Задачи

Фильтрация

Показать фильтрацию

По классам:

По предметам:

По подготовке:

По классам:

По авторам:

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Задачи на построение с помощью циркуля и линейки,

Задача в следующих классах: 7 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Гордин Р. К. Г68 Геометрия. Планиметрия. 7–9 классы. — 3-е изд., испр. — М.: МЦНМО, 2006. — 416 с.: ил.

Постройте треугольник по стороне, прилежащему к ней углу и радиусу вписанной окружности.

Решение №17410: Центр вписанной окружности треугольника лежит на биссектрисе данного угла.

Ответ: NaN

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Задачи на построение с помощью циркуля и линейки,

Задача в следующих классах: 7 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Гордин Р. К. Г68 Геометрия. Планиметрия. 7–9 классы. — 3-е изд., испр. — М.: МЦНМО, 2006. — 416 с.: ил.

Постройте точку так, чтобы касательные, проведенные из нее к двум данным окружностям, были равны данным отрезкам.

Решение №17411: Искомая точка принадлежит окружностям, соответственно концентрическим данным.

Ответ: NaN

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Задачи на построение с помощью циркуля и линейки,

Задача в следующих классах: 7 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Гордин Р. К. Г68 Геометрия. Планиметрия. 7–9 классы. — 3-е изд., испр. — М.: МЦНМО, 2006. — 416 с.: ил.

Постройте общие касательные к двум данным окружностям.

Решение №17412: Пусть \(O_{1}\) и \(O_{2}\) — центры окружностей радиусов \(R\) и \(r\). Задача сводится к построению прямоугольного треугольника по гипотенузе \(O_{1}O_{2}\) и катету \(R − r\) (рис. 165,а) или \(R + r\) (рис. 165,б).

Ответ: NaN

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Задачи на построение с помощью циркуля и линейки,

Задача в следующих классах: 7 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Гордин Р. К. Г68 Геометрия. Планиметрия. 7–9 классы. — 3-е изд., испр. — М.: МЦНМО, 2006. — 416 с.: ил.

Постройте окружность, касающуюся данной прямой и данной окружности в данной на ней точке.

Решение №17413: Предположим, задача решена. Пусть построенная окружность с центром \(O_{2}\) касается данной прямой \(l\) в точке \(C\), а данной окружности с центром \(O_{1}\) — в данной на ней точке \(A\) (см. рис. ниже). Первый способ. Пусть прямая \(AC\) вторично пересекает данную окружность в точке \(B\). Тогда касательная, проведенная к этой окружности в точке \(B\), параллельна прямой \(l\), а точки \(O_{1}, O_{2}\) и \(A\) лежат на одной прямой. Отсюда вытекает следующий способ построения. Проведем касательную к данной окружности, параллельную данной прямой \(l\). Пусть \(B\) — точка касания, а прямая \(AB\) пересекает прямую \(l\) в точке \(C\). Тогда центр \(O_{2}\) искомой окружности найдем как точку пересечения перпендикуляра к прямой \(l\), восставленного из точки \(C\), и прямой \(O_{1}A\). Второй способ. Пусть касательная к данной окружности, проведенная через точку \(A\), пересекает данную прямую в точке \(M\). Тогда искомая окружность касается прямой \(AM\) в точке \(A\), а ее центр \(O_{2}\) лежит на биссектрисе угла \(AMC\) или на биссектрисе смежного с ним угла. Отсюда вытекает соответствующий способ построения. Если данная окружность не имеет с прямой \(l\) общих точек и данная точка не лежит на перпендикуляре к данной прямой, проходящем через центр данной окружности, задача имеет два решения (внутреннее и внешнее касания).

Ответ: NaN

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Задачи на построение с помощью циркуля и линейки,

Задача в следующих классах: 7 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Гордин Р. К. Г68 Геометрия. Планиметрия. 7–9 классы. — 3-е изд., испр. — М.: МЦНМО, 2006. — 416 с.: ил.

Постройте окружности с центрами в трех данных точках, попарно касающиеся друг друга внешним образом.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Задачи на построение с помощью циркуля и линейки,

Задача в следующих классах: 7 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Гордин Р. К. Г68 Геометрия. Планиметрия. 7–9 классы. — 3-е изд., испр. — М.: МЦНМО, 2006. — 416 с.: ил.

Даны три точки \(A, B\) и \(C\). Постройте три окружности, попарно касающиеся в этих точках.

