Задачи

Фильтрация

Показать фильтрацию

По классам:

По предметам:

По подготовке:

По классам:

По авторам:

Определите, может ли четырехугольник \(ABCD\) быть выпуклым, если: а) точки \(А\) и \(В\) лежат по разные стороны от прямой \(ВС\); б) прямая \(АВ\) пересекает прямую \(CD\); в) прямая \(AB\) пересекает отрезок \(СD\). Выполните рисунки.

Решение №39272: a) \(ABCD\) не является выпуклым, т.к. находится в разных полуплоскостях относительно прямой, содержащей сторону \(ВС\). Ответ: не может. б) \(ABCD\) выпуклый. Ответ: не может. в) Ответ: может.

Ответ: a) Нет; б) да; в) нет.

Найдите стороны четырехугольника, если его периметр равен \(3\) дм, а одна сторона меньше каждой из трех оставшихся на \(2\) см, \(3\) см и \(5\) см соответственно.

Решение №39273: Дано: \(ABCD\) четырехугольник. \(Р = 3\) дм, \(AB < ВС\) на 2 см; \(AB < CD\) на \(3\) см, \(AB < AD\) на \(5\) см. Найти: стороны \(ABCD\). \(Р= 3 дм = 30 см\); \(BС= AB + 2\); \(CD = AB + 3\) \(AD = AB + 5\); \(P = AB + BC + CD + AD\); \(30 = 4AB + 10\); \(AB = \fraq{30 - 10}{4} = 5 (см) \longrigtarrow BC = 7 см\); \(CD = 8 cм\); \(AD = 10 см\). Ответ: \(5 см\), \(7 см\), \(8 см\), \(10 см\).

Ответ: \(5 см\), \(7 см\), \(8 см\), \(10 см\).

Стороны четырехугольника относятся как \(3 : 4 : 5 : 6\). Найдите периметр четырехугольника, если сумма его наибольшей и наименьшей сторон равна \(18\) см

Решение №39274: Дано: \(ABCD\) четырехугольник. \(AB: BC: CD: AD=3:4:5:6\); \(AB + AD = 18 cм\). Найти: \(Р\). Наименьшая сторона - \(Зх\), наибольшая сторона - \(6х\). \(3x + 6x = 18\); \(9x = 18\); \(x = 2 (см) \longrightarrow AB = 6 см\); \(BC = 8 cм\); \(CD = 10 cм\); \(AD = 12 cм\). \(P=AB + BC + CD+ AD = 6 + 8 + 10 + 12 = 36 (см)\). Ответ: \(36 см\)

Ответ: \(36 см\).

Найдите углы четырехугольника, если один из них вдвое меньше второго, на \(20^\circ\) меньше третьего и на \(40^\circ\) меньше четвертого. Ответ дать в градусах, в порядке возрастания

Решение №39275: Дано: \(ABCD\) - четырехугольник. \(\angle D < \angle A\) в 2 раза; \(\angle D < \angleC\) на \(20^\circ\); \( \angleD < \angle B\) на \(40^\circ\). Найти: углы \(ABCD\). По теореме о сумме угловчетырехугольника: \(\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ\); \(\angle D < \angle A\) в 2 paзa \(\longrightarrow \angle A = 2\angle D\); \(\angle D < \angle C\) Ha. \(20^\circ \longrightarrow \angleD + 20^\circ = \angle C\); \(\angle D < \angle B\) на \(40^\circ \longrightarrow \angle D + 40^\circ = \angle B\); \(2 \angle D + \angle D + 40^\circ + \angleD + 20^\circ + \angle D = 360^\circ\); \(5 \angle D +60^\circ = 360^\circ\); \(\angle D= \fraq{360^\circ - 60\circ}{5} = 60^\circ\); \(\angle A = 120^\circ\) ; \(\angle B = 100^\circ\) ; \(\angle C = 80^\circ\). Ответ: \(60^\circ\), \(80^\circ\), \(100^\circ\), \(120^\circ\).

Ответ: 60;80;100;120

Найдите наименьший угол четырехугольника, если суммы его углов, взятых по три, равны \(240^\circ\), \(260^\circ\) и \(280^\circ\).

Решение №39276: Пусть \(\angle K + \angle L + \angle M = 240^\circ\); \(\angle L + \angle M + \angle N = 260^\circ\); \(\angle M + \angle N + \angle K = 280^\circ\). По теореме о сумме углов четырехугольника: \(\angle K + \angle L + \angle M + \angle N = 360^\circ \Rightarrow \angle N = 360^\circ - 240^\circ = 120^\circ\); \(\angle L = 360^\circ - 260^\circ = 100^\circ; \(\angle K = 360^\circ - 280^\circ = 80^\circ\); \(\angle M = 360^\circ - (\angle N + \angle K + \angle L) = 360^\circ - (120^\circ + 100^\circ + 80^\circ) = 60^\circ\).

Ответ: \(60^\circ\).

Если один из углов выпуклого четырехугольника — острый, то в этом четырехугольнике обязательно есть тупой угол. Докажите.

Решение №39277: Предположим, что в четырехугольнике нет тупого угла, т.е. \(\angle L\), \(\angle N\), \(\angle K \leq 90^\circ\). Тогда сумма всех углов четырехугольника меньше \(360^\circ\), что противоречит теореме о сумме углов четырехугольника. Т.е. предположение неверно \(\Rightarrow\) в четырехугольнике обязательно есть тупой угол.

Ответ: Утверждение доказано.

Один из углов выпуклого четырехугольника равен сумме двух дру­ гих углов. Докажите, что данный угол является тупым.

Решение №39278: Предположим, что \(\angle N\) не является тупым, т.е. \(\angle N \leq 90^\circ \Rightarrow \angle L + \angle M \leq 90^\circ\). \(\angle L + \angle N + \angle M \leq 180^\circ\). По теореме о сумме углов четырехугольников: \(\angle L + \angle N + \angle M + \angle K = 360^\circ\); \(\angle K = 360^\circ - (\angle L + \angle N + \angle M) \geq 360^\circ - 180^\circ = 180^circ\). Но т. к. четырехугольник выпуклый, то \(\angle K\) не может быть \(\geq 180^\circ\). Следовательно, предположение неверно \(\Rightarrow \angle D\) - тупой.

