откуда \( x^{2}= 1 x_{1,2}=\pm 1 \), или \( 3^{ x^{2}} = 9 \), откуда \( x^{ 2} = 2 , x_{3,4}=\pm 2 \)
Ответ: \( -\sqrt{2}; -1; 1; \sqrt{2} )\
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 2
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №17678: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} x> 0 & & \\ x\neq \pm 1 & & \end{matrix}\right.0< x\neq 1 \) Имеем \( \log _{x}9+\frac{3}{2}\log _{x}9=10, \log _{x}9=4 \), откуда \( x^{4}=9, x=\sqrt{3}, x=-\sqrt{3} \) не подходит по ОДЗ.
Ответ: \( \sqrt{3} )\
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №17679: ОДЗ: \( x> 0 \) Перейдем к основанию 3. Получаем \( 2\log _{3}x+4\log _{3}x+6\log _{3}x+...+16\log _{3}x=36 \Leftrightarrow \left ( 2+4+6+...+16 \right \)log _{3}x=36 \Leftrightarrow \left ( 1+2+3+...+8 \right \)log _{3}x=18 \Leftrightarrow 36\log _{3}x=18 \Leftrightarrow \log _{3}x=\frac{1}{2} \), откуда \( x=\sqrt{3} \)
Ответ: \( \sqrt{3} )\
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №17680: ОДЗ: \( x> 0 \) Перепишем уравнение в виде \( 3^{\log _{3}x+2\log _{3}x+3\log _{3}x+...+8\log _{3}x}=27x^{30} \Leftrightarrow \left ( 3^{\log _{3}x} \right )^{\left ( 1+2+3+...+8 \right )}=27x^{30} \Leftrightarrow x^{1+2+3+...+8}=27x^{30} \Leftrightarrow x^{6}=27 \), откуда \( x=\sqrt[6]{27}=\sqrt{3} \)
Ответ: \( \sqrt{3} )\
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №17681: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} x> 0, & & & \\ x\neq \frac{1}{9}, & & & \\ x\neq \pm \frac{1}{3} & & & \end{matrix}\right. \) Перейдем к основанию 9. Имеем \( \frac{5\log _{9}x}{\log _{9}\frac{x}{9}}+\frac{\log _{9}x^{3}}{\log _{9}\frac{9}{x}}+\frac{8\log _{9}x^{2}}{\log _{9}9x^{2}}=2 \Leftrightarrow \frac{5\log _{9}x}{\log _{9}x-1}+\frac{3\log _{9}x}{1-\log _{9}x}+\frac{16\log _{9}x}{1+2\log _{9}x}=2 \Leftrightarrow 8\log _{9}^{2}x-6\log _{9}x+1=0 \) Решая это уравнение как квадратное относительно \( \log _{9}x \), получим \( \left ( \log _{9}x \right )_{1}=\frac{1}{4} \), или \( \left ( \log _{9}x \right )_{2}=\frac{1}{2} \), откуда \( x_{1}=\sqrt{3}, x_{2}=3 \)
Ответ: \( \sqrt{3}; 3 )\
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 2
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №17682: Имеем \( \frac{2^{x^{2}}}{2}+4*2^{x^{2}}=\frac{3^{x^{2}}}{3}+3^{x^{2}}, \frac{9}{2}*2^{x^{2}}=\frac{4}{3}*3^{x^{2}}, \left ( \frac{2}{3} \right )^{x^{2}}=\left ( \frac{2}{3} \right )^{3} \) Тогда \( x^{2}=3 \), откуда \( x_{1}=- \sqrt{3} , x_{1}=\sqrt{3} \)
Ответ: \( -\sqrt{3};\sqrt{3} )\
