Решение №39317: Случай 1 \(\Delta ABD (\Delta ABD = 90^\circ)\): \(AB = BD \Rightarrow \angle BAD = \angle BDA\) (по свойству равнобедренного треугольника). Поскольку сумма углов треугольника \(180^\circ\), то \(\angle BAD = (180^\circ - 90^\circ) : 2 = 45^\circ\). \(\angle BAD\) и \(\angle ABC\) - соседние углы параллелограмма, \(\Rightarrow \angle BAD + \angle ABC = 180^\circ\), \(\Rightarrow \angle АВС = 135^\circ\). По свойству углов параллелограмма \(\angle A = \angle C\); \(\angle B = \angle D\), т.e. \(\angle C = 45^\circ\); \(\angle D = 135^\circ\). Случай 2 \(\angle C = 90^\circ\). Поскольку сумма соседних углов параллелограмма \(180^\circ\), то \(\angle D = 90^\circ\). По свойству углов параллелограмма \(\angle C = \angle A = 90^\circ\); \(\angle B = \angle D = 90^\circ\).

Ответ: Случай 1: \(45^\circ; 35^\circ; 45^\circ; 135^\circ\). Случай 2: все по \(90^\circ\).

Решение №39318: Дано: \(ABCD\) параллелограмм. Доказать: 1 биссектрисы \(\angle A\) и \(\angle В\) перпендикулярны; 2) биссектрисы \(\angle В\) и \(\angle D\) - параллельны или совпадают. 1) Пусть биссектрисы углов \(А\) и \(В\) пересекаются в т. \(К\). T. к. \(АК\) - биссектриса \(\angle A\), то \(\angleBAK = \fraq{1}{2} \angle A\); \(ВК\) -биссектриса \(\angle B\), то \(\angle ABK = \fraq{1}{2}\angle B\). Поскольку \(\angle A\) и \(\angle B\) - соседние углы параллелограмма, то \(\angle А + \angle B = 180^\circ\). \(\fraq{1}{2} \angle A + \fraq{1}{2} \angle B = \fraq{1}{2} (\angle A = \angle B) = \fraq{1}{2}(\angle A + \angle B\) = \fraq{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ\) т.е. \(\angle BAK + \angle ABK = 90^\circ\) Рассмотрим \(\Delta ABK\): по теореме о сумме углов треугольника: \(\angle ABK + \angle BKA + \angle KAB = 180^\circ, 90^\circ + \angle BKA = 180^\circ \longrightarrow \angle BKA = 90^\circ\), т. e. \(BK \perp AK\) 2) По свойству углов параллелограмма \(\angle B = \angle D\). \(BK\) биесектриса \(\angle B\); \(DE\) биесектриса \(\angle D \longrightarrow \angle ABK = \angle KBC = \angle EDC = \angle EDA. BC\parallel AD, DE\) - секущая, \(\longrightarrow \angle EDA = \angle CED\) - как внутренние накрест лежащие. \(\longrightarrow \angle CED = \angle CBK\). \(\angle CED\) и \(\angle CBK\) являются соответственными при прямых \(ВК\) и \(DE\) и секущей \(BC\). T. к. \(\angle CED = \angle CBK\), то \(BK \parallel DE\) по признаку параллельных прямых. Биссектрисы углов \(В\) и \(D\) совпадут тогда и только тогда, когда диагональ \(BD\) является биссектрисой угла \(В\).

Ответ: Утверждение доказано.

Решение №39319: Рассмотрим четырехугольник \(BH_{1}DH_{2}\): по теореме о сумме углов четырехугольника \(\angle H_{1}BH_{2} + \angle BH_{2}D + \angle D + \angle BH_{1}D = 360^\circ\), т. к. \(ВН_{1}\) и \(ВН_{2}\) - высоты, то \(\angle BH_{1}D = \angle BH_{2}D = 90^\circ\), \(\Rightarrow \angle H_{1}BH_{2} + 90^\circ + \angle D + 90^\circ = 360^\circ\); \(\angle H_{1}BH_{2} + \angle D = 180^\circ\), \(\Rightarrow \angle H_{1}BH_{2} = 180^\circ - \angle D\). \(\angle A и \angle D\) - соседние углы параллелограмма, \(\Rightarrow \angle A + \angle D = 180^\circ\), \(\Rightarrow 180^\circ - \angle D = \angle A\). \(\Rightarrow \angle H_{1}BH_{2} = 180^\circ - \angle D = \angle A\).

Ответ: Утверждение доказано.

Решение №39320: Утверждение не верно. Напр., на рис. \(\Delta АВС = \Delta ADВ\), но четырехугольник \(ABCD\) не является параллелограммом (его стороны попарно непараллельны).

Ответ: Нет.

