Решение №39587: а) Из определения подобных треугольников: \(\fraq{AB}{A_{1}B_{1}} = \fraq{AC}{A_{1}C_{1}} = \fraq{BC}{B_{1}C_{1}} = \fraq{P_{ABC}}{P_{A_{1}B_{1}C_{1}}} = \kappa\). \(P_{ABC} = AB + BC + AC = 2,5 + 4 + 5 = 11,5\) (см); \(\kappa = \fraq{P_{ABC}}{P_{A_{1}B_{1}C_{1}}} = \fraq{11,5}{46} = \fraq{1}{4}\); \(\fraq{AB}{A_{1}B_{1}} = \fraq{1}{4} \Rightarrow A_{1}B_{1} = 4 \cdot AB = 10\) см; \(\fraq{AC}{A_{1}C_{1}} = \fraq{1}{4} \Rightarrow A_{1}C_{1} = 4 \cdot AC = 20\) см; \(\fraq{BC}{B_{1}C_{1}} = \fraq{1}{4} \Rightarrow B_{1}C_{1} = 4 \cdot BC = 16\) см; Ответ: 10 см, 20 см, 16 см. б) Из определения подобных треугольников: \(\fraq{AB}{A_{1}B_{1}} = \fraq{BC}{B_{1}C_{1}} = \fraq{AC}{A_{1}C_{1}} \cdot A_{1}B_{1}\) - наименьшая сторона \(\Delta A_{1}B_{1}C_{1} \Rightarrow A_{1}B_{1} = 5\) см. 1) \(\fraq{AB}{A_{1}B_{1}} = \fraq{AC}{A_{1}C_{1}} \Rightarrow A_{1}C_{1} = \fraq{A_{1}B_{1} \cdot AC}{AB} = \fraq{5 \cdot 5}{2,5} = 10\) (см); 2) \(\fraq{AB}{A_{1}B_{1}} = \fraq{BC}{B_{1}C_{1}} \Rightarrow B_{1}C_{1} = \fraq{A_{1}B_{1} \cdot BC}{AB} = \fraq{5 \cdot 4}{2,5} = 8\) (см). Ответ: 5 см, 10 см, 8 см.

Ответ: а) 10 см, 20 см, 16 см; б) 5 см, 10 см, 8 см.

Решение №39588: Из подобия треугольников: \(\fraq{AC}{A_{1}C_{1}} = \fraq{BC}{B_{1}C_{1}} = \fraq{AB}{A_{1}B_{1}} = \kappa = \fraq{P_{ABC}}{P_{A_{1}B_{1}C_{1}}}\); \(\kappa = \fraq{AC}{A_{1}C_{1}} = \fraq{16}{8} = 2\). \(P_{ABC} = AC + BC + AB = 16 + 12 + 10 = 38\) (см)\); \(\fraq{38}{P_{A_{1}B_{1}C_{1}}} = 2 \Rightarrow P_{A_{1}B_{1}C_{1}} = \fraq{38}{2} = 19\) (см).

Ответ: 19 см.

Решение №39589: Поскольку треугольники равносторонние, то все их углы по \(60^\circ \Rightarrow \angle K_{1} = \angle K\), \(L_{1} = \angle L\), \(M_{1} = \angle M\). \(KL = LM = MK\), \(K_{1]L_{1} = L_{1]M_{1} = M_{1]K_{1}\) (по условию) \(\Rightarrow \fraq{KL}{K_{1}L_{1}} = \fraq{LM}{L_{1}M_{1}} = \fraq{MK}{M_{1}K_{1}} \Rightarrow\) по определению \(\Delta KLM \sim \Delta K_{1]L_{1]M_{1}\).

Ответ: NaN

Решение №39590: Методом от противного: предположим, что \(\Delta АВС \sim \Delta А_{1}B_{1}C_{1}\), тогда \(\angle A = \angle A_{1}\). Ho \(\angle A > 90^\circ\), a \(\angle A_{1} = 60^\circ\) (т. к. \(\Delta А_{1}B_{1}C_{1}\) - равносторонний), т. е. \(\angle A \neq \angle A_{1}\). Получили противоречие \(\Rightarrow \Delta АВС \nsim \Delta А_{1}B_{1}C_{1}\).

Ответ: NaN

Решение №39591: По теореме о пропориональных отрезках: \(\fraq{AM}{AB} = \fraq{DN}{DC}\). a) \(\fraq{DN}{DC} = \fraq{AM}{AB} = \fraq{4}{5}\). Пусть \(DN = х\) см, тогда \(DC = x + 3\) (см) \(\Rightarrow \fraq{x}{x + 3} = \fraq{4}{5} \Rightarrow 5x = 4x + 12 \Rightarrow х = 12\) см \(\Rightarrow DC = 15\) см. б) \(\fraq{AM}{AB} = \fraq{DN}{DC}\). Используя свойство пропорции, данное равенство можно записать в виде \(\fraq{AM}{DN} = \fraq{AB}{DC} = \fraq{3}{2}\); \(\fraq{AM}{DN} = \fraq{3}{2} \Rightarrow DN = \fraq{2AM}{3} = \fraq{2 \cdot 9}{3} = 6\) (см). T. к. \(DN + NC = CD\), то \(CD = 8\) см; \(\fraq{BA}{DC} = \fraq{3}{2} \Rightarrow AB = \fraq{DC \cdot 3}{2} = \fraq{8 \cdot 3}{2} = 12\) (см).

Ответ: а) 15 см; б) 12 см.