Ответ: Утверждение доказано.

Периметры четырехугольников \(АВСD\) и \(АВСD_{1}\) равны. Может ли один из этих четырехугольников быть выпуклым, а другой — невыпук­лым? Ответ подтвердите рисунком.

Решение №39279: \(ABCD\) - выпуклый; \(ABCD_{1}\) - невыпуклый. \(Р_{АBCD} = P_{ABCD_{1}}\).

Ответ: NaN

Периметр четырехугольника \(АВСD\) равен 23 дм. Найдите длину диагонали \(АС\), если периметр треугольника \(АВС\) равен 15 дм, а пери­метр треугольника \(АDС\) равен 22 дм.

Решение №39280: \(P_{ABC} = AB + BC + AC\); \(P_{ADC} = AD + DC + AC\). Сложим почленно: \(Р_{ABC} + P_{ADC} = (AB + BC + AC) + (AD + DC + AC)\); \(P_{ABC} + P_{ADC} = (AB + BC + DC + AD) + 2AC\); \(P_{ABC} + P_{ADC} = P_{ABCD} + 2AC\); \(15 + 22 = 23 + 2AC\); \(АС = (37 - 23) : 2 = 7\) (дм).

Ответ: 7 дм.

В четырехугольнике три угла равны, а четвертый угол меньше их суммы на \(240^\circ\). Найдите углы четырехугольника.

Решение №39281: Пусть \(\angle D = \angle C = \angle B = x^\circ\). Тогда \(\angle A = 3x^\circ - 240^\circ\). По теореме по сумме углов четырехугольника: \(\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ\); \(3x + 3x - 240^\circ = 360^\circ\); \(6x = 600^\circ\); \(x = 100^\circ \Rightarrow \angle D = \angle B = \angle C = 100^\circ\), a \(\angle A = 60^\circ\).

Ответ: \(100^\circ\), \(100^\circ\), \(100^\circ\), \(60^\circ\).

Докажите, что диагонали выпуклого четырехугольника пересе­каются.

Решение №39282: Предположим, что диагонали \(AC\) и \(BD\) не пересекаются \(\Rightarrow\) точки \(А\) и \(В\) лежат в одной полуплоскости относительно \(BD\). Через точки \(В\) и \(С\) проведём прямую. \(\Rightarrow\) Точки \(А\) и \(D\) лежат в разных полуплоскостях относительно прямой \(ВС\). \(\Rightarrow\) Четырехурольник \(ABCD\) находится в разных полуплоскостях относительно прямой \(BC\). \(\Rightarrow\) \(ABCD\) не является выпуклым четырехугольником \(\Rightarrow\) предположение не верно \(\Rightarrow AC\) и \(BD\) пересекаются.

Ответ: Утверждение доказано.

Докажите, что любой отрезок с концами на сторонах выпукло­го четырехугольника лежит во внутренней области этого четырех­угольника.

Решение №39283: Предположим, что \(KL\) не лежит во внутренней области четырехугольника \(\Rightarrow\) существуют точки \(Е\) и \(F\) - точки пересечения \(KL\) со сторонами \(AD\) и \(CD\) четырехугольника \(ABCD\) и \(EF\) лежит вне четырехугольника \(\Rightarrow\) точки \(А\) и \(В\) лежат в разных полуплоскостях относительно прямой \(CD \Rightarrow\) четырехугольник \(ABCD\) не является выпуклым \(\Rightarrow\) предположение не верно. Следовательно, \(KL\) лежит во внутренней области четырехугольника.

Ответ: Утверждение доказано.

В невыпуклом четырехугольнике \(АВСD\) градусной мерой угла при вершине \(В\) считают градусную меру \(\alpha\) угла \(АВС\), если хотя бы одна из внутренних точек отрезков \(СD\) или \(АD\) лежит во внутренней области угла \(АВС\) (см. рис. ниже), или \((360^\circ - \alpha)\), если ни одна внутренняя точка от­резков \(СD\) и \(АD\) не лежит во внутренней области угла \(АВС\) (см. рис. ниже). Докажите, что сумма углов невыпуклого четырехугольника равна \(360^\circ\).

Решение №39284: \(\angle ABC = 60^\circ\). \(\angle B = 360^\circ - \alpha\) (по определению). Рассмотрим \(\Delta ADC\). По теореме о сумме углов треугольника: \(\angle D + \angle DCA + \angle DAC = 180^\circ\). По аксиоме измерения углов: \(\angle DCA = \angle DCB + \angle BCA\); \(\angle DAC = \angle DAB + \angle BAC \Rightarrow \angle D + (\angle DCB + \angle BCA) + (\angle DAB + \angle BAC) = 180^\circ\) (*). Рассмотрим \(\Delta АВС\). По теореме о сумме углов треугольника: \(\angle BAC + \angle BCA + \angle ABC = 180^\circ \Rightarrow \angle BAC + \angle BCA= 180^\circ - \alpha\). Подставим это выражение в (*): \(\angle D + \angle DCB + \angle DAB + 18^\circ - \alpha = 180^\circ \Rightarrow \angle D + \angle DCB + \angle DAB = \alpha\). Добавим \(\angle B\) к обеим частям равенства \(\Rightarrow \angle D + \angle DCB + \angle DAB + \angle B = \alpha + \angle B\); \(\angle B = 360^\circ - \alpha \Rightarrow \angle D + \angle DCB + \angle DAB + \angle B = \alpha + 360^\circ - \alpha \Rightarrow \angle D + \angle A + \angle B + \angle C = 360^\circ\).

Ответ: Утверждение доказано.

Известно, что \(\Delta KMN = \Delta NРK\) (см. рис. ниже). а) Докажите, что \(МK \parallel NP\). б) Найдите угол \(P\), если \(\angle М = 65^\circ\).

