Задачи

Фильтрация

Показать фильтрацию

По классам:

По предметам:

По подготовке:

По классам:

По авторам:

Даны точки \(O\) (0; 0; 0), \(A\) (4; 0; 0), \(B\) (0; 6; 0), \(C\) (0; 0; -2). Найдите: а) координаты центра и радиус окружности, описанной около треугольника \(AOB\); б) координаты точки, равноудаленной от вершин тетраэдра \(OABC\).

Решение №44576: а) (2; 3; 0), \(\sqrt{13}\); б) (2; 3; -1)

Ответ: NaN

Отрезок \(CD\) длины \(m\) перпендикулярен к плоскости прямоугольного треугольника \(ABC\) с катетами \(AC=b\) и \(BC=a\). Введите подходящую систему координат и с помощью формулы расстояния между двумя точками найдите расстояние от точки \(D\) до середины гипотенузы этого треугольника.

Решение №44577: \(\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+\frac{b^{2}}{4}+m^{2}}\)

Ответ: NaN

Дан куб \(ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\). Найдите угол между векторами: а)\(\overrightarrow{B_{1}B}\) и \(\overrightarrow{B_{1}C}\); б)\(\overrightarrow{DA}\) и \(\overrightarrow{B_{1}D_{1}}\); в)\(\overrightarrow{A_{1}C_{1}}\) и \(\overrightarrow{A_{1}B}\); г)\(\overrightarrow{BC}\) и \(\overrightarrow{AC}\); д)\(\overrightarrow{BB_{1}}\) и \(\overrightarrow{AC}\); е)\(\overrightarrow{B_{1}C}\) и \(\overrightarrow{AD_{1}}\); ж)\(\overrightarrow{A_{1}D_{1}}\) и \(\overrightarrow{BC}\); з)\(\overrightarrow{AA_{1}}\) и \(\overrightarrow{C_{1}C}\).

Решение №44578: а) \(45^{\circ}\); б) \(135^{\circ}\); в) \(60^{\circ}\); г) \(45^{\circ}\); д) \(90^{\circ}\); е) \(90^{\circ}\); ж) \(0^{\circ}\); з) \(180^{\circ}\)

Ответ: NaN

Угол между векторами и равен \(\varphi\). Найдите углы \(\overset{\wedge}{\overrightarrow{BA}\overrightarrow{DC}}\), \(\overset{\wedge}{\overrightarrow{BA}\overrightarrow{CD}}\), \(\overset{\wedge}{\overrightarrow{AB}\overrightarrow{DC}}\)

Решение №44579: \(\overset{\wedge}{\overrightarrow{BA}\overrightarrow{DC}}=\varphi\), \(\overset{\wedge}{\overrightarrow{BA}\overrightarrow{DC}}=\overset{\wedge}{\overrightarrow{AB}\overrightarrow{DC}}=180^{\circ})-\varphi\)

Ответ: NaN

Ребро куба \(ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\) равно \(a\), точка \(O_{1}\) - центр грани \(A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\). Вычислите скалярное произведение векторов: а) \(\overrightarrow{AD}\) и \(\overrightarrow{B_{1}C_{1}}\); б)\(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{C_{1}A_{1}}\); в)\(\overrightarrow{D_{1}B}\) и \(\overrightarrow{AC}\); г)\(\overrightarrow{BA_{1}}\) и \(\overrightarrow{BC_{1}}\); д)\(\overrightarrow{A_{1}O_{1}}\) и \(\overrightarrow{A_{1}C_{1}}\); е)\(\overrightarrow{D_{1}O_{1}}\) и \(\overrightarrow{B_{1}O_{1}}\); ж) \(\overrightarrow{BO_{1}}\) и \(\overrightarrow{C_{1}B}\)

Решение №44580: а) \(a^{2}\); б)\(-2a^{2}\); в) 0; г) \(a^{2}\); д) \(a^{2}\); е) \(-\frac{a^{2}}{2}\); ж) \(-\frac{3}{2}a^{2}\)

Ответ: NaN

Даны векторы \(\vec{a}\left\{1; -1; 2 \right\}\), \(\vec{b}\left\{-1; 1; 1 \right\}\) и \(\vec{c}\left\{5; 6; 2 \right\}\). Вычислите \(\vec{a}\vec{c}\), \(\vec{a}\vec{b}\), \(\vec{b}{c}\), \(\vec{a}\vec{a}\), \(\sqrt{\vec{b}\vec{b}}\).