Решение №39321: Рассмотрим \(\Delta AОВ\), \(\Delta CОВ\), \(\Delta COD\) и \(\Delta AОD\): \(\angle AOB = \angle DOA = \angle DOC = \angle BOC = 90^\circ\) (т. к. \(BD \perb AC\)). \(AO = OC\), \(CO = OD\) по свойству диагоналей параллелограмма \(\Rightarrow \Delta АОВ = \Delta CОВ = \Delta COD = \Delta AОD\) по двум катетам. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон, т. e. \(AB = BC = CD = AD\). Обратное утверждение: если все стороны параллелограмма равны, то его диагонали перпендикулярны. Рассмотрим \(\Delta АОВ\) и \(\Delta СОВ\): \(АО = ОС\) (по свойству диагоналей параллелограмма), \(BO\) - общая, \(АВ = ВС \Rightarrow \Delta AОВ = \Delta СОВ\) по трем сторонам. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов \(\Rightarrow \angle BOA = \angle BOC\). \(\angle BOA\) и \(\angle BOC\) - смежные, \(\Rightarrow \angle BOA + \angle BOC = 180^\circ \Rightarrow \angle BOA = \angle BOC = 90^\circ \Rightarrow BD \perb AC\).

Ответ: Утверждение доказано.

Решение №39322: \(\Delta АВС\) - равнобедренный \((AB = ВС) \Rightarrow \angle A = \angle C\) (по свойству равнобедренного треугольника). \(E\) - середина \(AB \Rightarrow AE = EB\); \(F\) - cepeдина \(BC \Rightarrow BF = FC\). T. к. \(AB = BC\), то \(AE = EB = BF = FC\), \(\Rightarrow \Delta EBF\) - равнобедренный по определению. \(\Rightarrow \angle BEF = \angle BFE\) (по свойству равнобедренного треугольника). В \(\Delta АВС\) по теореме о сумме углов треугольника \(\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ\); \(\Rightarrow \angle A = (180^\circ - \angle B) : 2\). B \(\Delta EBF\) по теореме о сумме углов треугольника \(\angle BEF + \angle B + \angle BFE = 180^\circ \Rightarrow \angle BEF = (180^\circ - \angle B) : 2\). T. e. \(\angle BEF = \angle A\). \(\angle BEF\) и \(\angle A\) являются соответственными при прямых \(АС\) и \(EF\) и секущей \(AB\), \(\Rightarrow AC \parallel EF\) по признаку параллельных прямых.

Ответ: Утверждение доказано.

Решение №39323: Предположения: 1) \(AB = CD\), \(AB \parallel CD \Rightarrow ABCD\) - параллелограмм. 2) \(AB = CD\); \(BC = AD \Rightarrow ABCD\) - параллелограмм.

Ответ: Предположения: 1) \(AB = CD\), \(AB \parallel CD \Rightarrow ABCD\) - параллелограмм. 2) \(AB = CD\); \(BC = AD \Rightarrow ABCD\) - параллелограмм.

Решение №39324: \(DE \parallel FK\) и \(EF \parallel DK\), т. к. \(DEFK\) - параллелограмм по признаку о диагоналях. Из определения параллелограмма следует \(DE \parallel FK\) и \(EF \parallel DK\).

Ответ: \(DE \parallel FK\) и \(EF \parallel DK\), т. к. \(DEFK\) - параллелограмм по признаку о диагоналях. Из определения параллелограмма следует \(DE \parallel FK\) и \(EF \parallel DK\).

Решение №39325: \(KLMN\) - параллелограмм по признаку о двух сторонах. По свойству углов параллелограмма \(\angle K = \angle M\), \(\angle L = \angle N\).

Ответ: \(KLMN\) - параллелограмм по признаку о двух сторонах. По свойству углов параллелограмма \(\angle K = \angle M\), \(\angle L = \angle N\).

Решение №39326: Дано: \(PQRS\) - четырехугольник; \(PQ = RS\); \(QR = PS\). Найти: \(\angle R+ \angle S\). \(PQ = RS\); \(QR= PS \longrightarrow PQRS\) - параллелограмм по признаку о противолежащих сторонах. \(\angle R\) и \(\angle S\) - соседние углы параллелограмма \(\longrrightarrow \angle R + \angle S = 180^\circ\).

Ответ: \(180^\circ\).

Решение №39327: \(ABCD\) - четырехугольник.\(AB \parallel CD\) 1) \(AB \parallel CD\) и \(BC \parallel AD \longrightarrow ABCD\) - параллелограмм по определению. 2) \(AB \parallel CD\) и \(AB = CD = ABCD\) - параллелограмм по признаку.

Ответ: \(ABCD\) - четырехугольник.\(AB \parallel CD\) 1) \(AB \parallel CD\) и \(BC \parallel AD \longrightarrow ABCD\) - параллелограмм по определению. 2) \(AB \parallel CD\) и \(AB = CD = ABCD\) - параллелограмм по признаку.

Решение №39328: Дано: \(ABCD\) - четырехугольник. \(\angle A = 30^\circ\); \(\angle C = 60^\circ\). Данный четырехугольник не может быть параллелограммом, т. к. противолежащие углы \(ABCD\) не равны. Противоречит свойству параллелограмма - необходимому условию.