Решение №39285: Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: \(\angle PNK = \angle MKN\); \(\angle M = \angle P\). \(\angle PNK\) и \(\angle MKN\) являются внутренними накрест лежащими при прямых \(NP\) и \(МК \Rightarrow\) по признаку параллельности прямых \(NP \parallel MK\). \(\angle M = \angle P \Rightarrow \angle P = 65^\circ\).

Ответ: а) Утверждение доказано. б) \(65^\circ\).

На рис. 6 \(МК\) = \(PN\), \(\angle MKN = \angle PNK\). а) Докажите, что \(MN \parallel КР\). б) Найдите \(MN\), если \(КР = 14 см\).

Решение №39286: Дано: \(MNPK\) - четырехугольник. \(MK = PN\), \(\angle MKN = \angle PNK\), \(KP = 14 см\). Доказать: \(MN \parallel КР\). Найти: \(MN\). Рассмотрим \(\Delta MKN\) и \(\Delta PNK: NK\) общая; \(MK = NP\); \(\angle NKM = \angle KNP \longrightarrow \Delta MKN = \Delta PNK\) (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон и углов, т.е. \(\angle KNM =\angle NKP\( и \(KP = MN\). \(\angle KNM\) и \(\angle NKP\) являются внутренними накрест лежащими при прямых \(MN\) и \(РК \longrightarrow\) по признаку параллельности прямых \(MN \parallel PK\); \(KP = MN = 14 см\).

Ответ: а) Утверждение доказано. б) 14 см.

Четырехугольник \(ABCD\) — параллелограмм. Назовите: а) сторону, параллельную стороне \(BC\); б) сторону, равную стороне \(CD\); в) угол, равный углу \(А\) .

Решение №39287: Дано: \(ABCD\) параллелограмм. a) \(AD \paralllel BC\) (по определению параллелограмма); б) \(AB = CD\) (по свойству сторон паралле-лограмма); в) \(\angle C = \angle A\) (по свойству углов параллелограмма).

Ответ: a) \(AD\); б) \(AB\); в) \(\angle C\).

Верно ли, что любой параллелограмм имеет: а) два угла, сумма которых равна \(180^\circ\); б) два острых и два тупых угла?

Решение №39288: а) Да, верно. Это соседние углы параллелограмма. 6) Нет, не любой.

Ответ: а) Да; б) Нет.

В параллелограмме \(ABCD\) \(\angle В < \angle С\). Сравните углы \(А\) и \(D\) .

Решение №39289: Дано: \(ABCD\) - параллелограмм. \(\angle B < \angle C\). Сравнить углы \(А\) и \(В\). \(\angle B < \angleC\) и \(\angleB = \angle D\), \(\angle A = \angle C\) (по свойству углов парадлелограмма) \(\longrightarrow \angle D < \angle A\). Ответ: \(\angle D < \angle A\).

Ответ: \(\angle D < \angle A\).

В параллелограмме \(ABCD\) \(АВ + СВ > АВ + ВС\) . Сравните стороны \(ВС\) и \(СD\) .

Решение №39290: Дано: \(ABCD\) - параллелограмм. \(AB +DC > AD + BC\). Сравнить стороны \(BC\) и \(CD\). \(AB = DC\); \(AD = BC\) - по свойствву сторон параллелограмма. \(AB + DC > AD +BC \longrightarrow 2DC > 2BC \longrightarrow DC > BC\). Ответ: \(DC > BC\)

Ответ: \(DC > BC\).

Диагонали параллелограмма \(ABCD\) пересекаются в точке \(О\) (см. рис. 12). Назовите: а) отрезок, который является медианой треугольника \(АСD\); б) треугольник, медианой которого является отрезок \(АО\).

Решение №39291: Дано: \(ABCD\) - параллелограмм. a) \(DO\) - медиана \(\Delta ACD\), т. к. \(АО = ОС\) (по свойству диагоналей параллелограмма); б) \(AO\) медиана \(\Delta DAB\), т.к. \(DO = OB\) (по свойству диагоналей параллелограмма).

Ответ: a) \(DO\); б) \(\Delta DAB\).

Проведите две параллельные прямые. Отметьте на одной из них точки \(А\) и \(D\) и проведите через эти точки две другие параллельные прямые, которые пересекают вторую прямую в точках \(B\) и \(C\) соответственно. а) Объясните, почему четырехугольник /(ABCD\) является параллелограммом. б) Измерьте угол \(A\) параллелограмма \(ABCD\). Используя свойства параллелограмма, найдите градусные меры других его углов. Проверьте полученные результаты измерениями. в) Проведите диагональ \(АС\) и обозначьте ее середину — точку \(О\). С помощью линейки проверьте, принадлежит ли эта точка отрезку \(ВD\).

Решение №39292: a) \(а \parallel b\) (по построению), т. е. \(AD \parallel BC\); \(с \parallel d\) (по построению), т.е. \(AB \parallel DC = ABCD\) - параллелограмм по построению; б) \(\angle A = 64^\circ\). По свойству углов параллелограмма \(\angle A = \angle C\), \(\angle C = 64^\circ\), \( \angle B = \angle D\), \ \angle A\) и \(\angle B\) - соседние, т.е. \(\angle A + \angle B = 180^\circ \longrightarrow \angle B = 116^\circ, \angle D = 116^\circ\). в) Да. \(О \in ВР\).

Ответ: a) \(а \parallel b\) (по построению), т. е. \(AD \parallel BC\); \(с \parallel d\) (по построению), т.е. \(AB \parallel DC = ABCD\) - параллелограмм по построению; б) \(\angle A = 64^\circ\). По свойству углов параллелограмма \(\angle A = \angle C\), \(\angle C = 64^\circ\), \( \angle B = \angle D\), \ \angle A\) и \(\angle B\) - соседние, т.е. \(\angle A + \angle B = 180^\circ \longrightarrow \angle B = 116^\circ, \angle D = 116^\circ\). в) Да. \(О \in ВР\).