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №17683: ОДЗ: \( 0< x\neq 1 \) Из условия имеем \( \frac{x^{2\lg ^{2}x}}{x^{3}*x^{3\lg x}}=\frac{1}{100} \Leftrightarrow x^{2\lg ^{2}x-3\lg x-3}=10^{-2} \) логарифмируя обе части этого уравнения по основанию 10, получим \( \lg x^{2\lg ^{2}x-3\lg x-3}=\lg 10^{-2} \Leftrightarrow \left ( 2\lg ^{2}x-3\lg x-3 \right \)lg x=-2 \Leftrightarrow 2\lg ^{2}x-3\lg ^{2}x-3\lg x+2=0 \Leftrightarrow 2\left ( \lg ^{3}x+1 \right )-3\lg x\left ( \lg x+1 \right )=0 \Leftrightarrow 2\left ( \lg x+1 \right \)left ( \lg ^{2}x-\lg x+1 \right )-3\lg x\left ( \lg x+1 \right )=0 \Leftrightarrow \left ( \lg x+1 \right \)left ( 2\lg ^{2}x-5\lg x+2 \right )=0 \Leftrightarrow \lg x+1=0 , 2\lg ^{2}x-5\lg x+2=0 \) Из первого уравнения имеем \( \lg x=-1, x_{1}=\frac{1}{10} \), а из второго \( \lg x=\frac{1}{2}, x_{2}=\sqrt{10} \), или \( \lg x=2, x_{3}=100 \)
Ответ: \( 0,1; \sqrt{10}; 100)\
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №17684: Имеем \( 3*4^{2x}+2*9^{2x}-5*4^{x}*9^{x}=0 \Rightarrow 3*\left ( \frac{4}{9} \right )^{2x}-5*\left ( \frac{4}{9} \right )^{x}+2=0 \Rightarrow \left ( \frac{4}{9} \right )^{x}=\frac{2}{3} \), или \( \left ( \frac{4}{9} \right )^{x}=1 \), откуда \( x_{1}=\frac{1}{2}, x_{2}=0\)
Ответ: \( 0; \frac{1}{2} )\
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №17685: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} 2-x> 0 & & \\ 2-\sqrt{x}> 0 & & \end{matrix}\right.0\leq x< 2 \) Из условия имеем \( \log _{2}\frac{2-x}{2-\sqrt{x}}=\log _{2}\frac{\sqrt{2-x}}{\sqrt{2}} \Leftrightarrow \frac{2-x}{2-\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{2-x}}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow \frac{2-x}{2-\sqrt{x}}-\frac{\sqrt{2-x}}{\sqrt{2}}=0\Leftrightarrow \sqrt{2-x}\left ( \frac{\sqrt{2-x}}{2-\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{2}} \right )=0 \), откуда \( \frac{\sqrt{2-x}}{2-\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{2}}=0, \sqrt{4-2x}=2-\sqrt{x}, 4-2x=4-4\sqrt{x}+x, 3x-4\sqrt{x}=0, \sqrt{x}\left ( 3\sqrt{x}-4 \right )=0 \) Таким образом, \( x_{1}=0, x_{2}=\frac{16}{9} \)
Ответ: \( 0; \frac{16}{9} )\
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №17686: \left\{\begin{matrix} 0< x\neq \frac{1}{2} & & \\ x\neq 1 & & \end{matrix}\right. \frac{\log _{2}16}{\log _{2}x^{2}}+\frac{\log _{2}6 }{\log _{2}2x}=3 \Leftrightarrow \frac{4}{2\log _{2}x}+\frac{6}{1+\log _{2}x}-3=0 \Leftrightarrow 3\log _{2}^{2}x-5\log _{2}x-2=0 , \log _{2}x\neq 0 , \log _{2}x\neq -1 , \log _{2}x , \log _{2}x=-\frac{1}{3}, x_{1}=\frac{1}{\sqrt[3]{2}}=0.5\sqrt[3]{4}; \log _{2}x=2, x_{2}=4.