Решение №17415: Рассмотрим случай внешнего касания (см. рис. ниже). Предположим, что окружности \(S_{1}, S_{2}\) и \(S_{3}\) построены. Пусть \(S_{1}\) и \(S_{2}\) касаются в точке \(C, S_{1}\) и \(S_{3}\) — в точке \(B, S_{2} и \(S_{3}\) — в точке \(A\). Пусть \(O_{1}, O_{2}\) и \(O_{3}\) — центры окружностей \( S_{1}, S_{2}\) и \(S_{3}\) соответственно. Тогда точки \(A, B\) и \(C\) лежат на сторонах треугольника \(O_{1}O_{2}O_{3}\), причем \(O_{1}B = O_{1}C, O_{2}C = O_{2}A, O_{3}A = O_{3}B\). Точки \(A, B\) и \(C\) являются точками касания вписанной окружности треугольника \(O_{1}O_{2}O_{3}\) с его сторонами. Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим описанную окружность треугольника \(ABC\) и проводим к ней касательные в точках \(A, B\) и \(C\). Точки пересечения этих касательных есть центры искомых окружностей. Если каждая из двух окружностей, касающихся между собой внешним образом, внутренне касается третьей окружности, то аналогично можно доказать, что точки их попарного касания являются точками касания прямых, содержащих стороны треугольника \(O_{1}O_{2}O_{3}\), с вневписанной окружностью этого треугольника.

Ответ: NaN

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Задачи на построение с помощью циркуля и линейки,

Задача в следующих классах: 7 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Гордин Р. К. Г68 Геометрия. Планиметрия. 7–9 классы. — 3-е изд., испр. — М.: МЦНМО, 2006. — 416 с.: ил.

Точки \(M\) и \(N\) расположены по одну сторону от прямой \( l\). Постройте на прямой \(l\) такую точку \(K\), чтобы сумма \(MK + NK\) была наименьшей.

Решение №17416: Пусть \(N_{1}\) — точка, симметричная точке \(N\) относительно прямой \(l\) (см. рис. ниже). Тогда для любой точки \(K\) этой прямой \(MK + NK = MK + N_{1}K > MN_{1} = MP + PN_{1} = MP + PN\). Равенство достигается в случае, когда точка \(K\) совпадает с точкой \(P\) пересечения прямых \(l\) и \(MN_{1}\).

Ответ: NaN

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Задачи на построение с помощью циркуля и линейки,

Задача в следующих классах: 7 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Гордин Р. К. Г68 Геометрия. Планиметрия. 7–9 классы. — 3-е изд., испр. — М.: МЦНМО, 2006. — 416 с.: ил.

Точка \(M\) лежит внутри острого угла. Постройте на сторонах этого угла точки \(A\) и \(B\), для которых периметр треугольника \(AMB\) был бы наименьшим.

Решение №17417: Рассмотрите точки, симметричные точке \(M\) относительно сторон угла.

Ответ: NaN

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Задачи на построение с помощью циркуля и линейки,

Задача в следующих классах: 7 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Гордин Р. К. Г68 Геометрия. Планиметрия. 7–9 классы. — 3-е изд., испр. — М.: МЦНМО, 2006. — 416 с.: ил.

Внутри острого угла даны точки \(M\)и \(N\). Постройте на сторонах угла точки \(K\) и \(L\) так, чтобы периметр четырехугольника \(MKLN\) был наименьшим.

Решение №17418: Рассмотрите точки, симметричные точкам \(M\) и \(N\) относительно сторон данного угла.

Ответ: NaN

В соревновании по стрельбе за каждый промах в серии из 25 выстрелов стрелок получал штрафные очки: за первый промах — одно штрафное очко, а за каждый последующий — на 0,5 очка больше, чем за предыдущий. Сколько раз попал в цель стрелок, получивший 7 штрафных очков?

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 21

Турист. поднимаясь в гору. в первый час достиг высоты 800 м, а каждый следующий час поднимался на высоту, на 25 м меньшую, чем в предыдущий. За сколько часов он достигнет высоты в 5700 м?

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 8

Вычислить \((1+3^{2}+5^{2}+...+(2n-1)^{2}+...+199^{2})-(2^{2}+4^{2}+6^{2}+...+(2n)^{2}+...+200^{2})\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: -20100

Решить уравнение: \(2x+1+x^{2}-x^{3}+x^{4}-x^{5}+...=\frac{13}{6}\), где |x| < 1.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \frac{1}{2};-\frac{7}{9}

Решить уравнение: \( \frac{1}{x}+x+x^{2}+...+x^{n}+...=\frac{7}{2}\), где |x| < 1.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \frac{1}{3};\frac{2}{3}

Найти сумму всех положительных четных двузначных чисел, делящихся на 3 нацело.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 810

Найти целое положительное число n из уравнения \((3+6+9+...+3(n-1))+\left ( 4+5,5+7+...+\frac{8+3n}{2} \right)=137\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 7

Найти сумму всех четных трехзначных чисел. делящихся на 3.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 82350