Начертите треугольник \(ABD\). Проведите через вершины \(B\) и \(D\) прямые, параллельные сторонам \(АВ\) и \(AD\) соответственно. Обозначьте точку \(С\) — точку пересечения этих прямых. а) Объясните, почему четырехугольник \(ABCD\) является параллелограммом. б) Проведите две высоты параллелограмма из вершины \(B\). Равны ли они? в) Измерьте стороны \(АD\) и \(АВ\) и найдите периметр параллелограмма. Каким свойством параллелограмма вы воспользовались?

Решение №39293: a) \(a \parallel AD\) (по построению), т.е. \(AD \parallel BC\) \(b \parallel AB\) - параллелограмм по определению; б) \(ВВ_{1} и BВ_{2} - высоты; BВ_{1} \neq BВ_{2}; в) \(AD = 5,8 см\); \(AB = 3,3 cм\). По свойству сторон параллелограмма: \(AD = BC\); \(AB = CD = P \longrigtarrow 2(AD + AB) = 18,2 (см)\).

Ответ: a) \(a \parallel AD\) (по построению), т.е. \(AD \parallel BC\) \(b \parallel AB\) - параллелограмм по определению; б) \(ВВ_{1} и BВ_{2} - высоты; BВ_{1} \neq BВ_{2}; в) \(AD = 5,8 см\); \(AB = 3,3 cм\). По свойству сторон параллелограмма: \(AD = BC\); \(AB = CD = P \longrigtarrow 2(AD + AB) = 18,2 (см)\).

Начертите в тетради треугольник и проведите через каждую его вершину прямую, параллельную противолежащей стороне. Сколько параллелограммов образовалось на рисунке? Сколько общих вершин имеют любые два из образовавшихся параллелограммов?

Решение №39294: 1) Три параллелограмма: \(AMNK\), \(NKCM\), \(KMNB\). 2) Две общие вершины.

Ответ: 1) Три параллелограмма: \(AMNK\), \(NKCM\), \(KMNB\). 2) Две общие вершины.

Три параллельные прямые пересекаются с двумя другими параллельными прямыми. Сколько параллелограммов образовалось?

Решение №39295: Три параллелограмма: \(ABDC\), \(CDFE\), \(ABFE\).

Ответ: Три параллелограмма: \(ABDC\), \(CDFE\), \(ABFE\).

Найдите периметр параллелограмма \(АВСD\), если сторона \(АD\) равна 12 см и составляет \(\fraq{2}{3}\) стороны АВ.

Решение №39296: \(AD = \fraq{2}{3}AB \Rightarrow AB = \fraq{3}{2}AD = \fraq{3}{2} \cdot 12 = 18\) (см). По свойству сторон параллелограмма: \(AB = DC = 18\) см, \(BC = AD = 12\) см. \(P = 2(AB + BC) = 2 \cdot (18 + 12) = 60\) (см).

Ответ: 60 см.

Периметр параллелограмма равен 24 см. Найдите стороны паралле­лограмма, если: а) одна из них на 2 см больше другой; б) одна из них в три раза меньше другой; в) сумма трех его сторон равна 17 см.

Решение №39297: а) Т.к. противолежащие стороны параллелограмма равны, то данные стороны могут быть только соседними. Пусть \(KL\) больше \(LM\) на 2 см, т.e. \(KL = LM + 2\). \(KL = MN\), \(LM = KN\) - по свойству сторон параллелограмма. \(P = KL + LM + MN + NK = LM + 2 + LM + LM + 2 + LM\); \(24 = 4LM + 4\); \(LM = (24 - 4) : 4 = 5\) (см). \(LM = KN = 5\) см, \(KL = MN = 7\) cм. б) Т.к. противолежащие стороны параллелограмма равны, то данные стороны могут быть только соседними. Пусть \(LM\) меньшо \(MN\) в 3 раза, т.е. \(MN = 3LM\). \(KL = MN\), \(LM = KN\) - по свойству сторон параллелограмма. \(P = KL + LM + MN + NK = 3LM + LM + 3LM + LM\); \(24 = 8LM \Rightarrow LM = 3 (см) = KN \Rightarrow MN = KL = 9\) (см). в) \(KL + LM + MN = 17\); \(KL + LM + MN + NK = 24 \Rightarrow 17 + NK = 24\), т.e. \(NK = 7\) (см). По свойству сторон параллелограмма: \(NK = LM = 7\) (см); \(KL = MN\); \(LK + LM + MN = 17\); \(2KL + 7 = 17\); \(KL = (17 - 7) : 2 = 5\) (см).

Ответ: а) 5 см, 5 см, 7 см, 7 см; б) 3 см, 9 см, 3 см, 9 см; в) 5 см, 7 см, 5 см, 7 см.

Найдите углы параллелограмма, если: а) один из них равен \(110^\circ\); б) один из них на \(70^\circ\) меньше другого; в) сумма двух его углов равна \(90^\circ\); г) диагональ образует с его сторонами углы \(30^\circ\) и \(45^\circ\).

Решение №39298: a) Пусть \(\angle A = 110^\circ\); \(\angle A = \angle C\); \(\angle B = \angle D\) (по свойству углов параллелограмма) \(\Rightarrow \angle C = 110^\circ\). Поскольку сумма соседних углов \(180^\circ\), то \(\angle A + \angle B = 180^\circ \Rightarrow \angle B = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ\); \(\angle B = \angle D = 70^\circ\). б) Поскольку противолежащие углы равны, то данные углы могут быть только соседними. Пусть \(\angle A\) больше \(\angle B\) на \(70^\circ\), т. е. \(\angle A = х \Rightarrow \angle B = х + 70^\circ\). По свойству соседних углов параллелограмма \(\angle A + \angle B = 180^\circ\); \(x + x + 70^\circ = 180^\circ\); \(2x = 110^\circ\); \(x = 55^\circ\); \(\angle A = 55^\circ \Rightarrow \angle B = 55^\circ + 70^\circ = 125^\circ\). По свойству противолежащих углов: \(\angle C = \angle A\), \(\angle D = \angle B\). в) Поскольку сумма соседних углов \(180^\circ\), то данные углы могут быть только противолежащими. Пусть \(\angle A + \angle C = 90^\circ\). Тогда по свойству углов параллелограмма \(\angle А = \angle C = 90 : 2 = 45^\circ\). \(\angle A\) и \(\angle B\) - соседние \(\Rightarrow \angle A + \angle B = 180^\circ \Rightarrow \angle B = 135^\circ\); \(\angle D = \angle B = 135^\circ\). г) Поскольку \(30^\circ + 45^\circ < 90^\circ\), то диагональ выходит из вершины острого угла. По аксиоме измерения углов \(\angle BAD = \angle BAC + \angle CAD = 30^\circ + 45^\circ = 75^\circ\). \(\angle BAD\) и \(\angle B\) - соседние \(\Rightarrow \angle B + \angle A = 180^\circ \Rightarrow \angle B = 105^\circ\). По свойству углов параллелограмма: \(\angle B = \angle D = 105^\circ\); \(\angle A = \angle C = 75^\circ\).