Решение №39592: По теореме о пропорциональных отрезках \(\fraq{MB}{AB} = \fraq{CN}{CD} = \fraq{3}{7}\). T. к. \(AM - MB = 1\), то \(AM = MB + 1\), a \(AB = 2 \cdot MB + 1 \Rightarrow \fraq{MB}{2 \cdot MB + 1} = \fraq{3}{7} \Rightarrow 7 \cdot MB = 3 \cdot (2 \cdot MB + 1)\); \(7 \cdot MB = 6 \cdot MB + 3 \Rightarrow MB = 3\) см \(\Rightarrow AM = 4\) см. Тогда \(AB = MB + AM = 7\) см.

Ответ: 7 см.

Решение №39593: а) По теореме о пропорциональных отрезках: \(\fraq{AB}{BC} = \fraq{AD}{DE}\); \(\fraq{3}{4} = \fraq{12}{x} \Rightarrow x = \fraq{12 \cdot 4}{3} = 16\). б) По теореме о пропорциональных отрезках \(\fraq{AB}{BC} = \fraq{AD}{DE}\); \(\fraq{x}{x + 1} = \fraq{15}{20} \Rightarrow 20x = 15x + 15\); \(5x = 15\); \(x = 3 \Rightarrow AB = 3\).

Ответ: а) 16; б) 3.

Решение №39594: Поскольку \(\Delta АВС \sim \Delta DEF\), то \(\angle A = \angle D\), \(\angle B = \angle E\); \(\angle C = \angle F \Rightarrow\) в \(\Delta ABC\): \(\angle A = 70^\circ\); \(\angle B = 55^\circ\). По теореме о сумме углов треугольника (в \(\Delta AВС\)) \(\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \Rightarrow \angle C = 180^\circ - (70^\circ + 55^\circ) = 55^\circ\), т. е. в \(\Delta АВС \angle B = \angle C \Rightarrow \Delta АВС\) - равнобедренный по признаку \(\Rightarrow АВ = АС\).

Ответ: NaN

Решение №39595: Из подобия треугольников следует: \(\angle A = \angle K\); \(\angle B = \angle M\), \(\angle C = \angle N\). Поскольку \(\angle A + \angle M = 90^\circ\), то \(\angle A + \angle B = 90^\circ\). По теореме о сумме углов треугольника в \(\Delta АВC\): \(\angle А + \angle B + \angle C = 180^\circ \Rightarrow \angle C = 90^\circ \Rightarrow\) в \(\Delta АВС \angle C\) - наибольший угол, а в треугольнике против большего угла лежит большая сторона \(\Rightarrow АВ\) - наибольшая сторона \(\Delta АВС\).

Ответ: NaN

Решение №39596: По определению \(EF\), \(FD\) и \(AD\) - средние линии \(\Delta АВС\). По свойству средней линии треугольника: \(EF \parallel AC\) и \(EF = AC : 2 = AD\), \(ED \parallel BC\) и \(ED = BF = \fraq{1}{2} BC\) и \(DE \parallel AB\) и \(DF = AE = \fraq{1}{2}AB \rightarrow AEFD, DEFC, EBPD\) - параллелограммы (по признаку о двух сторонах) \(rightarrrow \angle A = \angle EFD; \angle B = = \angle EDF, \angle C = \angle FED\). Выпишем и вычислим соотношения: \(\fraq{AB}{DF} = AB : \fraq{1}{2}AB = 2; \fraq{BC}{ED} \fraq{1}{2} : 2 BC = 2\); \(\fraq{AC}{EF} = AC : \fraq{1}{2} AC = 2\) т.е. \(\fraq{AB{DF} = \fraq{BC}{ED} = \fraq{AC}{EF} = 2\). В \(\Delta CAB\) и \(\Delta EFD\) соответствующие углы равны, соответствующие стороны пропорциональны и козффициент пропорциональности равен \(2 \rightarrow \Delta CAB \sim \Delta EFD\), \(k = 2\).

Ответ: NaN

Решение №39597: \(DE\) - средняя линия \(\delta АВС\). По свойству средней линии \(DE \parallel AC\) и \(DE =\fraq{1}{2} AC\). \(\angle BDE = \angle BAC\) как соответетвенные при \(DE \parallel AC\) и секущей \(АВ\). \(\alnge BED = \alnge BCA\) как соответственные при \(DE \parallel AC\) и секущей \(BC\). \(\alnge DBE = \alnge АВС\), т. к. \(\alnge B\) - общий. Т. к. \(Е\) середина \(ВС\) и \(D\) - середина \(AB\), то \(ВЕ = \fraq{1}[2} BC\) и \( BD = \fraq{1}{2} AB\). Выпишем соотношения между сторонами: \(AC: DE = AC: \fraq{1}{2} AC = 2\), \(AB: BD = AB: \fraq{1}{2}AB = 2\), \(BC: BE = BC: \fraq{1}{2} BC = 2\). Следовательно, в \(\Delta АВС\) и \(\Delta DBE\) соответствущие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны \(\rightarrow \Delta АВС \sim \Delta DBE\) с коэффициентом подобия 2.