Ответ: Дано: \(ABCD\) - четырехугольник. \(\angle A = 30^\circ\); \(\angle C = 60^\circ\). Данный четырехугольник не может быть параллелограммом, т. к. противолежащие углы \(ABCD\) не равны. Противоречит свойству параллелограмма - необходимому условию.

Решение №39329: a) Для того, чтобы четырехугольник был параллелограммом, необходимо и достаточно, чтобы его диагонали точкой пересечения делились пополам. б) Для того, чтобы два угла были смежными, необходимо, чтобы их сумма была равна \(180^\circ\) в) Для того, чтобы прямые \(АВ\) и \(CD\) были параллельными, достаточно, чтобы четырехугольник \(ABCD\) был параллелограммом.

Ответ: a) Для того, чтобы четырехугольник был параллелограммом, необходимо и достаточно, чтобы его диагонали точкой пересечения делились пополам. б) Для того, чтобы два угла были смежными, необходимо, чтобы их сумма была равна \(180^\circ\) в) Для того, чтобы прямые \(АВ\) и \(CD\) были параллельными, достаточно, чтобы четырехугольник \(ABCD\) был параллелограммом.

Решение №39330: a) \(AD \parallel BC\) и \(AD = BC = ABCD\) - параллелограмм по признаку о двух сторонах. б) лежат на одной прямой.

Ответ: a) \(AD \parallel BC\) и \(AD = BC = ABCD\) - параллелограмм по признаку о двух сторонах. б) лежат на одной прямой.

Решение №39331: a) \(BO = OD\); \(AO = OC \longrightarrow ABCD\) - параллелограмм по признаку о диагоналях. б) Точки \(D\), \(C\), \(M\) - лежат на одной прямой.

Ответ: a) \(BO = OD\); \(AO = OC \longrightarrow ABCD\) - параллелограмм по признаку о диагоналях. б) Точки \(D\), \(C\), \(M\) - лежат на одной прямой.

Решение №39332: Дано: \(ABCD\) четырехугольник. \(АО = 4 см\), \(OC = 40 мм\), \(BD = 1,2 дм\), \(OD = 6 см\). Доказать: \(ABCD\) - параллелограмм. \(OC = 40 мм = 4 см\), \(AO= 4 см,\longrightarrow AO = OC\). \(BD = 1,2 дм = 12 см\); \(OD = 6 см, = BO = 6 См, \longrightarrow BO = OD \longrightarrow ABCD\) - параллелограмм по признаку о диагоналях.

Ответ: Утверждение доказано. Параллелограмм по признаку о диагоналях.

Решение №39333: a) Дано: \(ABCD\) - четырехугольник. \(\angle BAC = \angle DCA\); \(\angle BCA = \angle DAC\). Доказать: \(ABCD\) - параллелограмм. Рассмотрим \(\angle ABC\) и \(\Delta CDA: \angle BCA = \angle DAC\); \(\angle BAC = \angle DCA\); \(AC\) - общая \(\longrightarrow \Delta ABC = \Delta CDA\) по стороне и двум прилежащим к ней углам. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов и сторон, т. е. \(AB = CD\), \(BC = DA \longrightarrow\) четырехугольник \(ABCD\) - параллелограмм по признаку о противолежащих сторонах. б) Дано: \(ABCD\) четырехугольник. \(\angle CBD = \angle ADB\); \(BC = AD\). Доказать: \(ABCD\) - параллелограмм. Рассмотрим \(\Delta ABD\) и \(\Delta CDB: \angle ADB = \angle CBD; AD = BC\). \(BD\) общая. \(\longrightarrow \Delta ABD = \Delta CDB\) по двум сторонам и углу между ними. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон, т. е. \(AB = CD\), \(BC = DA \longrightarrow ABCD\) - параллелограмм по признаку о противолежащих сторонах.

Ответ: Утверждение доказано.

Решение №39334: а) Дано: \(ABCD\) - четырехугольник. \(\Delta АОВ = \Delta COD\). Доказать: \(ABCD\) - параллелограмм. Из равенства треугольников \(АОВ\) и \(COD\) следует равенство соответствующих сторон \(\longrightarrow AO = OC\); \(BO = OD \longrightarrow ABCD\) параллелограмм по признаку о диагоналях. б) Дано: \(ABCD\) четырехугольник. \(\angle ABD = \angle CDB\); \(\angle BCA = \angle CAD\). Доказать: \(ABCD\) - параллелограмм. \(\angle ABD\) и \(\angle CDB\) являются внутренними накрест лежащими при прямых \(АВ\) и \(CD\) и секущей \(BD\) т. к. \(\angle ABD = \angle CDB\), то \(AB \parallel CD\) по признаку параблельных прямых. \(\angle BCD\) и \(\angle CAD\) являются внутренними накрест лежащими при прямых \(ВС\) и \(AD\) и секущей \(AC\). T. к. \(\angle BCD = \angle CAD\), то \(BC \parallel AD\) по признаку параллельных прямых. Т. к. \(AB \parallel CD\) и \(ВС \parallel AD\), то четырехугольник \(ABCD\) параллелограмм по определению.