Ответ: a) \(110^\circ; 70^\circ; 110^\circ; 70^\circ\); б) \(55^\circ; 125^\circ; 55^\circ; 125^\circ\); в) \(45^\circ; 135^\circ; 45^\circ; 135^\circ\); г) \(105^\circ; 75^\circ; 105^\circ; 75^\circ\).

Найдите углы параллелограмма, если: а) один из них прямой; б) градусные меры двух его углов относятся как 2 : 7; в) разность двух его углов равна \(40^\circ\); г) сумма трех его углов равна \(330^\circ\).

Решение №39299: Пусть дан параллелограмм \(ABCD\). a) Пусть \(\angle A\) - прямой. Тогда по свойству углов параллелограмма \(\angle C = \angle A = 90^\circ\). Поскольку сумма двух соседних углов равна \(180^\circ\), то \(\angle A + \angle B = 180^\circ \Rightarrow \angle B = 90^\circ\). \(\angle B = \angle D = 90^\circ\). б) Поскольку противолежащие углы параллелограмма равны, то данные углы могут быть только соседними. T.e. \(\angle A : \angle B = 2 : 7 \Rightarrow\) если градусная мера \(\angle A = 2х\), то градусная мера \(\angle В = 7х\). T.к. \(\angle A\) и \(\angle B\) соседние, то \(\angle А + \angle B = 180^\circ\); \(2x + 7x = 180^\circ\); \(x = 180 : 9 = 20^\circ \Rightarrow \angle A = 40^\circ\); \(\angle B = 140^\circ\). По свойству противолежащих углов параллелограмма \(\angle C = \angle A = 40^\circ\); \(\angle B = \angle D = 140^\circ\). в) Т.к. противолежащие углы параллелограмма равны, то данные углы - соседние. Пусть \(\angle B - \angle A = 40^\circ \Rightarrow \angle B = \angle A + 40^\circ\). Сумма соседних углов \(180^\circ\), т.e. \(\angle B + \angle A = 180^\circ\); \(2\angle A + 40^\circ = 180^\circ\); \(\angle A = 70^\circ\). По свойству углов параллелограмма \(\angle C = \angle A = 70^\circ\); \(\angle B = \angle D = 110^\circ\). г) Пусть \(\angle A + \angle B + \angle C = 330^\circ\). По теореме о сумме углов четырехугольника \(\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ \Rightarrow \angle D = 360^\circ - (\angle A + \angle B + \angle C) = 30^\circ\). T.к. сумма соседних углов равна \(180^\circ\), то \(\angle D + \angle A = 180^\circ \Rightarrow \angle A =150^\circ\). По свойству углов параллелограмма \(\angle A = \angle C = 150^\circ\); \(\angle B = \angle D = 30^\circ\).

Ответ: a) \(90^\circ; 90^\circ; 90^\circ; 90^\circ\); б) \(40^\circ; 140^\circ; 40^\circ; 140^\circ\); в) \(70^\circ; 110^\circ; 70^\circ; 110^\circ\); г) \(30^\circ; 150^\circ; 30^\circ; 150^\circ\).

Точка пересечения диагоналей параллелограмма удалена от двух его вершин на 5 см и 8 см. Найдите длины диагоналей параллелограмма.

Решение №39300: Пусть дан параллелограмм \(ABCD\). T. \(O\) - пересечение его диагоналей. \(\Rightarrow\) т. \(О\) удалена на 5 cм и 8 см от двух соседних вершин. Пусть это вершины \(В\) и \(С\), т.е. \(BO = 5\) cм, \(CO = 8\) см. По свойству диагоналей параллелограмма \(AO = ОС\); \(BO = OD\). T.к. \(DO = BO = 5\) см, a \(AO = CO = = 8\) см \(\Rightarrow BD = 10\) см, \(AC = 16\) см.

Ответ: 16 см и 10 см.

В четырехугольнике \(АВСD\) \(АВ \parallel СD\), \(\angle АDВ = \angle CBD\). Докажите по определению, что \(АВСD\) — параллелограмм.

Решение №39301: \(\angle ADB\) и \(\angle CBD\) являются внутренними накрест лежащими при прямых \(AD\) и \(ВС\) и секущей \(BD\). T.к. \(\angle ADB = \angle CBD\), то \(AD \parallel ВС\) по признаку параллельных прямых. \(AB \parallel CD\) по условию. Т.е. в четырехугольнике \(ABCD\) противолежащие стороны попарно параллельны \(\Rightarrow ABCD\) - параллелограмм по определению.

Ответ: Утверждение доказано.

В четырехугольнике \(VХУZ\) \(VХ \parallel YZ\), \(\angle V + \angle X = 180^\circ\). Докажите по определению, что \(VХУZ\) — параллелограмм.

Решение №39302: \(\angle V\) и \(\angle X\) являются внутренними односторонними при прямых \(XY\) и \(VZ\) и секущей \(VX\). T.к. \(\angle V + \angle X = 180^\circ\), то прямые \(XY\) и \(VZ\) параллельны по признаку параллельных прямых. \(VX \parallel YZ\) - по условию. В четырехугольнике \(VXYZ\) противолежащие стороны попарно параллельны. \(\Rightarrow VXYZ\) - параллелограмм по определению.