Решение №44581: \(\vec{a}\vec{c}=3\), \(\vec{a}\vec{b}=0\), \(\vec{b}\vec{c}=3\), \(\vec{a}\vec{a}=6\), \(\sqrt{\vec{b}\vec{b}}=\sqrt{3}\)

Ответ: NaN

Даны векторы \(\vec{a}=3\vec{i}-5\vec{j}+\vec{k}\) \(\vec{b}=\vec{j}-5\vec{k}\). Вычислите: а)\(\vec{a}\vec{b}\); б)\(\vec{a}\vec{i}\); в)\(\vec{b}\vec{j}\); г)\(\left ( \vec{a}+\vec{b} \right )\vec{k}\); д)\(\left ( \vec{a}-2\vec{b} \right )\left ( \vec{k}+\vec{i}-2\vec{j} \right )\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: а) -10; б) 3; в) 1; г) -4; д) 28

Даны векторы \(\vec{a}\left\{3; -1; 1 \right\}\), \(\vec{b}\left\{ -5; 1; 0\right\}\) и \(\vec{c}\left\{-1; -2; 1 \right\}\). Выясните, какой угол (острый, прямой или тупой) между векторами: а) \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\); б)\(\vec{b}\) и \(\vec{c}\); в)\(\vec{a}\) и \(\vec{c}\).

Решение №44583: а) Тупой; б) острый; в) прямой

Ответ: NaN

Дан вектор \(\vec{a}\left\{3; -5; 0 \right\}\). Докажите, что: а)\(\overset{\wedge}{\vec{a}\vec{i}}< 90^{\circ}\); б)\(\overset{\wedge}{\vec{a}\vec{j}} > 90^{\circ}\); в)\(\overset{\wedge}{\vec{a}\vec{k}} = 90^{\circ}\)

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Даны векторы \(\vec{a}\left\{-1; 2; 3 \right\}\) и \(\vec{b}\left\{5; \(x\); -1 \right\}\). При каком значении \(x\) выполняется условие: а)\(\vec{a}\vec{b}\)=3; б)\(\vec{a}\vec{b}\)=-1; в)\(\vec{a}\perp \vec{b}\)?

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: а) 5,5; б) 3,5; в) 4

Даны векторы \(\vec{a}=m\vec{i}+3\vec{j}+4\vec{k}\) и \(\vec{b}=4\vec{i}+m\vec{j}-7\vec{k}\). При каком значении \(\vec{m}\) векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) перпендикулярны?

Решение №44586: \(m\) = 4

Ответ: NaN

Даны точки \(A\) (0; 1; 2), \(B\) (\(\sqrt{2}\); 1; 2), \(C\) (\(\sqrt{2}\); 2; 1) и \(D\) (0; 2; 1). Докажите, что \(ABCD\) - квадрат.

Решение №44587: Указание. Доказать, что \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\), \(\overrightarrow{AB} \overrightarrow{AD}=0\), \(\left|\overrightarrow{AB} \right|=\left| \overrightarrow{AD}\right|\)

Ответ: NaN

Вычислите угол между векторами: а)\(\vec{a}\left\{2;-2; 0 \right\}\) и \(\vec{b}\left\{3; 0; -3 \right\}\); б)\(\vec{a}\left\{\(\sqrt{2}\); \(\sqrt{2}\); 2 \right\}\) и \(\vec{b}\left\{-3; -3; 0 \right\}\); в) \(\vec{a}\left\{0; 5; 0 \right\}\) и \(\vec{b}\left\{0;\(\sqrt{3}\); 1 \right\}\); г)\(\vec{a}\left\{-2,5; 2,5; 0 \right\}\) и \(\vec{b}\left\{-5; 5; 5\(\sqrt{2}\) \right\}\); д)\(\vec{a}\left\{\(-\sqrt{2}\); \(-\sqrt{2}\); \(-\sqrt{2}\) \right\}\) и \(\vec{b}\left\{\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2};-1 \right\}\)

Решение №44588: а) \(60^{\circ}\); б) \(135^{\circ}\); в) \(150^{\circ}\); г) \(45^{\circ}\); д) \(90^{\circ}\)

Ответ: NaN

Вычислите углы между векторами \(\vec{a}\left\{ 2; 1; 2\right\}\) и координатными векторами.