Ответ: \( 05\sqrt[3]{4}; 4 )\
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №17687: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} x> 0, & \\ x\neq \frac{1}{4} & \\ x\neq \frac{1}{16} & \\ x\neq 2 & \end{matrix}\right. \) Перейдем к основанию 2: \( \frac{20\log _{2}\sqrt{x}}{\log _{2}4x}+\frac{7\log _{2}x^{3}}{\log _{2}16x}-\frac{3\log _{2}x^{3}}{\log _{2}\frac{x}{2}}=0 \Leftrightarrow \frac{10\log _{2}x}{2+\log _{2}x}+\frac{21\log _{2}x}{4+\log _{2}x}-\frac{6\log _{2}x}{\log _{2}x-1}=0 \Leftrightarrow 5\log _{2}^{3}x+3\log _{2}^{2}x-26\log _{2}x=0 \Leftrightarrow \log _{2}x\left ( 5\log _{2}^{2}x+3\log _{2}x-26 \right )=0 \Leftrightarrow \log _{2}x\left ( \log _{2}x+\frac{13}{5} \right \)left ( \log _{2}x-2 \right )=0 \), откуда \( \left ( \log _{2}x \right )_{1}=0 , \left ( \log _{2}x \right )_{2}=-\frac{13}{5}, \left ( \log _{2}x \right )_{3}=2 \) Итак \( x_{1}=1, x_{2}=2^{-\frac{13}{5}}=\frac{1}{4\sqrt[5]{8}}, x_{3}=4 \)
Ответ: \( 1; \frac{1}{4\sqrt[5]{8}}; 4 )\
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №17688: ОДЗ: \( x\neq \frac{1}{2} \) Перепишем уравнение в виде \( 2^{3x}-5*2^{2x}+2^{x}+10=0 \), Пусть \( 2^{x}=y \) Тогда уравнение принимает вид \( y^{3}-5y^{2}+y+10=0 \) Разделим левую часть уравнения на \( y-2 . y^{3}-5y^{2}+y+10 y-2 - y^{3}-2y^{2} y^{2}-3y-5 -3y^{2}+y - -3y^{2}+6y -5y+10 - -5y+10 0 \) Уравнение можно представить в виде \( \left ( y-2 \right \)left ( y^{2}-3y-5 \right )=0 \), откуда \( y_{1}=2, y_{2,3}=\frac{3\pm \sqrt{29}}{2} \) Получили: \( 2^{x}=2 \Rightarrow x_{1}=1; 2^{x}=\frac{3-\sqrt{29}}{2}< 0 \) (нет решений); \( 2^{x}=\frac{3+\sqrt{29}}{2} \Rightarrow x_{3}=\log_{2}\frac{3+\sqrt{29}}{2}=\log_{2}\left ( 3+\sqrt{29} \right )-1 \)
Ответ: \( 1; \log_{2}\left ( 3+\sqrt{29} \right )-1 )\
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №17689: ОДЗ: \( x+2> 0, x> -2 \) Перепишем уравнение в виде \( \lg \left ( x+2 \right \)left ( x^{2}-2x+4 \right )-0.5\lg \left ( x+2 \right )^{2}=\lg 7\Leftrightarrow \lg \left ( x+2 \right \)left ( x^{2}-2x+4 \right )-\lg \left ( x+2 \right )=\lg 7\Leftrightarrow \lg \frac{\left ( x+2 \right \)left ( x^{2}-2x+4 \right )}{x+2}=\lg 7\Leftrightarrowx^{2}-2x+4=7, x^{2}-2x-3=0 \), откуда \( x_{1}=-1, x_{2}=3 \)
Ответ: \( -1; 3 )\
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 2
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №17690: ОДЗ: \( x> 0 \) Логарифмируя, имеем \( \left ( \lg 100+\lg x \right )^{2}+\left ( \lg 10+\lg x \right )^{2}=14-\lg x, 2\lg x+7\lg x-9=0 \) Решая это уравнение как квадратное относительно \( \lg x \), получаем \( \left ( \lg x \right )_{1}=-\frac{9}{2} \), или \( \left ( \lg x \right )_{2}=1 \), откуда \( x_{1}=10^{-\frac{9}{2}}, x_{2}=10 \)
Ответ: \( 10^{-\frac{9}{2}}; 10 )\
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 2
