Задачи

Фильтрация

Показать фильтрацию

По классам:

По предметам:

По подготовке:

По классам:

По авторам:

Точка, лежащая на диагонали квадрата, удалена от двух его сторон на \(180 см\) и \(2,2 м\). Найдите площадь квадрата.

Решение №39812: По определению квадрата \(BA = AD\), тогда по определению равнобедренного треугольника \(\Delta ABD\) -равнобедренный. По свойству равнобедренного треугольника \(\angle ABD = \angle BDA = 45^\circ\). Тогда \(\angle HBE = \angle HEB = \angle KED = \angle EDK = 45^\circ\), тогда \(\Delta ВНЕ\) и \(\Delta EKD\) равнобедренные по признаку и тогда \(ВН = НЕ\) и \(EK = KD\). Следовательно, сторона квадрата \(AD = HE + EK\). \(AD = 1,8 + 2,2 = 4,0 (м)\). Площадь этого квадрата \(S = AD^{2}\); \(S = 4 \cdot 4 = 16 (м^{2}\). Ответ: \(16 (м^{2}\)

Ответ: NaN

Стороны параллелограмма равны \(12 см\) и \(16 см\), а одна из высот — \(15 см\). Найдите площадь параллелограмма.

Решение №39813: Пo теореме о наклонной и перпендикуляре высота должна быть меньше наклонной, то есть высота \(15 см\) проведена к меньшей стороне, тогда площадь \(S = DA \cdot AB = 15 \cdot 12 = 180 (см^{2}) Ответ: \(180 см^{2})

Ответ: NaN

Высоты параллелограмма равны \(12 см\) и \(16 см\), а угол между ними — \(30^\circ\). Найдите площадь параллелограмма.

Решение №39814: По свойству противолежащих углов параллелограмма \(\angle BAE = \angle BCH\). \(\angle BAE + \angle ABC = 180^\circ\) внутренние односторонние при \(ВС \parallel AD\) и секущей \(АВ\). Тогда: \(\angle EBH = \angle ABC - \angle ABE - \angle CBH = 180^\circ -\angle BAE - \angle ABE -\angle CBH\) \(\Delta ABE\) и \(Delta BCH\) прямоугольные, по теореме о сумме углов треугольника: \(\angle ABE = 90^\circ -\angle BAE\); \angle CBH = 90^\circ - \angle BCH - \angle BAE\), тогда \(\angle EBH = 180^\circ - \angle BAE - (90^\circ - \angle BAE) \cdot 2 = \angle BAE\) Тогда \(\angle BAE = 30^\circ\), а против угла в \(30^\circ\) в прямоугольном треугольнике лежит катет, вдвое меньший гипотенузы (см. доказательство в задаче 551 в). Тогда \(AB = CD = 2BE = 2 \cdot 12 = 24 (см)\). Площадь равна: \(S = AB \cdot HB = 24 \cdot 16 = 384 (см^{2})\). Ответ: \(384 см^{2}\).

Ответ: NaN

Найдите ошибку в «доказательстве» геометрического софизма: \(64 см^{2} = 65 см^{2}\).

Решение №39815: Для того чтобы прямоугольник можно было бы сложить, \(Delta ECD\) должен быть подобен \(\Delta EBA\). Проверим это: \(\fraq{CD}{ED} = \fraq{3}{8}\); \(\fraq{BA}{EA} = \fraq{5}{13}\) На самом деле, из разрезанного таким образом квадрата можно сложить фигуру, показанную на рис. (б). Посередине этого прямоугольника дырка площадью \(1 см^{2}\).

Ответ: NaN

Диагональ ромба делит его высоту, проведенную из вершины, на отрезки длиной 13 см и 5 см. Найдите площадь ромба.

Решение №39816: По свойству диагоналей ромба \(BD\) - биссектриса \(\angle ABC\). Тогда по свойству биссектрисы для \(\Delta HBC\): \(\fraq{HB}{BC} = \fraq{OH}{OC} = \fraq{5}{13}\). Пусть \(НВ = 5х\), тогда \(ВС = 13х\). По теореме Пифагора для \(\Delta НВС\): \(НВ^2 + НC^2 = ВC^2\); а т. к. \(НС = НО + ОС\), то: \(5^2x^2 + (5 + 13)^2 = 13^2x^2\); \(18^2 = (169 - 25)х^2\); \(144x^2 = 18^2\); \(12x = 18\); \(x = \fraq{3}{2}\); \(BC = 13x = \fraq{13 \cdot 3}{2} = 19,5\) (см). Площадь \(S = AB \cdot HC\). По определению ромба \(АВ = ВС\). Тогда: \(S = BC \cdot HC\); \(S = 19,5 \cdot 18 = 351 (см^2)\).

Ответ: \(351 (см^2)\).

Найдите площадь ромба, если его высота и меньшая диагональ рав­ны соответственно 12 см и 13 см.

Решение №39817: По теореме Пифагора для \(\Delta ACH\): \(АС^2 = АH^2 + HC^2\); \(АH^2 = АC^2 - HC^2\); \(АH^2 = 13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25\); \(АН = 5\) (см). Пусть \(АВ = х\), тогда \(НВ = х - 5\). По определению ромба \(ВС = АВ = х\). По теореме Пифагора для \(\Delta НВС\): \(HB^2 + HC^2 = BC^2\); \((x - 5)^2 + 12^2 = x^2\); \(x^2 - 10x + 25 + 144 = x^2\); \(10x = 169\); \(x = 16,9\). Тогда \(АВ = 16,9\) (см). Площадь: \(S = AB \cdot HC = 12 \cdot 16,9 = 202,8 (см^2)\).

Ответ: \(202,8 (см^2)\).

В равнобокой трапеции биссектриса тупого угла параллельна боко­вой стороне. Найдите углы трапеции. На какие многоугольники данная биссектриса делит трапецию?