Решение №44589: \(\overset{\wedge}{\vec{a}\vec{i}}\approx 50^{\circ}{46}'\), \(\overset{\wedge}{\vec{a}\vec{j}}\approx 63^{\circ}{26}'\), \(\overset{\wedge}{\vec{a}\vec{k}}\approx 50^{\circ}{46}'\)

Ответ: NaN

Даны точки \(A\) (1; 3; 0), \(B\) (2; 3; -1) и \(C\) (1; 2; -1). Вычислите угол между векторами \(\overrightarrow{CA}\) и \(\overrightarrow{CB}\).

Решение №44590: \(60^{\circ}\)

Ответ: NaN

Найдите углы, периметр и площадь треугольника, вершинами которого являются точки \(A\) (1; -1; 3), \(B\) (3; -1; 1) и \(C\) (-1; 1; 3).

Решение №44591: \(\angle A=120^{\circ}\), \(\angle B=\angle C=30^{\circ}\), \(P=2\sqrt{2}\left ( 2+\sqrt{3} \right )\), \(S=2\sqrt{3}\)

Ответ: NaN

Дан куб \(ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\). Вычислите коминус угла между векторами: а) \(\overrightarrow{AA_{1}}\) и \(\overrightarrow{AC_{1}}\); б)\(\overrightarrow{BD_{1}}\) и \(\overrightarrow{DB_{1}}\); в)\(\overrightarrow{DB}\) и \(\overrightarrow{AC_{1}}\).

Решение №44592: а)\(\frac{\sqrt{3}}{3}\); б)\(-\frac{1}{3}\); в) 0

Ответ: NaN

Дан прямоугольный параллелепипед \(ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\), в котором \(AB\)=1, \(BC=CC_{1}\)=2. Вычислите угол между векторами \(\overrightarrow{DB_{1}}\) и \(\overrightarrow{BC_{1}}\)

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \(90^{\circ}\)

Известно, что \(\overset{\wedge}{\vec{a}\vec{c}}=\overset{\wedge}{\vec{b}\vec{c}}=60^{\circ}\), \(\left|\vec{a} \right|=1\), \(\left|\vec{b} \right|=\left|\vec{c} \right|=2\). Вычислите \(\left ( \vec{a}+\vec{b} \right )\vec{c}\)

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 3

Докажите справедливость равенство \(\left ( \vec{a}+\vec{b}+\vec{c} \right )\vec{d}=\vec{a}\vec{d}+\vec{b}\vec{d}+\vec{c}\vec{d}\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) перпендикулярны к вектору \(\vec{c}\), \(\overset{\wedge}{\vec{a}\vec{b}}=120^{\circ}\), \(\left|\vec{a} \right|=\left|\vec{b} \right|=\left|\vec{c} \right|=1\). Вычислите: а) скалярные произведения \(\left ( \vec{a}+\vec{b}+\vec{c} \right )\left ( 2\vec{b} \right )\) и \(\left ( \vec{a}-\vec{b}+\vec{c} \right )\left ( \vec{a}-\vec{c} \right )\); б)\(\left|\vec{a}-\vec{b} \right|\) и \(\left|\vec{a}+\vec{b}-\vec{c} \right|\).

Решение №44596: а) 1, \(\frac{1}{2}\); б) \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{2}\)

Ответ: NaN

Докажите, что координаты ненулевого вектора в прямоугольной системе координат равны \(\left\{\left| \vec{a}\right|cos \varphi _{1}; \left| \vec{a}\right|cos \varphi _{2}; \left| \vec{a}\right|cos \varphi _{3} \right\}\), где \(\varphi _{1}=\overset{\wedge}{\vec{a}\vec{i}}\),\(\varphi _{2}=\overset{\wedge}{\vec{a}\vec{j}}\), \(\varphi _{3}=\overset{\wedge}{\vec{a}\vec{k}}\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Все ребра тетраэдра \(ABCD\) равны друг другу. Точки \(M\) и \(N\) - середины ребер \(AD\) и \(BC\). Докажите, что \(\overrightarrow{MN}\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{MN}\overrightarrow{BC}=0\).