Ответ: Утверждение доказано.

На плоскости даны три точки, не лежащие на одной прямой. По­стройте параллелограмм, тремя вершинами которого являются данные точки. Сколько решений имеет задача?

Решение №39303: Решение 1 Параллелограмм со сторонами \(АС\) и \(АВ\). 1) Проведем \(а \perb AB\), \(b \perb a\), причем т. \(C \in b\). 2) Проведем \(c \perb AC\), \(d \perb c\), причем т. \(B \in d\) \(b \cap d = D \Rightarrow ABCD\) - параллелограмм по определению. Решение 2 Параллелограмм со сторонами \(АВ\) и \(ВС\). 1) Проведем \(а \perb BC\), \(b \perb a\), причем т. \(A \in b\). 2) Проведем \(c \perb AB\), \(d \perb c\), причем т. \(C \in d\). \(b \cap d = D \Rightarrow ABCD\) - параллелограмм по определению. Решение 3 Параллелограмм со сторонами \(АС\) и \(СВ\). 1) Проведем \(а \perb AC\), \(b \perb a\), причем т. \(B \in b\). 2) Проведем \(c \perb CB\), \(d \perb c\), причем т. \(A \in d\). \(b \cap d = D \Rightarrow ABCD\) - параллелограмм по определению.

Ответ: 3 решения.

Сколько различных параллелограммов можно образовать из двух равных разносторонних треугольников, прикладывая их друг к другу?

Решение №39304: 1. Прикладывая сторонами \(ВС\) и \(В_{1}С_{1}\). 2. Прикладывая сторонами \(АВ\) и \(A_{1}B_{1}\). 3. Прикладывая сторонами \(АС\) и \(A_{1}С_{1}\).

Ответ: Три.

Периметр параллелограмма \(АВСD\) равен 14 дм, а периметр тре­угольника \(АВС\) — 10 дм. Найдите длину диагонали \(АС\).

Решение №39305: \(P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD\). По свойству сторон параллелограмма \(АВ = CD\); \(BC = AD \Rightarrow P_{ABCD} = (AB + BC) \cdot 2 \Rightarrow AB + BC = 14 : 2 \Rightarrow AB + BC = 7\) (дм). \(P_{ABC} = AB + BC + AC\); \(7 + AC = 10 \Rightarrow АС = 3\) (дм).

Ответ: 3 дм.

Сумма трех сторон параллелограмма равна \(15\) м, а сумма трех других его сторон — \(18\) м. Найдите периметр параллелограмма.

Решение №39306: Дано: параллелограмм; сумма трех его сторон \(15 м\), сумма трех других \(18 см\). Найти:\(Р_{KLMN}\) Пусть дан параллелограми \(KLMN\); \(KL + LM + MN = 15 cм\); \(MN + LM + NK = 18 см\). По свойству сторон параллелограмма \(KL = MN\); \(LM = KN \lobgrightarrow 2MN + LM = 15\); \(MN + 2LM = 18\). Прибавим почленно два выражения \(\longrightarrow 3MN + 3ML = 33 \longrightarrow MN + ML = 11 (м.)\). \(P_{KLMN} = KL + LM + MN + NK\), т.к. \(KL = MN\) и \(LM = KN\), то \(P_{KLMN} = (MN + MI) \cdot 2= 22 (M)\). Ответ: \(22 м\).

Ответ: 22 м.

Найдите углы параллелограмма, если: а) биссектриса одного из его углов пересекает сторону под углом \(35^\circ\); б) высота параллелограмма образует с одной из его сторон угол \(42^\circ\).

Решение №39307: a) \(CF - биссектриса \angle C\); \(\angle CFD = 35^\circ\); б) \(BH\) - высота; \(\angle АВН = 42^\circ\). Найти: углы параллелограмма. a) \(AD \parallel ВC\) (по определению параллелограмма). \(CF\) - секущая \(\longrightarrow \angle BCF = \angle CFD\) (как внутренние накрест лежащие) \(\longrightarrow \longrightarrow \angle BCF = 35^\circ\) Т.к. \(CF\) - биссектриса \(\angleC\), то \(\angle C = 2\angle BCF = 70^\circ\) \(\angle C\) и \(\angle D\) - соседние \(\longrightarrow \angle C + \angleD = 180^\circ \longrightarrow \angle D = 110^\circ\). По свойству углов параллелограмма \(\angle C = \angle A = 70^\circ\); \(\angle B = \angle D = 110^\circ\). б) Рассмотрим \(\Delta ABH\): по теореме о сумме углов треугольника \(\angle A + \angle ABH +\angle BHA = 180^\circ\); \(\angle A + 42^\circ + 90^\circ = 180^\circ \longrightarrow \angle A = 48^\circ. \(\angle A\) и \(\angle ABC\) - соседние \longrightarrow \angle A + \angle ABC = 180^\circ \longrightarrow \angle ABC = 132^\circ\). По свойству углов параллелограмма: \(\angle C = \angle A = 48^\circ\); \(\angle B = \angle D = 132^\circ\).

Ответ: a) \(70^\circ\); \(110^\circ\); \(70^\circ\); \(110^\circ\); б) \(48^\circ\); \(132^\circ\); \(48^\circ\); \(132^\circ\).

Найдите углы параллелограмма, если: а) все его стороны равны, а диагональ образует с одной из сторон угол \(25^\circ\); б) высота параллелограмма, проведенная из вершины тупого угла, делит данный угол в отношении \(1:3\).