Решение №39818: \(BC \parallel ID\) - по определению трапеции; \(BI \parallel CD\) - по условию, тогда \(BIDC\) - параллелограмм, следовательно, биссектриса \(ВІ\) делит трапецию на треугольник и параллелограмм. \(\angle BAI + \angle ABC = 180^\circ\) - внутренние односторонние при \(BC \parallel AD\) и секущей \(АВ\); \(\angle IBC = \angle ABI\) - по определению биссектрисы; \(\angle IBC = \angle IDC\) - по свойству противолежащих углов параллелограмма; \(\angle BAI = \angle IDC\) - по свойству углов равнобедренной трапеции, тогда: \(\angle BAI = \angle ABI = \angle IBC \Rightarrow 3\angle BAI = 180^\circ\); \(\angle BAI = 60^\circ\); \(\angle ABC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\); \(\angle BCD = \angle ABC = 120^\circ\); \(\angle CDI = \angle BAI = 60^\circ\).

Ответ: \(60^\circ\) и \(120^\circ\). Биссектриса делит трапецию на треугольник и параллелограмм.

В параллелограмме \(АВСD\) диагональ \(BD\) является высотой, \(\angle А = 45^\circ\), \(АD = 4\) см. Найдите площади треугольников \(АВС\) и \(ВСD\).

Решение №39819: \(\angle BAD + \angle ABC = 180^\circ\) - внутренние односторонние при \(ВС \parallel AD\) и секущей \(АВ\), тогда: \(\angle DBC = 180^\circ - \angle ABD - \angle BAD = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ\). \(\angle DBC = \angle BDA\) - внутренние накрест лежащие при \(ВС \parallel AD\) и секущей \(BD\), тогда \(\angle BAD = \angle BDA = 45^\circ\), тогда по признаку \(\Delta ABD\) - равнобедренный и по определению \(AB = BD\). По теореме Пифагора: \(AD^2 = AB^2 + BD^2 = 2AB^2 = 2BD^2\); \(AB = BD = \fraq{AD}{\sqrt{2}}\). Площадь параллелограмма \(S = AB \cdot BD = \fraq{AD^2}{2} = \fraq{16}{2} = 8 (см^2)\). \(\Delta BCD = \Delta BAD\) и \(\Delta АВС = \Delta АСD\) по двум сторонам и углу между ними, тогда \(S_{ABC} = \fraq{1}{2}S = 4 (см^2)\); \(S_{BCD} = \fraq{1}{2}S = 4 (см^2)\).

Ответ: \(4 (см^2)\).

Площадь треугольника \(АBC\) равна \(S\). Чему равна площадь па­раллелограмма \(ABCD\), три вершины которого совпадают с вершинами данного треугольника?

Решение №39820: \(S_{ABCD} = 2S\). (Диагональ \(СА\) делит площадь параллелограмма на два равных треугольника: \(\Delta АВС = \Delta АСD\).)

Ответ: \(S_{ABCD} = 2S\).

По какой формуле целесообразно вычислять площадь прямоуголь­ного треугольника, если известны: а) длины гипотенузы и проведенной к ней высоты; б) длины двух катетов?

Решение №39821: a) \(S = \fraq{1}{2}c \cdot h_{c}\); б) \(S = \fraq{1}{2}a \cdot b\).

Ответ: a) \(S = \fraq{1}{2}c \cdot h_{c}\); б) \(S = \fraq{1}{2}a \cdot b\).

Два равновеликих треугольника имеют равные высоты. Означает ли это, что основания данных треугольников также равны?

Решение №39822: Да. Пусть \(S_{1}\) и \(S_{2}\) - площади треугольников, а \(h_{1}\) и \(h_{2}\) - высоты соответственно, тогда для оснований \(a_{1}\) и \(a_{2}\) , получим: \(S_{1} = \fraq{1}{2}a_{1}h_{1}\) и \(S_{2} = \fraq{1}{2}a_{2}h_{2}\), откуда \(a_{1} = \fraq{2S_{1}}{h_{1}}\) и \(a_{2} = \fraq{2S_{2}}{h_{2}}\). Если \(S_{1} = S_{2}\) и \(h_{1} = h_{2}\), то \(a_{2} = \fraq{2S_{1}}{h_{1}} = a_{1}\).

Ответ: Да.

Две равновеликие трапеции име­ют равные высоты. Означает ли это, что основания данных трапеций так­ же соответственно равны?

Решение №39823: Нет. Площадь трапеции определяется формулой: \(S = \fraq{a + b}{2} \cdot h\). Например, две трапеции с равными высотами и имеющие основания \(а_{1} = 3\) см, \(b_{1} = 4\) см и \(а_{2} = 2\) см, \(b_{2} = 5\) см будут иметь одинаковые площади.

Ответ: Нет.

Может ли диагональ трапеции делить ее на два равновеликих тре­угольника? Ответ обоснуйте.

Решение №39824: Пусть \(а\) - меньшее основание, а \(b\) - большее, тогда площадь одного треугольника равна \(S_{1} = \fraq{1}{2}a \cdot h\), а второго \(S_{2} = \fraq{1}{2}b \cdot h\), где \(h\) - высота трапеции, следовательно, \(S_{1} = S_{2}\), только если \(a = b\), а это противоречит определению трапеции.

Ответ: Пусть \(а\) - меньшее основание, а \(b\) - большее, тогда площадь одного треугольника равна \(S_{1} = \fraq{1}{2}a \cdot h\), а второго \(S_{2} = \fraq{1}{2}b \cdot h\), где \(h\) - высота трапеции, следовательно, \(S_{1} = S_{2}\), только если \(a = b\), а это противоречит определению трапеции.

Начертите остроугольный треугольник и проведите в нем высоту. Выполните необходимые измерения и вычислите: а) площадь данного треугольника; б) площади треугольников, на которые данный треугольник делится высотой.