Ответ: NaN

Решение №39598: Пусть стороны \(АВ = 12 см\), \(ВС = 18 см\). Поскольку \(\Delta АВС \neq \Delta A_{1}B_{1}C_{1}\), то \(A_{1}C_{1} = 12см\), а \(A_{1}B_{1} = 18 см\). Из подобия треугольников следует: \(\fraq{AB}{A_{1}B_{1}} = \fraq{BC}{B_{1}C_{1}} = \fraq{AC}{A_{1}C_{1}}\); 1) \(\fraq{AB}{A_{1}B_{1}} = \fraq{BC}{B_{1}C_{1}} \rightarrow \fraq{12}{18} = \fraq{18}{B_{1}C_{1}} \rightarrow B_{1}C_{1} = \fraq{18 \cdot 18}{12} = \fraq{3 \cdot 18}{2} = 27 см\); 2) \(\fraq{BC}{B_{1}C_{1}} = \fraq{AC}{A_{1}C_{1}} \rightarrow AC = \fraq{BC \ cdot A_{1}C_{1}}{B_{1}C_{1}} = \fraq{18 \cdot 12}{27} = \fraq{2 \cdot 12}{3} = 8 см\) Ответ: /(27 см\) и \(8 см\).

Ответ: Ответ: /(27 см\) и \(8 см\).

Решение №39599: Доказательство (методом от противного): Поскольку \(\Delta АВС \sim \Delta A_{1}B_{1}C_{1}\), то \(\fraq{c}{d} = \fraq{a}{b} = \fraq{b}{c}\) Предположим, что коэффициент подобия \(k = 2\). Тогда \(\fraq{c}{d} = \fraq{a}{b} = \fraq{b}{c} = 2 \rightarrow c = 2d; a = 2b\); \(b = 2c \rightarrow c = 2d, a = 4c, b= 2c\) Рассмотрим \(\Delta ABC\):для его сторон должно быть выполнено неравенство треугольника, т. е. \(с + b > a\), \(a + b > c\), \(а + с > b\), но неравенство \(с + b > а\) не выполнено т. к. \(b = 2c, а = 4c \rightarrow с + 2 \not > 4с\ \rightarrow\) предположение не верно, т. e. \(k \neq 2\).

Ответ: NaN

Решение №39600: Ошибка доказательства в том, что в последней строке \((AO \cdot DO - BO \cdot C) \cdot AB = (AO \cdot DO - BO \cdot CO) \cdot CD\) разделили на выражение в скобках, а оно равно 0, На нуль делить нельзя.

Ответ: NaN

Решение №39601: Поскольку \(\Delta АВС \sim \Delta ACD\), то \(\angle BAC = \angle CAD, \angle ABC = \angle ACD \rightarrow \angle BCA = \angle CDA\). \(BC \parallel AD \rightarrow \angle BCA = \angle CAD\) как внутренние накрест лежащие при \(ВС \parallel AD\) и секущей \(АС\). Следовательно, в \(\Delta АВС: \angle BCA = \angle BAC\), а в \(\Delta CAD: \angle CAD = \angle CDA \rightarrow \Delta АВС\) равнобедренный и \(\Delta ACD\) равнобедренный по признаку равнобедренного треугольника \(\rightarrow AB = ВС, AC = CD\). По определению подобных треугольников: \(\fraq{AB}{AC} = \fraq{AC}{AD} = \fraq{BC}{CD}\); \(\fraq{4}{AC} = \fraq{AC}{9} = \fraq{4}{CD}\); \(\fraq{4}{AC} = \fraq{AC}{9} \rightarrow AC^{2} = 36; AC= 6см\) Ответ: \(6 cм\).

Ответ: Ответ: \(6 cм\).

Решение №39602: Поскольку \(\Delta АВС ~ \Delta ACD\), То \(\angle BAC = \angle CAD, \angle ABC = \angle ACD, \angle BCA= \angle CDA\). \(\Delta ACD\) - равнобедренный => \(\angle CAD = \angle CDA\) (по свойству равнобедренного треугольника). \(ВС \parallel AD \rightarrow \angle BCA = \angle CAD\) - как внутренние накрест лежащие при \(ВС \parallel АD\) и секущей \(АС\). Следовательно, в \(\Delta АВС: \angle BAC = \angle BCA \rightarrow \Delta ABC\) -равнобедренный (по признаку равнобедренного треугольника) \(\rightarrow AB = BC\). По определению подобных треугольников: \(\fraq{AC}{AD} = \fraq{AB}{AC} = \fraq{BC}{CD}\); \(\fraq{9}{12} = \fraq{12}{AD} = \fraq[9}{12}\); \(AD = \fraq{12 \cdot 12}{9} = \fraq{4 \cdot 12}{3} = 16 см\). \(P_{ABCD} = AB + BC + CD+ AD = 2 \cdot 9 + 12 + 16 = 46 см\) Ответ: \(46 см\)

Ответ: Ответ: \(46 см\)