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №17691: ОДЗ: \( 0< x\neq 1 \) Логарифмируя обе части уравнения по основанию 10, имеем \( \lg x^{\frac{\lg x+5}{3}}=\lg 10^{5+\lg x}, \frac{\lg x+5}{3}\lg x=\left ( 5+\lg x \right \)lg 10, \lg ^{2}x+2\lg x-15=0 \) Решая это уравнение как квадратное относительно \( \lg x \), получаем \( \left (\lg x \right )_{1}=-5 \), или \( \left (\lg x \right )_{2}=3 \), откуда \( x_{1}=10^{-5}, x_{2}=1000 \)
Ответ: \( 10^{-5}; 10^{3} )\
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №17692: ОДЗ: \( x< 0 \) Учитывая, что \( x< 0 \) имеем \( 4\lg \left ( -x \right )-\lg ^{2}\left ( -x \right )-4=0\Leftrightarrow \lg ^{2}\left ( -x \right )-4\lg \left ( -x \right )+4=0, \left ( \lg \left ( -x \right )-2 \right )^{2}=0 \), откуда \( \lg \left ( -x \right )=2, x=-100 \)
Ответ: \( -100 )\
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №17693: \(\left ( \left ( \log _{b}^{4}a+\log _{a}^{4}b+2 \right )^{1/2}+2 \right )^{1/2}-\log _{b}a-\log _{a}b=\left ( \left ( \log _{b}^{4}a+\frac{1}{\log _{b}^{4}a}+2 \right )^{1/2}+2 \right )^{1/2}-\log _{b}a-\frac{1}{\log _{b}a}=\sqrt{\sqrt{\frac{\log _{b}^{8}a+2\log _{b}^{4}a+1}{\log _{b}^{4}a}}+2}-\frac{\log _{b}^{2}a+1}{\log _{b}a}=\sqrt{\sqrt{\left ( \frac{\log _{b}^{4}a+1}{\log _{b}^{2}a} \right )^{2}}+2}-\frac{\log _{b}^{2}a+1}{\log _{b}a}=\sqrt{\frac{\log _{b}^{4}a+1}{\log _{b}^{2}a}+2}-\frac{\log _{b}^{2}a+1}{\log _{b}a}=\sqrt{\frac{\log _{b}^{4}a+2\log _{b}^{2}a+1}{\log _{b}^{2}a}}-\frac{\log _{b}^{2}a+1}{\log _{b}^a}=\sqrt{\left ( \frac{\log _{b}^{2}a+1}{\log _{b}^a} \right )^{2}}-\frac{\log _{b}^{2}a+1}{\log _{b}a}=\frac{\log _{b}^{2}a+1}{\left | \log _{b}a \right |}-\frac{\log _{b}^{2}a+1}{\log _{b}a} \) Таким образом, получаем два случая: \( \left\{\begin{matrix} \log _{b}a< 0\) или \( \left\{\begin{matrix} 0< b< 1, & & \\ a> 1 & & \end{matrix}\right. \cup \left\{\begin{matrix} b> 1, & & \\ 0< a< 1; & & \end{matrix}\right. & & \\ -\frac{\log _{b}^{2}a+1}{\log _{b}a}-\frac{\log _{b}^{2}a+1}{\log _{b}a}=\frac{-2\left ( \log _{b}^{2}a+1 \right )}{\log _{b}a}=-2\left ( \log _{b}a+\log _{a}b \right ); & & \end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix} \log _{b}a> 0\) или \( \left\{\begin{matrix} 0< b< 1, & & \\ 0< a< 1 & & \end{matrix}\right. \cup \left\{\begin{matrix} b> 1, & & \\ a> 1; & & \end{matrix}\right. & & \\ \frac{\log _{b}^{2}a+1}{\log _{b}a}-\frac{\log _{b}^{2}a+1}{\log _{b}a}=0 & & \end{matrix}\right. \)
Ответ: \( -2\left ( \log _{b}a+\log _{a}b \right ) )\, если \( \left\{\begin{matrix} a> 1, & & \\ 0< b< 1 & & \end{matrix}\right )\ или \( \left\{\begin{matrix} 0< a< 1, & & \\ b> 1 & & \end{matrix}\right )\ и 0, если \( \left\{\begin{matrix} 0< a< 1, & & \\ 0< b< 1 & & \end{matrix}\right )\, или \( \left\{\begin{matrix} a> 1, & & \\ b> 1 & & \end{matrix}\right )\