Найти сумму всех трехзначных чисел, делящихся на 7.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 70336

Найти сумму \(\left(2+\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(4+\frac{1}{4}\right)^{2}+...+\left (2^{n}+\frac{1}{2^{n}} \right)^{2}\)

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 2n+\frac{(4^{n}-1)(4^{n+1}+1)}{3\cdot 4^{n}}

Решить уравнение \(\frac{x-1}{x}+\frac{x-2}{x}+\frac{x-3}{x}+...+\frac{1}{x}=3\), где x – целое положительное число.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 7

Известно, что при любом n сумма n первых членов некоторой числовой последовательности выражается формулой \(S_{n}=2n^{2}+3n\). Найти десятый член этой последовательности.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 41

Найти сумму \(1+2\cdot3+3\cdot7+...+n(2^{n}-1)\)

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 2^{n+1}(n-1)+2-0,5n(n+1)

Найти сумму \( 1\cdot3+3\cdot9+5\cdot27+...+(2n-1)\cdot3^{n}\)

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 3^{n+1}(n-1)+3

Сумма трех первых членов возрастающей арифметической прогрессии равна 15. Если от первых двух членов этой прогрессии отнять по 1, а к третьему прибавить 1, то полученные три числа составят геометрическую прогрессию. Найти сумму 10 первых членов арифметической прогрессии.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 120

Три числа составляют геометрическую прогрессию. Если от третьего отнять 4, то числа составят арифметическую прогрессию. Если же от второго и третьего членов полученной арифметической прогрессии отнять по 1, то снова получится геометрическая прогрессия. Найти эти числа.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: {1;3;9, \frac{1}{9};\frac{7}{9};\frac{49}{9}}

Найти четыре числа, первые три из которых составляют геометрическую прогрессию, а последние три — арифметическую прогрессию. Сумма крайних чисел равна 21, а сумма средних равна 18.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: {3;6;12;18, 18,75;11,25;6,75;2,25}

Сумма трех первых членов геометрической прогрессии равна 91. Если к этим числам прибавить соответственно 25, 27 и 1, то получатся три числа, образующих арифметическую прогрессию. Найти седьмой член геометрической прогрессии.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: {5103, \frac{7}{81}}

Три числа образуют геометрическую прогрессию. Если второе число Увеличить на 2, то прогрессия станет арифметической, а если после этого увеличить последнее число на 9, то прогрессия снова станет геометрической. Найти эти числа,

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: {4;8;16, \frac{4}{25};-\frac{16}{25};\frac{64}{25}}

Найти три числа, образующих геометрическую прогрессию, если известно, что их произведение равно 64, а их среднее арифметическое равно — \(\frac{14}{3}\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 2;4;8

Три числа, из которых третье равно 12, образуют геометрическую прогрессию. Если вместо 12 взять 9. то три числа составят арифметическую прогрессию. Найти эти числа.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: {3;6;12, 27;18;12}

Разность арифметической прогрессии отлична от нуля. Числа, равные произведениям первого члена этой прогрессии на второй, второго члена на третий и третьего на первый, в указанном порядке составляют геометрическую прогрессию. Найти се знаменатель.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: -2

Найти трехзначное число, цифры которого образуют геометрическую прогрессию. Если из этого числа вычесть 792. то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Если же из цифры, выражающей число сотен, вычесть 4, а остальные цифры искомого числа оставить без изменения, то получится число, цифры которого образуют арифметическую прогрессию.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 931

Найти сумму четырех первых членов геометрической прогрессии, обладающей тем свойством, что ее три первых члена, сумма которых равна \(\frac{148}{9}\), являются одновременно первым, четвертым и восьмым членами некоторой арифметической прогрессии.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 25\frac{25}{27}

Даны две прогрессии: геометрическая с положительными членами \(b_{n}\), (знаменатель равен q, где \(q\neq n\)) и возрастающая арифметическая с членами \(a_{n}\), (разность равна d). Найти x из условия \(log_{x}b_{n}-a_{n}=log_{x}b_{1}-a_{1}\)

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: x=q^{1/d}

Найти четыре числа, образующих геометрическую прогрессию, у которой сумма крайних членов равна 49, а сумма средних членов равна 14.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 7;-14;28;-56

Найти третий член бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем |q| < 1, сумма которой равна 1.6, а второй член равен -0,5.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \frac{1}{8}

Найти три первых члена бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем |q| < 1, сумма которой равна 6, а сумма пяти первых членов равна \(\frac{93}{16}\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 3;\frac{3}{2};\frac{3}{4}

Найти четыре числа, образующих геометрическую прогрессию, у которой второй член меньше первого на 35, а третий больше четвертого на 560.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: {7;-28;112;-448, -11\frac{2}{3};-46\frac{2}{3};-186\frac{2}{3};-746\frac{2}{3}}