Решение №39603: Поскольку \(\Delta ABD = \Delta CBD\), то \(AD = DC\) и \(\angle ADB = \angle BDC = 180^\circ : 2 = 90^\circ \rightarrow BD\) - медиана, и высота, и биссектриса \(\rightarrow \Delta ABC\) должен быть равнобедренным. б) Можно предположить, что медиана, или высота, или биссектриса разделит треугольник на два подобных треугольника. 1) Проведем высоту \(ВН \rightarrow \angle AHB = \angle BHC=90^\circ\), но равенство углов \(\angle ВАН\) и \angle HВС\) или \(\angle АВН\) и \(\angle ВHС\) не выполнено. Пример этому - \(\Delta АВС\) с углами \(\angle A = 63^\circ\), \(\angle B = 60^\circ\), \(\angle C= 57^\circ\); в нем \(\angle BAH = 63^\cric\), a \(\angle ABH = 27^\circ\) и \(\angle HBC = 30^\circ \rightarrow \Delta АВН и \Delta BCH\) - не подобны. 2) Проведем биссектрису \(BD\) угла \(АВС\). Тогда в треугольниках \(\Delta ABD\) и \(\Delta DBC : \angle ABD = \angle DBC\). Но равенство углов \(\angle BAD\) и \(\angle BDC\) невозможно, а равенство углов \(\angle BAD\) и \(\angle BCD\) будет означать, что треугольники равные \(rightarrow \Delta ABD\) и \(\Delta DBC\) - не подобны. 3) Проведем медиану \(ВМ \rightarrow\) в \(\Delta АВМ\) и \(\delta MBC\) нет пар равных углов \(\rightarrow \Delta АВМ\) и \(\Delta МВС\) - не подобны. Предположение: прямая, проходящая черев вершину треугольника, не может разделить этот треугольник на два подобных треугольника.

Ответ: NaN

Решение №39604: Рассмотрим \(\Delta ODK\) и \(\Delta OBK\): \(OK\) - общая, \(OD = OB\) - как радиусы, \(DK = КВ\) по условию \(\rightarrow, \Delta ODK = \Delta ОВК\) по трем сторонам. \(\rightarrow \angle OKD = \angle OKB = 90^\circ\). Рассмотрим \(\Delta ADK\) и \(\Delta АКВ: \angle OKD = \angle OKB= 90^\circ\), \(KD = КВ\) и \(АК\) - общая \(\rightarrow\) \(\Delta ADK = \Delta ABK\) по двум катетам \(\rightarrow\) \(AB = AD\) и \(\angle DAK = \angle BAK\). Рассмотрим \(\Delta ADC\) и \(\Delta АВС: АС\) - общая, \(AD = AB\) и \(\angle DAC = \angle BAC \rightarrow \Delta ADC = \Delta АВС\) по двум сторонам и углу между ними. Из равенства \(\Delta ADC\) и \(\Delta АВС \rightarrow BC = CD\). Если \(AB = CD\), то \(AB = CD = AD = BC \rightarrow ABCD\) - ромб \(\rightarrow\) т. к. - пересечение диагоналей и совпадает с серединой \(АС\) \(\rightarrow К = O\), что противоречит условию \(\rightarrow\) \(AB \neq CD\).

Ответ: NaN

Решение №39605: В \(\Delta АВС\) и \(\Delta А_{1}C_{1}C_{1}: 1) Если добавить к условию \(\fraq{AB}{А_{1}B_{1} = \fraq{BC}{B_{1}C_{1}\) равенство \(\angle B = \angle B_{1}\) то \(\Delta ABC \sim \Delta A_{1}B_{1}C_{1}\) 2) Если добавить к условию \(\fraq{AB}{А_{1}B_{1} = \fraq{BC}{B_{1}C_{1}\) равенство \(\fraq{AC}{A_{1}C_{1}\) то \(\Delta ABC \sim \Delta A_{1}B_{1}C_{1}\)

Ответ: NaN

Решение №39606: В \(\Delta АВС\) и \(\Delta KMN\): \(\fraq{AB}{KN} = \fraq{BC}{MN} = \fraq{AC}{MK}\). Следовательно, \(\Delta ABC \sim \Delta KNM \Rightarrow \angle C = \angle M\) (и определения подобных треугольников).

Ответ: NaN

Решение №39607: В \(\Delta АВС\) и \(\Delta KMN\): \(\fraq{AB}{BC} = \fraq{MN}{NK}\) и \(\angle B = \angle N\). Следовательно, \(\Delta BCA \sim \Delta NKM\) (т. к. по свойству пропорции \(\fraq{AB}{BC} = \fraq{MN}{NK} \Rightarrow \fraq{AB}{MN} = \fraq{BC}{NK}\) и \(\angle B = \angle N\)) \(Rightarrow \angle M = \angle A\).

Ответ: \(\Delta BCA \sim \Delta NKM\) (т. к. по свойству пропорции \(\fraq{AB}{BC} = \fraq{MN}{NK} \Rightarrow \fraq{AB}{MN} = \fraq{BC}{NK}\) и \(\angle B = \angle N\)) \(Rightarrow \angle M = \angle A\).

Решение №39608: а) Да, если оба треугольника прямоугольные и равнобедренные. В общем случае - нет; б) нет, т. к. в равностороннем треугольнике все углы \(60^\circ\), а в прямоугольном один \(90^\circ\), т. е. не выполнено условие равенства углов; в) да, могут. Например, \(\Delta АВС\) с углами \(50^\circ\) и \(30^\circ\) и \(\Delta А_{1}В_{1}С_{1}\) с углами \(100^\circ\) и \(70^\circ\) будут подобны по двум углам; г) нет, т. к. не существует треугольника с углами \(60^\circ\) и \(120^\circ\).

Ответ: а) Да, если оба треугольника прямоугольные и равнобедренные. В общем случае - нет; б) нет; в) да, могут; г) нет.

Решение №39609: а) Нет, т. к. в одном треугольнике это может быть острый угол при основании (допустим, \(30^\circ \Rightarrow\) остальные углы \(30^\circ\), \(120^\circ\)), а в другом это может быть угол при вершине (например, \(30^\circ \Rightarrow\) остальные \(75^\circ\) и \(75^\circ\)), т. е. не выполнено равенство соответствующих углов; б) да, т. к. тупые углы однозначно находятся при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника \(Rightarrow\) углы при основании будут равны.