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №17694: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} x^{2}> 0, & & & \\ -x> 0, & & & \\ \log_{2}\left ( -x \right )> 0 & & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow x< -1 \) Так как по ОДЗ \( x< 0 \), то имеем \( \frac{2}{\sqrt{3}\log_{2}\left ( -x \right )}=\frac{1}{\sqrt{\log_{2}\left ( -x \right )}} \Rightarrow \frac{4}{3\log_{2}^{2}\left ( -x \right )}=\frac{1}{\log_{2}\left ( -x \right )} \Leftrightarrow 3\log_{2}^{2}\left ( -x \right )-4\log_{2}\left ( -x \right )=0 \Leftrightarrow \log_{2}\left ( -x \right \)left ( 3\log_{2}\left ( -x \right )-4 \right )=0 \Leftrightarrow \log_{2}\left ( -x \right )=\frac{4}{3} \), так как \( \log_{2}\left ( -x \right \)neq 0 \) Отсюда \( -x=2^{4/3}, x=-2^{4/3} \)
Ответ: \( -2^{4/3} )\
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №17695: Перепишем уравнение в виде \( 3*4^{x-2}-a*4^{x-2}=a-27 \Leftrightarrow \left ( 3-a \right )*4^{x-2}=a-27 \Rightarrow 4^{x-2}=\frac{a-27}{3-a} .\frac{a-27}{3-a}> 0 \) Логарифмируя обе части этого уравнения по основанию 4, получим \( \log _{4}4^{x-2}=\log _{4}\frac{a-27}{3-a} \Leftrightarrow x-2=\log _{4}\frac{a-27}{3-a}, x=2+\log _{4}\frac{a-27}{3-a} \), где \( \frac{a-27}{3-a}> 0 \) Решая полученное неравенство методом интервалов, имеем. Таким образом \( a\epsilon \left ( 3; 27 \right ) \)
Ответ: \( 2+\log _{4}\frac{a-27}{3-a} )\, где \( a\epsilon \left ( 3; 27 \right ) )\
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №17696: \( \left ( 6\left ( \log _{b}a*\log _{a^{2}}b+1 \right )+\log _{b}a^{-6}+\log _{a}^{2}b \right )^{1/2}-\log _{a}b=\left ( 6\left ( \frac{1}{2}+1 \right )-6\log _{a}b+\log _{a}^{2}b \right )^{1/2}-\log _{a}b=\sqrt{9-6\log _{a}b+\log _{a}^{2}b}-\log _{a}b=\sqrt{\left ( 3-\log _{a}b \right )^{2}}-\log _{a}b=\left | 3-\log _{a}b \right |-\log _{a}b \) Раскрывая модуль, получим два случая: \( \left | 3-\log _{a}b \right |-\log _{a}b=\left\{\begin{matrix} 3-\log _{a}b\leq 0, & & \\ -3+\log _{a}b-\log _{a}b=-3; & & \end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix} b\geq a^{3}, & & \\ \left | 3-\log _{a}b \right |-\log _{a}b=-3; & & \end{matrix}\right. \left | 3-\log _{a}b \right |-\log _{a}b=\left\{\begin{matrix} 3-\log _{a}b> 0, & & \\ 3-\log _{a}b-\log _{a}b=3-2\log _{a}b; & & \end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix} 0< b< a^{3} & & \\ \left | 3-\log _{a}b \right |-\log _{a}b=3-2\log _{a}b. & & \end{matrix}\right. \)
Ответ: \( -3 )\, если \( b\geq a^{3} )\, и \( 3-2\log _{a}b )\, если \( 0< b< a^{3}, b\neq 1 )\
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 2
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №17697: ОДЗ: \( x\neq 0 \) Перепишем уравнение в виде \( 2^{\frac{6}{x}}-2^{3+\frac{3}{x}}+12=0, \left ( 2^{\frac{3}{x}} \right )^{2}-8*2^{\frac{3}{x}}+12=0 \) Решая это уравнение как квадратное относительно \( 2^{\frac{3}{x}} \), получаем \( \left (2^{\frac{3}{x}} \right )_{1}=2 \), откуда \( \left ( \frac{3}{x} \right )_{1}=1, x_{1}=3 \), или \( \left (2^{\frac{3}{x}} \right )_{2}=6 \), откуда \( \left ( \log _{2}2^{\frac{3}{x}} \right )_{2}=\log _{2}6, \left ( \frac{3}{x} \right )_{2}=\log _{2}6, x_{2}=\frac{3}{\log _{2}6}=3\log _{6}2=\log _{6}8 \)