Ответ: Утверждение доказано.

Решение №39335: Дано: \(ABCD\) - четырехугольник. \(AB \parallel CD\); \(AB = CD = 9 cм\); \(AD = 4 cм\). Найти: \(Р\) T. к. \(AB \parallel CD\) и \(AB= CD\), то невырех угольник \(ABCD\) параллелограмм по признаку о двух сторонах \)\longrightarrow BC = AD = 4 см\). \(P_{ABCD} = (AB + BC) \cdot 2 = 26 cм\). Ответ: \(26 см\).

Ответ: 26 см.

Решение №39336: \(AB = CD\); \(AD = BC \Rightarrow\) по признаку о противолежащих сторонах \(ABCD\) - параллелограмм. \(\angle A\) и \(\angle B\) - соседние углы параллелограмма. Пусть градусная мера \(\angle B\) равна \(x\), тогда градусная мера \(\angle A = 3x\), \(\Rightarrow х + 3x = 180^\circ\), \(\Rightarrow x = 45^\circ\), т. e. \(\angle B = 45^\circ\), \(\angle A = 135^\circ\). По свойству противолежащих углов параллелограмма \(\angle B = \angle D = 45^\circ\); \(\angle A = \angle C = 135^\circ\).

Ответ: \(45^\circ; 135^\circ; 45^\circ; 135^\circ\).

Решение №39337: По свойству параллелограмма \(ABCD\): \(BO = OD\); \(AO = OC\). T. к. т. \(B_{1}\) - середина \(ВО\) и т. \(D_{1}\) - середина \(DО\), то \(BB_{1} = B_{1}O = OD_{1} = D_{1}O\). Т. е. в четырехугольнике \(AB_{1}CD\): \(B_{1}O = OD_{1}\) и \(АО = OC\) и т. \(O\) - точка пересечения диагоналей \(\Rightarrow AB_{1}CD_{1}\) - параллелограмм по признаку параллелограмма о диагоналях.

Ответ: Утверждение доказано.

Решение №39338: По свойству параллелограмма \(ABCD\): \(AD = BC\). Т. к. \(Е\) - середина \(ВС\), а \(F\) - середина \(AD \Rightarrow BE = EC = AF = FD\). По определению параллелограмма \(ABCD\): \(BC \parallel AD \Rightarrow BE \parallel AF\) и \(EC \parallel FD\). T. к. \(BE \parallel AF\) и \(BE = AF\), то четырехугольник \(ABEF\) - параллелограмм по признаку о двух сторонах. T. к. \(EC \parallel FD\) и \(EC = FD\), то четырехугольник \(ECDF\) - параллелограмм по признаку о двух сторонах.

Ответ: Утверждение доказано.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Решение №39340: \(ABCD\) - параллелограмм \(\Rightarrow CD \parallel AB\) и \(BC = AD\), \(AB = CD\). Т. к. ось \(АВ\) - закреплена вертикально, то \(CD\) - тоже расположена вертикально. При попытке изменить положение лампы меняться будут только углы соединения, а длины останутся прежними. T. e. \(AB = CD\) и \(BC = AD\), \(\Rightarrow\) четырехугольник \(ABCD\) останется параллелограммом. \(\Rightarrow CD \parallel AB\), \(\Rightarrow CD\) останется в вертикальном положении.

Ответ: \(ABCD\) - параллелограмм \(\Rightarrow CD \parallel AB\) и \(BC = AD\), \(AB = CD\). Т. к. ось \(АВ\) - закреплена вертикально, то \(CD\) - тоже расположена вертикально. При попытке изменить положение лампы меняться будут только углы соединения, а длины останутся прежними. T. e. \(AB = CD\) и \(BC = AD\), \(\Rightarrow\) четырехугольник \(ABCD\) останется параллелограммом. \(\Rightarrow CD \parallel AB\), \(\Rightarrow CD\) останется в вертикальном положении.

Решение №39341: \(\angle CBD\) и \(\angle ADB\) - внутренние накрест лежащие при прямых \(ВС\) и \(AD\) и секущей \(BD\). T. к. \(\angle CBD = \angle ADB \Rightarrow BC \parallel AD\) по признаку параллельных прямых. Рассмотрим \(\Delta ВОС\) и \(\Delta AOD\): \(\angle BOC = \angle DOA (как вертикальные). \(\angle CBO = \angle ADO\) (по условию). Т. к. сумма углов треугольника \(180^\circ\) и у треугольников \(BOC\) и \(DOA \angle BOC = \angle DOA\) и \(\angle CBO = \angle ADO\), то \(\angle BCO = \angle DAO\). \(AO = OC\) (по условию) \(\Rightarrow \Delta BOC = \Delta DOA\) по стороне и двум прилежащим к ней углам. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих элементов \(\Righatrrow BC = AD\). В четырехугольнике \(ABCD\): \(BC \parallel AD\) и \(BC = AD \Rightarrow ABCD\) - параллелограмм по признаку о двух сторонах. б) Проведем диагональ \(АС\). По свойству диагоналей параллелограмма \(AECF\): \(EO = OF\), \(AO = OC\). \(BO= BE + EO\); \(DO = FD + FO\), т. e. \(BE = FD\) и \(EO = OF \Rightarrow BO = OD\). В четырехугольнике \(ABCD\) т. \(О\) - точка пересечения диагоналей и \(BO = OD\), \(AO = OC \Rightarrow ABCD\) - параллелограмм по признаку о диагоналях.