Ответ: а) Нет; б) да.

Решение №39610: Не обязательно. Контрпример: \(\Delta АВС \sim \Delta ADK\).

Ответ: Не обязательно. Контрпример: \(\Delta АВС \sim \Delta ADK\).

Решение №39611: а) По двум углам: \(\Delta BOC \sim \Delta DOA\). б) \(BO = 1,6\) см; \(OD = 3,2\) см; \(BC = 2,5\) см. Из подобия треугольников следует: \(\fraq{BO}{OD} = \fraq{BC}{AD} \Rightarrow AD = \fraq{OD \cdot BC}{BO} = \fraq{3,2 \cdot 2,5}{1,6} = 5\) (см).

Ответ: а) По двум углам: \(\Delta BOC \sim \Delta DOA\). б) \(BO = 1,6\) см; \(OD = 3,2\) см; \(BC = 2,5\) см. Из подобия треугольников следует: \(\fraq{BO}{OD} = \fraq{BC}{AD} \Rightarrow AD = \fraq{OD \cdot BC}{BO} = \fraq{3,2 \cdot 2,5}{1,6} = 5\) (см).

Решение №39612: a) \(\Delta LMK \sim \Delta LBA\) по двум углам; б) \(\angle LBA = 51^\circ\); \(\angle LAB = 72^\circ\). По теореме о сумме углов \(\Delta ABL\): \(\angle L = 180^\circ - 72^\circ - 51^\circ = 57^\circ\). \(\angle LAB = \angle K\); \(\angle LBA = \angle M \Rightarrow \angle K = 72^\circ\); \(\angle M = 51^\circ\).

Ответ: a) \(\Delta LMK \sim \Delta LBA\) по двум углам; б) \(\angle LBA = 51^\circ\); \(\angle LAB = 72^\circ\). По теореме о сумме углов \(\Delta ABL\): \(\angle L = 180^\circ - 72^\circ - 51^\circ = 57^\circ\). \(\angle LAB = \angle K\); \(\angle LBA = \angle M \Rightarrow \angle K = 72^\circ\); \(\angle M = 51^\circ\).

Решение №39613: a) \(\angle АОВ = \angle COD\) - как вертикальные, \(\angle A = \angle C\) - по условию \(\Rightarrow \Delta AOB \sim \Delta COD\) по двум углам. 6) (см. рис. ниже) Рассмотрим \(\Delta ABD\) и \(\Delta ACD\): \(\angle A\) - общий (\(\angle BAD = \angle CAE\)); \(AC = 3 + 6 = 9\); \(AE = 2 + 4 = 6\); \(\fraq{AB}{AC} = \fraq{3}{9} = \fraq{1}{3}\); \(\fraq{AD}{AE} = \fraq{2}{6} = \fraq{1}{3} \Rightarrow \fraq{AB}{AC} = \fraq{AD}{AE} \Rightarrow \Delta ABD \sim \Delta ACD\) по двум сторонам и углу между ними. в) (см. рис. ниже) \(AB = 2 \cdot DB\), \(BC = 2 \cdot BE \Rightarrow \fraq{AB}{DB} = \fraq{2 \cdot DB}{DB} = 2\); \(\fraq{BC}{BE} = \fraq{2 \cdot BE}{BE} = 2\). B \(\Delta DBE\) и \(\Delta АВС\): \(\angle DBE = \angle ABC\), \(\fraq{AB}{DB} = \fraq{BC}{BE} \Rightarrow \Delta DBE \sim \Delta ABC\) по двум сторонам и углу между ними.

Ответ: \(\Delta DBE \sim \Delta ABC\).

Решение №39614: а) Т. к. \(\Delta АВС\) равнобедренный, то \(\angle A = \angle C\) (по свойству равнобедренного треугольника). По теореме о сумме углов треугольника \(\angle A + \angle C + \angle B = 180^\circ \Rightarrow \angle B = 80^\circ\). Т. к. \(AB = BC\) и \(A_{1}B_{1} = B_{1}C_{1}\), то \(\fraq{AB}{A_{1}B_{1}} = \fraq{BC}{B_{1}C_{1}} \Rightarrow \Delta ABC \sim \Delta A_{1}B_{1}C_{1}\) по двум сторонам и углу между ними. б) \(\fraq{AB}{A_{1}B_{1}} = \fraq{5}{10} = \fraq{1}{2}\); \(\fraq{AC}{A_{1}C_{1}} = \fraq{8}{16} = \fraq{1}{2} \Rightarrow \fraq{AB}{A_{1}B_{1}} = \fraq{AC}{A_{1}C_{1}}\) и \(\angle A = \angle A_{1} \Rightarrow \Delta ABC \sim \Delta A_{1}B_{1}C_{1}\) по двум сторонам и углу между ними. в) \(\fraq{AB}{A_{1}B_{1}} = \fraq{12}{4} = 3\); \(\fraq{BC}{B_{1}C_{1}} = \fraq{15}{5} = 3\); \(\fraq{AC}{A_{1}C_{1}} = \fraq{9}{3} = 3 \Rightarrow \fraq{AB}{A_{1}B_{1}} = \fraq{BC}{B_{1}C_{1}} = \fraq{AC}{A_{1}C_{1}} \Rightarrow \Delta ABC \sim \Delta A_{1}B_{1}C_{1}\) по трем сторонам.