Ответ: \( 3; \log _{6}8 )\
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 2
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №17698: ОДЗ: \( 0< x\neq 1 \) Логарифмируя обе части уравнения по основанию 3, имеем \( \log _{3}27x^{\log _{27}x}=\log _{3}x^{10/3}, 3+\frac{1}{3}\log _{2}^{3}x=\frac{10}{3}\log _{3}x, \log _{2}^{3}x-10\log _{3}x+9=0 \) Решая это уравнение как квадратное относительно \( \log _{3}x \), получаем \( \left ( \log _{3}x \right )_{1}=1 \), или \( \left ( \log _{3}x \right )_{2}=9 \), откуда \( x_{1}=3, x_{2}=3^{9} \)
Ответ: \( 3; 3^{9} )\
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 2
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №17699: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} x-2> 0 & & \\ x-4\neq 0 & & \end{matrix}\right.2< x\neq 4 \) Из условия \( 2\log _{3}\left ( x-2 \right )+2\log _{3}\left | x-4 \right |=0 или \( \log _{3}\left ( x-2 \right )+\log _{3}\left | x-4 \right |=0 \) Имеем: \( \left\{\begin{matrix} 2< x< 4 & & \\ \log _{3}\left ( x-2 \right )+\log _{3}\left ( 4-x \right )=0 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2< x< 4 & & \\ \log _{3}\left ( x-2 \right \)left ( 4-x \right )=0 & &\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2< x< 4 & & \\ x^{2}-6x+9=0 & & \end{matrix}\right. \), откуда \( x_{1}=3 \); \left\{\begin{matrix} x> 4 & & \\ \log _{3}\left ( x-2 \right \)left ( x-2 \right )=0 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x> 4 & & \\ \log _{3}\left ( x-2 \right \)left ( 4-x \right )=0 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x> 4 & & \\ x^{2}-6x+7=0 & & \end{matrix}\right. \), откуда \( x_{2}=3+\sqrt{2} \)
Ответ: \( 3; 3+\sqrt{2} )\
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 2
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №17700: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} 5-x> 0 & \\ 3-x> 0 & \end{matrix}\right. x< 3 \) Имеем \( \lg \left ( 5-x \right )+\lg \left ( 3-x \right )=1 , \lg \left ( 5-x \right \)lg \left ( 3-x \right )=1 \), откуда \( \left ( 5-x \right )+\lg \left ( 3-x \right )=10 , x^{2}-8x+5=0 \) Тогда \( x_{1}= 4- \sqrt{11} , x_{2}= 4 + \sqrt{11} , x_{2}= 4+ \sqrt{11} \) не подходит по ОДЗ.
Ответ: \( 4- \sqrt{11} )\
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 2
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №17701: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} 4-x> 0 & & \\ 6-x> 0 & & \end{matrix}\right.x< 4 \) Перепишем уравнение в виде \( \lg \left ( 4-x \right )+\lg \left ( 6-x \right )=1, \lg \left ( 4-x \right \)left ( 6-x \right )=1 \), откуда \( \left ( 4-x \right \)left ( 6-x \right )=10, x^{2}+10x-14=0 \) Следовательно, \( x_{1}=5-\sqrt{11}, x_{2}=5+\sqrt{11}; x_{2}=5+\sqrt{11} не подходит по ОДЗ.