Ответ: Утверждение доказано.

Решение №39342: Рассмотрим \(\Delta АВС\) и \(\Delta CDA\): \(\angle B = \angle D\); \(\angle BCA = \angle CAD \Rightarrow \angle BAC = \angle DCA\). \(AC\) - общая\(\Rightarrow \Delta АВС = \Delta CDA\) по стороне и двум прилежащим к ней углам. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих элементов: \(BC = AD\), \(AB = CD\). В четырехугольнике \(ABCD\): \(AB = CD\), \(BC = AD \Rightarrow ABCD\) - параллелограмм по признаку о противолежащих сторонах.

Ответ: Утверждение доказано.

Решение №39343: \(ABCD\) - параллелограмм \(\Rightarrow\) по свойству параллелограмма \(\angle B = \angle D\), \(AB = DC\), \(BC = AD\). T. к. \(BE\) и \(DF\) - биссектрисы \(\angle В\) и \(\angle D\), то \(\angle ABE = \angle EBC = \angle CDF = \angle FDA\). По определению параллелограмма \(AB \parallel DC\). \(AC\) - секущая \(\Rightarrow \angle BAC = \angle DCA\) как внутренние накрест лежащие. Рассмотрим \(\Delta АВЕ\) и \(\Delta CDE\): \(AB = CD\), \(\angle ABE = \angle CDF\). \(\angle BAE = \angle DCF \Rightarrow \Delta ABE = \Delta CDE\) по стороне и прилежащим к ней углам. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих элементов. \(\Rightarrow EB = FD\) и \(AE = FC\). Рассмотрим \(\Delta BCF\) и \(\Delta DAE\): \(\angle BCF = \angle DAF\) (как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых \(ВС\) и \(AD\) и секущей \(АС\)). \(BC = AD\), \(AE = FC\), \(\Rightarrow \Delta BCF = \Delta DAE\) по двум сторонам и углу между ними. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих элементов. \(\Rightarrow BF = DE\). В четырехугольнике \(BEDF\): \(BE = DF\) и \(BF = EF \Rightarrow BEDF\) - параллелограмм по признаку о противолежащих сторонах.

Ответ: Утверждение доказано.

Решение №39344: По свойству параллелограмма \(ABCD\): \(AO = OC\) и \(BO = OD\). T. к. т. \(A_{1}\) - середина \(AO\), \(B_{1}\) - середина \(BO\), \(C_{1}\) - середина \(CO\), \(D_{1}\) - середина \(DO\), то \(AA_{1} = A_{1}O = OC_{1} = C_{1}C\), \(BB_{1} = B_{1}O = OD_{1} = D_{1}D\). В четырехугольнике \(А_{1}В_{1}С_{1}D_{1} : В_{1}O = OD_{1}\) и \(А_{1}O = ОС_{1}\) и т. \(О\) является точкой пересечения диагоналей \(\Rightarrow A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\) - параллелограмм по признаку о диагоналях.

Ответ: Утверждение доказано.

Решение №39345: а) По свойству параллелограмма \(KLMN\): \(LM = KN\) и \(KL = MN\). По определению параллелограмма \(LM \parallel KN\) и \(KL \parallel MN\). \(LM = LT + TM\), \(KN = KR + RN\), т. к. \(LM = KN\) и \(KR = TM\), то \(LT = RN\). Т. е. в четырехугольнике \(LTNR\): \(LT \parallel NR\) и \(LT = NR\), \(\Rightarrow \(LTNR\) - параллелограмм по признаку о двух сторонах \(\Rightarrow\) по определейию параллелограмма \(LR \parallel TN \Rightarrow AB \parallel CD\). \(KL = KE + EL\), \(MN = NF + FM\). T. к. \(KL = MN\) и \(LE = NF\), то \(KE = FM\). Т. е. в четырехутольнике \(KEMF\): \(КЕ \parallel MF\) и \(KE = MF \Rightarrow KEMF\) - параллелограмм по признаку о двух сторонах \(\Rightarrow\) по определению парадлелограмма \(ME \parallel KF \Rightarrow BC \parallel AD\). В четырехугольнике \(ABCD\): \(AB \parallel CD\) и \(BC \parallel AD \Rightarrow ABCD\) - параллелограмм по определению. б) По свойству параялелограмма \(KLMN\): \(\angle M = \angle K\). T. к. \(\angle TML = \angle RKN \Rightarrow \angle TMN = \angle RKL\). По определению параллелограмма \(KLMN\): \(LM \parallel KN\) и \(KL \parallel NM\). \(\angle LKR\) и \(\angle KRN\) - внутренние накрест лежащие при параллельных прямых \(KL\) и \(MN\) и секущей \(KR \Rightarrow \angle LKR = \angle KRN\). \(\Rightarrow \angle KRN = \angle TMN\). \(\angle TMN\) и \(\angle KRN\) - соответственные при прямых \(ТМ\) и \(KR\) и секущей \(MN\). T. к. \(\angle TMN = \angle KRN\), то \(TM \parallel KR\) по признаку параллельных прямых \(\Rightarrow BC \parallel AD\). T. e. \(LE \parallel FN\) и \(LE = FN \Rightarrow FLEN\) - параллелограмм. По определению параллелограмма \(FLEN\): \(FL \parallel EN \Rightarrow AB \parallel DC\). В четырехугольнике \(ABCD\): \(AB \parallel CD\) и \(BC \parallel AD \Rightarrow ABCD\) - параллелограмм по определению.