Ответ: NaN

Решение №39615: (см. рис. ниже) Рассмотрим \(\Delta АСВ\) и \(\Delta DCE\): \(\angle DCE = \angle ACB\), \(\fraq{AC}{CD} = \fraq{60}{20} = 3\); \(\fraq{CB}{CE} = \fraq{90}{30} = 3\), т. e. \(\fraq{AC}{CD} = \fraq{CB}{CE} \Rightarrow \Delta ACB \sim \Delta DCE\) (по двум сторонам и углу между ними). По определению подобных треугольников: \(\fraq{AC}{CD} = \fraq{BC}{CE} = \fraq{AB}{DE} \Rightarrow \fraq{BC}{CE} = \fraq{AB}{DE}\); \(AB = \fraq{BC \cdot DE}{CE} = \fraq{90 \cdot 40}{30} = 120\) (м).

Ответ: 120 м.

Решение №39616: Рассмотрим \(\Delta AOD\) и \(\delta BOC : \angle BOC = \angle AOD; \angle OCA = \angle ODA\) (как соответственные углы при \(BC \parallel AD\) и секущей \(OD\)) \(\rightarrow \Delta AOD \sim \Delta BOC\) по двум углам. По определению подобных треугольников: \(\fraq{OB}{OA} = \fraq{OC}{OD} = \fraq{BC}{AD}; \fraq{OB}{OA} = \fraq{BC}{AD} \rightarrow AD= \fraq{OA /cdot BC}{OB} = \fraq{9 \cdot 4}{6} = 6см\) \(AD = \fraq(OA \cdot BC}{OB} = \fraq{9 \cdot 4}{6} = 6 см\) Ответ: \(6 см\)

Ответ: Ответ: \(6 см\)

Решение №39617: Рассмотрим \(\Delta ВОС\) и \(\Delta DOA: \angle BOC= \angle AOD\) - как вертикальные, \(\angle BCO = \angle DAO\) - как внутренние накрест лежащие при \(ВС \parallel AD\) и секущей \(АС \rightarrow \Delta ВОС \sim \Delta DOA\) по двум углам. Из подобия треугольников следует: \(\fraq{BO}{OD} = \fraq{CO}{OA} = \fraq{BC}{AD}; \fraq{CO}{OA} = \fraq{BC}{AD} \rightarrow BC =\fraq{CO \cot AD}{OA} = \fraq{3 \cdot 16}{4} = 12 см\) Ответ: \(12 см\).

Ответ: Ответ: \(12 см\).

Решение №39618: а) \(3, 4 ,6\) и \(9, 15, 18: \fraq{3}{(} \neq \fraq{4}{15} \neq \fraq{6}{18}, т.е. треугольники не подобны; б) \(2, 3, 3\) и \(8, 12, 12: \fraq{2}{8} = \fraq{3}{12} = \fraq{3}{12}\); \(\fraq{1}{4}=\fraq{1}{4} = \fraq{1}[4}/) т. е. труегольники подобны.

Ответ: NaN

Решение №39619: \(\Delta ABC \sim \Delta A_{1}_{1}C_{1}\) по двум углам. Из подобия треугольников следует: \(\fraq{AB}{A_{1}B_{1}} = \fraq{BC}{B_{1}C_{1}} = \fraq{AC}{A_{1}C_{1}} \rightarrow A_{1}B_{1} = \fraq{AB \cdot A_{1}C_{1}}{AC} = \fraq{6 \cdot 4}{8} = 3 (см) \rightarrow B_{1}C_{1} = 3 см.\_ \(P_{A_{1}B_{1}C_{1}} = A_{1}B_{1} + B_{1}C_{1} = 3 + 3 +4 = 10(см)\). Ответ: \(10 см\).

Ответ: Ответ: \(10 см\).

Решение №39620: \(AB = BC\) и \(A_{1}B_{1} = B_{1}C_{1} \rightarrow \fraq{AB}{A_{1}B_{1}} = \fraq{BC}{B_{1}C_{1}}\) и \(\angle B = \angle B_{1} \rightarrow \Delta ABC \sim A_{1}B_{1}C_{1}\) по двум сторонам и углу между ними. Из подобия треугольников следует: \(\fraq{AB}{A_{1}B_{1}} = \fraq{BC}{B_{1}C_{1}} \fraq{AC}{A_{1}C_{1}} = \fraq{P_{ABC}}{P_{A_{1}B_{1}C_{1}}} = \fraq{15}{10};\) \(\fraq{AB}{A_{1}B_{1}} = \fraq{3}{2}\);\(A_{1}B_{1} = \fraq{AB \cdot 2}{3} = 4 (см) \rightarrow B_{1}C_{1} = 4 см\). \(P_{A_{1}B_{1}C_{1}} = A_{1}B_{1} + A_{1}C_{1} + B_{1}C_{1}\); \(10 = 8 + A_{1}C_{1} \rightarrow A_{1}C_{1} = 2 (см)\) Ответ: 4 см, 4 см, 2 см.

Ответ: Ответ: 4 см, 4 см, 2 см.

Решение №39621: /(\Delta LKM \sim \Delta L_{1}K_{1}M_{1}\). \(\Delta LKM\) - равнобедренный, \(\angle K = 90^\circ \rightarrow \angle L = \anglr M = 45^\circ\). \(\Delta L_{1}K_{1}M_{1}\) - равнобедренный, \(K_{1} = 90^\circ \rightarrow \angle L_{1} = \angle M_{1} = 45^\circ \rightarrow \Delta LKM \sim \Delta L_{1}K_{1}M_{1}\) по двум углам.