Решение №44598: Указание. Выразить векторы \(\overrightarrow{MN}\) и \(\overrightarrow{BC}\) через векторы \(\vec{a}=\overrightarrow{DA}\), \(\vec{b}=\overrightarrow{DB}\), \(\vec{c}=\overrightarrow{DC}\)

Ответ: NaN

В параллелепипеде \(ABCD_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\) \(AA_{1}=AB=AD=1\), \(\angle DAB=60^{\circ}\), \(\angle A_{1}AD=\angle A_{1}AB=90^{\circ}\). Вычислите: а)\(\overrightarrow{BA}\) \(\overrightarrow{D_{1}C_{1}}\); б)\(\overrightarrow{BC_{1}}\)\(\overrightarrow{D_{1}B}\); в)\(\overrightarrow{AC_{1}}\)\(\overrightarrow{AC_{1}}\); г)\(\left| \overrightarrow{DB_{1}}\right|\); д)\(\left| \overrightarrow{A_{1}C}\right|\); е)\(cos \left ( \overset{\wedge}{\overrightarrow{DA_{1}}\overrightarrow{D_{1}B}} \right ); ж)\(cos \left ( \overset{\wedge}{\overrightarrow{AC_{1}}\overrightarrow{DB_{1}}} \right )

Решение №44599: а) -1; б) -1,5; в) 4; г) \(\sqrt{2}\); д) 2; е) \(\frac{1}{4}\); ж) \(\frac{\sqrt{2}}{4}\)

Ответ: NaN

В тетраэдре \(ABCD\) противоположные ребра \(AD\) и \(BC\), а также \(BD\) и \(AC\) перпендикулярны. Докажите, что противоположные ребра \(CD\) и \(AB\) также перпендикулярны.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Вычислите угол между прямыми \(AB\) и \(CD\), если: а)\(A\) (3; -2; 4), \(B\) (4; -1; 2), \(C\) (6; -3; 2), \(D\) (7; -3; 1); б) \(A\) (5; -8; -1), \(B\) (6; -8; -2), \(C\) (7; -5; -11), \(D\) (7; -7; -9); в)\(A\) (1; 0; 2), \(B\) (2; 1; 0), \(C\) (0; -2; -4), \(D\) (-2; -4; 0); г)\(A\) (-6; -15; 7), \(B\) (-7; -15; 8), \(C\) (14; -10; 9), \(D\) (14; -10; 7).

Решение №44601: а) \(30^{\circ}\); б) \(60^{\circ}\); в) \(0^{\circ}\); г) \(45^{\circ}\)

Ответ: NaN

Дана правильная треугольная призма \(ABCA_{1}B_{1}C_{1}\), в которой \(AA_{1}=\(\sqrt{2}\)AB\). (рис.Geometr-10,11_21.png). Найдите угол между прямыми \(AC_{1}\) и \(A_{1}B\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

В кубе \(ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\) точка \(M\) лежит на ребре \(AA_{1}\), причем \(AM:MA_{1}=3:1\), а точка \(N\) - середина ребра \(BC\). Вычислите косинус угла между прямыми: а)\(MN\) и \(DD_{1}\); б)\(MN\) и \(BD\); в)\(MN\) и \(B_{1}D\); г)\(MN\) и \(A_{1}C\).

Решение №44603: а) \(\frac{3}{\sqrt{29}}\); б) \(\frac{2}{\sqrt{58}}\); в) \(\frac{1}{\sqrt{87}}\); г) \(\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{29}}\)

Ответ: NaN

В прямоугольном параллелепипеде \(ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\) \(AB=BC=\frac{1}{2}AA_{1}\). Найдите угол между прямыми: а)\(BD\) и \(CD_{1}\); б)\(AC\) и \(AC_{1}\).

Решение №44604: а) \(\approx 71^{\circ}{34}'\); б) \(\approx 59^{\circ}{44}'\)

Ответ: NaN

В прямоугольном параллелепипеде \(ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\), \(AB=1\), \(BC=2\), \(BB_{1}=3\). Вычислите косинус угла между прямыми: а)\(AC\) и \(D_{1}B\); б)\(AB_{1}\) и \(BC_{1}\); в)\(A_{1}D\) и \(AC_{1}\).

Решение №44605: а)\(\frac{3}{\sqrt{70}}\); б)\(\frac{9}{\sqrt{130}}\); в) \( \frac{5}{\sqrt{182}}\)

Ответ: NaN

В кубе \(ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\) диагонали грани \(ABCD\) пересекаются в точке \(N\), а точка \(M\) лежит на ребре \(A_{1}D_{1}\), причем \(A_{1}M:MD_{1}=1:4\). Вычислите синус угла между прямой \(MN\) и плоскостью грани: а)\(ABCD\); б)\(DD_{1}C_{1}C\); в)\(AA_{1}D_{1}D\)

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

В тетраэдре \(ABCD\) \(\angle ABD=\angle ABC=\angle DBC=90^{\circ}\), \(AB=BD=2\), \(BC=1\). Вычислите синус угла между прямой, проходящей через середины ребер \(AD\) и \(BC\), и плоскостью грани: а)\(ABD\); б)\(DBC\); в)\(ABC\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Докажите, что угол между скрещивающимися прямыми, одна из которых содержит диагональ куба, а другая - диагональ грани куба, равен \(90^{\circ}\).