Найти четыре числа, образующих геометрическую прогрессию, у которой третий член больше первого на 9, а второй больше четвертого на 18.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 3;-6;12;-24

Знаменатель геометрической прогрессии равен \(\frac{1}{3}\), четвертый член этой прогрессии равен \(\frac{1}{54}\), а сумма всех ее членов равна \(\frac{121}{162}\). Найти число членов прогрессии.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 5

Найти первый член и знаменатель геометрической прогрессии, если известно, что \(b_{4}-b_{2}=-\frac{45}{32}\) и \(b_{6}-b_{4}=-\frac{45}{512}\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: {6;0,25, -6;-0,25}

Найти первый и пятый члены геометрической прогрессии, если известно, что ее знаменатель равен 3, а сумма шести первых членов равна 1820.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 5;405

Произведение трех первых членов геометрической прогрессии равно 1728, а их сумма равна 63. Найти первый член и знаменатель прогрессии.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: {3;4, 48;0,25}

Сумма бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем |q| <1 равна 16, а сумма квадратов членов этой же прогрессии равна 153.6, Найти четвертый член и знаменатель прогрессии.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \frac{3}{16};\frac{1}{4}

Найти число членов конечной геометрической прогрессии, у которой первый, второй и последний члены соответственно равны 3, 12 и 3072.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 6

Найти знаменатель q бесконечной геометрической прогрессии \((|q|<1)\), у которой каждый член в 4 раза больше суммы всех ее последующих членов.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 0.2

В бесконечной геометрической прогрессии с положительными членами и со знаменателем |q| <1 сумма трех первых членов равна 10,5, а сумма прогрессии равна 12. Найти прогрессию.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 6;3;1,5;…

Сумма трех первых членов геометрической прогрессии равна 21, а сумма их квадратов равна 189. Найти первый член и знаменатель прогрессии.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: {3;2, 12;0,5}

Сумма бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем |q|<1 равна 4, а сумма кубов ее членов равна 192. Найти первый член и знаменатель прогрессии.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 6;-0,5

Найти сумму семи первых членов бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем |q| < 1 ‚если ее второй член равен 4, а отношение суммы квадратов членов к сумме членов равно \(\frac{16}{3}\)

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \frac{127}{8}

Даны две бесконечные геометрические прогрессии со знаменателем |q|< 1, различающиеся только знаками их знаменателей. Их суммы соответственно равны \(S_{1}\) и \(S_{2}\). Найти сумму S бесконечной геометрической прогрессии, составленной из квадратов членов любой из данных прогрессий. Установить связь между \(S_{1},S_{2}\) и S.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: S=S_{1}S_{2}

Первый член некоторой бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем |q| < 1 равен 1.а се сумма равна S. Из квадратов членов этой прогрессии составлена новая бесконечная геометрическая прогрессия. Найти ее сумму.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \frac{S^{2}}{2S-1}

Найти пятый член возрастающей геометрической прогрессии, зная, что ее первый член равен \(7-3\sqrt{5}\) и что каждый ее член, начиная со второго, равен разности двух соседних с ним членов.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 2

Число 180 представить в виде суммы четырех слагаемых так, чтобы они составляли геометрическую прогрессию, у которой третий член был бы больше первого на 36.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: {12+24+48+96, 4,5+13,5+40,5+121,5}

Даны две геометрические прогрессии, состоящие из одинакового числа членов. Первый член и знаменатель первой прогрессии равны соответственно 20 и 0,75, а первый член и знаменатель второй прогрессии равны соответственно 4 и \(\frac{2}{3}\). Если перемножить члены этих прогрессий с одинаковыми номерами, то сумма всех таких произведений составит 158,75. Найти число членов этих прогрессий.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 7

В конечной геометрической прогрессии известны ее первый член a, последний член b и сумма S всех ее членов. Найти сумму квадратов всех членов этой прогрессии.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \frac{(a+b)S-2ab}{2S-(a+b)}

В некоторой геометрической прогрессии, содержащей 2n положительных членов, произведение первого члена на последний равно 1000. Найти суммудесятичных логарифмов всех членов прогрессии.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 3n

Длины сторон треугольника представляют собой три последовательных члена возрастающей геометрической прогрессии. Сравнить знаменатель этой прогрессии с числом 2.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: >2

Сумма четырех чисел, составляющих геометрическую прогрессию, равна -40, а сумма их квадратов равна 3280. Найти эту прогрессию.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: {2;-6;18;-54, -54;18;-6;2}

Найти произведение n первых членов геометрической прогрессии, если известны их сумма S и сумма \(\alpha\) их обратных величин.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \left (\frac{S}{\alpha}\right)^{n/2}