Ответ: NaN

Решение №39622: Из подобия треугольников: \(\fraq{AB}{A_{1}B_{1}} = \fraq{BC}{B_{1}C_{1}} = \fraq{AC}{A_{1}C_{1}} = k\), где \(k\) - коэффициент подобия. По свойству средней линии треугольника \(EF = \fraq{1}{2}AC\) и \(E_{1}F_{1} = \fraq{1}{2}A_{1}C_{1}\). \(\fraq{EF}{E_{1}F_{1}} = \fraq{1}{2}AC : \fraq{1}{2} A_{1}C_{1} = \fraq{AC}{A_{1}C_{1}} = k\), т.е. \(EF : E_{1}F_{1} = k\)

Ответ: NaN

Решение №39623: а) Рассмотрим \(\Delta ABC\) и \(\Delta EDB : \angle DBE = \angle ABC; \angle BED = \angle BAC (по условию) \rightarrow \Delta ABC \sim \Delta EDB\) по двум углам. б) Рассмотрим \(\Delta ABD и \Delta ABC : \angle ABD = \angle ABC (т.к. \angle B - общий)\); \(BC = BD + DC = 12. \fraq{AB}{DB} = \fraq{6}{3} = 2; \fraq{BC}{BA} = \fraq{12}{6} = 2 \rightarrow \fraq{AB}{DB} = \fraq{BC}{BA} \rightarrow \Delta ABC \sim \Delta DBA\) по двум сторонам и углу между ними. в) Рассмотрим \(\Delta ACB\) и \(\Delta DAC : \fraq{BC}{AC} = \fraq{18}{12} = \fraq{3}{2}\);\(\fraq{AB}{DC} = \fraq{15}{10} = \fraq{3}{2}\); \(\fraq{AC}{AD} = \fraq{12}{8} = \fraq{3}{2}\), т.е. \(\fraq{BC}{AC} = \fraq{AC}{AD} = \fraq{AB}{DC} \rightarrow \Delta ACB \sim \Delta DAC\) по трем сторонам.

Ответ: NaN

Решение №39624: а) Рассмотрим \(\Delta CBD\) и \(\Delta CAB : \angle ACD = \angle BCD, \angle CBD = \angle BAC \rightarrow \Delta CBD \sim \Delta CAB\) по двум углам. б) Рассмотрим \(\Delta BOC\) и \(\Delta AOD : \angle BOC = \angle AOD\) - как вертикальные. \(\fraq{BO}{OD} = \fraq{6}{9} = \fraq{2}{3}\); \(\fraq{OC}{AO} = \fraq{8}{12} = \fraq{2}{3}\), т.е. \(\fraq{BO}{OD} = \fraq{OC}{AO}\) и \(\angle BOC = \angle AOD \rightarrow \Delta AOD \sim \Delta COB\) по двум сторонам и углу между ними. в) Рассмотрим \(\Delta ACB\) и \(Delta ADC : \fraq{AC}{AD} = \fraq{18}{27}= \fraq{2}{3}\); \(\fraq{CB}{DC} = \fraq{8}{12} = \fraq{2}{3}\); \(\fraq{AB}{AC} = \fraq{12}{18} = \fraq{2}{3}\), т. е. \(\fraq{AC}{AD} = \fraq{CB}{DC}= \fraq{AB}{AC} \rightarrow \Delta ACB \sim \Delta ADC\) по трем сторонам.

Ответ: NaN

Решение №39625: \(AKLM\) - параллелограмм \(\rightarrow KL \parallel AC\), \(ML \parallel AB\), \(\angle BLK = \angle BCA\) как соответственные при \(KL \parallel AC\) и секущей \(BC\)\. \(\angle ABC = \angle MLC\) как соответственные при \(AB \parallel ML\) и секущей \(BC\). Рассмотрим \(\Delta KBL\) и \(\Delta MLC : \angle BLK = \angle LCA\); \(\angle MLC = \angle ABL \rightarrow \Delta KBL \sim \Delta MLC\) по двум углам. Из подобия треугольников следует: \(\fraq{BK}{ML} = \fraq{BL}{LC} = \fraq{KL}{MC}\). Поскольку \(AKLM\) - ромб, то \(ML = KL \rightarrow \fraq{BK}{ML} = \fraq{KL}{MC} \rightarrow \fraq{4}{ML} = \fraq{ML}{9}\); \(ML^{2} = 36\); \(ML = 6 (см)\). /(P_{AKLM} = 4 \cdot ML = 24 см\) Ответ: 24 см.

Ответ: Ответ: 24 см.

Решение №39626: \(\angle BCA = \angle CAD\) как внутренние накрест лежащие при \(BC \parallel AD\) и секущей \(АС\). \(\angle BOC = \angle AOD\) - как вертикальные \(\Rightarrow \Delta СОВ \sim \Delta АОD\) по двум углам. По определению подобных треугольников: \(\fraq{BO}{OD} = \fraq{OC}{OD} = \fraq{BC}{AD}\). ПО свойству средней линии \(FE = \fraq{1}{2}(BC + AD) \Rightarrow BC + AD = 20 \Rightarrow BC = 20 - AD\); \(\fraq{3}{7} = \fraq{20 - AD}{AD}\); \(3 \cdot AD = 7(20 - AD)\); \(10 \cdot AD = 140\); \(AD = 14\) см, а \(BC = 6\) см.

Ответ: 6 см; 14 см.