Ответ: Утверждение доказано.

Решение №39346: а) Дано: \(AECF\) параллелограмм. \(EK = FM\), \(LC = AN\). Доказать: \(ABCD\) - параллелограмм. По определению параллелограмма \(AECF: EC AF\) и \(AE \parallel CF \longrightarrow AN \parallell LC\) и \(KA \parallel CM\). T. к. \(LC \parallel AN\) и \(LC = AN\), то \(ALCN\) - параллелограмм по признаку о двух сторонах. По определению параллелограммa \(ALCN \longrightarrow AL \parallel CN \longrightarrow \(AB \parallel CD\). По свойству цараллелограмма \(АЕСF: AE = CF\) и т.к. \(KE = MF\), то \(AK = CM\). Т. к. \(АК = CМ\) т.к. \(AK /parallel CM\), то \(AKCM\) - параллелограмм по признаку о двух сторонах. По определению параллелограмма \(AKCM: KC \parallel AM \longrightarrow BC \parallel AD\). В четырехугольнике \(ABCD: AB \parallel CD\), \(BC \parallel AD \longrightarrow ABCD\) - параллелограмм по определению. б) Дано: \(KLMN\) - параллелограмм. \(\angle KLF = \angle ENM\); \(\angle LRK= \angle NTM\). Доказать: \(ABCD\) параллелограмм. Доказательство: По свойству параллелограмма \(KLMN\): \(\angle L = \angle N\) и \(LM = KN\), \(KL = MN\). т. к. \(\angle KLF = \angle MNE\), то \(\angle FLM = \angle ENK\). По определению параллелограмма \(LM \parallel KN\). \(\angle KFL\) и \(\angle FLM\) - внутренние накрест лежащие при \(LM \parallel KN\) и секущей \(LF \longrightarrow \angle KFL = \angle FLM \longrightarrow \angle LFK = \angle ENK\). \(\angle LFK\) и \(\angle ENK\) являются соответственными при прямых \(LF\) и \(NE\) и секущей \(KN \longrightarrow LF \parallel NE\) по признаку параллельных прямых, \(\longrightarrow AB \parallel CD\). Рассмотрим \(\Delta KLP\) и \(\Delta TWM: \angle LPK = \angle MTN, \angle KLM = \angle MNT \longrightarrow \angle LKP = \angle NMT\). \(KL = MN\). \(\longrightarrow \Delta LKP = \Delta NMT\) по стороне и прилежащим к ней углам. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих элементов, т. е. \(LP = TN\). T. к. \(LM = KN\) и \(LP = TN\), то \(KT = PM\). В четырехугольнике \(КРМТ: КТ \paralle РМ\) и \(КТ = PM, \longrightarrow КРМТ\) - параллелограмм. По определению параллелограмма \(KPMT: KP \parallel MT \longrightarrow BC \parallel AD\). В четырехугольнике \(ABCD: AB \parallel CD, BC \parallel AD, \longrightarrow ABCD\) - параллелограми по определению.

Ответ: Утверждение доказано.

Решение №39347: Дано: \(ABCD\) - четырехугольник. \(\angle A\ = \angle C),\(\angle B = \angle D\) Доказать: \(ABCD\) - параллелограмм. По теореме о сумме углов четырехугольника: \(\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ\). T. к. \(\angle A = \angle C\), \(\angle B = \angle D\), то \(2(\angle A + \angle B) = 360^/circ\), \(\angle A + \angle B = 180^\circ\). \(\angle A\) и \(\angle В\) являются внутренними односторонними углами при прямых \(AD\) и \(ВЕ\) всекущей \(АВ\), т. к. \(\angle A + \angle B = 180^\circ\), то \(AD \parallel ВС\) по признаку параллельных прямых. \(\angle B = \angle D \longrightarrow \angle A + \angle D = 180^/circ\). \(\angle A\) и \(\angle D) являются внутренними односторонними при прямых \(АВ\) и \(DC\) и секущей \(AD\), T. к. \(\angle A + \angle B = 180^\circ\), то \(AB \parallel DC\) по признаку параллельных прямых. В четырехугольнике \(ABCD: AB \parallel CD\),\(AD \parallel BC \longrightarrow ABCD\) -параллелограмм по определению.