Решение №39825: a) \(АС = 5\) см; \(ВН = 3\) см; \(S_{ABC} = \fraq{1}{2}AC \cdot BH\); \(S_{ABC} = \fraq{1}{2} \cdot 5 \cdot 3 = 7,5 (см^2)\); б) \(АН = 1,8\) см; \(НС = 3,2\) (см); \(S_{ABH} = \fraq{1}{2}AH \cdot BH = 2,7 (см^2)\); \(S_{BHC} = \fraq{1}{2}HC \cdot BH = 4,8 (см^2)\).

Ответ: a) \(7,5 (см^2)\); б) \(S_{ABH} = 2,7 (см^2)\); \(S_{BHC} = 4,8 (см^2)\).

Начертите трапецию и проведите в ней диагональ. Выполните не­обходимые измерения и вычислите: а) площадь данной трапеции; б) площади треугольников, на которые данная трапеция делится диагональю.

Решение №39826: a) \(BC = 2\) см; \(AD = 5\) см; \(BH = 2,5\) (см); \(S_{ABCD} = \fraq{BC + AD}{2} \cdot BH = \fraq{5 + 2}{2} \cdot 2,5 = 8,75 (см^2)\); б) \(S_{ABD} = \fraq{1}{2}BH \cdot AD = \fraq{2,5 \cdot 5}{2} = 6,25 (см^2)\); \(S_{BCD} = \fraq{1}{2}BH \cdot BC = \fraq{2 \cdot 2,5}{2} = 2,5 (см^2)\).

Ответ: a) \(8,75 (см^2)\); б) \(S_{ABD} = 6,25 (см^2)\); \(S_{BCD} = 2,5 (см^2)\).

По данным рис. 159 найдите площадь треугольника \(ABC\).

Решение №39827: (\(BB_{1}\) - высота, проведенная к \(АС\)) a) \(S = BB_{1} \cdot \fraq{AC}{2} = \fraq{1}{2} \cdot 4 \cdot 10 = 20 (см^2)\); б) \(S = \fraq{AB \cdot BC}{2} = \fraq{8 \cdot 6}{2} = 24 (см^2)\); в) По теореме Пифагора: \(AB^2 = BB_{1}^2 + AB_{1}^2\); \(\Delta АВС\) - равносторонний по признаку. По определению равностороннего треугольника \(АВ = ВС = CA\). По свойству высоты \(AB_{1} = B_{1}C = \fraq{АС}{2}\); тогда: \(BB_{1}^2 = AB^2 - (\fraq{AB}{2})^2 = \fraq{3}{4}AB^2\); \(BB_{1} = \fraq{\sqrt{3}}{2}AB\). Площадь равна: \(S = \fraq{1}{2}BB_{1} \cdot AC = \fraq{1}{2} \cdot \fraq{\sqrt{3}}{2} \cdot 4^2 = 4\sqrt{3} (см^2)\).

Ответ: a) \(20 (см^2)\); б) \(24 (см^2)\); в) \(4\sqrt{3} (см^2)\).

Найдите площадь: а) равнобедренного треугольника с основанием 10 см и боковой сто­роной 13 см; б) треугольника \(АВС\), в котором \(АВ = 17\) см, а высота \(ВН\) делит сторону \(АС\) на отрезки \(АН = 8\) см и \(НС = 2\) см.

Решение №39828: a) Площадь \(S = \fraq{1}{2}a \cdot h_{a}\). По теореме Пифагора: \(b^2 = h_{a}^2 + b_{a}^2\), \(b_{a}\) - проекция \(b\) на \(a\), по свойству высоты равнобедренного треугольника \(b_{a} = \fraq{a}{2}\), тогда \(h_{a} = \sqrt{b^2 - \fraq{a^2}{4}}\); \(h_{a} = \sqrt{13^2 - 25} = \sqrt{144} = 12\) (см). \(S = \fraq{1}{2} \cdot 12 \cdot 10 = 60 (см^2)\). б) По теореме Пифагора: \(АВ^2 = АH^2 + BH^2\); \(ВH^2 = АB^2 - HA^2\); \(BH = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15\) (см). \(S = \fraq{1}{2}BH \cdot AC\); \(AC = AH + HC = 8 + 2 = 10\) (см). \(S = \fraq{1}{2} \cdot 15 \cdot 10 = 75 (см^2)\).

Ответ: a) \(60 (см^2)\); б) \(75 (см^2)\).

Найдите площадь: а) прямоугольного треугольника с гипотенузой 20 см и кате­том 12 см; б) остроугольного треугольника \(АВС\) с высотой \(АН = 4\) см, если \(ВН = 2\) см, \(\angle С = 45^\circ\).

Решение №39829: а) По теореме Пифагора: \(c^2 = a^2 + b^2\); \(b = \sqrt{c^2 - a^2}\); \(b = \sqrt{20^2 - 12^2} = \sqrt{256} = 16\) (см). \(S = \fraq{1}{2}a \cdot b\); \(S = \fraq{1}{2} \cdot 12 \cdot 16 = 96 (см^2)\). б) \(\angle CAH = 90^\circ - \angle АСH = 45^\circ\) - по теореме о сумме углов треугольника. Тогда \(\angle CAH = \angle ACH\) и \(\Delta АСН\) - равнобедренный по признаку, тогда по определению равнобедренного треугольника \(AH = CH\). Тогда \(СН = 4\) см, \(СВ = НВ + CH = 4 + 2 = 6\) (см); \(S = \fraq{1}{2}AH \cdot CB = \fraq{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 = 12 (см^2)\).

Ответ: а) \(96 (см^2)\); б) \(12 (см^2)\).

Площадь треугольника равна \(150 см^2\). Найдите периметр треуголь­ника, если его высоты равны 15 см, 12 см и 20 см.