Решение №39308: а) Дано: \(ABCD\) - параллелограмм; \(AB = BC = CD = AD\); \(\angle BAC = 25^\circ\) Найти: углы параллелограмма. Рассмотрим \(\Delta ABC\) и \(\Delta ADC : AB = AD\), \(BC = CD\), \(AC\) - общая \(\longrightarrow \Delta ADC = \Delta ABC\) по трем сторонам. \(\Delta ABC\) \(\Delta ADC\) - равнобедренные (по определению) \(\longrightarrow \angle BAC = \angle BCA\); \(\angle CAD = \angle ACD\). Из равенства треугольников \(\Delta ABC\) и \(\Delta ADC\) следует равенство соответствующих)углов \(\longrightarrow \angle BAC = \angle ACD\); \(\angle BCA = \angle CAD\ \longrightarrow \angle BAC = \angle CAD\). T. e. \(\angle BAD = \angle BAC \cdot 2 = 50^\circle\). Поскольку \(\angle A и \angle B\) - соседние, то \(\angle A + \angle B = 180^\circ \longrightarrow \angle В= 130^\circ\). По свойству углов параллелограмма \(\angle A = \angle C = 50^\circ\); \(\angle B = \angle D = 130^\circ\). б) Дано: \(KLMN\) - параллелограмм; \(LH\) - высота. \(\angle KLH : \angle HLM=1:3\). Найти: углы параллелограмма. \(LH\) - высота \(\longrightarrow \angle LHN = \angle HLM = 90^\circ\). Пусть градусная мера \(\angle KLH = х\), тогда градусная мера \(\angle HLM = 3х\). T.к. \(\angle HLM = 90^\circ\) то \(3x = 90^\circ\); \(х = 30^\circ\). T. e. \(\angle KLH = 30^\circ\). По теореме о сумме углов треугольника: в \(\Delta KLH: \angle LKH + \angle KLH+\angle LHK= 180^\circ \longrightarrow \angle K = 60^\circ\). Поскольку \(\angle K\) и \(\angle L\) - соседние, то \(\angle K + \angle L = 180^\circ \longrightarrow \angle L = 120^\circ\). Пo свойству углов параллелограмма \(\angle K = \angle M = 60^\circ\); \(\angle L = \angle N = 120^\circ\).

Ответ: а) \(130^\circ\); \(50^\circ\); \(130^\circ\); \(50^\circ\); б) \(60^\circ\); \(120^\circ\); \(60^\circ\); \(120^\circ\).

Биссектриса угла \(В\) параллелограмма \(ABCD\) делит сторону \(ВС\) в отношении \(1 : 4\), начиная от точки \(В\). Найдите периметр параллелограмма, если \(ВС = 15 см\). Сколько решений имеет задача? Ответ обоснуйте.

Решение №39309: Дано: \(ABCD\) - параллелограмм; \(DF\) - биссектриса \(\angle D\). \(BF: FC = 1 : 4\); \(BC = 15 см\). Найти: \(P_{ABCD}\) Пусть \(BF = х\) см, тогда \(FC = 4х\) см \(\longrightarrow BC = BF + FC = 5x\), т. к. \(5x = 15 \longrightarrow x = 3 (см) \longrightarrow FC = 12 см\). \(BC \paralle AD\) (по определению параллелограмма), \(FD\) секущая, \(\angle CFD\) и \(\angle FDA\) - внутренние накрест лежащие \(\longrightarrow \angle CFD = \angleFDA\) (по свойству углов при параллельных прямых) \(\longrightarrow \Delta FCD\) - равнобедренный по признаку равнобедренного треугольника. T.e. \(FC = CD = 12 см.\) По свойству сторон параллелограмма \(AB = CD = 12 см\); \(BC = AD = 15 см\). \(P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD = 54 (см)\). Ответ: \(54 см\).

Ответ: 54 см.

Биссектриса угла параллелограмма делит его сторону на отрезки длиной \(5\) см и \(6\) см. Найдите периметр параллелограмма. Сколько решений имеет задача?

Решение №39310: Дано: параллелограмм, биссектриса делит сторону на отрезки длиной \(5 см\) и \(6 см\). Найти: периметр. Сколько решений имеет задача? Пусть дан параллелограмм \(ABCD\); \(BF\) - биссектриса. Возможны два случая: 1) \(AF = 5 cм\); \(FD = 6 см\); 2) \(AF = 6 cм\); \(FD = 5 cм\). \(\angle AFB = \angle FBC\) как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых \(AD\) и \(ВС\) и секущей \(BF\). \(BF\) - биссектриса \(\angle B = \angle ABF = \angle CBF\). равнобедренный по признаку равнобедренного треугольника \(\ АВ = AF. AD = AF + FD = 11 см\). 1) \(AF = АВ = 5 см\). По свойству сторон параллелограмма \(AB = CD = 5 cм\), \(AD = BC = 11 cм\).(P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD = 32 см\) 2) \(AF = 6 см \longrightarrow AB = 6 см\). По свойству сторон параллелограмма \(АВ = DC = 6 см\), \(AD = ВC = 11 см\). \(P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD = 34 см\). Если биссектриса проведена из вершины тупого угла, получим те же случаи. Ответ: \(32 см\) и \(34 см\). Два случая.

Ответ: \(32 см\) и \(34 см\). Два случая.

Любой отрезок с концами на противолежащих сторонах параллелограмма, проходящий через точку пересечения его диагоналей, делится этой точкой пополам. Докажите.

Решение №39311: Дано: \(KLMN\) - параллелограмм; т. \(O\) - пересечение его диагоналей. \(АВ\) - отрезок: т. \(O \in AB\); \(A \in LM\); \(B \in KN\). Доказать: \(АО = ОB\). Рассмотрим \(\Delta КОВ\) и \(МОA: КО = ОМ\) (по свойству диагоналей параллелограмма). \(\angle KOB = \angle MOA\) (как вертикальные), \(\angle AMO = \angle BKO\) (как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых \(LM\) и \(KN\) и секущей \(КМ\)) \(\longrightarrow \Delta КОВ = \Delta МОА\) по стороне и прилежащим к ней углам. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих элементов: \(АO = OB\), т.е. т. \(О\) - середина \(АВ\).

Ответ: Утверждение доказано.