Ответ: Утверждение доказано.

Решение №39348: Дано: \(\angle A\), т. \(О\) - внутри угла. 1) Построить \(BD\): т. \(О\) - середина \(BD\) и точки \(D\), \(В\) лежат на сторонах угла. 2) Проведем луч \(АО\). На луче \(АO \)от т. \(О\) отложим отрезок \(OC = OA\). 3) Через т. \(С\) проведем прямые параллельные сторонам угла получим \(ABCD\) - параллелограмм. \(\longrightarrow BD\) - искомый отрезок. Доказательство: точки \(В\) и \(D\) принадлежат сторонам угла. \(BO = OD\) (по свойству диагоналей параллелограмма).

Ответ: Дано: \(\angle A\), т. \(О\) - внутри угла. 1) Построить \(BD\): т. \(О\) - середина \(BD\) и точки \(D\), \(В\) лежат на сторонах угла. 2) Проведем луч \(АО\). На луче \(АO \)от т. \(О\) отложим отрезок \(OC = OA\). 3) Через т. \(С\) проведем прямые параллельные сторонам угла получим \(ABCD\) - параллелограмм. \(\longrightarrow BD\) - искомый отрезок. Доказательство: точки \(В\) и \(D\) принадлежат сторонам угла. \(BO = OD\) (по свойству диагоналей параллелограмма).

Решение №39349: Построение: 1) Проведем через т. \(М\) прямые, параллельные сторонам угла. \(\longrightarrow\) т. \(В\) и т. \(С \longrightarrow MBAC\) - параллелограмм. \(ВС\) - диагональ. 2) Разделим отрезок \(ВС\) пополам = т. \(О\) - точка пересечения диагоналей. 3) Проведем луч \(МО\) - искомый. Доказательство: т. к. \(АВМС\) - параллелограмм, то луч \(МО\) направлен вдоль диагонали, т. е. на т. \(А\).

Ответ: NaN

Решение №39350: Дано: \(\Delta АВС\). \(АН\) и \(ВК\) - высоты. т. \(О\) - пересечение высот. \(АО = ОВ\). Доказать: \(\Delta АВС\) - равнобедренный. Рассмотрим \(\Delta АОК\) и \(\Delta ВОН\): \(\angle AOK = \angle BOH\) (как вертикальные), \(\angle OHB = \angle OKA = 90^\circ\) \(AO = OB \longrightarrow \Delta AOK = \Delta BOH\)по гипотенузе и острому углу) Из равенства треугольников следует равенство соответствующих элементов. T. e. \(\angle KAO = \angle HBO\). Рассмотрим \(\Delta АОВ: АО = ОВ \longrightarrow \Delta АОВ\) - равнобедренный, \(\longrightarrow\) по свойству равнобедренного треугольника \(\angle OAB = \angle OBA\). \( \angle KAB = \angle KAH + \angle HAB\) и \( \angle HBA = \angle HBO + \angle OBA\). T. к. \(\angle OAB = \angle OBA\) и \(\angle KAO = \angle HBO\), то \(\angle KAB = \angle HBA, \longrightarrow \Delta ACB\) - равнобедренный по признаку равнобедренного треугольника.

Ответ: Утверждение доказано.

Решение №39351: Дано: \(\Delta АВС (\angle B = 90^\circ)\); \(\angle C = 90^\circ\). \(AC \parallel BD\). Доказать: \(\Delta АВС = \Delta DCB\). \(AB \perp BC\) и \(CD \perp BC \longrightarrow AB \parallel CD\). \(AC \parallel BD\) - по условию. В четырехугольнике \(ABDC: \parallel CD\) и \(AC \parallel BD \longrightarrow ABDC\) -параллелограмм по определению. По свойству параллелограмма: \(BA = DC\) и \(BD = AC \longrightarrow \Delta АВС = \Delta DCB\) по гипотенузе и катету.

Ответ: Утверждение доказано.

Решение №39352: а) Прямоугольник и квадрат. б) Прямоугольник и квадрат. в) Ромб и квадрат. г) Ромб и квадрат.

Ответ: а) Прямоугольник и квадрат. б) Прямоугольник и квадрат. в) Ромб и квадрат. г) Ромб и квадрат.

Решение №39353: Дано: \(ABCD\) - ромб (см. рис. ниже). a) \(АО\); б) \(BO\); в) \(CO\).

Ответ: a) \(АО\); б) \(BO\); в) \(CO\).