Решение №39830: Площадь \(S = h_{a} \cdot a \cdot \fraq{1}{2}\); \(a = \fraq{2S}{h_{a}}\); \(a = \fraq{2 \cdot 150}{15} = 20\) (см); \(b = \fraq{2S}{h_{b}}\); \(b = \fraq{2 \cdot 150}{12} = 25\) (см); \(c = \fraq{2S}{h_{c}}\); \(c = \fraq{2 \cdot 150}{20} = 15\) (см). \(P = a + b + c\); \(P = 20 + 25 + 15 = 60\) (см).

Ответ: 60 см.

Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника, если его площадь равна \(20 см^2\), а высота, проведенная из вершины прямого угла, - 4 см.

Решение №39831: \(S = \fraq{1}{2}c \cdot h_{c}\); отсюда \(c = \fraq{2S}{h_{c}}\); \(c = \fraq{2 \cdot 10}{4} = 10\) (см).

Ответ: 10 см.

На рис. 160, а дан единичный квадрат. Найдите площадь заштри­хованной фигуры.

Решение №39832: Площадь квадрата \(S_{ABCD} = АВ^2 = 1\). \(\Delta BB_{1}A = \Delta DD_{1}C\) по стороне и двум углам, прилежащим к ней. \(S_{ABB_{1}} = S_{CDD_{1}} = \fraq{1}{2}AB \cdot a = \fraq{1}{2}a\) - площади \(\Delta ABB_{1}\) и \(\Delta CDD_{1}\). Тогда \(S_{B_{1}CD_{1}A} = S_{ABCD} - 2S_{ABB_{1}} = 1 - a\).

Ответ: \(1 - а\).

На рис. 160, б дан единичный квадрат. Найдите площадь за­штрихованной фигуры.

Решение №39833: \(S_{ABH} = \fraq{1}{2}HH_{1} \cdot AB\), но \(HH_{1} = BC = AB\) по определению квадрата, поэтому: \(S_{ABH} = \fraq{1}{2}AB^2\); \(S_{ABH} = \fraq{1}{2} \cdot 1 = 0,5\).

Ответ: 0,5.

Найдите площадь ромба, диагонали которого равны 8 м и 20 м.

Решение №39834: По свойству диагоналей ромба: \(AC \perp BD\) и \(AO = OC\); \(BO = OD\), тогда: \(\Delta AOD = \Delta OCD = \Delta ОСВ = \Delta ОВА\) - по двум сторонам и углу между ними, тогда: \(S_{ABCD} = 4S_{AOD}\); \(S_{AOD} = \fraq{1}{2}AO \cdot OD = \fraq{1}{2} \cdot \fraq{AC}{2} \cdot \fraq{OD}{2} = \fraq{8 \cdot 20}{8} = 2 (см^2)\); \(S_{ABCD} = 4 \cdot 20 = 80 (см^2)\).

Ответ: \(80 (см^2)\).

Найдите диагонали ромба, если одна из них в два раза больше дру­гой, а площадь ромба равна \(64 см^2\).

Решение №39835: \(S_{ABCD} = 4S_{AOD} = 4 \fraq{1}{2} \cdot \fraq{AC}{2} \cdot \fraq{BD}{2} = \fraq{AC \cdot BD}{2}\) (см. решение задачи № 579). Тогда: \(S_{ABCD} = \fraq{AC \cdot 2AC}{2} = AC^2\)\); отсюда: \(AC = \sqrt{S_{ABCD}}\): \(AC = \sqrt{64} = 8\) (см); \(BD = 2AC = 16\) (см).

Ответ: 8 см и 16 см.

Точка \(D\) - середина высоты \(ВН\) треугольника \(АВС\). Докажите, что площадь треугольника \(АDС\) составляет половину площади треуголь­ника \(АВС\).

Решение №39836: \( \begin{equation*} \begin{cases} \(S_{ABC} = AC \cdot \fraq{BH}{2}\); \(S_{ADC} = AC \cdot \fraq{HD}{2}\), \end{cases} \end{equation*} \) но \(BH = HD + DB = 2HD\); \(S_{ABC} = \fraq{1}{2}AC \cdot HD \cdot 2 = 2S_{ADC}\).

Ответ: NaN

Диагонали параллелограмма \(АВСD\) пересекаются в точке \(О\). Докажите, что треугольники \(АОВ\) и \(АОD\) равновеликие.

Решение №39837: По свойству диагоналей параллелограмма: \(АO = OC\) и \(BO = OD\). Проводим высоты \(ВВ_{1}\) и \(OO_{1}\). \(\Delta BВ_{1}D \sim \Delta OO_{1}D\) по равному острому углу, тогда из подобия \(ВВ_{1} : OO_{1} = BD : OD = 2: 1\): \(ВВ_{1} = OO_{1}\). \(S_{AOD} = \fraq{1}{2}AD \cdot OO_{1}\); \(S_{ABD} = \fraq{1}{2}AD \cdot BB_{1} = AD \cdot OO_{1}\), но \(S_{AOB} = S_{ABD} = S_{AOD}\), тогда \(S_{AOB} = AD \cdot OO_{1} - \fraq{1}{2}AD \cdot OO_{1} = \fraq{1}{2}AD \cdot OO_{1} = S_{AOD}\).

Ответ: NaN

Найдите площадь трапеции, если: а) ее основания равны 4 см и 10 см, а высота 6 см; б) высота трапеции и ее средняя линия равны 8 см.

Решение №39838: а) Площадь трапеции находим по формуле \(S = \fraq{a + b}{2} \cdot h\), \(S = \fraq{4 + 10}{2} \cdot 6 = 42 (см^2)\). б) По свойству средней линии: \(с = \fraq{а + b}{2}\). Площадь трапеции: \(S = \fraq{a + b}{2} \cdot h = hc\); \(S = 8 \cdot 8 = 64 (см^2)\).

Ответ: а) \(42 (см^2)\); б) \(64 (см^2)\).

Основания равнобокой трапеции равны 8 см и 16 см, а острые углы - \(45^\circ\). Найдите площадь трапеции.

Решение №39839: Проводим высоты \(BB_{1}\) и \(CC_{1}\). Так как трапеция равнобедренная, то \(AB_{1} = C_{1}D = \fraq{AD - BC}{2} = \fraq{16 - 8}{2} = 4\) (см). По теореме о сумме углов треугольника: \(\angle ABB_{1} = 90^\circ - \angle BAB_{1} = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ = \angle BAB_{1}\). Тогда по признаку \(\Delta ABB_{1}\) - равнобедренный. По определению равнобедренного треугольника \(АB_{1} = ВB_{1} = 4\) см. Площадь трапеции \(S = \fraq{BC+ AD}{2} \cdot BB_{1}\); \(S = \fraq{8 + 16}{2} \cdot 4 = 48 (см^2)\).

Ответ: \(48 (см^2)\).

Основания прямоугольной трапеции равны 6 см и 10 см, а большая боковая сторона - 5 см. Найдите площадь трапеции.

Решение №39840: Проводим высоту \(СС_{1}\), тогда \(АС_{1} = ВС\) и \(С_{1}D = AD - BC\); \(С_{1}D = 10 - 6 = 4\) (см). По теореме Пифагора для \(\Delta СС_{1}D\): \(CD^2 = CС_{1}^2 + С_{1}D^2\); \(CС_{1} = \sqrt{CD^2 - С_{1}D^2}\); \(CС_{1} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{9} = 3\) (см). Площадь трапеции: \(S = \fraq{AD+ BC}{2} \cdot CС_{1}\); \(S = \fraq{10 + 6}{2} \cdot 3 = 24 (см^2)\).

Ответ: \(24 (см^2)\).

Найдите площадь: а) треугольника \(АВС\) с высотой \(ВН\), если \(АВ = 13\) см, \(ВС = 15\) см, \(ВН = 12\) см, а точка \(Н\) лежит на отрезке \(АС\); б) прямоугольного треугольника, гипотенуза которого делится вы­сотой на отрезки длиной 9 см и 4 см; в) равностороннего треугольника с высотой \(2\sqrt{3}\) см.

Решение №39841: a) По теореме Пифагора: \( \begin{equation*} \begin{cases} \(AB^2 = AH^2 + HB^2\); \(BC^2 = BH^2 + HC^2\); \end{cases} \end{equation*} \) тогда: \( \begin{equation*} \begin{cases} \(AH = \sqrt{AB^2 - HB^2}\); \(HC = \sqrt{BC^2 - BH^2}\); \(AH = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{25} = 5\) (см); \(HC = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{82} = 9\) (см). \end{cases} \end{equation*} \) \(AC = AH + HC\); \(AC = 5 + 9 = 14\) (см). \(S = \fraq{1}{2}AC \cdot BH\); \(S = \fraq{1}{2} \cdot 14 \cdot 12 = 84 (см^2)\). Отвёт: \(84 (см^2)\). б) Из метрических соотношений \(h_{c} = \sqrt{4 \cdot 9} = 6\) (см) - длина высоты, проведенной к гипотенузе. По теореме Пифагора: \( \begin{equation*} \begin{cases} \(a^2 = a_{c}^2 + h_{c}^2\); \(b^2 = b_{c}^2 + h_{c}^2\); \end{cases} \end{equation*} \) \( \begin{equation*} \begin{cases} \(a^2 = 9^2 + 6^2 = 117\); \(b^2 = 4^2 + 6^2 = 52\); \end{cases} \end{equation*} \) \(a =3\sqrt{13}\) (см); \(b = 2\sqrt{13}\) (см); \(S = \fraq{1}{2}ab\); \(S = \fraq{1}{2} \cdot 3\sqrt{13} \cdot 2\sqrt{13} = 39 (см^2)\). Ответ: площадь прямоугольного тре-угольника равна 39 (см^2)\). в) По свойству высоты равностороннего треугольника она также является медианой, тогда, если \(a\) - сторона треугольника, по теореме Пифагора: \(a^2 = h^2 + (\fraq{a}{2})^2\); \(h^2 = \fraq{3}{4}a^2\); \(a = \fraq{2}{\sqrt{3}}h\); \(a = \fraq{2 \cdot 2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 4\) (см). Площадь \(S = \fraq{1}{2}ah\); \(S = \fraq{1}{2} \cdot 4 \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3} (см^2)\). Ответ: 4\sqrt{3} (см^2)\).

Ответ: a) \(84 (см^2)\); б) \(39 (см^2)\); в) \(4\sqrt{3} (см^2)\).

Найдите площадь: а) равнобедренного треугольника с периметром 16 см и высо­той 4 см, проведенной к основанию; б) прямоугольного треугольника с гипотенузой 20 см и отношением катетов \(3 : 4\).

Решение №39842: a) \(P = AB + BC + AD\); \(AB = BC\) по определению равнобедренного треугольника, тогда \(P = 2AB + AC\); \(AC = P - 2AB\). По свойству высоты равнобедренного треугольника \(BH\) - медиана. По определецию медианы \(АН = НС = \fraq{AC}{2}\). По теореме Пифагора: \(АВ^2 = BH^2 + АH^2\); \(АВ^2 = BH^2 + (\fraq{AC}{2})^2 = BH^2 + ((\fraq{P - 2AB}{2})^2)\); \(АВ^2 = BH^2 + \fraq{P^2}{4} - P \cdot AB + АВ^2\); \(P \cdot AB = BH^2 + \fraq{P^2}{4}\); \(AB = \fraq{BH^2}{P} + \fraq{P}{4}\); \(AB = \fraq{4^2}{16} + \fraq{16}{4} = 1 + 4 = 5\) (см); \(AC = P - 2AB = 16 - 2 \cdot 5 = 6\) (см); \(S = \fraq{1}{2}AC \cdot BH = \fraq{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12 (см^2)\). б) Пусть катет \(а = 3х\), тогда \(b = 4х\). По теореме Пифагора: \(а^2 + b^2 = c^2\), тогда \(9x^2 + 16x^2 = 20^2\); \(25x^2 = 400\); \(x^2 = 16\); \(x = 4\); \(а = 3 \cdot 4 = 12\) (см); \(b = 4 \cdot 4 = 16\) (см). Площадь \(S = \fraq{1}{2} \cdot 12 \cdot 16 = 96 (см^2)\).

Ответ: a) \(12 (см^2)\); б) \(96 (см^2)\).

Биссектриса прямоугольного треугольника делит гипотенузу на от­резки длиной 15 см и 20 см. Найдите площадь треугольника.

Решение №39843: По свойству биссектрисы: \(\fraq{BD}{DC} = \fraq{BA}{AC} = \fraq{15}{20} = \fraq{3}{4}\). По теореме Пифагора: \(ВА^2 + АС^2 = BC^2\). Пусть \(ВА = 3х\), тогда \(АС = 4х\); \(BC = BD + DC = 15 + 20 = 35\) (см), тогда \(9x^2 + 16x^2 = 35^2\); \(25x^2 = 1225\); \(x^2 = 49\); \(x = 7\). \(ВА = 3 \cdot 7 = 21\) (см); \(АС = 4 \cdot 7 = 28\) (см). \(S = \fraq{1}{2}BA \cdot AC\); \(S = \fraq{1}{2} \cdot 21 \cdot 28 = 294 (см^2)\).

Ответ: \(294 (см^2)\).

На рис. 161 площадь закрашенного треугольника равна \(S\). По дан­ным рисунка выразите через \(S\) площадь заштрихованной фигуры.

Решение №39844: \(S_{ABD} = \fraq{1}{2}AD \cdot BD\); \(BD = 2DE\); тогда \(S_{ABD} = \fraq{1}{2}AD \cdot 2DE = 2S_{ADE}\), следовательно, \(S_{ABD} = 2S\). Рассмотрим \(\Delta АDВ и \Delta CDB\): \(DB\) - общая сторона; \(AD = DC\) - по условию; \(\angle BDC = \angle BDA\), следовательно, \(\Delta ABD = \Delta CBD\) по двум сторонам и углу между ними, тогда: \(S_{DBC} = S_{ABD} = 2S\).

Ответ: \(S_{ABD} = 2S\).

На рис. 162 площадь закрашенного треугольника равна \(S\). По дан­ным рисунка выразите через \(S\) площадь заштрихованной фигуры.

Решение №39845: \(DE\) по определению средняя линия \(\Delta АВС\), тогда по ее свойству \(DE \parallel AC\), следовательно, \(DD_{1} = EE_{1}\). \(S_{AEC} = \fraq{1}{2}EE_{1} \cdot AC = \fraq{1}{2}DD_{1} \cdot AC = S_{ADC}\); \(S_{ADF} = S_{ADC} - S_{AFC} = S_{AEC} - S_{AFC} = S_{EFC}\), тогда \(S_{EFC} = S\).

Ответ: \(S_{EFC} = S\).

Площадь ромба равна \(24 см^2\), а одна из его диагоналей - 8 см. Найдите периметр ромба.

Решение №39846: \(S = \fraq{AC \cdot BD}{2}\). Находим вторую диагональ: \(AC = \fraq{2S}{BD}\); \(AC = \fraq{2 \cdot 24}{8} = 6\) (см). По свойству диагоналей ромба: \(AO = \fraq{AC}{2} = \fraq{6}{2} = 3\) (см); \(BO = \fraq{BD}{2} = \fraq{8}{2} = 4\) (см). По теореме Пифагора: \(AB = \sqrt{AO^2 + OB^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\) (см). По определению ромба \(АВ = BC = CD = DA\); \(P = 4AB = 20\) (см).

Ответ: 20 см.

Найдите площадь ромба с периметром 24 см и тупым углом \(150^\circ\).

Решение №39847: По определению ромба: \(AB = BC = CD = DA\), тогда: \(P = 4BA\); \(AB = \fraq{P}{4}\); \(AB = \fraq{24}{2} = 6\) (см). \(\angle BAD + \angle ABC = 180^\circ\) - внутренние односторонние при \(AD \parallel ВС\) и секущей \(АВ\), когда \(\angle ABC = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ\). Против угла в \(30^\circ\) лежи катет, вдвое меньший гипотенузы (доказательство в решении задачи № 551в). Тогда \(АН = \fraq{AB}{2} = \fraq{6}{2} = 3\) (см). \(S = AB \cdot AH = 3 \cdot 6 = 18 (см^2)\).

Ответ: \(18 (см^2)\).

Докажите, что медианы треугольника, пересекаясь, делят данный треугольник на шесть равновеликих треугольников.

Решение №39848: Проведем из вершины \(В\) на сторону \(AC\) \(высоту \(BH_{1}\). Тогда: \(S_{ABB_{1}} = \fraq{1}{2}BH_{1} \cdot AB_{1}\) и \(S_{CBB_{1}} = \fraq{1}{2}BH_{1} \cdot B_{1}C\), но по определению медианы \(АВ_{1} = B_{1}C\), тогда \(S_{ABB_{1}} = S_{CBB_{1}}\). В треугольнике \(АОС\) проводим из вершины \(О\) высоту \(ОН_{2}\), тогда: \(S_{AOB_{1}} = \fraq{1}{2}AB_{1} \cdot OH_{2}\) и \(S_{COB_{1}} = \fraq{1}{2}CB_{1} \cdot OH_{2}\), но \(AB_{1} = CB_{1}\), тогда: \(S_{AOB_{1}} = S_{B_{1}OC}\). По свойству медиан треугольника \(ВО : ОВ_{1} = 2 : 1\), то (используя подобие по острому углу \(\Delta BH_{1}B_{1}\) и \(\Delta ОН_{2}В_{1}\)): \(BH_{1} = 3OH_{2}\), следовательно, \(S_{B_{1}BC} = S_{ABB_{1}} = 3S_{B_{1}OC} = S_{AOB_{1}}\). Тогда \(S_{OBC} = S_{OBA} = 2S_{B_{1}OC} = 2S_{B_{1}OA}\). Проведем высоту \(OH_{3}\), тогда \(S_{BOA_{1}} = \fraq{1}{2}OH_{3} \cdot BA_{1} = \fraq{1}{2}OH_{3} \cdot A_{1}C = S_{OA_{1}C}\). Аналогично получаем \(S_{AOC_{1}} = S_{OC_{1}B}\) и, следовательно: \(S_{AOB_{1}} = S_{B_{1}OC} = S_{COA_{1}} = S_{A_{1}OB} = S_{BOC_{1}} = S_{C_{1}OA}\), что и требовалось доказать.

Ответ: NaN

Через вершину \(А\) треугольника \(АВС\) проведена прямая, парал­лельная стороне \(ВС\). Докажите, что все треугольники с основанием \(ВС\) и вершиной на данной прямой равновеликие.

Решение №39849: \(S_{ABC} = \fraq{1}{2}BC \cdot AH\), где \(АН\) - высота треугольника \(ABC\), то есть расстояние между параллельными прямыми \(MA\) и \(ВС\). Тогда высота треугольника \(МВС\) тоже равна \(АН\) (при \(МА \parallel ВС\)), тогда его площадь: \(S_{MBC} = \fraq{1}{2}AH \cdot BC\), но тогда \(S_{ABC} = S_{MBC}\). Так как точку \(M\) мы выбрали произвольно, можно утверждать что все треугольники с основанием \(ВС\) и вершиной на прямой \(МА\) равновелики \(\Delta АВС\), что и требовалось доказать.

Ответ: NaN

Докажите, что диагонали делят параллелограмм на четыре равно­великих треугольника.

Решение №39850: По свойству диагоналей параллелограмма: \(АР = РС\) и \(BP = PD\). Проводим высоты \(ВВ_{1}\) в \(\Delta ABD\) и \(PP_{1}\) в \(\Delta APD\), тогда: \(ВВ_{1} \parallel PP_{1}\), \(\angle PDP_{1}\) - общий, \(\angle BB_{1}D = \angle PP_{1}D\) и \(\angle B_{1}BD = \angle P_{1}PD\) (соответствующие при \(BB_{1} \parallel PP_{1}\) и секущих \(AD\) и \(BD\)), тогда \(\Delta BDB_{1} \sim \Delta PDP_{1}\) по трем углам, но по свойству диагоналей параллелограмма \(BP = PD = \fraq{BD}{2}\), тогда \(BB_{1} = 2PP_{1}\) (из подобия). Тогда: \(S_{ABD} = \fraq{1}{2}BB_{1} \cdot AD = \fraq{1}{2} \cdot 2PP_{1} \cdot AD = 2S_{APD}\), тогда, т.к. \(S_{ABP} + S_{APD} = S_{ABD}\); \(S_{ABP} = S_{APD}\). \(\angle APB = \angle DPC\) - вертикальные, \(AB = РС\) и \(BP = PD\), тогда \(\Delta АВР = \Delta DCP\) по двум сторонам и углу между ними; \(\angle BPC = \angle APD\) (вертикальные), тогда \(\Delta BPC = \Delta АРD\) по двум сторонам и углу между ними, следовательно, \(S_{ABD} = S_{BPC} = S_{CPD} = S_{APD}\).

Ответ: NaN

Найдите площадь: а) равнобокой трапеции с основаниями 15 см и 39 см, в которой диа­гональ перпендикулярна боковой стороне; б) прямоугольной трапеции с боковыми сторонами 12 см и 13 см, диагональ которой является биссектрисой острого угла.

Решение №39851: а) Для равнобедренной трапеции: \(AH = \fraq{AD - BC}{2}\); \(АН = \fraq{39 - 15}{2} = 12\) (см); \(HD = AD - АН = 27\) (см). По теореме Пифагора для \(\Delta АВН\), \(\Delta ABD\), \(\Delta BHD\): \( \begin{equation*} \begin{cases} \(AB^2 = AH^2 + HB^2\); \(AD^2 = AB^2 + BD^2\); \(BD^2 = BH^2 + HD^2\); \end{cases} \end{equation*} \) \( \begin{equation*} \begin{cases} \(AB^2 = AH^2 + HB^2\); \(AD^2 = AB^2 + BH^2 + HD^2\); \end{cases} \end{equation*} \) \(AD^2 = AH^2 + 2HB^2 + HD^2\); отсюда: \(BH^2 = \fraq{1}{2}(AD^2 - AH^2 - HD^2)\); \(BH^2 = \fraq{1}{2}(39^2 - 12^2 - 27^2)\); \(BH^2 = 324\); \(BH = 18\) (см). Тогда площадь: \(S = \fraq{BC + AD}{2} \cdot BH\); \(S = \fraq{15 + 39}{2} \cdot 18 = 486 (см^2)\). Ответ: \(486 (см^2)\). б) По теореме Пифагора для \(\Delta CHD (CH = AB)\): \(CH^2 + HD^2 = CD^2\); \(HD^2 = CD^2 - CH^2\); \(HD^2 = 13^2 - 12^2 = 25\); \(HD = 5\) (см). \(\angle CDB = \angle BDA\) по определению биссектрисы; \(\angle BDA = \angle DBC\) как внутренние накрест лежащие при \(ВС \parallel AD\) (по определению трапеции) и секущей \(BD\). Тогда \(\angle CBD = \angle CDB\) и \(\Delta BCD\) - равно бедренный по признаку. По определению равнобедренного треугольника \(BC = CD\), тогда \(ВС = 13\) см и, следовательно, \(АН = ВС = 13\) см, тогда \(AD = AH + HD = 13 + 5 = 18\) (см). Площадь \(S = \fraq{BC + AD}{2} \cdot CH = \fraq{13+18}{2} \cdot 12 = 62 (см^2)\). Ответ: 62 (см^2)\).

Ответ: а) \(486 (см^2)\); б) \(62 (см^2)\).

Найдите площадь равнобокой трапеции с основаниями 14 см и 50 см и диагональю 40 см.

Решение №39852: По теореме Пифагора: \(BD^2 = BH^2 + HD^2\); \(BH^2 = BD^2 - HD^2\). Так как трапеция равнобедренная, \(АН = \fraq{AD - ВC}{2} = 18\) (см), тогда \(HD = AD - АН\); \(HD = 50 - 18 = 32\) (см). \(BH^2 = 40^2 - 32^2 = 576\); \(BH = 24\) (см). Площадь равна: \(S = \fraq{BC + AD}{2} \cdot BH = \fraq{14 + 50}{2} \cdot 24 = 768 (см^2)\).

Ответ: \(768 (см^2)\).

Постройте треугольник, равновеликий данной трапеции.

Решение №39853: Пусть \(AD = b\) и \(ВС = а\), \(BH = h\). Тогда \(S_{ABCD} = \fraq{BC + AD}{2}\). \(BH = \fraq{a + b}{2} \cdot h\). Продлим сторону \(AD\) так, что \(DE = а\), то есть \(AE = а + b\). \(S_{ABE} = \fraq{AE}{2} \cdot BH = \fraq{a + b}{2} \cdot h\), следовательно, \(S_{ABE} = S_{ABCD}\).

Ответ: NaN

Постройте параллелограмм, равновеликий данному треугольнику.

Решение №39854: Пусть дан \(\Delta АВС\). Отмечаем точку \(D\) так, что \(AD = DC\). От вершины \(В\) параллельно стороне \(AD\) откладываем отрезок \(BE = AD\), и соединяем точки \(Е\) и \(D\). Площадь треугольника \(S_{ABC} = \fraq{1}{2}AC \cdot BH\). Площадь параллелограмма \(S_{АВЕD} = ВН \cdot AD = \fraq{1}{2}BH \cdot AC\), следовательно, \(S_{ABC} = S_{ABED}\).

Ответ: NaN

Площадь выпуклого четырехугольника с перпендикулярными диа­гоналями равна половине произведения диагоналей. Докажите.

Решение №39855: Площади треугольников, на которые диагонали разбивают четырехугольник, равны: \( \begin{equation*} \begin{cases} \(S_{AOB} = \fraq{1}{2}AO \cdot OB\); \(S_{AOD} = \fraq{1}{2}AO \cdot OD\); \(S_{BOC} = \fraq{1}{2}BO \cdot OC\); \(S_{COD} = \fraq{1}{2}CO \cdot OD\); \end{cases} \end{equation*} \) \( \begin{equation*} \begin{cases} \(S_{DAB} = S_{ADO} + S_{AOB} = \fraq{1}{2}AO \cdot OD + \fraq{1}{2}AO \cdot OB = \fraq{1}{2}AO \cdot BD\); \(S_{BCD} = S_{BOC} + S_{COD} = \fraq{1}{2}BO \cdot OC + \fraq{1}{2}DO \cdot OC = \fraq{1}{2}OC \cdot BD\); \end{cases} \end{equation*} \) \(S_{ABCD} = S_{DAB} + S_{BCD} = \fraq{1}{2}AO \cdot BD + \fraq{1}{2}OC \cdot BD = \fraq{1}{2}BD(AO + OC) = \fraq{1}{2}BD \cdot AC\).

Ответ: NaN

Через вершину \(А\) параллелограмма \(ABCD\) проведите две прямые, которые делят параллелограмм на три равновеликие части.

Решение №39856: Проводим высоты \(АН_{1}\) и \(АН_{2}\) Площадь параллелограмма равна: \(S = AH{1} \cdot DC = AH_{2} \cdot CB\). Делим стороны \(DC\) и \(СВ\) на отрезки так, что выполняются условия: \(DA_{1} : A_{1}C = 2 : 1\) и \(BA_{1} : A_{2}C = 2 : 1\), тогда: \(DA_{1} = \fraq{2}{3} DC\) и \(BA_{2} = \fraq{2}{3}BC\). Площади \(\Delta DAA_{1}\) и \(\Delta BAA_{2}\): \(S_{DAA_{1}} = \fraq{1}{2} AH_{1} \cdot DA_{1} = \fraq{1}{2}AH_{1} \cdot \fraq{2}{3}DC = \fraq{1}{3} AH_{1} \cdot DC = \fraq{1}{3}S\) \(S_{BAA_{1}} = \fraq{1}{2}AH_{2} \cdot BA_{1} = \fraq{1}{2}HH_{2} \cdot \fraq{2}{3}BC = \fraq{1}{3} AH_{2} \cdot BC = \fraq{1}{3}S\) Площадь треугольника \(\Delta A_{1}AA_{2}\): \(S_{A_{1}AA_{2}} = S - S_{DAA_{1}} - S_{BAA_{1}} = S - \fraq{1}{3}S - \fraq{1}{3}S = \fraq{1}{3}S\). Следовательно, отрезки \(АА_{1}\) и \(АА_{2}\) делят параллелограмм \(ABCD\) на три равновеликие части.

Ответ: NaN