Ответ: \( 5-\sqrt{11} )\
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №17702: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} -x> 0, & & \\ x^{2}> 0, & & \end{matrix}\right.x< 0 \) Из условия имеем \( \sqrt{2\log _{8}\left ( -x \right )}-\log _{8}\left ( -x \right )=0 \sqrt{\log _{8}\left ( -x \right )}\left ( \sqrt{2}-\sqrt{\log _{8}\left ( -x \right )} \right )=0 \) Тогда \( \log _{8}\left ( -x \right )=0 \), откуда \( x_{1}=-1 \), или \( \sqrt{2}-\sqrt{\log _{8}\left ( -x \right )}=0 \), откуда \( \sqrt{2}=\sqrt{\log _{8}\left ( -x \right )}, 2=\log _{8}\left ( -x \right ), x_{2}=-64 \)
Ответ: \( -64; -1 )\
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №17703: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} 0< a\neq 1 & & \\ 2a-x\geq 0 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 0< a\neq 1 & & \\ x\leq 2a & & \end{matrix}\right. \) Из условия имеем \( \frac{\log _{a}\frac{\sqrt{2a-x}}{a}}{\log _{a}\sqrt{a}}-\frac{\log _{a}x}{\log _{a}\frac{1}{a}}=0 \Leftrightarrow \log _{a}\left ( 2a-x \right )+\log _{a}x=2 \Leftrightarrow \log _{a}x\left ( 2a-x \right )=2 \), откуда \( x^{2}-2ax+a^{2}, \left ( x-a \right )^{2}=0 \Leftrightarrow x=a \)
Ответ: \( a )\, где \( 0< a\neq 1 )\
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №17704: \( \lg 56 =\lg \left ( 7*8 \right )=\lg 7+\lg 8=\lg 7+3\lg 2=\frac{\log _{2}7}{\log _{2}10}+3\lg 2=\log _{2}7*\lg 2+3\lg 2=ab+3a=a\left ( b+3 \right ) \)
Ответ: \( a\left ( b+3 \right ) )\
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №17705: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} x> 0, & & \\ 0< a\neq 1 & & \end{matrix}\right. \) Перейдем к основанию \( a \) Имеем \( \log _{a}x+2\log _{a}x+\frac{3}{2}\log _{a}x=27 \Leftrightarrow \log _{a}x=6 \), откуда \( x=a^{6}\)
Ответ: \( a^{6} )\, где \( 0< a\neq 1 )\
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №17706: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} x> 0, & & \\ 0< a\neq 1 & & \end{matrix}\right. \) Перейдем к основанию \( a \) Имеем \( \log _{a}x+\frac{1}{2}\log _{a}x+\frac{1}{3}\log _{a}x=11 \Leftrightarrow \log _{a}x=6 \), откуда \( x=a^{6} \)
Ответ: \( a^{6} , 0< a\neq 1 )\
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №17707: \( \left ( b^{\frac{\log _{100}a}{\lg a}}*a^{\frac{\log _{100}b}{\lg b}} \right )^{2\log _{ab}\left ( a+b \right )}=\left ( b^{\frac{1}{2}\frac{\lg a}{\lg b}}*a^{\frac{1}{2}\frac{\lg b}{\lg b}} \right )^{2\log _{ab}\left ( a+b \right )}=\left ( \left ( ab \right )^{\frac{1}{2}} \right )^{2\log _{ab}\left ( a+b \right )}=\left ( ab \right )^{\log _{ab}\left ( a+b \right )}=a+b \)
Ответ: \( a+b )\
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №17708: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} 0< m\neq 1 & & & \\ 0< x\neq 1 & & & \\ x< 2m & & & \end{matrix}\right. \) Перейдем к основанию \( m \), тогда \( \frac{1}{\log _{m}x}*\frac{\log _{m}\frac{m}{\sqrt{2m-x}}}{\log _{m}m}=1 \Leftrightarrow \log _{m}x+\log _{m}\left ( 2m-x \right )=2 \Rightarrow \log _{m}x\left ( 2m-x \right )=2 \) Тогда \( x^{2}-2mx+m^{2}=0, \left ( x-m \right )^{2}=0 \), откуда \( x=m \)
Ответ: \( m )\, где \( 0< m\neq 1 )\
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 2
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №17709: ОДЗ: \( x\neq 0 \) Разделив обе части уравнения на \( 25^{\frac{1}{x}} \), имеем \( 2^{\frac{2}{x}}-4.25\left ( 2^{ \frac{ 1}{ x}} \right ) + 1 = 0 \), откуда, решая уравнение как квадратное относительно \( 2^{\frac{1}{x}} \), получим \( \left (2^{\frac{1}{x}} \right )_{1}=\frac{1}{4} \), откуда \( \left ({\frac{1}{x}} \right )_{1}=-2, x_{1}=-\frac{1}{2} \), или \( \left (2^{\frac{1}{x}} \right )_{1}=4 \), откуда \( \left ({\frac{1}{x}} \right )_{2}=2, x_{2}=\frac{1}{2} \)
Ответ: \( x_{1}=-\frac{1}{2}; x_{2}=\frac{1}{2} )\