Решение №39354: Дано: \(ABCD\) - прямоугольник. \(АВ = 8 см\), \(ВС = 5 см\). Найти: а) расстояние от т. \(С\) до \(AD\); б) расстояние от \(АВ\) до \(CD\). По свойству прямоугольника: \(AB = CD\) и \(BC = AD\). а) Расстояние от точки до прямой - это длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую \(Rightarrow\) расстояние от т. \(С\) до \(AD\) равно \(CD = 8 см\). б) Расстояние между двумя прямыми это длина общего перпендикуляра расстояние между \(АВ\) и \(CD\) равно \(ВС =5 см\).

Ответ: а) \(8 см\); б) \(5 см\).

Решение №39355: Дано: \(ABCD\) - квадрат; т. \(О\) - пересечение диагоналей. По свойствам квадрата \(АС \perp BD\), \(BO = OC = OD = OA. \longrightarrow \Delta BOC = \Delta COD = \Delta DOA = \Delta АОВ\) (по двум катетам). Данные треугольники: 1) прямоугольные (т. к. \(\angle AOB = \angle BOC = \angle COD = \angle DOA = 90^\circ\); 2) равнобедренные (т. к. \(BO = OC = OD = OA\)).

Ответ: \(\Delta BOC = \Delta COD = \Delta DOA = \Delta АОВ\) - треугольники прямоугольные и равнобедренные.

Решение №39356: 1) Диагональ прямоугольника не может быть равной его стороне. Т. к. в \(\Delta ACD (\angle D = 90^\circ)\) гипотенуза не равна катету. 2) Меньшая диагональ ромба может быть равной его стороне, но только при условии, что острый угол ромба равен \(60^\circ\).

Ответ: 1) Не может. 2) Меньшая диагональ ромба может быть равной его стороне, но только при условии, что острый угол ромба равен \(60^\circ\).

Решение №39357: Прямоугольник может быть ромбом в том случае, если его стороны равны (т. е. если этот прямоугольник - квадрат).

Ответ: Может.

Решение №39358: a) \(\angle B = \angle D = 90^\circ\), но \(ABCD\) не является прямоугольником. б) Диагонали \(LN \perp KM\), но \(KLMN\) не является ромбом. в) \(BD = AC\), но \(ABCD\) не является прямоугольником. г) \(SQ \perp RP\) и \(SQ = RP\), но \(PQRS\) не является квадратом.

Ответ: a) \(\angle B = \angle D = 90^\circ\), но \(ABCD\) не является прямоугольником. б) Диагонали \(LN \perp KM\), но \(KLMN\) не является ромбом. в) \(BD = AC\), но \(ABCD\) не является прямоугольником. г) \(SQ \perp RP\) и \(SQ = RP\), но \(PQRS\) не является квадратом.

Решение №39359: a) \(AB = 2,9\) см; \(AD = 2,9\) см; \(ВС = 2,9\) см; \(CD = 2,9\) см \(\Rightarrow ABCD\) - ромб по определению. б) \(\angle B = 58^\circ\). T. к. \(\angle A\) и \(\angle B\) - соседние углы параллелограмма, то \(\angle B + \angle A = 180^\circ \Rightarrow \angle A = 122^\circ\). Противолежащие углы ромба равны \(\Rightarrow \angle B = \angle D = 58^\circ\); \(\angle A = \angle D = 122^\circ\). в) \(\angle ADB = 29^\circ\); \(\angle CDB = 29^\circ\).

Ответ: a) \(AB = 2,9\) см; \(AD = 2,9\) см; \(ВС = 2,9\) см; \(CD = 2,9\) см \(\Rightarrow ABCD\) - ромб по определению. б) \(\angle B = 58^\circ\). T. к. \(\angle A\) и \(\angle B\) - соседние углы параллелограмма, то \(\angle B + \angle A = 180^\circ \Rightarrow \angle A = 122^\circ\). Противолежащие углы ромба равны \(\Rightarrow \angle B = \angle D = 58^\circ\); \(\angle A = \angle D = 122^\circ\). в) \(\angle ADB = 29^\circ\); \(\angle CDB = 29^\circ\).

Решение №39360: a) \(AB = DC = 3\) см; \(BC = AD = 6\) cм. \(ABCD\) - прямоугольник. б) \(BD = AC = 6\) см. в) \(AB = BC_{1} = AD_{1}\) - по построению \(\Rightarrow ABC_{1}D_{1}\) - квадрат.

Ответ: a) \(AB = DC = 3\) см; \(BC = AD = 6\) cм. \(ABCD\) - прямоугольник. б) \(BD = AC = 6\) см. в) \(AB = BC_{1} = AD_{1}\) - по построению \(\Rightarrow ABC_{1}D_{1}\) - квадрат.

Решение №39361: \(P_{ABC} = AB + BC + AC\); \(AB + BC + 15 = 36 \Rightarrow AB + BC = 21\) (cм). По свойству прямоугольника \(AB = CD\) и \(AD = BC\), \(\Rightarrow P_{ABCD} = (AB + BC) \cdot 2 = 42\) (cм).

Ответ: 42 см.