Из вершин тупых углов \(B\) и \(D\) параллелограмма \(ABCD\) проведены перпендикуляры \(ВА_{1}\) и \(DC_{1}\) к сторонам \(AD\) и \(BC\) соответственно. Докажите, что четырехугольник \(А_{1}ВС_{1}В\) — параллелограмм,

Решение №39312: Дано: \(ABCD\) параллелограмм; \(BA_{1} \perp AD\); \(DC_{1} \perp BC\). Доказать: \(A_{1}BC_{1}D\) - параллелограмм. \(AD \parallel ВС\) по определению параллелограмма. \(DC_{1} \perp BC \longrightarrow DC_{1} \perp AD. BA_{1} \perp AD; DC_{1} \perp AD \longrightarrow BA_{1} \parallel DC_{1}\) по свойству двух прямых, перпендикулярных третьей. T.e. \(A_{1}D \parallel BC_{1}\) и \(BA_{1} \parallel DC_{1} \longrightarrow A_{1}BC_{1}D\) - параллелограмм по определению.

Ответ: Утверждение доказано.

По данным рис. 14 докажите, что четырехугольник \(ABCD\) — параллелограмм.

Решение №39313: Дано: \(ABCD\) - четырехугольник; \(ME \in AB\); \(N \in BC\); \(K \in CD\); \(P \in AD\); \(\angle MKD= \angle BMK; \angle CNP = \angle NPA\). Доказать: \(ABCD\) - параллелограмм. \(\angle BMK = \angle MKD\) и являются внутренними накрест лежащими при прямых \(АВ\) и \(CD\) и секущей \(МК \longrightarrow AB \parallel CD\) по признаку параллельности прямых. \(\angle CNP = \anglr APN\) и являются внутренними накрест лежащими при прямых \(ВС\) и \(AD\) и секущей \(NP, \longrightarrow AD \parallel ВC\) по признаку параллельных прямых. \(AB \parallel CD\) и \(AD \parallel BC \longrightarrow ABCD\) - параллелограмм по определению.

Ответ: Утверждение доказано.

Через точку, принадлежащую стороне равностороннего треугольника, проведены прямые, параллельные двум другим его сторонам. Определите периметр образовавшегося параллелограмма, если периметр треугольника равен \(18 см\).

Решение №39314: Дано: \(\Delta ABC\)- равносторонний. \(K \in BC; KL \parallel AC; AB \parallel КМ. P_{ABC} = 18 см\). Найти: \(P_{ALKM}\) \(\Delta АВС\) - равносторонний \(\longrightarrow \angle A = \angle B = \angle C\). \(\angle AC \longrightarrow \angle BLK = \angle А\) как соответственные при \(LK \parallel AC\) и секущей \(AB\); \(\angle BKL = \angle C\) как соответсвенные три \(LK \parallel AC\) и секущей \(ВС \longrightarrow \Delta LBK\) и \(\Delta MKC\) - равносторонние = \(BK = LK\); \(КС = КМ\). По свойству сторон параллелограмма \(LK = AM; KM = AL\). \(P_{ALKM} = LK + KM + AM + AL = 2(LK +KM) =2(BK + KC) = 2BC\). Т. к. \(\Delta ABC\) - равносторонний, то \(P_{ABC} = 3 AB = 18 см \longrightarrow BC = AB = АС = 6 (см) \longrightarrow P_{ALKM} = 12 (см)\). Ответ: \(12 см\).

Ответ: \(12 см\).

В параллелограмме \(ABCD\) биссектрисы углов \(А\) и \(D\) делят сторону \(ВС\) на отрезки длиной \(5 см\), \(3 см\) и \(5 см\). Найдите периметр параллелограмма. Сколько решений имеет задача?

Решение №39315: Дано: \(ABCD\) - параллелограмм. Биссектрисы углов \(А\) и \(D\) делят \(ВС\) на отрезки \(5 см\), \(3 см\), \(5 см\). Найти: \(Р\). \(BC \parallel AD; АЕ\) - секущая \(\longrightarrow \angle EAD= \angle BEA\) (как внутренние накрест лежащие). \(BC \parallel AD; DF\) - секущая \(\longrightarrow \angle DFC= \angle FDA\) (как внутренние накрест лежащие). \(AE\) - биссектриса \(\angle A \longrightarrow \angle BAE = \angle EAD, \longrightarrow \angle BAE = \angle BEA, \longrightarrow \Delta ABE\) - равнобедренный по признаку равнобедренного треугольника \(\longrightarrow АВ = ВЕ\). \(DF\) - биссектриса \( \angle D \longrightarrow \angle FDC= \angle FDA \longrightarrow \angle DFC = \angle FDC, \longrightarrow \Delta FCD\) - равнобедренный по признаку равнобедренного треугольника. \(\longrightarrow FC = CD\). Случай 1: \(BE = FE + FE = 8см\) \(AB = BE = 8 см\) \(BC = BF + FE + EC = 13 см\) Случай 2: \(DE = 5 см\) \(AB = BE = 5 см\) \(BC = BE + EF + FC = 13 см\) По свойству сторон параллелограмма \(AB = DC\); \(BC = AD\). \(P_{ABCD} = AB + BC + DC + AD = 2(AB + BC)\). Случай 1: \(P = 2 \cdot (8 + 13) = 42 см\) Случай 2: \(P = 2 \cdot (5+13) = 36 см\). Ответ: \(42 см\) или \(36 см\). Два случая.

Ответ: \(42 см\) или \(36 см\). Два случая.

Найдите углы параллелограмма, если его диагональ перпендикуляр­на одной из сторон и равна половине другой стороны.

Решение №39316: Рассмотрим \(\Delta KLM (\angle L = 90^\circ)\): катет \(LN\) равен \(\fraq {1}{2}KN\), \(KN\) - гипотенуза \(\Rightarrow \angle K = 30^\circ\). \(\angle K\) и \(\angle L\) - соседние углы параллелограмма, т.е. \(\angle K + \angle L = 180^\circ \Rightarrow \angle L = 150^\circ\). По свойству углов параллелограмма: \(\angle K = \angle M = 30^\circ\), \(\angle L = \angle N = 150^\circ\).

Ответ: \(30^\circ; 150^\circ; 30^\circ; 150^\circ\).