Решение №39627: \(\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ\) по теореме о сумме углов треугольника; \(\angle А = \angle C\) - по свойству равнобедренного треугольника \(\Rightarrow \angle A = \angle C = (180^\circ - 36^\circ) : 2 = 72^\circ\). \(AD\) - биссектриса \(\Rightarrow \angle BAC = \fraq{1}{2}angle A = 36^\circ\). Рассмотрим \(\Delta АВС\) и \(\Delta CAD\): \(\angle ABC = \angle DAC\); \(\angle DCA = \angle BCA \Rightarrow \Delta АВС \sim \Delta CAD\) по двум углам.

Ответ: NaN

Решение №39628: Рассмотрим \(\Delta OAC\) и \(\Delta OBD\): \(\fraq{OA}{OB} = \fraq{9}{12} = \fraq{3}{4}\); \(\fraq{OC}{OD} = \fraq{6}{18} = \fraq{1}{3} \Rightarrow \Delta OAC \nsim \Delta OBD\). Рассмотрим \(\Delta OBC\) и \(\Delta ODA\): \(\fraq{OB}{OD} = \fraq{12}{18} = \fraq{2}{3}\); \(\fraq{OC}{OA} = \fraq{6}{9} = \fraq{2}{3}\); \(\fraq{OB}{OD} = \fraq{OC}{OA}\) и \(\angle AOD = \angle BOC \Rightarrow \Delta OBC \sim \Delta ODA\) по двум сторонам и углу между ними.

Ответ: \(\Delta OAC \nsim \Delta OBD\); \(\Delta OBC \sim \Delta ODA\).

Решение №39629: Из подобия треугольников следует: \(\fraq{AB}{A_{1}B_{1}} = \fraq{AC}{A_{1}C_{1}} = \fraq{BC}{B_{1}C_{1}} = \kappa\) и \(\angle A = \angle A_{1}\), \(\angle B = \angle B_{1}\), \(\angle C = \angle C_{1}\). \(AK = \fraq{1}{2}AC\); \(A_{1}K_{1} = \fraq{1}{2}A_{1}C_{1}\) (т. к. \(BK\), \(B_{1}К_{1} - медианы). Рассмотрим \(\Delta ABK\) и \(\Delta A_{1}B_{1}K_{1}\): \(\angle BAK = \angle B_{1}A_{1}K_{1}\), \(\fraq{AB}{A_{1}B_{1}} = \kappa\); \(\fraq{AK}{A_{1}K_{1}} = \fraq{1}{2}AC : \fraq{1}{2}A_{1}C_{1} = \fraq{AC}{A_{1}C_{1}} = \kappa\). T. e. \(\fraq{AB}{A_{1}B_{1}} = \fraq{AK}{A_{1}K_{1}} = \kappa \Rightarrow \Delta ABK \sim \Delta A_{1}B_{1}K_{1}\) с коэффициентом \(\kappa\). Из подобия следует, что \(\fraq{BK}{B_{1}K_{1} = \kappa\).

Ответ: NaN

Решение №39630: Из подобия треугольников следует \(\fraq{AB}{A_{1}B_{1}} = \fraq{AC}{A_{1}C_{1}} = \fraq{BC}{B_{1}C_{1}} = \kappa\) и \(\angle A = \angle A_{1}\), \(\angle B = \angle B_{1}\), \(\angle C = \angle C_{1}\). T. к. \(AK\) и \(A_{1}K_{1}\) - биссектрисы, то \(\angle KAC = \angle KAB\) и \(\angle K_{1}A_{1}C_{1} = \angle K_{1}A_{1}B_{1}\). T. к. \(\angle A = \angle A_{1}\), то \(\angle KAC = \angle K_{1}A_{1}C_{1}\). Рассмотрим \(\Delta AKC\) и \(\Delta A_{1}K_{1}C_{1}\): \(\angle C = \angle C_{1}\), \(\angle KAC = \angle K_{1}A_{1}C_{1} \Rightarrow \Delta AKC \sim \Delta A_{1}K_{1}C_{1}\) по углам. Из подобия следует: \(\fraq{AC}{A_{1}C_{1}} = \fraq{AK}{A_{1}K_{1}} = \fraq{KC}{K_{1}C_{1}}\). Т. к. \(\fraq{AC}{A_{1}C_{1}} = \kappa \Rightarrow \fraq{AK}{A_{1}K_{1}} = \kappa\).

Ответ: NaN

Решение №39631: \(\angle В\) - наибольший угол \(\Delta АВС\). Провести \(BK\) так, чтобы \(\Delta ABK \sim \Delta АВС\). Анализ: Предположим, что данная прямая построена. Тогда или \(\angle CBK = \angle A\) или \(\angle ABK = \angle C\). Построение: Отложим \(\angle ABK = \angle C\) или \(\angle CBK = \angle A\) (т. е. возможны 2 способа). Доказательство: 1 способ: \(\Delta ABK \sim \Delta ACB\), т. к. \(\angle BAK = \angle BAC\); \(\angle KBA = \angle ACB\). 2 способ: \(\Delta К_{1}ВС \sim \Delta BAC\), т. к. \(\angle BAC = \angle K_{1}BC\); \(\angle BCK_{1} = \angle BCA\). Исследование: Если проводить прямую через вершину наименьшего угла, то прямая будет вне треугольника \(\Rightarrow\) данный способ не является решением задачи. Если проводить через вершину угла, среднего по величине, то способ будет единственным.

Ответ: NaN