Решение №44608: Указание. Пусть \(ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\) - данный куб. Требуется, например, доказать, что \(AC \perp A_{1}B\). Разложить векторы \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{A_{1}B}\) по векторам \(\vec{a}=\overrightarrow{AB}\), \(\vec{b}=\overrightarrow{AD}\), \(\vec{c}=\overrightarrow{AA_{1}}\) и доказать, что \(\overrightarrow{AC_{1}} \cdot \overrightarrow{A_{1}B}=0\)

Ответ: NaN

Дан куб \(MNPQM_{1}N_{1}P_{1}Q_{1}\). Докажите, что прямая \(PM_{1}\) перпендикулярна к плоскостям \(MN_{1}Q_{1}\) и \(QNP_{1}\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Лучи \(OA\), \(OB\) и \(OC\) образуют три прямых угла \(AOB\), \(AOC\) и \(BOC\). Найдите угол между биссектрисами углов \(COA\) и \(AOB\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \(60^{\circ}\)

В прямоугольном параллелепипеде \(ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\) \(\angle BAC_{1}=\angle DAC_{1}=60^{\circ}\). Найдите \(\varphi =\angle A_{1}AC_{1}\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

В тетраэдре \(DABC\) \(DA\) = 5 см, \(AB\) = 4 см, \(AC\) = 3 см, \(\angle BAC=90^{\circ}\), \(\angle DAB=60^{\circ}\), \(\angle DAC=45^{\circ}\). Найдите расстояние от вершины \(A\) до точки пересечения медиан треугольника \(DBC\).

Решение №44612: \(\frac{1}{3}\sqrt{70+15\sqrt{2}}\)

Ответ: NaN

Угол между диагональю \(AC_{1}\) прямоугольного параллелепипеда \(ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\) и каждым из ребер \(AB\) и \(AD\) равен \(60^{\circ}\). Найдите \(\angle CAC_{1}\)

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \(45^{\circ}\)

Проекция точки \(K\) на плоскость квадрата \(ABCD\) совпадает с центром этого квадрата. Докажите, что угол между прямыми \(AK\) и \(BD\) равен \(90^{\circ}\).

Решение №44614: Указание. Доказать, что \(\overrightarrow{AK}\cdot \overrightarrow{BD}=0\)

Ответ: NaN

Найдите координаты точек, в которые переходят точки \(A\) (0; 1; 2), \(B\) (3; -1; 4), \(C\) (1; 0; -2) при: а) центральной симметрии относительно начала координат; б) осевой симметрии относительно координатных осей; в) зеркальной симметрии относительно координатных плоскостей.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Докажите, что при центральной симметрии: а) прямая, не продящая через центр симметрии, отображается на параллельную ей прямую; б) прямая, проходящая через центр симметрии, отображается на себя.

Решение №44616: Указание. Рассмотреть плоскость, проходящую через центр симметрии и данную прямую, и свести задачу к задаче 1149 из учебника "Геометрия, 7-9"

Ответ: NaN

Докажите, что при центральной симметрии: а) плоскость, не проходящая через центр симметрии, отображается на параллельную ей плоскость; б) плоскость, проходящая через центр симметрии, отображается на себя.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Докажите, что при осевой симметрии: а) прямая, параллельная оси, отображается на прямую, параллельную оси; б) прямая, образующая с осью угол \(\varphi\), отображается на прямую, также образующую с осью угол \(\varphi\).

Решение №44618: Указание. Воспользоваться следующими свойствами движений: при движении прямая отображается на прямую, параллельные прямые - на параллельные прямые, а угол - на равный ему угол.

Ответ: NaN

При зеркальной симметрии прямая \(a\) отображается на прямую \(a_{1}\). Докажите, что прямые \(a\) и \(a_{1}\) лежат в одной плоскости.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

При зеркальной симметрии относительно плоскости \(\alpha\) плоскость \(\beta\) отображается на плоскость \(\beta_{1}\). Докажите, что если: а) \(\beta \parallel \alpha\), то \(\beta_{1} \parallel \alpha\); б)\(\beta \perp \alpha\), то \(\beta_{1}\) совпадает с \(\beta\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN