Решение №39632: Анализ: Для того чтобы треугольники были подобны, необходимо, чтобы прямая была параллельна стороне треугольника. Построение: через точку на стороне проведем прямую, параллельную одной из двух других сторон (два способа).

Ответ: NaN

Решение №39633: Рассмотрим \(\Delta ВОС\) и \(\Delta DОА\): \(\angle BOC = \angle AOD\) как вертикальные; \(\angle BCO = \angle DAO\) как внутренние накрест лежащие при \(BC \parallel AD\) и секущей \(AС \Rightarrow \Delta ВОС \sim \Delta DOA\) по двум углам. Из подобия следует: \(\fraq{BC}{AD} = \fraq{OC}{AO} = \fraq{BO}{OD} = \fraq{a}{2} \Rightarrow BO = \fraq{a \cdot OD}{b}\); \(CO = \fraq{AO \cdot a}{b}\), тогда \(BD = BO + OD = \fraq{(a + b) \cdot OD}{b}\), \(AC = AO + OC = \fraq{(a + b) \cdot AO}{b}\). Рассмотрим \(\Delta DOF\) и \(\Delta DBC\): \(\angle D\) - общий; \(\angle DOF = \angle DBC\) - как соответственные при \(BC \parallel EF\) и секущей \(BD \Rightarrow \Delta DOF \sim \Delta DBC\) по двум углам. Из подобия треугельников следует: \(\fraq{DO}{BD} = \fraq{OF}{BC} \Rightarrow OF = \fraq{DO \cdot BC}{BD} = \fraq{DO \cdot a \cdot b}{(a + b) \cdot DO} = \fraq{ab}{a + b}\). Аналогично доказывается, что \(\Delta АОЕ \sim \Delta АСВ \Rightarrow \fraq{AO}{AC} = \fraq{OE}{BC} \Rightarrow OE = \fraq{AO \cdot BC}{AC} = \fraq{AO \cdot a \cdot b}{(a + b) \cdot AO} = \fraq{ab}{a + b}\), \(FE = 2OE = \fraq{2ab}{a + b}\).

Ответ: \(\fraq{2ab}{a + b}\).

Решение №39634: Рассмотрим \(\Delta ЕВK\) и \(\Delta ABD\): \(\angle EBK = \angle ABD\) (т. к. \(\angle B\) - общий); \(\angle BEK = \angle BAD\) как соответственные при \(EF \parallel AD\) и секущей \(АВ \Rightarrow \Delta ЕВK \sim \Delta ABD\) по двум углам. Из подобия треугольников следует \(\fraq{BE}{EA} = \fraq{m}{n} \Rightarrow \fraq{BE}{AB} = \fraq{m}{m + n}\). \(\fraq{m}{m + n} = \fraq{EK}{b} \Rightarrow EK = \fraq{mb}{m + n}\). Параллельные прямые \(EF\) и \(AD\) отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки (из теоремы о пропорциональных отрезках) \(\Rightarrow \fraq{BE}{AE} = \fraq{CF}{FD} = \fraq{m}{n} \Rightarrow \fraq{CF}{CD} = \fraq{n}{m + n}\). \(\Delta DKF \sim \Delta BDC\) (доказывается аналогично подобию \(\Delta ABD \sim \Delta EBK\)). Из подобия следует: \(\fraq{FD}{DC} = \fraq{KF}{BC}\); \(\fraq{n}{m + n} = \fraq{KF}{a} \Rightarrow KF = \fraq{an}{m + n}\). \(EF = KF + KE = \fraq{an}{m + n} + \fraq{bm}{m + n} = \fraq{an + bm}{m + n}\).

Ответ: \(\fraq{an + bm}{m + n}\).

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Решение №39641: а) Треугольники не подобны, если общий угол - прямой. Например, в \(\Delta АВС\) и \(\Delta ADC\) угол \(\angle A\) - общий, но треугольники не подобны. б) Если общий острый угол, то прямоугольные треугольники подобны по одному равному острому углу. в) Острые углы первого треугольника равны \(20^\circ\) и \(90^\circ - 20^\circ = 70^\circ\). Острые углы второго треугольника \(70^\circ\) и \(90^\circ - 70^\circ = 20^\circ\), следовательно, треугольники подобны по одному равному острому углу. г) В первом треугольнике углы равны \(90^\circ\), \(50^\circ\) и \(90^\circ - 50^\circ = 40^\circ\). Если в прямоугольном треугольнике катет вдвое меньше гипотенузы, то его углы равны \(30^\circ\), \(60^\circ\), \(90^\circ\). Следовательно, треугольники не подобны.

Ответ: а) Не подобны; б) Если общий острый угол, то прямоугольные треугольники подобны по одному равному острому углу. в) Подобны по одному равному острому углу. г) Не подобны.

Решение №39642: \(CD\) - высота \(\Delta АВС\), проведенная из вершины \(С\), по определению высоты \(CD \perp AB\), тогда \(DB\) и \(AD\) - проекции катетов \(ВС\) и \(АС\) соответственно на гипотенузу \(AB\). Прямоугольные треугольники \(\Delta ABC\), \(\Delta ACD\), \(\Delta CBD\) подобны, тогда \(AD : CD = CD : DB\). Следовательно, \(CD^2 = AD \cdot DB\). Если \(CD < AD\) и \(CD < DB\), то \(CD^2 < AD \cdot DB\), что противоречит равенству \(CD^2 = AD \cdot DB\). Следовательно, такая ситуация невозможна. Если \(CD = AD\) и \(CD = DB\), то условие \(CD^2 = AD \cdot DB\) выполнится, и такая ситуация возможна.

Ответ: NaN

Решение №39643: \(\Delta АВС \sim \Delta ACD \sim \Delta CBD\), тогда: \(а : b = a_{c} : h = h : b_{c}\), отсюда получаем \(h^2 = a_{c} \cdot b_{c}\), тогда \(\fraq{a}{b} = \fraq{a_{c}}{\sqrt{a_{c}b_{c}}} = \sqrt{\fraq{a_{c}}{b_{c}}} \cdot \fraq{a_{c}}{b_{c}} = \fraq{a^2}{b^2}. а) если \(a_{c} < b_{c}\), то \(а < b\). б) если \(а > b\), то \(a_{c} > b_{c}\).

Ответ: NaN

Решение №39644: 1) Допустим, прямоугольные треугольники с общей гипотенузой могут быть подобны и не равны между собой. Если треугольники подобны, то они имеют одинаковые острые углы: \(\alpha = \beta\), \(AC\) - общая гипотенуза (см. рис.). Проведем два луча, выходящих из точки \(А\) под углами \(\alpha\) и \(\beta\) к гипотенузе \(AC\), а потом найдем проекцио \(АС\) на эти лучи. Так как равные наклонные имеют равные проекции, то \(AE = AD\), тогда \(\Delta ЕАС = \Delta DAC\) по двум сторонам и углу между ними, получили противоречие, следовательно, неравные прямоугольные треугольники с общей гипотенузой не могут быть подобны. 2) Неравные прямоугольные треугольники с общим катетом могут быть подобны. Например, возможна такая ситуация: \(BD\) - общий катет, \(\angle ABD = \angle CBD = 90^\circ\) и пусть \(\angle ADB = \angle DCB\). Тогда \(\Delta ADB \sim \Delta DCB\) по равному острому углу, но эти треугольники не равны.

Ответ: NaN

Решение №39645: \(\Delta АВС \sim \Delta CBD \sim \Delta ACD\), тогда из подобия: 1) \(\fraq{a}{a_{c}} = \fraq{c}{a}\), следовательно, \(a_{c} = \fraq{a^2}{c}\). 2) \(\fraq{a_{c}}{h_{c}} = \fraq{a}{b}\), следовательно, \(h_{c} = \fraq{a_{c} \cdot b}{a}\), подставляем выражение для \(a_{c}\), и получаем: \(h_{c} = \fraq{a^2 \cdot b}{a \cdot c} = \fraq{ab}{c}\). Тогда \(x = h_{c}\) и первый ученик прав.

Ответ: Первый ученик прав.

Решение №39646: \(a_{c} = 1,4\) см; \(b_{c} = 4,9\) см. a) \(h_{c} = \sqrt{a_{c} \cdot b_{c}} = \sqrt{1,4 \cdot 4,9} = 2,6\) см. б) \(a = \sqrt{(a_{c} \cdot b_{c}) \cdot a_{c}} = \sqrt{6,3 \cdot 1,4} = 3,0\) см, \(b = \sqrt{b_{c} \cdot (a_{c} \cdot b_{c})} = \sqrt{6,3 \cdot 4,9} = 5,6\) см. Примечание: Для расчетов мы выбрали треугольник, катеты которого равны 3,0 см и 5,6 см.

Ответ: a) \(2,6\) см. б) \(a = 3,0\) см, \(b = 5,6\) см. Примечание: Для расчетов мы выбрали треугольник, катеты которого равны 3,0 см и 5,6 см.

Решение №39647: \(\Delta ABC \sim \Delta ANK \sim \Delta NMK \sim \Delta AMN\).

Ответ: \(\Delta ABC \sim \Delta ANK \sim \Delta NMK \sim \Delta AMN\).

Решение №39648: a) \(\angle ABC = \angle MBK\) - общий, тогда треугольники \(\Delta АВС\) и \(\Delta MBK\) подобны по равному острому углу. \(\Delta АВС \sim \Delta MBK\). б) \(ABCD\) - параллелограмм, тогда \(\angle DAB = \angle BCD\) по свойству противолежащих углов параллелограмма. Тогда прямоугольные треугольники \(\Delta ABK\) и \(\Delta СВМ\) подобны по равному острому углу: \(\Delta АВК \sim \Delta CBM\).

Ответ: NaN

Решение №39649: a) \(\angle ABC = \angle KBM\) - совпадающие. Прямоугольные треугольники \(\Delta АВС\) и \(\Delta КВМ\) подобны по равному острому углу: \(\Delta АВС \cdot \Delta KВМ\). б) \(ABCD\) - прямоугольник. По определению прямоугольника \(\angle DAB = \angle ABC = \angle BCD = \angle CDA = 90^\circ\). Рассмотрим \(\Delta AFD\) и \(\Delta BFO\). \(\angle AFD = \angle BFO\) - совпадающий, тогда прямоугольные треугольники \(\Delta AFD\) и \(\Delta BFO\) подобны по острому углу. \(\Delta AFD \sim \Delta BFO\). Рассмотрим треугольники \(\Delta BFO\) и \(\Delta CDO\). \(\angle FOB = \angle DOC\) вертикальные углы. Тогда прямоугольные треугольники \(\Delta BFO\) и \(\Delta СDО\) подобны по равному острому углу. \(\Delta BFO \sim \Delta CDO\). Получили три подобных треугольника: \(\Delta AFD \sim \Delta BFO \sim \Delta CDO\).

Ответ: NaN

Решение №39650: Если два катета одного прямоугольного треугольника пропорциональны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то эти два треугольника подобны. Для доказательства используем то, что угол между катетами равен \(90^\circ\). Тогда эти два треугольника подобны по двум сторонам и углу между ними, что и требовалось доказать.

Ответ: Если два катета одного прямоугольного треугольника пропорциональны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то эти два треугольника подобны.

Решение №39651: Рассмотрим треугольники \(\Delta АВС\) и \(\Delta ADE\). \(\angle BAC = \angle DAE\) - совпадающие, тогда \(\Delta АВС \sim \Delta ADE\) по равному острому углу. Из подобия: \(BC : AC = DE : AE\). Откуда \(DE = \fraq{BC \cdot AE}{AC}\). \(DE = \fraq{4 \cdot 90}{6} = 60\) (м).

Ответ: Высота башни равна 60 м.

Решение №39652: Рассмотрим треугольники \(\Delta BEA\) и \(\Delta DEC\). \(\angle BEA = \angle DEC\) - совпадающий. Тогда прямоугольные треугольники подобны по острому углу: \(\Delta ВЕА \sim \Delta DEC\). Из подобия: \(ВА : AE = DC : CE\), тогда \(AE = \fraq{BA \cdot CE}{DC}\). \(AE = \fraq{9,2 \cdot 2,7}{1,8} = 13,8\) (м).

Ответ: Длина тени дерева равна 13,8 м.

Решение №39653: а) Рассмотрим \(\Delta АВС\) и \(\Delta CBD\). \(\angle ABC = \angle CBD\) - общий угол. Тогда эти прямоугольные треугольники подобны по равному острому углу: \(\Delta АВС \sim \Delta CBD\). Рассмотрим \(\Delta АВС\) и \(\Delta ACD\). \(\angle CAD = \angle BAC\) - общий угол. Тота эти прямоугольные треугольники подобны по равному острому углу: \(\Delta АВС \sim \Delta ACD\). Тогда: \(\Delta АВС \sim \Delta ACD \sim \Delta CBD\). Из подобия: \(AD : CD = CD : DB\). Отсюда: \(CD = \sqrt{AD \cdot DB\). \(CD = \sqrt{4 \cdot 25} = \sqrt{100} = 10\) (см). б) По аксиоме об измерении отрезков: \(DB = AB - AD\); \(DB = 50 - 18 = 32\) см. В пункте (а) было доказано подобие треугольников \(\Delta АВС \sim \Delta АСD \sim \Delta CBD\), из которого получаем: \(AC : AD = AB : AC\). Откуда \(AC = \sqrt{AD \cdot AB\); \(AC = \sqrt{18 \cdot 50} = 30\) (см), \(BC : DB = AB : CB\). Откуда \(BC = \sqrt{AB \cdot DB}; \(BC = \sqrt{50 \cdot 32} = 40\) (см).

Ответ: а) \(CD = 10\) (см); б) \(AC = 30\) (см), \(BC = 40\) (см).

Решение №39654: Прямоугольные треугольники подобны: \(\Delta АВС \sim \Delta ACD \sim \Delta CBD\) (доказательство приведено в задаче № 398). Из подобия треугольников: \(\fraq{AC}{AD} = \fraq{AB}{AC}\), откуда \(AС = \sqrt{AD \cdot AB}\) и \(\fraq{BC}{BD} = \fraq{AB}{BC}\), откуда \(BС = \sqrt{BD \cdot AB}\). По аксиоме об измерении отрезков: \(AB = AD + DB\), \(AB = 4,5 + 8 = 12,5\) (см). Тогда \(AC = \sqrt{4,5 \cdot 12,5} = 7,5\) (см) и \(BC = \sqrt{8 \cdot 12,5} = 10\) (см). Периметр треугольника \(Р = AB + ВС + AC\); \(P = 12,5 + 10 + 7,5 = 30\) (см).

Ответ: 30 см.

Решение №39655: Пусть имеется два подобных треугольника с коэффициентом подобия \(\kappa\). Тогда \(\fraq{AB}{A'B'} = \kappa\). Из подобия треугольников \(\Delta АВС \sim \Delta A'B'C'\) следует равенство углов: \(\angle CAB = \angle C'A'B'\). Тогда прямоугольные треугольники \(\Delta ABD\) и \(\Delta A'B'D'\) , где \(BD\) и \(B'D'\) - высоты соотвествующих треугольников, подобны по равному острому углу: \(\Delta ABD \sim \Delta A'B'D'\). Тогда из подобия: \(\fraq{BD}{B'D'} = \fraq{AB}{A'B'} = \kappa\). Доказательство аналогично для других двух высот.

Ответ: NaN

Решение №39656: a) По определению квадрата: \(\angle KAM = \angle AML = \angle MLK = \angle LKA = 90^\circ\). \(\delta ABC\) и \(\Delta KBL\) имеют общий угол: \(\angle ABC = \angle KBL\), следовательно, по равному острому углу треугольники подобны: \(\Delta АВС \sim \Delta KBL\) Для треугольников \(\delta АВС\) и \(\Delta MLK\) общий угол: \(\angle MCL = \angle ACB\), следовательно, эти треугольники тоже подобны по равному острому углу. Получили: \(\Delta АВС \sim \Delta KBL \sim \Delta MLC\). б) Из подобия треугольников: \(\Delta BKL \sim \Delta LMC : \fraq{BK}{KL} = \fraq{LM}{MC}\), но \(KL = LM\) (по определению квадрата), тогда \(KL =\sqrt{BK \cdot MC} = \sqrt{9 \cdot 4} = 6 (см)\). Ответ: сторона квадрата равна \(6 см\).

Ответ: Ответ: сторона квадрата равна \(6 см\).

Решение №39657: По условию \(AE\) - касательная к окружностям. Тогда \(BD \perp AD\) и \(CE \perp AE\) (по определению касательной). Тогда \(\angle ADB = 90^\circ\) и \(\angle AEC = 90^\circ\) Рассмотрим прямоугольные треугольники \(|delta ADB\) и \(\Delta AEC\). \(\angle DAB = \angle EAC\) - общий угол, тогда \(\Delta АDВ \sim AEC\) по равному острому углу. Из подобия: \(\fraq{AB}{DB} = \fraq{AC}{EC}\) При этом \(DB = R_{1}\); \(EC = R_{2}\); \(AC = AB + BC = AB + R_{1} + R_{2}\), тогда: \(\fraq{AB}{R_{1}} = \fraq{AB + R_{1} + R_{2}}{R_{2}} \rightarrow AB \cdot (R_{2} - R_{1}) = R_{1}\) \((R_{1} + R_{2}) \rightarrow AB = \fraq{R_{1} (R_{1} + R_{2}){R_{2} - R_{1}}\); \(AB = \fraq{4 \cdot (4 + 6)}{6-4} = 20 (см)\). \(AC = AB + R_{1} + R_{2} = 20 + 10 = 30 (cм)\). Ответ: расстояние от точки \(А\) до центров окружностей равны \(20\) и \(30 см\).

Ответ: Ответ: расстояние от точки \(А\) до центров окружностей равны \(20\) и \(30 см\).

Решение №39658: По свойству противолежащих углов параллелограмма \(\angle BAK = \angle BCM\). По определению высоты, \(ВК \perp AD\) и \(BM \perp CD\), тогда \(\Delta АВК\) и \(Delta ВСМ\) - прямоугольные, причем \(\Delta АВК \sim \Delta СВМ\) по равному острому углу. По свойству противолежащих сторон параллелограмма \(AB = CD\) и \(ВС = AD\); тогда: \(AB : BC = CD : AD = 3 : 2\). Из подобия: \(\fraq{AB}{BK} = \fraq{BC}{MB}\); отсюда \(ВК = \fraq{AB}{BC} \cdot BM\); \(BK = \fraq{3}{2} \cdot 4 = 6 (см)\). Ответ: высота \(ВК\) равна \(6 см\).

Ответ: Ответ: высота \(ВК\) равна \(6 см\).

Решение №39659: \(\Delta ABC \sim \Delta ACD \sim \Delta CDB\) (подробное доказательство приведено в задаче N 398). Из подобия: \(b : а = b_{c} : h_{c} = h_{c} : a_{c}\), Откуда: \(h_{c} = \sqrt{a_{c} \cdot b_{c}}\), следовательно: \(\fraq{b}{a} = \fraq{b_{c}}{h_{c}} = \fraq{bc}{\sqrt{a_{c} \cdot b_{c}} = \srqt{\fraq{b_{c}}{a_{c}}}\) отсюда получаем \(\fraq{a_{c}}{b_{c}} = \fraq{a^{2}}{b^{2}}\)

Ответ: NaN

Решение №39660: \(\Delta ABC \sim \Delta ACD \sim \Delta CBD\) (доказательство в задаче 398), тогда \(a : a_{c} = c : a\), откуда \(a_{c} = \fraq{a^{2}}{c}\). Аналогично \(b : b_{c} = c : b\), и \(b_{c} = \fraq{b^{2}}{c}\).

Ответ: NaN

Решение №39661: \(\Delta АВС \sim ACD \sim \delta CBD\) (см. решение задачи N 398). Из подобия: \(b_{c} : h_{c} = h_{c} : а_{c}\), тогда \(h_{c} = \sqrt{a_{c} \cdot b_{c}}. Пусть \(а_{c} = 16х\), тогда \(b_{c} = 9x\), подставляем в выражение для \(h_{c}\): \(h_{c} = \sqrt{9x-16x} = 12x\), отсюда \(24 = 12х\); \(х = 2\); тогда: \(а_{c} = 2 \cdot 16 = 32 (см)\) и \(b_{c} =2 \cdot 9 = 18 (см)\). Из подобия: \(а : a_{c} = с : а\), тогда \(а = \sqrt{a_{1} c}\) По аксиоме об измерении отрезков \(с = а_{1} + b_{c}\); \(с = 18 + 32 = 50 (см)\), тогда \(a = \sqrt{32 \cdot 50} = 40 (см)\). Из подобия: \(b : b_{c} = с : b\); откуда \(b = \sqrt{b_{c} \cdot с}\), тогда \(b = \sqrt{18 \cdot 50} = 30 (см)\). Ответ: катеты равны \(30\) и \(40 см\).

Ответ: Ответ: катеты равны \(30\) и \(40 см\).

Решение №39662: Найдем длину отрезка \(СМ\) - высоты треугольника \(\Delta АМВ\). Если \(CD < CM\), то точка \(D\) лежит внутри окружности. Если \(CD > CM\), то вне. Треугольник \(\Delta АМВ\) вписан в окружность и опирается (На диаметр, значит, \(\angle AMB = 90^\circ\), и отет треугольник прямоугольник. Высоту \(CM\) находим из подобия \(\Delta AMC \sim \Delta MBC\); \(CM = \sqrt{AC \cdot CB}\); \(CM = \sqrt{10 \cdot 8} = 4\sqrt{5} = 8,94 (см)\) \(СМ < CD\), следовательно, точка \(D\) лежит вне окружности.

Ответ: NaN

Решение №39663: По свойству медианы равнобедренного треугольника \(ВМ \perp AC\), следовательно, \(\Delta ВМС\) - прямоугольныйю Для треугольников \(\Delta ACD\). \(\Delta MCN\). \(\Delta ВСМ\) угол \(С\) - общий, следовательно, эти прямоугольные треугольники подобны по острому углу. \(\Delta BMN\) и \(\Delta BCM\) имеют общий угол \(В\), следовательно, они также подобны по острому углу, тогда \(\Delta AСD \sim \Delta MCN \sim \Delta BCM \sim \Delta BMN\). Из подобия: \(\fraq{MC}{CN} = \fraq{AC}{CD}\), следовательно, \(DC = CN \cdot \fraq{MC}{CN} = \fraq{AC}{MC}\);\(DC = 2,25 \cdot 2 = 4,5 (cм)\). По аксиоме об измерении отрезков: \(ВС = BN + NC\); \(BC = 4 + 2,25 = 6,25 (cм)\). Из подобия: \(MC : NC = BC : МС\). Отсюда \(MC = \sqrt{NC \cdot BC}\). \(MC = \sqrt{2,25 \cdot 6,25} = 3,75 (см)\). Тогда \(AC = MC \cdot 2\); \(AC = 7,5 (см)\). Из подобия: \(BN : BM = BM : BC\), отсюда \(BM =\sqrt{BN \cdot BC}; \(BM = \sqrt{4 \cdot 6,25} = 5(см)\). Из подобия: \(BM : BC = AD : AC\), тогда \(AD = \fraq{BM \cdot AC}{BC}\); \(AD = \fraq{5 \cdot 7,5}{6,25} = 6 (см)\). Ответ: высота, проведенная к боковой стороне, равна \(6 см\).

Ответ: Ответ: высота, проведенная к боковой стороне, равна \(6 см\).

Решение №39664: По свойству диагоналей ромба \(AC \perp DB\) По определению касательной \(ОМ \perp AB\) Тогда \(ОМ\) - высота прямоугольного \(\Delta AOB\). \(OM = \sqrt{AM \cdot MB}; \(OM =\sqrt{5 \cdot 20} = 10 (см)\). Тогда диаметр \(МК = ОМ \cdot 2 = 20 (см)\). Следовательно, \(AN = MK = 20 (см)\). Ответ: высота ромба равна \(20 см\).

Ответ: Ответ: высота ромба равна \(20 см\).

Решение №39665: Дополнительное построение: продлеваем сторону \(AD\) параллелограмма и проводим высоту \(CF\) из точки \(С\) на \(AD\). \(\Delta AEB = \Delta DFC\), тогда \(АЕ = DF\). Пусть \(АЕ = х\), тогда \(DF = х\) и \(ED = 7x\), отсюда \(AF = 9х\). Рассмотрим прямоугольные треугольники \(\Delta АМЕ\) и \(\Delta ACF : \angle MAE = \angle CAF\) - совпадающий угол, тогда \(\Delta АМЕ \sim \Delta АСF\) по равному острому углу. Из подобия: \(\fraq{AM}{AC} = \fraq{AE}{AF}\); но \(AC = AM + MC\), a \(\fraq{AE}{AF} = \fraq{1}{9}\), тогда \(\fraq{AM}{AM +MC} = \fraq{1}{9}\), откуда \(8 \cdot AM = MC\); следовательно, \(\fraq{AM}{MC} = \fraq{1}{8}\) Ответ: высота делит диагональ в отношении \(1 : 8\).

Ответ: Ответ: высота делит диагональ в отношении \(1 : 8\).

Решение №39666: Рассмотрим прямоугольные треугольники \(\Delta AKD\) и \(\Delta МKВ\). \(\Delta AKD\) и \(\Delta MKB\). \(\angle KAD = \angle KMB\) как внутренние односторонние при \(ВС \parallel AD\) и секущей \(MA\). Тогда \(\Delta AKD \sim \Delta МKВ\) по равному острому углу. Из подобия: \(\fraq{BM}{AD} = \fraq{BK}{KD} = \fraq{3}{7}\). \(AD = BC\) и \(BC = ВМ + МС\), тогда \(\fraq{BM}{MC} = \fraq{3}{4}\).

Ответ: \(ВМ : МС = 3 : 4\). И ответ не изменится, если \(К\) - произвольная.

Решение №39667: По свойству противолежащих углов параллелограмма \(\angle ADC = \angle ABC\). Тогда прямоугольные треугольники \(\Delta ADN\) и \(\Delta АВМ\) подобны по равному острому углу: \(\Delta ADN \sim \Delta АВМ\). Из подобия: \(\fraq{AD}{AB} = \fraq{AN}{AM}\). Перепишем эту пропорцию в виде: \(\fraq{AD}{AN} = \fraq{AB}{AM}\). По свойству противолежащих сторон параллелограмма \(AD = BC\), тогда \(\fraq{BC}{AN} = \fraq{AB}{AM}\), следовательно, стороны \(AN\) и \(AM\) в \(\Delta ANM\) пропорциональны соответственно сторонам \(ВС\) и \(ВА\) в \(\Delta ВСА\). \(\angle NAM = \angle DAB - \angle DAN - \angle MAB\). \(\angle DAB = 180^\circ - \angle ADN\) - внутренние односторонние при \(AB \parallel DC\) и секущей \(AD\). \( \begin{equation} \left.\begin{gathered} \(\angle DAN = 90^\circ - \angle ADN\) \(\angle BAM = 90^\circ - \angle ABM\) \end{gathered}\right\} \end{equation} \) по теореме о сумме углов треугольника. Тогда \(\angle NAM = 180^\circ - \angle ADN - 90^\circ + \angle ADN - 90^\circ + \angle ABM = \angle ABM\). Следовательно, \(\Delta MAN \sim \Delta АВС\) по двум сторонам и углу между ними.

Ответ: NaN

Решение №39668: Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника пропорциональны катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника, то эти два треугольника подобны. Пусть \(\fraq{BC}{B'C'} = \fraq{AC}{A'C'} = \fraq{1}{\kappa}\). Рассмотрим \(\Delta АВС\): \(\Delta АВD \sim \Delta CBA \sim \Delta CAD\). Из подобия: \(\fraq{BD}{BA} = \fraq{BA}{BC}\) и \(\fraq{CD}{CA} = \fraq{CA}{BC}\), тогда: \(BD = \fraq{BA^2}{BC}\) и \(CD = \fraq{CA^2}{BC}\). \(BC = BD + CD\), тогда \(ВС = \fraq{BA^2}{BC} + \fraq{CA^2}{BC}\), откуда \(ВС^2 = ВА^2 + CA^2\), тогда второй катет равен: \(BA = \sqrt{ВC^2 - AC^2}\). Аналогично для второго треугольника: \(B'A' = \sqrt{B'C'^2 - A'C'^2}\). Найдем отношение: \(\fraq{BA}{B'A'} = \fraq{\sqrt{BC^2 - AC^2}}{\sqrt{B'C'^2 - A'C'^2}} = \fraq{\sqrt{BC^2 - AC^2}}{\sqrt{K^2BC^2 - K^2AC^2}} = \fraq{\sqrt{BC^2 - AC^2}}{K\sqrt{BC^2 - AC^2}} = \fraq{1}{\kappa}\). Следовательно, \(\Delta АВС \sim \Delta А'В'С'\) по трем сторонам.

Ответ: \(\Delta АВС \sim \Delta А'В'С'\) по трем сторонам.

Решение №39669: 1) \(\Delta ABC \sim \Delat ACD \sim \Delta CBD\); \(h_{c} = \sqrt{a_{c} \cdot b_{c}}\). Пусть \(a_{c} = х\), тогда \(b_{c} = 4х\); \(h_{c} = \sqrt{4x \cdot x} = 2x\). 2) \(c = a_{c} + b_{c}\); \(c = x + 4x = 5x\), следовательно, \(\fraq{h_{c}}{c} = \fraq{2x}{5x} = \fraq{2}{5}\).

Ответ: Высота меньше гипотенузы в 2,5 раза.

Решение №39670: Так как \(\Delta АСВ\) - прямоугольный, то его гипотенуза \(AB\) - диаметр описанной окружности. Тогда \(OA = ОВ = ОС = R\) - радиус этой окружности. Тогда треугольники \(\Delta АОС\) и \(\Delta ВОС\) - равнобедренные по определению равнобедренного треугольника. По свойству равнобедренного треугольника \(\angle OAC = \angle OCA = 36^\circ\). Тогда по теореме о сумме углов треугольника \(\angle COA = 180^\circ - 36^\circ - 36^\circ = 108^\circ\); \(\angle CBA = 90^\circ - 36^\circ = 54^\circ\). Аналогично \(\angle CBO = \angle OCB = 54^\circ\), следовательно, \(\angle BOC = 180^\circ - 54^\circ - 54^\circ = 72^\circ\).

Ответ: Катеты видны под углами \(72^\circ\) и \(108^\circ\).

Решение №39671: \(c^2 = 2a^2 - по условию. По теореме Пифагора \(c^2 = a^2 + b^2\), тогда получаем систему уравнений: \( \begin{equation*} \begin{cases} \(c^2 = 2a^2\); \(c^2 = a^2 + b^2\). \end{cases} \end{equation*} \) Вычитаем из пёрвого уравнения второе: \(0 = a^2 - b^2\), следовательно, \(a^2 = b^2\), тогда \(а = b\). По определению равнобедренного треугольника данный треугольник равнобедренный. Острые углы равнобедренного прямоугольного треугольника равны \(45^\circ\).

Ответ: \(45^\circ\).

Решение №39672: Данный треугольник подобен египетскому треугольнику (прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4, 5) с коэффициентоу подобия 2. Тогда данный треугольник также является прямоугольным. Тогда его наибольший угол равен \(90^\circ\).

Ответ: \(90^\circ\).

Решение №39673: \(а = 3\) см; \(b = 4\) см; \(с = 5\) см. Заметим, что: \(3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2\), это значит, что для данного треугольника выполняется теорема Пифагора, следовательно, он прямоугольный. Тогда данный параллелограмм - прямоугольник.

Ответ: Прямоугольник.

Решение №39674: a) \(CB\); б) \(AC\);

Ответ: a) \(CB\); б) \(AC\);

Решение №39675: a) Если \(а_{1} < а_{2}\), то \(l_{1} < l_{2}\); б) если \(l_{1} = l_{2}\), то \(а_{1} = а_{2}\) (по свойству наклонной).

Ответ: a) \(l_{1} < l_{2}\); б) \(а_{1} = а_{2}\).

Решение №39676: Наклонные равны, только если они проведены из одной точки. \(AD\) - проекция \(СА\), и \(AD\) - проекция \(BA\), но \(AB \neq AC\).

Ответ: Наклонные равны, только если они проведены из одной точки. \(AD\) - проекция \(СА\), и \(AD\) - проекция \(BA\), но \(AB \neq AC\).